1 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn…………………………………………………………………….i Lời cam đoan…………………………………………………………………ii Mục lục…………………………………………………………………… Danh mục bảng………………………………………………………… Danh mục hình vẽ, đồ thị MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… NỘI DUNG………………………………………………………………… Chương Phương pháp Hartree - Fock cho hệ nhiều hạt……………….7 1.1 Chấm lượng tử toán hệ nhiều điện tử chấm lượng tử…… 1.1.1 Giới thiệu chấm lượng tử………………………………………… 1.1.2 Nội dung nghiên cứu chấm lượng tử……………………………… 1.2 Mô hình………………………………………………………………… 1.2.1.Bài toán………………………………………………………………….8 1.2.2 Gần Hartree…………………………………………………… 10 1.2.3 Gần Hartree - Fock…………………………………………… 11 1.3 Áp dụng phương pháp Hartree - Fock………………………………… 17 1.3.1 Áp dụng gần cho hệ nhiều điện tử………………………………17 1.3.2 Hình thức luận Hartree- Fock- Roothaan…………………………… 22 1.3.3 Tính yếu tố ma trận cho tương tác Coulomb chấm lượng tử… 24 1.3.4 Năng lượng hệ…………………………………………….28 Chương Tìm cấu trúc điện tử, lượng hàm sóng hệ điện tử Năng lượng hàm sóng tự hợp điện tử… 30 2.1 Bài toán đơn hạt…………………………………………………………30 2.1.1 Giới thiệu chung chấm lượng tử hai chiều với giam cầm parabol…………………………………………………………… .30 2.1.2 Hàm sóng lương điện tử lỗ trống chấm lượng tử hai chiều với giam cầm parabol………………………………………….33 2.1.2.1 Hàm sóng lương điện tử……………………………….33 2.1.2.2 Hàm sóng lượng lỗ trống………………………… ….37 2.1.3 Một số trạng thái điện tử chấm lượng tử………………… 38 2.1.3.1 Năng lượng………………………………………………………….38 2.1.3.2 Hàm sóng……………………………………………………………38 2.2 Áp dụng phương pháp Hartree-Fock cho hệ nhiều điện tử chấm lượng tử hai chiều giam cầm parabol…………………………………39 2.2.1 Hàm sóng lượng hệ …………………………………… 39 2.2.2 Cấu trúc lượng hệ nhiều hạt……………………………… 41 Chương Tính tương tác điện tử - photon, hệ số hấp thụ phụ thuộc vào kích thước hệ, phụ thuộc vào số điện tử thêm vào chấm lượng tử…44 3.1 Toán tử tương tác điện tử - photon…………………………………… 44 3.2 Hệ số hấp thụ ánh sáng………………………………………………….44 3.2.1 Xây dựng yếu tố ma trận bước chuyển vùng điện tử - photon… 44 3.2.2 Hệ số hấp thụ ánh sáng chấm lượng tử………………………… 49 3.3 Hấp thụ ánh sáng charged excitons cấu trúc lớp……… 50 3.3.1 Hệ số hấp thụ………………………………………………………….50 3.3.2 Phổ hấp thụ ánh sáng………………………………………………….51 3.4 Hấp thụ excitons cấu trúc hai lớp…………………………….55 3.4.1 Mô hình……………………………………………………………….54 3.4.2 Kết tính số cho phổ hấp thụ excitons chấm lượng tử hai lớp…………………….…………………………………………………… 59 3.4.3 Phổ lượng……………………………………………………….63 3.4.4 Sự dịch chuyển phổ hấp thụ theo khoảng cách ………………………64 KẾT LUẬN………………………………………………………………….65 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ……………………… 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO .67 PHỤ LỤC ………………………………………………………………… 68 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1: Năng lượng hệ trạng thái DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1: Chấm lượng tử tự xếp hai chiều Hình 2.2: Điện tử chấm lượng tử Hình 2.3: Một số mức lượng ban đầu điện tử Hình 2.4: Trạng thái ss Hình 2.5: Trạng thái