BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— LÊ THỊ THU BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— LÊ THỊ THU BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Lê Thị Thu Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Lê Thị Thu Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các kí hiệu 1.2 Một số không gian hàm 1.2.1 Không gian Lp (Ω) 1.2.2 Không gian L∞ (Ω) 1.2.3 Không gian Sobolev 1.3 Một số bất đẳng thức 10 Chương Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi 14 2.1 Đặt toán 14 2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 17 2.3 Tính nghiệm suy rộng 17 2.4 Sự tồn nghiệm suy rộng 20 Chương Bài toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi 26 3.1 Đặt toán 26 3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 27 3.3 Tính nghiệm suy rộng 28 3.4 Sự tồn nghiệm suy rộng 31 v Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Mở đầu Lý chọn đề tài Như biết phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần vào kỉ thứ XVIII công trình nhà toán học Euler, Dalamber, Lagrange Laplace công cụ quan trọng để mô tả mô hình Vật lí Cơ học Chỉ đến kỉ thứ XIX đặc biệt công trình nghiên cứu Riemann, phương trình đạo hàm riêng trở thành công cụ mạnh dùng lĩnh vực toán học khác Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng biết vấn đề liên quan đến phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt Đó phương trình đơn giản đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng phương trình loại Eliptic, Hypebolic, Parabolic Khi nghiên cứu ta thấy rằng, điều kiện tồn nghiệm theo nghĩa thông thường đòi hỏi nhiều yếu tố khắt khe tính trơn đến cấp phương trình, điều gây khó khăn xét toán phương trình miền toán phương trình tổng quát Để khắc phục điều này, thay tìm nghiệm cổ điển, người ta tìm nghiệm suy rộng, tức nghiệm “thô” lúc đầu nghiệm “khá gần” với nghiệm hầu khắp nơi nghiệm cổ điển gọi chung nghiệm thông thường Sau nhờ công cụ giải tích hàm, ta làm cho nghiệm suy rộng gần đến nghiệm thông thường Chính vậy, phương trình đạo hàm riêng vấn đề mẻ bí ẩn kích thích khám phá người yêu thích Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng, người yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung thân tác giả nói riêng hiểu sâu môn học, giúp đỡ GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng chọn nghiên cứu đề tài : “Bài toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn nghiên cứu tính giải toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi Kết nhận định lý tồn nghiệm không gian Sobolev toán miền chứa điểm lùi Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: