CHUYÊN ĐỀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

Biện luận số giao điểm của hai đồ thị trên là là biện luận số nghiệm của phương trình *.. b Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d là lớn nhất... Biện luận số giao điểm của

Chuyên đề

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ ( HỒ DŨNG – THCS NHƠN THÀNH )

Trong chương trình toán THCS ta gặp toạ độ giao điểm ( nếu có ) của hai đồ thị y = f(x) và

y = g(x) là nghiệm của hệ phương trình : y = g (x) y= f(x)

f(x) = g(x) (*) Biện luận số giao điểm của hai đồ thị trên là là biện luận số nghiệm của phương trình (*)

I) Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = mx + n và (D’) y = m’x + n’

Toạ độ giao điểm ( nếu có ) của hai đường thẳng (D) và (D’) là nghiệm cũa hệ phương trình = mx+n

y = m'x+ n'

y





+ Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ (D) // (D’) ⇔ m = m’ và n ≠n’

+Phương trình (*) có nghiệm duy nhất ⇔ (D) cắt (D’) ⇔ m ≠m’

+Phương trình (*) vô số nghiệm ⇔ (D) trùng (D’) ⇔ m = m’ và n = n’

Bài toán 1 Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình : 2kx +( k-1) y = 2 ( k

là tham số )

a) Tìm k để (d) song song với đường thẳng y = x 3 ? Và tính góc tạo bởi (d) với tia Ox

b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất

1) Với k = 1 thì PT (d) là x = 1 , (d) không // y = 3x Với k ≠1 Đưa PT (d) về dạng :

Ox một góc α = 600 vì tg α = 3

2)+ Với k = 1 thì khoảng cách từ 0 đến (d) là 2

+Với k ≠0 và k ≠1 , gọi giao điểm của (d) với Ox , Oy là A,B Thay y = 0 vào (**) ta có : xA = 1/k ⇒ OA = / 1/k / Thay x = 0 vào (**) có

H

y = x

d y

x 1

3

0

yB = 2/ k – 1 hay OB = / 2/ k – 1 / Rõ ràng (d) không đi qua gốc toạ độ O với k ≠ 0 và 1

∆AOB vuông có : 1/ OH2 = 1/ OA2+ 1/ OB2 Từ đó OH = 2 2 ;

5k −2k+1

Ta có : 5k2 -2k +1 = 5 ( k – 1/5 )2 +4/5 ≥ 4/5 , mọi k vì vậy OH ≥

5 & OH = 5 khi k = 1/5 Tóm lại với k = 1/5 thì khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất

Bài toán 2 Cho bất PT : 3(m -1) x +1 > 2m +x ( m là tham số )

1) Giải bất PT với m = 1 -2 2 ; 2) Tìm m để bất PT nhận mọi giá trị x > 1 là nghiệm

Giải : 1) Với m = 1 - 2 2 , BPT đã cho có dạng - (6 2 1) 1 4 2 x <4 2 1

6 2 1

+ > − ⇔

+

2) BPT đã cho viết dưới dạng ( 3m-4)x +(1-2m) > 0 (1)

Xét hàm số f(x) = (3m – 4)x + ( 1 – 2m) Đồ thị hàm số này là một đường thẳng nên để BPT (1) đúng với mọi x > 1 thì 3f m(1)− >4 0m 3 0⇔ ≥m 3.

= − ≥



II) Sự tương giao giữa đường thẳng (D) y = mx+n và parabol (P) y = ax 2 (a ≠0)

Toạ độ giao điểm ( nếu có) của đường thẳng (D) y = mx+n và parabol (P) y = ax2 là nghiệm của hệ phương trình :  =y mx n y ax= 2+ Phương trình hoành độ giao điểm :

ax2 –mx – n = 0 (*) Biện luận số giao điểm của (D) và (P) là biện luận số nghiệm của phương trình (*)

+Phương trình (*) vô nghiệm ⇔(D) và (P) không có điểm chung

+ Phương trình (*) có nghiệm kép ⇔ (D) tiếp xúc (P)

+ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

Bài 1 Giá trị nào của m thì đường thẳng ( D) y = m(1-x) tiếp xúc với (P) y = -½ x2 Trong trường hợp (D) tiếp xúc (P) Tìm toạ độ tiếp điểm

Giải : Toạ độ giao điểm của (D) và (P) (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình

2 2

x y

y m x

 = −





 = −



PT hoành độ giao điểm : ½ x2 +m(1-x) = 0 hay x2 -2mx +2m = 0 (*)

∆’ = m2 – 2m

+ (D) tiếp xúc với (P) ⇔ PT(*) có nghiệm kép ⇔m2 -2m = 0 ⇔ m = 0 hay m = 2

+ PT các đường thẳng tiếp xúc với (P) : (D1) y = 0 tiếp xúc (P) tại 0 (0;0)

