BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THU PHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ (K, u0)- LÕM CHÍNH QUY COMPACT TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VỚI HAI NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy HÀ NỘI, 2013 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy, người quan tâm động viên tận tình hướng dẫn trình thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau đại học, thầy giáo, cô giáo Trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè giúp đỡ động viên kịp thời để hoàn thành luận văn Xuân hòa, ngày 22 tháng năm 2013 Tác giả Nguyễn Thu Phương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Xuân Hòa, ngày 22 tháng năm 2012 Học viên Nguyễn Thu Phương Mục lục Mở đầu Chương Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1 Không gian định chuẩn thực 1.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.2.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự 1.2.2 Một số nón đặc biệt mối quan hệ chúng 1.3 Không gian Eu0 10 13 1.3.1 Phần tử u0 -đo không gian Eu0 13 1.3.2 Một số định lí nón 18 1.4 Hai phần tử thông ước tập K (u0 ) 24 1.5 Một số không gian Banach thực nửa thứ tự 24 1.5.1 Không gian c 24 1.5.2 Không gian L2 [a, b] 35 Chương Toán tử (K, u0 )-lõm quy compact không gian Banach thực nửa thứ tự 48 2.1 Các định nghĩa 48 2.2 Một số tính chất đơn giản toán tử (K, u0 )-lõm quy compact 49 2.3 Toán tử (K, u0 )-lõm quy, (K, u0 )-lõm quy compact không gian c, L2 [a, b] 55 2.3.1 Toán tử (K, u0 )-lõm quy không gian L2 [a, b] 55 2.3.2 Toán tử (K, u0 ) -lõm quy compact không gian c 57 Chương Sự tồn điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy compact không gian Banach thực nửa thứ tự 63 3.1 Một số định lí 63 3.2 Áp dụng 67 3.2.1 Áp dụng định lí 3.1 67 3.2.2 Áp dụng định lí 3.2 69 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 Mở đầu Lí chọn đề tài Nhà toán học Nga tiếng M.A.Kraxnoxelxki nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định (1956), sau mở rộng cho toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định, nón tập nón lại (1962) GS-TSKH I.A.Bakhtin nghiên cứu toán tử (K, u0 )-lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định (1975), mở rộng cho toán tử (K, u0 )-lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định giao khác rỗng (1984) Các lớp toán tử mà GS Kraxnoxelxki Bakhtin nghiên cứu có chung tính chất u0 -đo Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng kết lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến tác dụng không gian Banach thực với nón cố định: Toán tử lõm quy, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 -đo Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử phi tuyến này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình Thầy giáo, PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy chọn nghiên cứu đề tài:"Điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy compact không gian định chuẩn với hai nón” Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy