LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn nhiệt tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán tổ Giải tích quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Hưng Yên, Trường THPT Văn Giang đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Chu Thị Hồng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Luận văn không trùng lặp với đề tài khác Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Tác giả Chu Thị Hồng Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kiến thức ban đầu 1.1.1 Các không gian hàm 1.1.2 Một số kết chuẩn bị 1.2 Nhóm Heisenberg 17 1.3 Biến đổi Fourier nhóm Heisenberg 20 1.3.1 Biến đổi Fourier hàm thường hàm suy rộng 20 1.3.2 Phép biểu diễn nhóm Heisenberg 22 1.3.3 Biến đổi Fourier nhóm Heisenberg 23 1.4 Giải tích sóng nhỏ L2 (R) nhóm Heisenberg 26 1.4.1 Giải tích sóng nhỏ L2 (R) 26 1.4.2 Biến đổi sóng nhỏ liên tục L2 (R) 30 1.4.3 Giải tích sóng nhỏ nhóm Heisenberg 33 Xấp xỉ đa phân giải L2 (R) 37 2.1 Định lý mẫu Shannon L2 (R) 37 2.2 Định nghĩa xấp xỉ đa phân giải L2 (R) 39 ii iii 2.3 Xấp xỉ đa phân giải ẩn sở Shannon (Sinc) L2 (R) 41 2.4 Xấp xỉ đa phân giải sóng nhỏ, phương pháp I.Daubechies 45 Xấp xỉ đa phân giải nhóm Heisenberg 3.1 Xấp xỉ đa phân giải nhóm Heisenberg 56 56 3.2 Xây dựng khung xấp xỉ đa phân giải Shannon cho nhóm Heisenberg 57 3.3 Sự tồn khung sóng nhỏ Shannon nhóm Heisenberg 70 3.4 Sóng nhỏ mũ Mêxicô nhóm Heisenberg 73 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo 82 BẢNG KÍ HIỆU N, Z, R, C tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số thực, số phức Rn không gian Euclid n-chiều x chuẩn vectơ x B r (x) hình cầu đóng tâm x, bán kính r suppu giá hàm u, suppu = {x ∈ Ω|u (x) = 0} o K phần tập K Aut(H) nhóm tự đẳng cấu H ∂1 , ∂2 , , ∂n toán tử vi phân ∂ ∂ ∂ ∂x1 , ∂x2 , , ∂xn Rn D1 , D2 , , Dn toán tử vi phân −i∂1 , −i∂2 , , −i∂n Rn h.k.n hầu khắp nơi đ.h.s.r đạo hàm suy rộng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích sóng nhỏ có ý nghĩa thiết thực khoa học công nghệ, Meyer nói: "Ở đâu có âm thanh, hình ảnh có sóng nhỏ " Với khả phóng to hay thu nhỏ cửa sổ thời gian - tần số linh hoạt, phù hợp với tín hiệu nghiên cứu làm biến đổi sóng nhỏ có khả xử lý âm thanh, hình ảnh tốt trình nén liệu tối ưu Đó lí nhà toán học hàng đầu người Pháp, viện sĩ hàn lâm khoa học Pháp, Y Meyer lại phát biểu Mục đích lý thuyết giải tích sóng nhỏ nghiên cứu, tìm đường thuận lợi để phân tích hàm cho thành khối hàm sơ cấp, thuận tiện tính toán nghiên cứu Về mặt lịch sử, sở Haar xây dựng từ năm 1910, trước thuật ngữ “sóng nhỏ” sáng tạo Đây sở sóng nhỏ trực chuẩn L2 (R) Nhưng phải đến năm gần đây, đưa vấn đề cấu trúc xấp xỉ đa phân giải, công trình nghiên cứu xây dựng mạnh mẽ, giải tích sóng nhỏ thực củng cố vai trò Trong đầu năm 80 kỉ 20, Stromberg đưa ví dụ sóng nhỏ trực giao Tiếp theo, độc lập với Stromberg, sóng nhỏ Meyer đưa Sau đó, với khái niệm xấp xỉ đa phân giải giới thiệu Mallat Meyer, việc tìm hiểu khai triển trực giao có tính chất hệ thống phát triển (xem [11] [13]) cung cấp công cụ để xây dựng hệ trực chuẩn L2 (Rn ) Trong năm gần đây, xấp xỉ đa phân giải nhóm Euclide R ứng dụng rộng rãi mở rộng phạm vi nghiên cứu, tổng quát hóa theo nhiều hướng khác Có nhiều tác giả nghiên cứu vấn đề Trong [10], Madych nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải Rn chủ yếu hàm bậc thang Dahlk mở rộng xấp xỉ đa phân giải nhóm compact địa phương (xem [7]) Baggett ý đến tồn sóng nhỏ không gian Hilbert nói chung với việc xấp xỉ đa phân giải sử dụng phép xấp xỉ trừu tượng (xem [6]) Mỗi tác giả đạt thành công định, làm thấy rõ vai trò sóng nhỏ xấp xỉ đa phân giải nghiên cứu khoa học Ngoài ra, có nhiều nhà nghiên cứu ý đến đối tượng quan trọng lĩnh vực nhóm Heisenberg Vấn đề nhiều nội dung cần tìm hiểu Vì thế, hướng dẫn nhiệt tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cường chọn đề tài sau để thực luận văn tốt nghiệp: "Xấp xỉ đa phân giải nhóm Heisenberg" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan lý thuyết sóng nhỏ, xấp xỉ đa phân giải L2 (R) xấp xỉ đa phân giải nhóm Heisenberg Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày nét nhóm Heisenberg, kiến thức tổng quan lý thuyết sóng nhỏ xấp xỉ đa phân giải L2 (R), đặc biệt xấp xỉ đa phân giải nhóm Heisenberg Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nhóm Heisenberg xấp xỉ đa phân giải nhóm Heisenberg Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Phương pháp phân tích, tổng hợp Đóng góp luận văn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kiến thức ban đầu 1.1.1 Các không gian hàm Giả sử Ω tập mở Rn , k ∈ N Khi ta kí hiệu: C (Ω) không gian hàm liên tục Ω, C k (Ω) không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k Ω, C0k (Ω) không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k Ω, có giá compact, ∞ C ∞ (Ω) = C0∞ (Ω) = C k (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn, k=1 ∞ C0k (Ω) không gian hàm khả vi vô hạn có giá k=1 compact Với số thực ≤ p < ∞, kí hiệu     p p L (Ω) = u : Ω → C| |u (x)| dx < ∞   Ω không gian hàm khả tích bậc p Với p = ∞, kí hiệu L∞ (Ω) = u : Ω → C|ess sup |u (x)| < ∞ , x∈Ω ess sup |u (x)| = inf {M > 0|µ {x ∈ Ω| |u (x)| > M } = 0} , µ x∈Ω độ đo Lebesgue Rn Lp,loc (Ω) = {u : Ω → C|u|K ∈ Lp (K) với tập compact K ⊂ Ω} không gian hàm khả tích địa phương bậc p Định lý 1.1.1 Không gian Lp (Ω) không gian Banach với chuẩn   p1 u p |u|p dx , p ≥ = Ω ∞ (Ω) không gian Với tập compact K ⊂ Ω, ta định nghĩa CK hàm khả vi vô hạn có giá