Nghiên cứu kiến thức sở không gian hàm, không gian Sobolev, bất đẳng thức bản, tài liệu liên quan Từ áp dụng vào nghiên cứu tính giải toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn nghiên cứu không gian Sobolev, nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải toán biên điều kiện ban đầu phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng luận văn phương pháp xấp xỉ Galerkin Tổng hợp kết tài liệu liên quan Đóng góp đề tài Nhận định lí tồn nghiệm tổng kết xét trường hợp đặc biệt toán giải Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các kí hiệu Rn không gian Euclide n− chiều, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Giả sử Ω miền bị chặn Rn , n ≥ S = ∂Ω biên Ω = Ω ∪ ∂Ω Cho a < b, kí hiệu Ωba = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b)} trụ Rn+1 mặt xung quanh Sab = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} +∞ Nếu (a, b) = R ta viết ΩR = Ω+∞ −∞ SR = S−∞ Nếu (a, b) = (h, ∞) ∞ ∞ ta viết Ω∞ h Sh , Ωh = Ω×(h, ∞) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (h, ∞)} Sh∞ = ∂Ω × (h, ∞) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (h, ∞)} Giả sử u hàm véc tơ phức với thành phần u1 , , un Ta kí hiệu u = (u1 , , un ) Dα = ∂ |α| /∂xα1 ∂xαnn đạo hàm suy rộng cấp α theo biến x = (x1 , xn ); utk = ∂ k u/∂tk đạo hàm suy rộng cấp k theo biến t Ở α = (α1 , , αn ) kí hiệu đa số với αi số nguyên không âm, |α| = α1 + + αn Giá hàm bao đóng tập hợp tất điểm mà hàm khác không kí hiệu supp Kí hiệu C k (Ω) tập hợp tất hàm có đạo hàm liên tục đến cấp o o o k miền Ω, ≤ k ≤ ∞, C (Ω) = C (Ω) C k (Ω) = C (Ω) ∩ C k (Ω), Cộng (2.17) với liên hợp phức ta có n ∂uN ∂uN t aij dxdt − 2Re ∂xj ∂xi Ωτh −2Re i,j=1 uN dxdt = 2Re t Ωτh Ωτh f uN t dxdt suy τ B uN , uN (t) dt − 2Re t − 2Re h Ωτh uN dxdt = 2Re t Ωτh f uτt dxdt (2.18) Vì aij = aji τ τ N 2Re B u , uN t N N (t) dt = B u , u N N (τ )−B u , u Bt uN , uN (t) dt (h)− h h Ta có τ N N − B u ,u N N (τ ) − B u , u Bt uN , uN (t) dt −2Re (h) − Ωτh h = 2Re Ωτh uN dxdt t f uN t dxdt Từ cách xác định uN theo cách xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ, suy ra: B uN , uN (h) = ⇒ 2Re Ωτh uN dxdt + B uN , uN (τ ) t n ∂aij (x, t) ∂uN ∂uN t − dxdt + 2Re ∂t ∂xj ∂xi Ωτh i,j=1 Ωτh f uN t dxdt = (2.19) Từ tính Eliptic B (·, ·) (t) ta có 2Re Ωτh uN dxdt + µ0 uN (., τ ) t W (Ω) n ≤ Ω i,j=0 N aij (x, t)uN xj uxi dx − 2Re 22 Ωτh f uN t dxdt (2.20) Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy (i) ta có n n − i,j=1 Ωτh ∂aij N N u u dxdt ≤ µ (n + 1) ∂t xj xi i,j=1 Ωτh uN xi dxdt τ uN (·, t) = µ (n + 1) h dt W (Ω) (2.21) Mặt khác 2Re ΩTh f uN t dxdt f (x, τ ) uN (x, τ ) dx + 2Re ≤2 ft uN dxdt Ω ≤ ε uN (x, τ ) τ + ε (2.22) Ωτh L2 (Ω) L2 (Ω) τ ft 2L2 (Ω) dt h f (x, τ ) ε + dt L2 (Ω) uN (x, τ ) +ε h (2.23) Áp dụng (2.21) − (2.23) vào (2.20) ta được: 2Re Ωτh uN dxdt + µ0 uN (·, τ ) t τ uN (·, t) ≤ µ (n + 1) h +ε uN (·, τ ) τ + ε ft (·, t) h L2 (Ω) + W (Ω) dt W (Ω) f (x, τ ) ε L2 (Ω) τ L2 (Ω) dt uN (·, t) +ε h dt L2 (Ω) Cho ε đủ bé ta N (µ − 2) u (·, τ ) + ε W (Ω) f (·, τ ) τ uN (·, t) ≤ (µ (n + 1) + ε) h L2 (Ω) τ + ft (·, t) h 23 L2 (Ω) dt , dt W (Ω) suy W (Ω) uN (·, τ ) + ε (µ0 − ε) (n + 1) µ0 + ε µ0 − ε ≤ f (·, τ ) L2 (Ω) τ uN (·, t) h τ + ft (·, t) h dt L2 (Ω) L2 (Ω) dt Sử dụng Bất đẳng thức Gronwall - Bellman, đặt 2α = (2.24) (n+1)µ0 +ε µ0 −ε , từ (2.23) ta uN (·, τ ) L2 (Ω) τ e2α(τ −t) ≤ 2α L2 (Ω) f (·, τ ) h + ε (µ0 − ε) f (·, τ ) L2 (Ω) τ + fs (·, s) h τ + ft (·, t) h L2 (Ω) dt L2 (Ω) ds dt (2.25) Nhân vế bất đẳng thức với e−2γτ tích phân theo τ từ h đến ∞ , ta uN W 1,0 (−γ,Ω∞ ) h + ε (µ0 − ε) h τ L2 (Ω) dtdτ e2α(τ −t) f (·, t) L2 (Ω) dtdτ e h h T h h τ −2γτ h t 2α(τ −t) e e h L2 (Ω) dτ ft (·, τ ) −2γτ e−2γτ ∞ + 2α e−2γτ f (·, τ ) ∞ ∞ +2α ∞ ≤ ε (µ0 − ε) fs (·, s) h L2 (Ω) dsdtdτ (2.26) Ta kí hiệu I, II, III, IV tương ứng với biểu thức tích phân thứ nhất, thứ 2, thứ thứ vế bên phải (2.25) Ta đánh giá biểu thức tích phân Trước hết I= f ε (µ0 − ε) 24 L2 (e−γt ,Ω∞ h ) Và ∞ II = ft (·, τ ) 2L2 (Ω) ε (µ0 − ε) h = ft 2L2 (e−γt ,Ω∞ h ) 2γε (µ0 − ε) Vì inf 0 thỏa mãn 2α = (n + 1) µ + ε < 2γ µ0 − ε Số hạng III ước lượng ∞ e−2γt f (·, t) III = 2α h τ L2 (Ω) e2(α−γ)τ dtdτ = t α f γ−α L2 (e−γt ,Ω∞ h ) Cuối cùng, số hạng IV ước lượng ∞ fs (·, ·s) IV = 2α h = α ft 2γ (γ − α) L2 (Ω) τ t 2αt e2(α−γ)τ dsdtdτ e h h L2 (e−γt ,Ω∞ h ) Kết hợp ước lượng (2.25) ta nhận uN W 1,0 (e−γt ,Ω∞ h ) ≤C f L2 (e−γt ,Ω∞ h ) + ft L2 (e−γt ,Ω∞ h ) (2.27) Trong C không đổi độc lập với h, N Từ bất đẳng thức trên, ta trích dãy dãy uN ∞ N =1 hội tụ yếu tới u ∈ W 1,0 (e−γt , Ω∞ h ) u (x, h) = Từ dễ dàng chứng minh u nghiệm suy rộng toán (2.1) − (2.3) Hơn nữa, u W 1,0 (e−γt ,Ω∞ h ) ≤C f L2 (e−γt ,Ω∞ h ) Định lý chứng minh 25 + ft L2 (e−γt ,Ω∞ h ) Chương Bài toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi 3.1 Đặt toán Trong chương luận văn trình bày tính tồn nghiệm suy rộng toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi Không tính tổng quát, luận văn xét Ω miền bị chặn Rn (n 2) với ∂Ω \ {0} trơn điểm lùi ∂Ω Ta giả sử Ω miền bị chặn Rn , n ≥ với biên S = ∂Ω Cho ≤ a < b, đặt Ωba = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b)}, Sab = ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} +∞ Nếu (a, b) = R ta viết ΩR = Ω+∞ −∞ , SR = S−∞ Ω∞ h hình trụ Ω × (h, ∞) Kí hiệu Ωbh = Ω × (h, b) = {(u, t) | x ∈ Ω, t ∈ (h, b)} Ta đưa vào không gian hàm: W 1,0 (e−γt , ΩR ), L2 (e−γt , ΩR ) giới thiệu Chương I 26 Xét toán tử vi phân cấp hai sau: n L (x, t, ∂) = ∂ ∂xi i,j=1 aij (x, t) ∂ ∂xj , aij = aij (x, t) hàm phức khả vi vô hạn ΩR , aij = aji (i, j = 1, , n) Hơn nữa, giả sử aij liên tục với x ∈ Ω theo biến t ∈ R Đặt n aij uxj vxi dx, t ∈ R B (u, v) (t) = Ω i,j=1 Trong B (·, ·) (t) thỏa mãn điều kiện Eliptic đều, tức ∃µ0 > cho ta có B (u, u) (t) ≥ µ0 u (·, t) W (Ω) với hầu khắp t ∈ R Bây xét toán sau trụ ΩR Lu − ut = f (x, t) ΩR (3.1) n ∂u ∂u = aij cos (ν, xi ) = SR ∂N ∂x j i,j=1 (3.2) Bài toán (3.1) − (3.2) gọi toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi 3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng Định nghĩa Cho f ∈ L2 (e−γt , ΩR ) Một hàm u (x, t) ∈ W 1,0 (e−γt , ΩR ) gọi nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) T − B (u, η) dt + −∞ uηt dxdt = ΩT−∞ 27 f ηdxdt ΩT−∞ với hàm thử η = η (x, t) ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) cho η (x, t) = , ∀t ≥ T 3.3 Tính nghiệm suy rộng Định lí sau cho ta kết tính nghiệm suy rộng cho toán (3.1) − (3.2) Định lý 3.3.1 Giả sử cho γ > ∂aij ∂t < µ1 e2γt , ∀t ∈ R, ≤ i, j ≤ n Khi toán (3.1) − (3.2) có không nghiệm suy rộng W 1,0 (e−γt , ΩR ) Chứng minh Giả sử u1 (x, t) u2 (x, t) hai nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) Giả sử u (x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) Ta có u ∈ W 1,0 (e−γt , ΩR ) u (x, h) = Cho T > 0, b ≤ T , xét hàm   t u (x, τ ) dτ, −∞ ≤ t ≤ b b η (x, t) =  0, b ≤ t ≤ T Thì η (x, t) ∈ W 1,1 e−γt , ΩT−∞ , η (x, T ) = ηt (x, t) = u (x, t) , −∞ ≤ t ≤ b Từ định nghĩa nghiệm suy rộng ta có n aij (x, t) Ωb−∞ i,j=1 ∂ηt ∂η dxdt + ∂xj ∂xi 28 |ηt |2 dxdt = Ωb−∞ (3.3) Cộng (3.3) với liên hợp phức ta đuợc n 2Re aij (x, t) Ωb−∞ i,j=1 ∂ηt ∂η dxdt + ∂xj ∂xi b ⇒ 2Re |ηt |2 dxdt = Ωb−∞ |ηt |2 dxdt = B (ηt , η) (t) dt + (3.4) Ωb−∞ −∞ Mặt khác b b B (ηt , η) (t) dt = − lim B (η, η) (τ ) − 2Re τ →−∞ −∞ Bt (η, η) (t) dt −∞ n ∂aij uxj vxi dx Ω i,j=1 ∂t Bt (η, η) (t) = Thay vào (3.4) ta b τ →−∞ |ηt |2 dxdt = Bt (η, η) (t) dt − lim B (η, η) (τ ) + (3.5) Ωb−∞ −∞ Do tính Eliptic −B (., ) (t) nên lim (−B (η, η) (h)) ≥ µo lim h→−∞ ⇒ µo lim h→−∞ ⇒ µo lim h→−∞ η (., h) η (., h) h→−∞ η (., h) b W (Ω) − W (Ω) +2 Ωb−∞ −∞ h→−∞ η (., h) |ηt |2 dxdt ≤ Bt (η, η) (t) dt + Ωb−∞ |ηt |2 dxdt ≤ n ⇒ µo lim W (Ω) W (Ω) ≤ i,j=1 Ωb−∞ b −∞ Bt (η, η) (t) dt ∂aij ηx ηx dxdt ∂t j i Sử dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết ∀1 29 i, j ≤ n : (3.6) ∂aij ∂t < µ1 e2γt , ∀t ∈ R ta có n ∂aij