Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng Chuyên đề: Bất đẳng thức ứng dụng Biên soạn: Lê Việt Hưng – 9B Trường THCS Thị Trấn Hải Lăng (Quảng Trị) Nguyễn Phúc Tăng – 9A10 Trường THCS Kim Đồng (Đồng Tháp) I ) Khái niệm bất đẳng thức : 1.1 Số thực dương, số thực âm  Nếu a số thực dương, ta ký hiệu a   Nếu a số thực âm, ta ký hiệu a   Nếu a số thực dương a  , ta nói a số thực không âm, ký hiệu a   Nếu a số thực âm a  , ta nói a số thực khơng dương, ký hiệu a  Chú ý:  Với hai số thực a, b có ba khả sau xảy ra: a  b a  b a  b  Phủ định mệnh đề "a > 0" mệnh đề " a  "  Phủ định mệnh đề "a < 0" mệnh đề " a  " Tính chất quan trọng i) x  R : x  (đẳng thức xảy x  ) 2k ii) x  0, k  N , x  R (đẳng thức xảy x  ) iii) x12 k  x22 k   xn2 k  0, k  N , xi  R (đẳng thức xảy x1  x2   xn  ) 1.2 Định nghĩa Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a  b số dương, tức a  b  Khi ta ký hiệu b < a Ta có: a  b  a b   Nếu a  b a  b , ta viết a  b Ta có: a  b  a b  Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1.3 Định nghĩa Giả sử A, B hai biểu thức (bằng số chứa biến) Mệnh đề : " A lớn B ", ký hiệu A  B " A nhỏ B ", ký hiệu A  B " A lớn hay B " ký hiệu A  B " A nhỏ hay B " ký hiệu A  B gọi bất đẳng thức Quy ước :  Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức  Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 1.4 Các tính chất bất đẳng thức 1.4.1 Tính chất 1.4.2 Tính chất số) Hệ số) Hệ 1.4.3 Tính chất a  b ac  b  c a  b  a c  b c (Bắc cầu) (Cộng hai vế với a  b  a c  b c (Trừ hai vế với a c  b  a  b c a  b  a c  b d  c  d (Chuyển vế) (Cộng hai vế hai bđt chiều) ac  bc c > ac  bc c < 1.4.4 Tính chất a  b   (Nhân hai vế với số) Hệ Hệ a  b  a  b a b  c  c c > ab  a  b c <  c c số) (Đổi dấu hai vế) (Chia hai vế với Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a  b   ac  bd  c  d  1.4.5 Tính chất (Nhân hai vế hai bđt chiều) 1  a b (Nghịch đảo hai vế) 1.4.6 Tính chất a b 0 0 1.4.7 Tính chất a  b  0, n  N *  a n  b n (Nâng lũy thừa 1.4.8 Tính chất a  b  0, n  N *  (Khai bậc bậc n) n a nb n) Hệ Nếu a b hai số dương : a  b  a2  b2 (Bình phương hai vế) Nếu a b hai số không âm : (Bình phương hai vế) a  b  a2  b2 Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối Tính chất x  , x  x2 , x  x , -x  x Với a, b  R ta có :   a b  a  b  a  b  a  b  a.b   a  b  a  b  a.b  a b  a  b Bất đẳng thức tam giác Nếu a, b, c ba cạnh tam giác :  a > 0, b > 0, c >  b c  a  b c  c a  b  c a  a b  c  a b a b c  A B  C  II ) Một số Bất Đẳng Thức Phụ : TT Điều kiện Bất đẳng thức Điểm rơi Bất đẳng thức ứng dụng a, b  R a, b  R ab  a, b  R a, b, c  R a2  b2 a=b  a b ab      a, b  Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng ab  a=b ab a=b  a  b   a2  b2  a b a bc a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  abc  a  b  c  4   a, b, c  R a2  b2  c2   a  b  c a bc a, b, c  R a  b  c   ab  bc  ca  a bc a, b  R a, b   a b   a  b  1a  1b     1   a b ab a, b, c   a bc   a  b  c  1a  1b  1c     1    a b c abc 10 a, b   a  b 11 a, b, c  R  ax  by  cz  , x, y , z  R a, b, c, x, y, z, m, n, p > (a + b)   a  b2  c2  x2  y  z  a b c   x y z (Hệ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) x, y , z  R a, b, c  R , a b  1   8 a b  1 + 2³ a b 12 14 a  b ab  1 + ³ 2 1+ a 1+ b 1+ ab ab  13 x2 y z  x  y  z     a b c a bc (Hệ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức) a b c   x y z a  b3  c3  x3  y3  z  m3  n3  p3    axm  byn  czp  (Hệ bất đẳng thức Holder) * Các bất đẳng thức quan trọng mở rộng : Các dãy tương ứng tỉ lệ Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng  Bất đẳng thức AM - GM _ Nếu a1 , a2 , , an số thực khơng âm a1  a2   an n  a1a2 an n Đẳng thức xảy a1  a2   an Bất đẳng thức AM - GM suy rộng Cho số dương w1 , w2 , , wn thoả mãn w1  w2   wn   Nếu a1 , a2 , , an số thực khơng âm w1a1  w2 a2   wn an  a1w1 a2w2 anwn Đẳng thức xảy a1  a2   an Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:   a1b1  a2b2   anbn    a12  a22   an2  b12  b22   bn2  Đẳng thức xảy a a1 a2    n b1 b2 bn Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  a  a  a   an  a12 a2    n  b1 b2 bn b1  b2   bn Đẳng thức xảy a a1 a2    n b1 b2 bn Bất đẳng thức Holder Với m dãy số dương  a1,1 , a1,2 , a1,n  ,  a2,1 , a2,2 , , a2,n   am,1 , am,2 , , am,n  ta có:  m m   n   n m a  a   i , j     i , j   i 1  j 1   j 1 i 1  Đẳng thức xảy m dãy tương ứng tỉ lệ +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz hệ bất đẳng thức Holder m =  Bất đẳng thức Minkowski Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có: m a12  b12  a22  b22   an2  bn2   a1  a2   an    b1  b2   bn  2 Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng Cho hai dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Ta có:  Bất đẳng thức ứng dụng n Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng a1a2 an  n b1b2 bn  n  a1  b1  a2  b2   an  bn  Dấu ‘‘=’’ bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz  Bất đẳng thức Vonicur Schur _ Cho số thực không âm a, b, c Nếu r  0, ar  a  b  a  c   br  b  c  b  a   c r  c  a  c  b   Đẳng thức xảy a = b = c, a = 0, b = c hốn vị Với bất đẳng thức ta có hệ sau:  Trong trường hợp r = 1, ta có dạng tương đương sau: 3 a a  b  c  3abc  ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a ) 3 3 b 4(a  b  c )  15abc  (a  b  c) 2 c a  b  c  d  Trong a 9abc  2(ab  bc  ca ) a b c a b c 4abc    2 b  c c  a a  b (a  b)(b  c )(c  a ) trường hợp r = 2, ta có dạng tương đương: a  abc(a  b  c)  ab(a  b2 ) 2 b 6abc(a  b  c)  (2ab  a )( a  ab) Bất đẳng thức Bernolli _ Với số nguyên r  x > -1  1  x  r   rx III ) Một số kỹ thuật bất đẳng thức : 1)Kỹ thuật chọn điểm rơi: Ví Dụ 1:Cho x  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x  x Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thứ AM-GM dạng a  b  ab ta có: A x  1  x  x x , x x=1, nhiên x=1 lại không nằm khoảng giá trị x  mà tốn quy định Vì với lời giải ta tìm sai điểm rơi cho toán Giải: Để đảm bảo đc dấu “=” xảy ta có lời giải sau: Ta thấy lời giải sai đánh giá , dấu xảy x  Bất đẳng thức ứng dụng A  Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 8x  x  8.3 x 24 10    2    9 x  9 x 3 Ra thêm: Ví Dụ 2:Cho x  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  3x  2x Ví Dụ 3:Cho x>2 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: C  4x   x 4 Ví Dụ 4:Cho a,b >0 a+2b = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: D  ab2 Ví Dụ 5:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: a b  b c  c a  2) Kỹ thuật đổi biến : Ví Dụ 1: Cho x,y,z > , xyz=1 Chứng minh : x y  y z  z x  (Lê Việt Hưng) Lời giải : Từ xyz=1 ta đặt :    x  a b c ; y  ;c  b c a b c a    a c a b b c a c b a c b     b b c c a a Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: x=y=z=1 Ví Dụ 2:Cho a,b,c số thực Chứng minh rằng: (Bất đẳng thức Nesbit) a b c a  b2  c  bc ca ab        3 3 a b c  (NguyenDungTN) bc ca ab  x;  y; z b c Lời giải :Từ ta đặt: a Từ ta cần chứng minh: xy  yz  zx x  y  z  3 Bất đẳng thức ứng dụng    Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng xy  yz  zx  x  y  