K, ∞ CK (Ω) = {u ∈ C ∞ (Ω) |suppu ⊂ K} ∞ (Ω) không gian đóng C ∞ (Ω) Chú ý 1.1 CK Cho Ω tập mở khác rỗng Rn Khi đó, tồn dãy tập compact (Kj )j∈N∗ cho: o K1 ⊂ K2 ⊂ K2 ⊂ ⊂ o Kj ⊂ Kj o ⊂ , ∪ ∗ Kj = Ω j∈N ∞ ∞ (Ω) Ta có: C0∞ (Ω) = ∪ CK j j=1 Trong luận văn này, nhắc đến tập Kj tập Kj Sau số không gian hàm bản: Định nghĩa 1.1.1 Không gian D (Ω) tập hợp tất hàm ϕ ∈ ∞ C0∞ (Ω), với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞ j=1 ⊂ C0 (Ω) gọi hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) i) Tồn tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, , ii) lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ (x)| = 0, ∀α ∈ Nn j→∞ x∈Ω Định lý 1.1.2 Một hàm tuyến tính Λ C0∞ (Ω) liên tục ∃Nj ∈ N cj > 0, ∀j ∈ N∗ cho: |Λ (ϕ)| ≤ cj sup {|∂ α ϕ (x)| |x ∈ Kj , |α| ≤ Nj } ∞ với ϕ ∈ CK (Ω) j (1.1) 69 Ta có: mV0 (2πλ) |2πλ| ≤ 4k + |2π| |λ| ≤ 2.4k 2π 4k+1 d = π d Tương tự: mV0 2πλ − r (λ) 2πλ − π = mV0 (2π (λ − 1)) |2π (λ − 1)| ≤ r (λ) d Do mV0 (2πλ) |2πλ| + mV0 2πλ − r (λ) 2πλ − 2π 1 ≤ = r (λ) d d (Γ) r (Γ) Vậy mV0 thỏa mãn bất đẳng thức (3.15) Với hàm S xây dựng Định lý 3.2.1, Sˆ (λ) = 0, ∀ |λ| > mV0 ⊂ − π/2 d , ta có: π/2 π/2 2π 2π 1 ; ⊂ − ; = − ; d d d d d (Γ) r (Γ) d (Γ) r (Γ) Do đó, điều kiện Định lý 3.2.2 với V0 Suy tồn hàm φ, gọi hàm thang bậc cho với lưới Γ chọn, LΓ φ tạo thành khung chặt chuẩn hóa V0 Từ tính chất Định nghĩa 3.1.2 thỏa mãn Ta có hệ sau đây: Hệ 3.1 Với j ∈ Z, L2−j γ D2−j φ γ cấu thành khung chặt chuẩn hóa Vj Hệ 3.2 Có không gian bất biến trái dải bị chặn H = L2 (G) ∗ S, chứa khung không chặt {Lγ φ}γ∈Γ , với S tích chập lũy đẳng tự liên hợp L2 (H) Như xấp xỉ đa phân giải không gian L2 với mục đích tìm hệ sóng nhỏ rời rạc liên kết L2 Một cách xác hơn, ta muốn xây dựng hệ sóng nhỏ rời rạc L2 (H), khung chặt chuẩn hóa Ta nghiên cứu tiếp phần sau 70 3.3 Sự tồn khung sóng nhỏ Shannon nhóm Heisenberg Ta mong muốn đạt khung chặt chuẩn hóa L2 (H) việc tổ hợp lại tất khung chặt chuẩn hóa L2−j γ D2−j φ γ∈Γ Vj Nhưng điều lại không xảy Vì dù Vj ⊆ Vj+1 khung chặt chuẩn hóa Vj lại không chứa L2−(j+1) γ D2−(j+1) φ γ∈Γ , khung Vj+1 Do đó, hợp khung chặt chuẩn hóa Vj không cấu thành khung chặt chuẩn hóa L2 (H) Để tìm khung chặt chuẩn hóa L2 (H), ta dùng phương pháp sau đây: Với ∀j ∈ Z, ta kí hiệu Wj phần bù trực giao Vj Vj+1 , nghĩa Vj+1 = Vj ⊕ Wj , với kí hiệu ⊕ thay cho không gian đóng trực giao Giả sử Qj phép chiếu trực giao L2 (H) lên Wj Ta có Pj+1 = Pj + Qj Vj = ⊕ Wk Khi tính chất bao hàm k≤j−1 không gian Vj với không gian Wj , j ∈ Z: f ∈ Wj ⇔ f 2k−j ∈ Wk (3.16) L2 (H) = ⊕ Wj (3.17) Từ ta có: j∈Z Sự phân tích trực giao suy f ∈ L2 (H) biểu diễn Qj f , với Qj f ⊥Qk f , với cặp j, k : j = k Ta qui tìm f = j khung chặt chuẩn hóa W0 Nếu ta tìm khung chặt chuẩn hóa W0 