ηxj ηxi dxdt Ωb−∞ i,j=1 ∂t n ηxj ηxi e2γt dxdt ≤ µ1 ≤ Ωb−∞ i,j=1 n µ1 2 ηxj e2γt + |ηxi |2 e2γt dxdt Ωb−∞ i,j=1 b ≤ µ1 (n + 1) 2γt W (Ω) e dt η (., t) −∞ Suy lim h→−∞ W (Ω) η (., h) b ≤ µ1 (n + 1) 2γt W (Ω) e dt η (., t) −∞ (3.7) Kí hiệu h Dk u (x, τ ) dτ, vk (x, t) = −∞ ≤ t ≤ b t Khi t k Dk u (x, τ ) dτ D η (x, t) = b = vk (x, b) − vk (x, t) ; lim ηxi (x, h) = vk (x, b) h→−∞ lim h→−∞ ⇒ |k|=0 η (., h) W (Ω) |vk (x, b)|2 dx = |k|=0 Ω |vk (x, b)|2 dx ≤ µ1 (n + 1) Ω ≤ 2µ1 (n + 1) |k|=0 b −∞ η (., t) 2γt W (Ω) e dt e2γt |vk (x, b)|2 + |vk (x, t)|2 dxdt Ωb−∞ ≤ 2µ1 (n + 1) vk (., b) L2 (Ω) +2µ1 (n |k|=0 30 b + 1) e −∞ 2γt vk (., t) |p|=0 L2 (Ω) dt Lấy b ≤ T cho µo − 2µ1 (n + 1) e2γb > suy 2γb µo − 2µ1 (n + 1) e vk (., b) L2 (Ω) |k|=0 b ≤ 2µ1 (n + 1) e 2γt −∞ Đặt : J (t) = |k|=0 vk (., t) vk (., t) L2 (Ω) dt (3.8) |k|=0 L2 (Ω) b e2γt J (t) dt ⇒ J (b) ≤ C −∞ Sử dụng bất đẳng thức Gronwall-Belman ta có J (t) ≡ ⇒ u ≡ hầu khắp nơi với t ≤ −∞, 1 2γ ln C , 1 ln 2γ C kết hợp với tính nghiệm suy rộng toán có điều kiện ban đầu thứ hai xét Chương ta suy : u1 (x, t) ≡ u2 (x, t) hầu khắp t ∈ R Định lý chứng minh 3.4 Sự tồn nghiệm suy rộng Nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) đánh giá xấp xỉ nghiệm suy rộng toán điều kiện ban đầu thứ hai (2.1)−(2.3) Giả sử tồn hàm χ (t) (1, ∞] , (−∞, 0] đạt giá trị [0, 1] [0, 1] Hơn ta giả sử tất đạo hàm χ (t) bị chặn 31 Cho h ∈ (−∞, 0] Đặt f h (x, t) = χ (t − h) f (x, t) cho  f (x, t) , t ≥ h + h f (x, t) =  , t h Hơn f, ft ∈ L2 (e−γt , ΩR ), f h , fth ∈ L2 (e−γt , ΩR ) L2 (e−γt ,ΩR ) fh fth L2 (e−γt ,ΩR ) ≤C ft ≤ f L2 (e−γt ,ΩR ) L2 (e−γt ,ΩR ) , + f (3.9) L2 (e−γt ,ΩR ) , (3.10) số C không phụ thuộc vào f, h Xét nghiệm suy rộng uh uk toán (2.1) − (2.3) trụ ∞ h k Ω∞ h Ωk với f (x, t) thay f (x, t) f (x, t) tương ứng với h > k, h ta coi uh ∈ W 1,0 (e−γt , Ω∞ k ) với u (x, t) = 0, ∀k ≤ t ≤ h Xác định ukh (x, t) = uk (x, t) − uh (x, t) ukh (x, t) nghiệm suy rộng toán (2.1) − (2.3) trụ Ω∞ k với f (x, t) thay f kh (x, t) = f k (x, t) − f h (x, t) Theo (2.27) ta có ukh W 1,0 (e−γt ,Ω R) = ukh W 1,0 (e−γt ,Ω∞ k ) f h − f k L2 (e−γt ,Ω∞ ) k ≤C + fth − ftk L2 (e−γt ,Ω∞ k ) Bởi fh − fk L2 (e−γt ,ΩR ) = fh − fk h+1 = k h+1 = k h+1 ≤ k L2 (e−γt ,Ω∞ k ) e−2γt f h − f k dt L2 (Ω) e−2γt |χ (t − h) − χ (t − k)| f e−2γt f L2 (Ω) dt 32 L2 (Ω) dt Ta có f ∈ L2 (e−γt , ΩR ) , lim h+1 e−2γt f k Do đó, lim fth − ftk L2 (Ω) L2 (Ω) dt = 0, h, k → −∞ = h, k → −∞ Tiếp tục sử dụng lí luận ta suy lim fth − ftk Sau lấy uh ∞ h=0 L2 (e−γt ,ΩR ) = h, k → −∞ dãy Cauchy uh hội tụ tới u ∈ W 1,0 (e−γt , ΩR ) Tức : uh ∈ W 1,0 (e−γt , ΩR ) thỏa mãn đẳng thức tích