compact tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định giao khác rỗng, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 -đo Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu không gian Banach thực nửa thứ tự • Tìm hiểu toán tử (K, u0 )-lõm quy compact • Tìm hiểu điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy compact không gian định chuẩn với hai nón Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử (K, u0 )-lõm quy compact, điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy compact không gian định chuẩn với hai nón Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy compact không gian định chuẩn với hai nón Phương pháp nghiên cứu • Thu thập tài liệu báo điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy compact không gian định chuẩn với hai nón • Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất • Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Những đóng góp đề tài Trình bày cách hệ thống kiến thức có liên quan đến "Điểm bất động toán tử (K, u0 )-lõm quy compact không gian định chuẩn với hai nón" Vận dụng lý thuyết chung vào không gian Banach thực c, L2 [a, b] Chương Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1 Không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.1 Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không gian tuyến tính định chuẩn thực) không gian tuyến tính X trường số thực R với ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu (đọc chuẩn) thỏa mãn điều kiện sau đây: C1 ) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = ⇔ x = θ(Phần tử không không gian X); C2 ) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) αx = |α| x ; C3 ) (∀x, y ∈ X) x + y x + y ; Số x gọi chuẩn véctơ x Ta ký hiệu không gian định chuẩn tương ứng X Các tiên đề C1 , C2, , C3 gọi hệ tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (xn )∞ n=1 không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, nếu: lim xn − x = n→∞ Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn )∞ n=1 không gian định chuẩn X gọi dãy bản, nếu: lim m,n→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ 1.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.2.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.5 Cho không gian Banach thực E Tập tập khác rỗng K ⊂ E gọi nón, K thỏa mãn điều kiện sau đây: N1 ) K tập đóng không gian E; N2 ) ∀x ∈ K, ∀y ∈ K ⇒ x + y ∈ K; N3 ) ∀x ∈ K, ∀t ≥ ⇒ tx ∈ K; N4 ) ∀x ∈ K, x = θ ⇒ −x ∈ / K; Định nghĩa 1.6 Giả sử E không gian Banach thực, K nón không gian E.Ta đưa quan hệ thứ tự vào không gian E sau: Với x, y ∈ E, ta viết x ≤ y, y-x ∈ K Khi quan hệ "≤" quan hệ thứ tự E Thật vậy: +) (∀x∈E) x≤x, x-x = θ ∈ K ⇒Quan hệ "≤" có tính chất phản xạ +) (∀x,y,z∈E: x≤y, y≤z) ⇒y-x ∈ K, z-y ∈ K Ta có: z − x = (z − y) + (y − x) ∈ K ⇒ x≤z 58 • Ta chứng minh A toán tử (K, u0 )-lõm quy Thật vậy: * Ta có: |x2 | , xn 0, n 3, n ∈ N∗ ; x n Ta có: Với n ∈ I1 ⇒ < 89 ⇒ zn = − 8 Với n ∈ I2 ⇒ Axn = zn = +) (∀x ∈ K0 ) x1 Do vậy, (zn )∞ n=1 thỏa mãn điều kiện z1 xn > 0; |z2 | zn 0, n ⇒ Ax ∈ K0 ⇒ AK0 ⊂ K0 ⇒ A toán tử dương nón K0 +) ∀x, y ∈ K0 x1 y1 cho x |x2 | ; xn |y2 | ; yn 0, n = 3, 4, 5, ; 0, n = 3, 4, 5, ; y nên y − x ∈ K ⇒ yn − xn ⇒ n = 1, 2, 3, - Với n ∈ I1 x y n n ⇒ , với n ∈ I1 8 x y n n − , với n ∈ I1 ⇒ − 8 8 - Với n ∈ I2 zn = Do đó, Ax Ay Vậy, A toán tử đơn điệu nón K0 , ∀t ∈ (0, 1) +) ∀x ∈ K0 \ {θ} , x = (xn )∞ n=1  tx  n   − với n ∈ I1 ∞ 8 Ta có Atx = (qn )n=1 với qn =    với n ∈ I2  x  n  t − với n ∈ I1 ∞ 8 tAx = (wn )n=1 với wn =    với n ∈ I2 xn yn , 59 +) Với n ∈ I2 ; qn = wn = +) Với n ∈ I1 -) Nếu xn = có − t txn = − 8 −1= , 8xn = t −1 = 1 t < (do t ∈ 8 (0, 1)) Vậy, qn > wn -) Nếu xn > ta xét hàm f (xn ) = − 8 txn − t+t = (1 − t) + t 8 x n Đặt g (xn ) = t − x n , g (xn ) = t ln − t 8 (do txn < xn ) 8 xn − xn txn txn với xn txn ln = t 8 xn − x n Nên g (xn ) đồng biến g (xn ) > g (0) hay t − 8 Do đó, f (xn ) > (1 − t) + t − = (1 − t) > 8 Suy ra, qn > wn , n ∈ I1 txn ln >0 txn > t − Vì vậy, Atx > tAx * ∀x, y ∈ K0 (u0 ) ∀t ∈ (0, 1) cho x − ty > θ tìm δ = δ (x, y, t, u0 ) > cho Ax − tAy δu0 +) Ta có x, y ∈ K0 (u0 ) ◦ xn = với n ∈ I2 , xn > với n ∈ I1 ; yn = với n ∈ I2 , yn > với n ∈ I1 ◦ ∃a, b, c, d ∈ R∗+ cho    au0 x bu0   cu0 y du0 60 ⇔    aun xn bun (n = 1, 2, 3, )   cun yn dun (n = 1, 2, 3, ) +) Trước hết ta tìm số t thỏa mãn điều kiện x − ty > θ Do x, y ∈ K0 (u0 ) nên x thông ước với y, tồn e = e (x) > 0, h = h (x) > cho: ey x hy ⇒ eyn xn hyn Với n ∈ I2 có un = xn = yn = ⇒ xn = tyn , ∀t ∈ (0, 1) Với n ∈ I1 có un > 0, xn > 0, yn > Khi đó:   xn − tyn x − ty > θ ⇔   (∃n0 ∈ I1 ) : xn0 − tyn0 > xn ⇒ < t < yn Suy ra, với t > t < 1; xynn = λ tồn xn − tyn > 0, n ∈ I1 n∈I1 nên x − ty > θ Với t ∈ (0, λ)thì x − ty > θ ta xét biểu thức Ax − tAy sau: x y  n n   − − t+t với n ∈ I1 8 Ax − tAy =    với n ∈ I2 -) Với n ∈ I1 , x n − − ta có t+t 8 yn (1 − t) + − 8 (1 − t) + t − = (1 − t) 8 tyn +t un (1 − t) max un n∈I1 -) Với n ∈ I2 Axn − tAyn = 0, un = ⇒ Axn − tAyn ∀δ > Do đó, chọn δ = 81 (1 − t) · max un n∈I1 yn > Ax − tAy δu0 δun với 61 Vậy A toán tử (K, u0 )-lõm quy • Ta chứng minh A toán tử compact ∞ (k) Lấy dãy x(k) = xn ∈ K bị chặn theo chuẩn nghĩa n=1 (k) (∃α > 0) (∀k ∈ N∗ ) x(k) = sup xn α n (k) ⇒ (∀k, n ∈ N∗ ) xn α Ta có I1 = {1, 3, 4, , p0 } I2 = N∗ \I1 Theo định nghĩa toán tử A ta kí hiệu ta kí hiệu Ax(k) = z (k) , k = 1, 2, (k) z (k) = zn (2.4) ∞ n=1  x  n   − với n ∈ I1 8 zn =    với n ∈ I2 Từ (2.4) (2.5) (k) (k) zn = − 8 xn − 8 α = M - Với n ∈ I1 (k) Dãy z1 (k,1) chứa dãy z1 (k,1) chứa dãy z3 (k,3) chứa dãy z4 Dãy z3 Dãy z4 (0) hội tụ tới z1 (k,3) hội tụ tới z3 (0) (k,4) hội tụ tới z4 (0) (k,p −1) (0) Dãy zp0 chứa dãy zp(k,p0 ) hội tụ tới zp0 Với n ∈ I2 ta có (k) zn (k) = ⇒ lim zn = k→∞ (2.5) 62 Đặt z (0) = (0) zn ∞ n=1 (k,1) (∀ε > 0) (∃v1 ∈ N∗ ) (∀ (k, 1) > v1 ) z1 (0) − z1 0) (∃v0 ∈ N∗ ) (∀ (k, p0 ) > v0 ) zp(k,p 0 Đặt v = max {v1 , v2 , , v0 } (k,p0 ) ((∀k, j) v, j = 1, 3, , p0 ) zj ⇒ sup zj j p0 (k,p0 ) (0) − zj (0) − zj 0) xn = Axn−1 M u0 Do A