z  ( Đây dạng bất đẳng thức phụ quen thuộc) Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho x,y,z > , abc=1 Chứng minh :   a b 1    b c 1    c a 1  (Sưu tầm) a Lời giải : Từ abc=1 ta đặt  x y z ;b  ; c  y z x , : 1 yz zx xy       x y y z z x xy  zx yz  xy zx  yz (  1) (  1) (  1) y z z x x y (Nesbit) VT Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy : a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c>0 , abc = 1.Chứng minh rằng:  1 1 1  a    b     c     b c  a  (IMO 2000) a Lời giải :Từ abc=1 ta đặt VT  Ta có: x y z ;b  ; c  y z x (x  y  z )(y  z  x )(z  x  y ) 1 xyz  (x  y  z )(y  z  x )(z  x  y )  xyz (Một dạng Bất Đẳng Thức quen thuộc) Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5: Cho a,c>0 b  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 c2 a b T    2a a  c b2  c (Nguyễn Phúc Tăng) a2 c2 a b Lời giải : T  a  c  b2  c  2a  1 1 b      a c2 b2  1 1 a c Bất đẳng thức ứng dụng Đặt : x  Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng c b ;y  a c Ta được: T  1  xy   2 1x 1y Từ ta sử dụng bất đẳng thức phụ: 1   2  xy 1x 1y 1  xy  xy     2 2  xy 1x 1y  T  Vậy giá trị nhỏ T x=y=1 Ví Dụ 6:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: abc=1 Chưng minh rằng: 1a b 1 Lời giải: Đặt: a  x ;b  y ; c  z , ta được: 1x  y6 1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1x y   z4  x  1  x y2  1  y z  x   y      z4  x  x y2  y2  z2   x  x  x 2yz  z 2x  y2  z2 Vậy ta cần chứng minh: x  y2  z2   x  y z 2     xyz x  y  z   x y  y z  z x  xyz x  y  z 2 1  xy  yz  yz  zx  zx  xy 2 2  2  2     0 Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 7:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng: 1   1 a a 1 b b 1 c c 1 (Võ Quốc Bá Cẩn – Vasile Cirtoage) Lời giải: Vì a,b,c nên ta đặt: a  xy yz zx ;b  ; z  2 z x y Khi bất đẳng thức cho trở thành:   Bất đẳng thức ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 4 x y z  2  2 1 4 y z  x yz  x z x  xy z  y x y  xyz  z 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 4  x y z  2  2  4 y z  x yz  x z x  xy z  y x y  xyz  z 2 x x2  y2  z2     y z  xyz x  y  z 2 Vậy ta cần chứng minh: x  y2  z2   x  y z 2     xyz x  y  z    x 2y  y 2z  z 2x  xyz x  y  z 2 1  xy  yz  yz  zx  zx  xy  2 Từ bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng:      1   1 2 2  c  bc  a  ca  b  ab2 (Lê Việt Hưng) x y y z Lời giải: Vì abc=1 nên ta đặt: a  ;b  ; c  z x Bất đẳng thức viết lại thành: x2 y2 z2   1 x  z  yz y  x  zx z  y  xy x4 y4 z4    1 x  x 2z  x 2yz y  x 2y  xy 2z z  y 2z  xyz Chứng minh bất đẳng thức tương tự ví dụ Đẳng thức xảy khi: a=b=c=1 3) Sử dụng Cauchy- Schwarz để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho a, b, c > Chứng minh : 1 1    3. a b c a  2b (ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) Lời giải :  1 1 1    ;    ;    (Cauchy-Swcharz) a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a  1 1  1  3     9    a b c   a  2b b  2c c  2a  10  ... hiệu A  B gọi bất đẳng thức Quy ước :  Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức  Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 1.4 Các tính chất bất đẳng thức 1.4.1 Tính... chứng minh: xy  yz  zx x  y  z  3 Bất đẳng thức ứng dụng    Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng xy  yz  zx  x  y  z  ( Đây dạng bất đẳng thức phụ quen thuộc) Từ bất đẳng thức chứng...    Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:     xy  yz  zx x  y  z   x y y z z x    Từ ta sử dụng dạng bất đẳng thức quen thuộc: 15    Bất đẳng thức ứng dụng  x