từ tính chất bao hàm (3.16) phân tích trực giao L2 (H) qua Wj , ta dễ dàng đưa khung chặt chuẩn hóa không gian L2 (H) Ta có bổ đề sau đây: 71 Bổ đề 3.1 Giả sử ψ ∈ W0 Γ lưới H cho {Lγ ψ}γ∈Γ cấu thành khung chặt chuẩn hóa W0 Khi đó, L2−j γ D2−j φ γ,j khung chặt chuẩn hóa L2 (H) Chứng minh Bổ đề hệ phân tích trực giao L2 (H) qua Wj Giả sử f ∈ L2 (H), từ (3.17), f biểu diễn sau: f= Qj f j Do để chứng minh hệ L2−j γ D2−j φ γ,j tạo thành khung chặt chuẩn hóa L2 (H) ta cần hệ L2−j γ D2−j φ γ khung chặt chuẩn hóa Wj Từ tính chất bao hàm không gian Wj (3.16) ta có Qj f 2−j ∈ W0 Đặt Qj f = fj , ta có: fj 2−j fj 2−j , Lγ ψ = γ Thay fj 2−j = 22j D2j fj (.) vào đẳng thức ta có: fj = D2j fj | D2j fj , Lγ ψ |2 = = γ fj , L2−j γ D2−j φ γ (3.18) Lấy tổng theo j (3.18) ta có: f = fj j = fj , L2−j γ D2−j φ j,γ f, L2−j γ D2−j φ = j,γ Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề không gian W0 chứa hàm ψ sinh khung chặt chuẩn hóa W0 Từ định nghĩa phép chiếu trực giao Pj (3.13), với f ∈ L2 (H) ta có: Q0 f = P1 f − P0 f = f ∗ 24 S (2.) − f ∗ S = f ∗ 24 S (2.) − S 72 Và W0 = L2 (H) ∗ 24 S (2.) − S (3.19) Tương tự j, f ∈ L2 (H) ta có: Wj = L2 (H) ∗ 24j S 2j − 24(j−1) S 2j−1 Và Qj f = f ∗ 24j S 2j − 24(j−1) S 2j−1 , với Qj toán tử chiếu L2 (H) lên Wj Từ biểu diễn không gian W0 (3.19) ta nghĩ đến việc áp dụng Định lý 3.2.2 để xây dựng khung chặt chuẩn hóa W0 Ta có đinh lý sau Định lý 3.3.4 W0 dải bị chặn chứa hàm ψ cho phép tịnh tiến trái với lưới Γ phù hợp tạo thành khung chặt chuẩn hóa W0 Chứng minh Ta có: π π 24 S (2.) − S ⊂ − ; d d (3.20) Suy W0 dải bị chặn Để chứng minh W0 chứa khung chặt chuẩn hóa ta dựa vào bổ đề 3.1, tập {L2−1 γ D2−1 φ}γ∈Γ khung chặt chuẩn hóa V1 với lưới Γ phù hợp Mặt khác, phép chiếu Q0 (từ V1 lên W0 ) bất biến trái nên với γ ∈ Γ ta có Q0 (L2−1 γ D2−1 φ) = L2−1 γ (Q0 (D2−1 φ)) Do ảnh khung chặt chuẩn hóa qua phép chiếu bất biến trái khung chặt chuẩn hóa không gian ảnh nên tập {Q0 (L2−1 γ D2−1 φ)}γ = {L2−1 γ (Q0 (D2−1 φ))}γ cấu thành khung chặt chuẩn hóa cho W0 Vậy định lý chứng minh 73 Từ Bổ đề 3.1 Định lý 3.3.1 ta có hệ sau: Hệ 3.3 Tồn hàm dải bị chặn ψ ∈ L2 (H) lưới Γ H cho hệ sóng nhỏ rời rạc L2−j γ D2−j φ γ,j tạo thành khung chặt chuẩn hóa L2 (H) 3.4 Sóng nhỏ mũ Mêxicô nhóm Heisenberg Trong phần vectơ chấp nhận được nghiên cứu theo quan điểm công thức Calderon Xa nữa, ta lớp hàm Schwartz, điều kiện chấp nhận Calderon tương đương với tính chấp nhận thông thường ta nói đến chương Hơn nữa, ta đưa ví dụ hàm Schwartz chấp nhận H, sóng nhỏ mũ Mêxicô Định nghĩa 3.4.6 (Tích phân yếu hàm suy rộng) Cho (ηa )a∈R họ hàm suy rộng Nếu với ∀φ ∈ S (H), a ∈ R ánh xạ a → φ, ηa đo khả tích tuyệt đối, φ → φ, ηa da xác định R hàm suy rộng ψ ta gọi ψ tích phân yếu họ (ηa )a∈R kí hiệu: ψ= ηa da R Ta ý với η ∈ S (H) mà ∞ phân η = vectơ giá trị tích ηa a−1 da hội tụ theo nghĩa yếu Định nghĩa 3.4.7 Giả sử φ ∈ S (H) φ = Khi φ gọi chấp nhận Calderon với < ε < A g ∈ S (H) ta có: A φ˜a ∗ φa a−1 da → cg, ε → 0; A → ∞ g∗ ε (3.21) 74 thỏa mãn theo nghĩa hàm suy rộng (theo nghĩa yếu), nghĩa lấy tích vô hướng vế trái (3.21) với f ∈ S (H) ta có: A A φ˜a ∗ φa a−1 da, f g∗ φ˜a ∗ φa a−1 da, g˜ ∗ f = ε (3.22) ε hội tụ tới c g, f , ε → 0, A → ∞, c số khác Ở ta có với a > φa (ω) = a−4 φ a−1 ω Định lý 3.4.5 Cho φ ∈ S (H) Khi φ chấp nhận φ chấp nhận Calderon Chứng minh Lấy φ, g ∈ S (H) Ta có: ∞ 2 Vφ g | g, λ (b) Da φ |2 dba−5 da = (3.23) H ∞ g ∗ Da φ˜ (b) dba−5 da = H ∞ g ∗ Da φ˜ = L2 (H) a−5 da (3.24) A = g ∗ Da φ˜ lim ε→o,A→∞ L2 (H) a−5 da (3.25) ε A = = lim ˜ g ∗ Da φ˜ a−5 da g ∗ Da φ, lim g, g ∗ Da φ˜ ∗ Da φ a−5 da ε→o,A→∞ ε A ε→o,A→∞ ε A = g, lim ε→o,A→∞ g∗ Da φ˜ ∗ Da φa−5 da ε A = g, lim ε→o,A→∞ φ˜a ∗ φa a−1 da g∗ ε (3.26) 75 Ở đẳng thức hiểu theo nghĩa rộng Giả sử φ chấp nhận Calderon Khi đó, theo định nghĩa, với A số c ta có g∗ lim ε→o,A→∞ φ˜a ∗ φa a−1 da = cg theo nghĩa yếu ε Do đó, ta có: A g, lim ε→o,A→∞ = c g Da φ˜ ∗ Da φa−5 da g∗ ε Như giới hạn (3.25) tồn hữu hạn Và Vφ g 2 = c g 22 Từ S (H) không gian trù mật L2 (H) Vφ toán tử đóng L2 (H), Vφ đẳng cự L2 (H), sai khác số c, có nghĩa φ chấp nhận Ngược lại, giả sử φ vectơ chấp nhận được, ta φ chấp nhận Calderon, hay tương đương với hệ thức: A f, lim ε→o,A→∞ Da φ˜ ∗ Da φa−5 da g∗ = c f, g (3.27) ε với cặp f, g ∈ S (H) số c = Thật vậy, φ vectơ chấp nhận nên với g ∈ S (H) ta có Vφ g 2 = c g 22 , tích phân (3.24) hữu hạn A Đặt F (ε, A) := g ∗ Da φ˜ ε L2 (H) a−5 da Ta thấy với ε cố định hàm F (ε, ) hàm dương, tăng theo biến A bị chặn Do tồn lim F (ε, A), ta viết: A→∞ ∞ g ∗ Da φ˜ lim F (ε, A) = A→∞ L2 (H) a−5 da (3.28) ε Đặt G (ε) = lim F (ε, A) Ta thấy G dương giảm, tồn A→∞ ∞ lim G (ε) ta viết: lim G (ε) = ε→0 ε→0 g ∗ Da φ˜ L2 (H) a−5 da 76 Như đẳng thức (3.25) ta có đẳng thức sau: A g, lim ε→o,A→∞ φ˜a ∗ φa a−1 da g∗ = Vφ g 2 =c g 2 (3.29) ε Vậy hệ thức (3.27) trường hợp f = g Ta trường hợp tổng quát A Đặt Kε,A = φ˜a ∗ φa a−1 da Từ (3.29) ta có: ε lim ε→0,A→∞ g, g ∗ Kε,A = c g , ∀g ∈ S (H) (3.30) Giả sử f ∈ S (H), ta có: f + g, (f + g) ∗ Kε,A = f, f ∗ Kε,A + f, g ∗ Kε,A + g, f ∗ Kε,A + g, g ∗ Kε,A Từ (3.30) ta có vế trái đẳng thức tiến đến f + g ε → 0, A → ∞ Suy f, g ∗ Kε,A + g, f ∗ Kε,A → c ( f, g + g, f ) ε → 0, A → ∞ Do đó, lim ε→0,A→∞ Re f ∗ Kε,A , g = cRe f, g (3.31) Thay f + g f + ig biến đổi ta được: f, g ∗ Kε,A − g, f ∗ Kε,A → c ( f, g − g, f ) ε → 0, A → ∞ Điều lim ε→0,A→∞ Im f ∗ Kε,A , g = cIm f, g (3.32) Từ (3.31) (3.32) suy hệ thức (3.27) Và ta điều cần chứng minh 77 Tiếp theo ta đưa điều kiện đủ để hàm