toán tử compact, nên dãy xn = Axn−1 (n = 1, 2, ) chứa dãy (xnk ) hội tụ tới x∗ không gian E Dễ dàng thấy x∗ = sup (xn ) ∈ K0 (u0 ) Ta chứng minh Ax∗ = x∗ x∗ (n = 1, 2, ) Hiển nhiên, xn Mặt khác, xn (3.1) Ax∗ (n = 1, 2, ) xn−1 = Axn ⇒ x∗ Ax∗ (3.2) Vì xn , x∗ ∈ K0 (u0 ) (n = 1, 2, ), nên tồn α > 0, βn > cho x∗ αu0 , xn βn u0 ⇒ xn βn α−1 x∗ ⇒ xn − βn α−1 x∗ θ , βn α−1 > Ta thấy βn α−1 βn α−1 > βn > α xn βn α−1 x∗ > x∗ , mâu thuẫn với hệ thức (3.1) Theo bổ đề 2.1, tồn số lớn tn ∈ (0, 1] cho: xn − tx∗ θ (n = 1, 2, ) Ta lại có: xn+1 xn tn x∗ ⇒ tn+1 tn (n = 1, 2, ) ⇒ (tn )∞ n=1 không giảm bị chặn nên tồn lim tn = t t = Thật vậy: Giả sử số t < 1, Atx∗ > tAx∗ n→∞ ∗ tx Số 65 ∃δ > cho A2 tx∗ − tAx∗ ⇒ A2 tx∗ tAx∗ + δu0 ⇒ xn+2 = A2 xn δx∗ δu0 (t + δ) x∗ A2 tn x∗ = A2 tn t−1 tx∗ tn t−1 A2 tx∗ tn t−1 (t + δ) x∗ = tn + δt−1 x∗ (n = 1, 2, ) ⇒ tn+2 + δt−1 tn , Đặc biệt, t2k+1 (n = 1, 2, ) + δt−1 t2k−1 k + δt−1 t1 Do đó, t = lim tn = lim t2k+1 = +∞, mâu thuẫn với điều giả sử t < Vậy, lim tn = n→∞ Từ hệ thức tn Ax∗ Atn x∗ Axn = xn+1 x∗ (n = 1, 2, ) Cho n → ∞ ta Ax∗ x∗ (3.3) Kết hợp (3.2) (3.3) ta Ax∗ = x∗ Định lý 3.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: K0 nón chuẩn tắc; A toán tử (K, u0 )-lõm quy compact bị chặn phần tử u0 nón K0 ; Tồn y0 ∈ K0 (u0 ) cho Ay0 y0 ; Khi toán tử A có điểm bất động thuộc K0 (u0 ) Chứng minh Theo giả thiết, (∃β > 0) βu0 y0 Lập dãy yn = Ayn−1 Ta có: βu0 y0 Ay0 = y1 y2 yn = Ayn−1 u0 (n = 1, 2, ) 66 ⇒ (yn ) ⊂ K0 (u0 ) Đồng thời (∃L > 0) yn L (n = 1, 2, ) Vì A toán tử compact, nên dãy yn = Ayn−1 (n = 1, 2, ) chứa dãy (ynk ) hội tụ tới y ∗ ∈ K0 (u0 ) Hiển nhiên, y ∗ = inf (yn ) ⇒ yn yn yn+1 = Ayn y∗ λu0 , yn (3.4) Ay ∗ , (n = 1, 2, ) ⇒ y∗ Vì yn , y ∗ ∈ K0 (u0 ) y ∗ , (n = 1, 2, ) Ay ∗ (3.5) (n = 1, 2, ), nên ∃λ > 0, ∃γn > cho γn u0 (n = 1, 2, ) ⇒ γn λ−1 y ∗ − yn θ (n = 1, 2, ), γn λ−1 > Dễ dàng thấy γn λ−1 1,vì γn λ−1 < yn γn λ−1 y ∗ < y ∗ , mâu thuẫn (3.4) Xét ánh xạ l:R→K t → l (t) = ty ∗ − yn (n = 1, 2, ) l liên tục nhờ tính liên tục hai phép toán cộng hai phần tử nhân số với phần tử Do K tập đóng không gian E, nên l−1 (K) tập đóng không gian R Theo lập luận trên, l Suy ra, l−1 (K) = τn Mặt khác, τn y ∗ ∃ lim τn = τ yn yn+1 ⇒ τn+1 τn (n = 1, 2, ) Do đó, Giả sử, τ > Khi đó, Ay ∗ = A ∗ τ τy > τ1 Aτ y ∗ ⇒ Ay ∗ − τ1 Aτ y ∗ > θ Hiển nhiên, Ay ∗ Aτ y ∗ thuộc K0 (u0 ) 67 Nên ∃δ ∈ (0, β) cho A2 y ∗ − τ1 A2 τ y ∗ Nhưng, A2 y ∗ βu0 , nên chọn η = δ β−δ δu0 > ta β = δ(1+η) η η ∗ δ(1+η) A y u0 Suy ra, A2 y ∗ − τ1 A2 τ y ∗ ⇒ ∗ 1+η A y ⇒ A2 τ y ∗ ∗ τ A τy τ ∗ 1+η A y ⇒ yn+2 = A2 yn ⇒ τn+2 η ∗ 1+η A y τn 1+η τ ∗ 1+η Ay A2 τn yn = A2 τ ∗ 1+η y τn ∗ τ τy τn ∗ τ A τy τn ∗ 1+η y (n = 1, 2, ) τ2k−1 1+η Đặc biệt, τ2k+1 τ1 k (1+η) (k = 1, 2, ) Từ đó, τ = lim τn = lim τ2k+1 = 0, mâu thuẫn với điều giả sử τ > Vậy τ = lim τn = Ta lại có, y ∗ Aτn y ∗ yn+1 = Ayn τn Ay ∗ (n = 1, 2, ) Cho n → ∞ ta y∗ Ay ∗ (3.6) Kết hợp (3.5) (3.6) ta có Ay ∗ = y ∗ 3.2 Áp dụng 3.2.1 Áp dụng định lí 3.1 Xét nón K0 = {x = (xn )∞ n=1 ∈ c| x1 |x2 | , xn 0, n