phân T B t, uh , η dt + − (3.11) ΩTh ΩTh h f h ηt dxdt uh ηt dxdt = với T > 0, η ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) , η (x, t) = 0, t ≥ T Do uh (x, t) = 0, f h (x, h) = 0, ∀t ≤ h nên từ (3.11) ta có T B(t, uh , η)dt + − uh η¯t dxdt = ΩT−∞ −∞ f ηt dxdt (3.12) ΩT−∞ với T > 0, η ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ), η (x, t) = 0, t ≥ T Cho f ∈ L2 (−γt, ΩR ) h → −∞ Từ (3.12) ta thu T − uh η¯t dxdt = B(t, u, η)dt + −∞ ΩT−∞ f ηt dxdt (3.13) ΩT−∞ với T > 0, η ∈ W 1,1 (e−γt , ΩR ) , η (x, t) = 0, t ≥ T, tức u (x, t) nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) Từ ta có kết sau : Định lý 3.4.1 Giả sử cho γ > γ0 = (n+1)µ 2µ0 (i) f, ft ∈ L2 (−γ, ΩR ) (ii) ∂aij ∂t (iii) sup ≤ µ1 e2γt , ∀ (x, t) ∈ ΩR , ∂aij ∂t : (x, t) ∈ ΩR , i, j ≤ n, µ1 = const > i, j ≤ n = µ < ∞ 33 Khi tồn hàm u (x, t) ∈ W 1,0 (e−γt , ΩR ) nghiệm suy rộng toán (3.1) − (3.2) thỏa mãn: u W 1,0 (e−γt,ΩR ) ≤C ft L2 (e−γt ,ΩR ) 34 + f L2 (e−γt ,ΩR ) Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn nghiên cứu tính giải toán biên điều kiện ban đầu thứ hai phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi Những kết đạt trình nghiên cứu là: Đưa định nghĩa nghiệm suy rộng toán Chứng minh tính nghiệm suy rộng Chứng minh tồn nghiệm suy rộng Đặc biệt, việc đưa nghiệm suy rộng, chứng minh tính nhất, tồn toán miền chứa điểm lùi kết Một số vấn đề mở đặt sau kết đạt luận văn: Tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian Dáng điệu nghiệm suy rộng Do khả thời gian nghiên cứu có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 35 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2010), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2006),Phương trình đạo hàm riêng (phần II), NXB Đại học Sư phạm [3] Nguyễn Mạnh Hùng- Phạm Triều Dương (2006),Bài toán biên thứ hệ Parabolic hình trụ với biên không trơn, NXB Đại học Sư phạm [4] Nguyen Manh Hung and Nguyen Thanh Anh (2008).The CauchyNeumann problem for parabolic equations in domains with conical points Taiwanese journal of mathematics Vol 12, No 7, pp 1849-1864 (SCI, ISSN: 1027-5487)) [5] Nguyen Manh Hung and Le Thi Duyen (2011) On the solvability of the boundary problem for second-order parabolic equations without an initial condition in cylinders with non-smooth base Journal of science of HNUE,Sci.,2011,Vol.56,No.7,pp.18-22 [6] Nguyen Manh Hung and Vu Trong Luong (2008) Unique solvability of initial boundary-value problems for hyperbolic systems in cylinders whose base is a cusp domain Electronic Journal of Differential Equations Vol 2008, No138, pp 1–10 ((SCIE, ISSN: 1072-6691): RM2448893) 36