Schwartz chấp nhận được, tồn hàm nhiệt hạch Trước tiên ta ý đến số kí hiệu Kí hiệu d da hiểu phép lấy đạo hàm vectơ, cụ thể là: Giả sử X không gian vectơ topo F hàm giá trị vectơ R+ thỏa mãn F (a) ∈ X, ∀a ∈ R+ Khi ta nói d da F (a) tồn tại (a0 ) a = a0 lim+ F (a0 +h)−F tồn theo topo X Và ta viết h h→0 F (a0 + h) − F (a0 ) d F (a)a=a0 = lim+ h→0 da h L = − X + Y toán tử Laplace dưới, với X, Y trường vectơ bất biến trái nhóm H Toán tử nhiệt hạch liên kết với L toán tử vi phân d dt d dt + L H × R, trường vectơ tọa độ R (tọa độ xét tọa độ thời gian) Mệnh đề 3.4.26 Giả sử φ, ψ ∈ S (H) thỏa mãn ψ = với d số k, c > đó, số thực q = ta có φ˜aq ∗ φaq = −ac da ψkaq Khi φ chấp nhận Chứng minh Giả sử g ∈ S (H) , < ε < A < ∞ Dùng phép đổi tọa độ 78 d ψkaq , ta có: a thành aq sử dụng giả thiết φ˜aq ∗ φaq = −ac da A g∗ φ˜a ∗ φa a−1 da = qg ∗ ε Aq φ˜aq ∗ φaq a−1 da εq Aq = qg ∗ εq Aq = qg ∗ d −ac da ψkaq a−1 da (3.33) d ψkaq da −c da εq = −qc (g ∗ (ψAk − ψεk )) = cqg ∗ (ψεk − ψAk ) Với giả thiết ψ = 0, ta có: lim g ∗ ψεk = g ε→0 ψ (3.34) theo L2 - chuẩn Mặt khác ta viết: g ∗ ψAk ≤ g ψAk = (kA)− g ψ (3.35) Điều g ∗ ψAk → theo L2 - chuẩn A → ∞ Áp dụng (3.34), (3.35) vào (3.33) ta được: A φ˜a ∗ φa a−1 da → g g∗ ψ (3.36) ε ε → 0, A → ∞ theo L2 - chuẩn Từ ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 3.4.27 Tồn C ∞ - hàm h H × (0, ∞) thỏa mãn tính chất sau: d dt + L h = 0/H × (0, ∞), h (ω, t) ≥ 0, h (ω, t) = h ω −1 , t , ∀ (ω, t) ∈ H × (0, ∞) h (ω, t) dω = 1, t > 0, 79 h (., s) ∗ h (., t) = h (., s + t) , ∀s, t > 0, r4 h rω, r2 t = h (ω, t) , ∀ω ∈ H, t, r > 0, (với rω kí hiệu phép toán tự đẳng cấu r tác động lên ω) Nghiệm h gọi nhiệt hạch Ở ta ý khoảng (0, ∞) không gắn với nhóm phép giãn chương trước mà hiểu khoảng thời gian Ta áp dụng Mệnh đề 3.4.26 để hàm φ, φ (x) = Lh (x, 1) chấp nhận Trước tiên ta cần tính toán giãn hàm h (., 1) Lh (., 1) Bổ đề 3.2 Với a > ω ∈ H ta có: h(ω, 1)a = a2 h ω, a2 Lh(ω, 1)a = a2 Lh ω, a2 Chứng minh Giả sử a > ω ∈ H, áp dụng tính chất hàm h Mệnh đề 3.4.26 ta có: h(ω, 1)a = a−4 h a−1 ω, = a2 h ω, a2 (3.37) Tương tự, áp dụng tính chất ta có: Lh(ω, 1)a = a−4 Lh a−1 ω, = −a−4 dtd h a−1 ω, t = − dtd h ω, a t t=1 t=1 (3.38) = a Lh ω, a Ta có điều cần chứng minh Sau ta đến mục đích phần kiểm tra chấp nhận Calderon hàm Schwartz φ = Lh (., 1) Trước tiên ta ý đường thẳng thực R, nhiệt hạch cho h (x, t) = x √1 e− 4t , 4π đặc biệt ta có h (x, 1) = x √1 e− 4π Đạo hàm cấp hai sóng nhỏ, gọi sóng nhỏ mũ Mêxicô Ta có định lý sau đây: 80 Định lý 3.4.6 “Sóng nhỏ mũ Mêxicô” H, φ (ω) = Lh (ω, 1) chấp nhận Chứng minh Ở ta cần ý hàm Lh (., 1) có giá trị H Ta dễ thấy φ˜ = φ, ∀ω ∈ H t > ta xác định ht (ω) = h (ω, t) Áp dụng tính chất Mệnh đề 3.4.26 ta có: ∼ d h (ω, t) dt (Lh)∼ (ω, t) = − = ¯t − dtd h ω −1 = ˜ t (ω) = − dtd h − dtd ht (ω) (3.39) = Lh (ω, t) Ta hàm ψ = h (ω, 1) + Lh (ω, 1) thỏa mãn hệ thức: d φ˜√a ∗ φ√a = φ√a ∗ φ√a = −ca ψ√2a da (3.40) Từ (3.37) (3.38) ta có φ√a ∗ φ√a = (Lh (., 1))√a ∗ (Lh (., 1))√a = aLh (., a) ∗ aLh (., a) (3.41) = a2 L2 h (., 2a) Ta lại có: ψ√2a = (h (ω, 1))√2a + (Lh (ω, 1))√2a (3.42) = h (., 2a) + 2aLh (., 2a) Từ vectơ đạo hàm ψ√2a với tham số a tính sau: d √ da ψ 2a = d da h (., 2a) d + 2Lh (., 2a) + 2a da Lh (., 2a) d d = d2a h (., 2a) + 2Lh (., 2a) + 4a d2a Lh (., 2a) (3.43) = −4aL2 h (., 2a) Từ (3.41) (3.43) ta có (3.40) với c = − 14 Áp dụng Mệnh đề 3.4.25 ta có điều phải chứng minh KẾT LUẬN Luận văn trình bày tổng quan sóng nhỏ xấp xỉ đa phân giải L2 (R) không gian L2 (H) theo quan điểm lý thuyết biểu diễn Cụ thể: - Trình bày Định lý mẫu Shannon vài nét không gian mẫu - Trình bày nét phương pháp I.Daubechies - Trình bày việc xây dựng khung xấp xỉ đa phân giải Shannon tồn khung sóng nhỏ Shannon nhóm Heisenberg - Trình bày vài ví dụ điển hình sóng nhỏ Vì thời gian có hạn hạn chế phạm vi kiến thức, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn thông cảm, đóng góp ý kiến quý báu để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật, Hà Nội [2] A N Kolmogorov, S V Fomin (1971), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [4] A P Robertson, W J Robertson (1977), Không gian vectơ tôpô, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [5] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [6] L Baggett, A Carey, W Moran and P Ohring (1995), “General existence theorems for orthonormal wavelets, and abstract approach”, Publ RIMS, Kyoto Univ., (31), 95-111 [7] S Dahlk (1994), Multiresolution analysis and wavelets on locally compact abelian group, in “Wavelets, Images, and Surface Fitting” (P.J.Laurent, A.Le Méhauté, and L.L.Schumaker, Eds.), 141-156, A.K.Peters, Wellesley, Massachusetts [8] Ingrid Daubechies (1992), Ten lectures on wavelets, CBMS - NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 82 83 [9] H Fuhr (2005), Abstract harmonic analysis of continuous wavelet transforms, Lecture notes in mathematics 1863, Springer Verlag, Berlin [10] W R Madych (1992), “Multiresolution analysis, tiles, and scaling founctions, Propabilistic and stochastic mothod in analysis, with applications” (II Ciocco, 1991), 233-243, NATO Adv.Sci.Inst.Ser.C Math.Phys.Sci., (372), Kluwer Acad.Publ., Dordrecht [11] S Mallat (1989), “Multiresolution approximation and wavelets”, Trans Amer.Math.Soc., (315), 69-88 [12] Azita Mayeli (2005), Discrete and continuous wavelet transformations on the Heisenberg group, Technische Universitat Munchen [13] Y Meyer (1992), Wavelets and operators, Cambridge University Press, Cambridge