Ta chứng minh K0 nón chuẩn tắc Thật vậy, ∀e1 , e2 ∈ K, e1 = (xn )∞ n=1 , x1 cho e1 Ta có e2 = (yn )∞ n=1 , y1 = e2 = |x2 | , xn |y2 | , yn 0, n 0, n 3 3, n ∈ N∗ } 68 |x2 | + |y2 | x1 + y1 |xn + yn | |xn | |x2 + y2 | ∀n = Mặt khác: e1 + e2 = sup |xn + yn | = sup {|x1 + y1 | , |x2 + y2 | , , |xn + yn | , } n = sup {|x1 + y1 | , |x3 + y3 | , , |xn + yn | , } ⇒ e1 + e2 sup |xn | n=2 Do x1 |x2 | ⇒ |x1 | |x2 | ⇒ sup |xn | = sup |xn | n n=2 ⇒ e1 + e2 sup |xn | = e1 = = δ n Vậy, K0 nón chuẩn tắc Xét toán tử A:c→c ∞ x = (xn )∞ n=1 → Ax = (qn )n=1  x  n   − với n ∈ I1 8 qn =    với n ∈ I2 Theo mục 2.3.2.1, A toán tử (K, u0 ) -lõm quy compact +) K0 nón chuẩn tắc +) Ta có Axn = Chọn u0 = u0n Khi đó, Ax ∞ n=1 xn , n ∈ I1 Axn = 0, n ∈ I2    với n ∈ I1 với un =   với n ∈ I2 − u0 , u0 ∈ K0 Lúc đó, K0 (u0 ) = x = (xn )∞ n=1 ∈ c : xn >  với n ∈ I1 , xn = với n ∈ I2   với n ∈ I1 ∞ 0 +) Chọn x0 = xn n=1 với xn =   với n ∈ I2 69 ⇒ Ax0 = ∞ vn0 n=1 với vn0 = Vậy ∃x0 ∈ K0 (u0 ) để x0    với n ∈ I1   với n ∈ I2 Ax0 Theo định  lí 3.1 toán tử A có điểm bất động z0 = zn   với n ∈ I1 với zn =   với n ∈ I2 3.2.2 ∞ n=1 ∈ K0 (u0 ) Áp dụng định lí 3.2 Các giả thiết K0 , toán tử A mục 3.2.1 ta kiểm tra định lí 3.2 +) K0 nón chuẩn tắc +) Mặt khác, −1= Axn = − xn , ∀n ∈ I1 Với n ∈ I2 Axn = Chọn u0 = u0n Khi đó, u0 ∞ n=1    với n ∈ I1 với u0n =   với n ∈ I2 Ax, u0 ∈ K0 Lúc đó, K0 (u0 ) = x = (xn )∞ > với n ∈ I1 , xn = với n ∈ I2 n=1 ∈ c : xn    với n ∈ I1 ∞ 0 +) Chọn y0 = yn n=1 với yn =   với n ∈ I2    với n ∈ I1 ∞ 0 ⇒ Ay0 = ξn n=1 với ξn =   với n ∈ I2 Vậy ∃y0 ∈ K0 (u0 ) để Ay0 y0 Theo định  lí 3.2 toán tử A có điểm bất động z0 = zn   với n ∈ I1 với zn =   với n ∈ I2 ∞ n=1 ∈ K0 (u0 ) 70 Kết luận - Luận văn trình bày hệ thống kiến thức không gian Banach thực nửa thứ tự Giới thiệu số nón đặc biệt mối liên hệ chúng - Giới thiệu toán tử (K, u0 )-lõm, (K, u0 )-lõm quy compact không gian định chuẩn với hai nón.Một số tính chất đơn giản toán tử (K, u0 ) - lõm quy compact - Một số định lí tồn điểm bất động toán tử (K, u0 ) lõm quy compact - Vận dụng kết vào không gian Banach thực c, L2 [a, b] Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 71 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (1987), "Các véctơ riêng toán tử lõm quy", Tạp chí toán học, tập 15(số 2), (17-23) [4] Nguyễn Phụ Hy (1987), "Các điểm bất động toán tử lõm quy", Tạp chí toán học, tập 15(số 1), (27-32) [5] Nguyễn Phụ Hy (1991), "Một số định lý nón không gian định chuẩn", Thông tin khoa học trường ĐHSP Hà Nội 2, (số 2), (2-8) [6] Nguyễn Phụ Hy (1989), "Về lớp phương trình phi tuyến", Thông tin khoa học trường ĐHSP Hà Nội 2, (số 2), (23-30) [7] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội 72 [8] Trần Thị Thúy Vân (2009), Mối liên hệ toán tử lõm toán tử giả lõm, Luận văn thạc sĩ [9] Bakhtin M.A (1984),Các nghiệm dương phương trình phi tuyến với toán tử lõm, Vôrônegiơ, (tiếng Nga) [10] Kraxnôxelxki M.A (1956), Các phương pháp tôpô lý thuyết phương trình tích phân, Matxcơva, (tiếng Nga)