+PT hoành độ tiếp điểm của (D2) và (P) : x2 -4x +4 = 0 ⇔ (x-2)2 = 0 ⇔ x = 2

Tung độ tiếp điểm y = -½ 22= -2

Vậy (D2) tiếp xúc với (P) tại (2 ; -2)

Bài 2 Chứng minh rằng đường thẳng (D) y = 8mx – 8m2 ( m là tham số ) luôn tiế`p xúc với parabol (P) y = 2x2

Hướng dẫn : Chứng minh PT hoành độ giao điểm 2x2 – 8mx +8m2 = 0 hay x2- 4mx +4m2 = 0 có nghiệm kép

Bài 3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2x – y – a2 = 0 và parabol (p)

y = ax2 ( a là tham số dương )

1) Tìm a để (d) cắt (P ) tại hai điểm phân biệt A , B Chứng ming rằng khi đó A,B nằm bên phải trục tung

2) Gọi u , v theo thứ tự là hoành độ của A,B Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 4 1

u v uv

+

Giải : 1) PT hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) và parabol (P) có dạng

ax2 – 2x +a2 = 0 (1)

Đường thẳng (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi

3

> 0

0 a < 1

a

⇔ <

∆ = >

lí Vi-ét cho PT (1) ta có u+v = ½ a > 0 và u.v = a > 0 , suy ra A,B nằm về bên phải trục tung (đpcm)

2) Từ kết quả 1) ta có T = 2a + 1 2 (2 )a 1 ,hay T 2 2

Bài 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = - x2 và đường thẳng (d) đi qua điểm I( 0 ; -1 ) có hệ số góc k

1) Viết phương trình đường thẳng (d) Chứng minh với mọi giá trị của k , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

2) Gọi hoành độ cùa A và B là x1 và x2 , chứng minh x1−x2 ≥ 2 .

Giải : 1) (d) : y = kx +1 PT hoành độ giao điểm của (P) và (d) là : x2 + kx -1 = 0 PT này có ∆ > 0 ⇒ đpcm 2) x1.x2 = -1 , từ đó

Bài 5 Cho hàm số y = -¼ x2

1) Vẽ đồ thị (P) củahàm số trên

2) Gọi I là điểm thuộc đường thẳng y = 1 và có hoành độ m ( m là tham số ) Chứng minh rằng từ I ta có thể vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (P)

Hướng dẫn :

1) Vẽ (P)

2) I(m;1) ∈ (D) ⇔ 1 = am +b ⇔ b = 1- am Lúc đó (D) y = ax + (1 – am )

PT hoành độ giao điểm của (D) và (P) :

x2 +4ax +4 – 4am = 0

∆’ = 4a2 + 4ma – 4

(D) tiếp xúc (P) ⇔ 4a2 +4ma – 4 = 0 (1)

Do 4 và -4 trái dấu nên PT (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ∈ R , điều này

chứng tỏ có hai đường thẳng vẽ từ I tiếp xúc với (P) , đó là :

(D1) y = a1x + (1 – a1m )

(D2) y = a2x + ( 1 – a2m ) , ( Trong đó a1 , a2 là nghiệm phương trình (1) )

Bài 6 Cho hàm số y = x2

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ là – 1 và 2 Viết PT đường thẳng AB

c) Trên cung AB của (P) tìm điểm C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

Hướng dẫn :

a) HS thực hiện ( Hình vẽ bên dưới )

b) Tìm toạ độ các điểm A,B

A(-1 ; 1) B(2;4)

Phương trình đường thẳng AB là (D) y = x +2

c) Tìm điểm C( x0 ; y0 ) ∈ (P) tại đó đường thẳng (D’) tiếp xúc với (P) và song song với (D)

+Đường thẳng (D’) song song với (D) có dạng : y = x + b

+PT hoành độ giao điểm ( nếu có ) giữa (D’) và (P) : x2 – x – b = 0 , vì (D’) tiếp xúc với (P) nên

PT hoành độ giao điểm trên có nghiệm kép , tức là :

∆ = 1 + 4b = 0 ⇔ b = -¼

+ Lúc đó hoành độ giao điểm là x = ½ và tung độ giao điểm là y = ¼

+ Vậy điểm C( ½ ; ¼ ) và (D’) y = x – ¼ song song với (D) và tiếp xúc (P)

+Ta có diện tích tam giác MAB

S = ½ MH’.AB ( MH’ là khoảng cách từ M ∈ cung AB đến (D) )

Do AB không đổi nên S lớn nhất ⇔ MH’ lớn nhất

Ta có MH’ ≤ CH ( vì M nằm giữa hai đường thẳng song song (D) và (D’) ) nên khoảng cách từ

2

-2

-4

y

x

I 0 B

A

f x ( ) = -x

2

4

M đến đường thẳng (D) nhỏ hơn khoảng cách giữa hai đường thẳng song song này

Dấu “ = “ xảy ra ⇔ M trùng C

Vậy C ( ½ ; ¼ ) là điểm thuộc cung AB sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

M y

x

(D')

(D) (p)

H'

H

O C

B

A