spHình 2.6: Cấu trúc lượng hệ Hình 3.1: Phổ hấp thụ ánh sáng điện tử Hình 3.2: So sánh phổ hấp thụ điện tử có điện tử Hình 3.3: Đồ thị vẽ dịch hệ số hấp thụ có điện tử điện tử Hình 3.4: Mô hình excitons chấm lượng tử hai lớp Hình 3.5: So sánh phổ hấp thụ điện tử cho cấu trúc hai lớp với trường hợp điện tử cho cấu trúc lớp Hình 3.6: So sánh phổ hấp thụ có điện tử cho cấu trúc hai lớp với trường hợp có điện tử cho cấu trúc lớp Hình 3.7: So sánh phổ hấp thụ có điện tử cho cấu trúc hai lớp với trường hợp có điện tử cấu trúc lớp Hình 3.8: Đồ thị biểu diễn phụ thuộc lượng trạng thái vào khoảng cách lớp Hình 3.9: Đồ thị biểu diễn phụ thuộc độ dịch chuyển phổ hấp thụ vào khoảng cách lớp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Với đời công nghệ nano, đánh dấu bước tiến nhảy vọt khoa học kỹ thuật Hiện lĩnh vực vật lí nói chung vật lí hệ thấp chiều nói riêng có bước tiến vượt bậc Đầu tiên giam giữ electron hàng rào lớp bán dẫn mỏng dẫn đến đời Quantum Wells (giếng lượng tử) Tiếp theo kỹ thuật khắc kết hợp với nuôi cấy tinh thể bán dẫn nên người ta giam giữ electron cấu trúc giả chiều dẫn đến đời Quantum Wires (sợi lượng tử) Tiếp tục lượng tử hóa chuyển động electron cách bẫy hệ giả không chiều người ta chế tạo Quantum Dots (chấm lượng tử)[9] Các nghiên cứu lí thuyết thực nghiệm điện tử bị giam giữ cấu trúc thấp chiều làm thay đổi tính chất chuyển động kéo theo loạt hiệu ứng hiệu ứng Hall lượng tử, hiệu ứng khóa Coulomb, hiệu ứng liên quan tới giao thoa sóng electron, tính chất từ , tính chất quang vv…Với tính chất khác biệt người ta kì vọng tương lai giúp tạo linh kiện, thiết bị điện tử có kích thước nhỏ, tốc độ tính toán siêu nhanh nhớ lớn Các nhà vật lí lí thuyết nước nỗ lực nghiên cứu tính toán để xây dựng sở lí thuyết cho vật liệu Phương pháp Hartree-Fock[6] áp dụng thành công để tính toán cấu trúc điện tử chấm lượng tử giả hai chiều với giam cầm parabol nghiên cứu tính chất quang exciton tích điện (charged excitons) loại chấm lượng tử tác dụng từ trường Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu tính chất quang excitons chấm lượng tử hai chiều với giam cầm parabol phương pháp Hartree- Fock Mục đích nghiên cứu - Khảo sát tính chất quang charged excitons - Khảo sát tính chất quang excitons cấu trúc hai lớp - Mô phổ hấp thụ phổ lượng Fortran Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng sở lí thuyết cho excitons cấu trúc hai lớp - Tính toán số liệu cụ thể Đối tượng nghiên cứu - Chất bán dẫn khối - Cấu trúc nano chất bán dẫn - Chất bán dẫn InAs Phương pháp nghiên cứu - Phân tích tượng, đề xuất toán - Xây dựng sở lý thuyết tổng quát với toán đặt - Tính toán với số liệu mô Những đóng góp đề tài - Mở rộng phạm vi nghiên cứu cho excitons cấu trúc hai lớp, xây dựng thành công lý thuyết thu phổ hấp thụ ánh sánh thông qua tính số, kết thu có ý nghĩa vật lý NỘI DUNG CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HARTREE-FOCK CHO HỆ NHIỀU HẠT 1.1 Chấm lượng tử toán hệ nhiều điện tử chấm lượng tử 1.1.1 Giới thiệu chấm lượng tử Chấm lượng tử nói chung tinh thể bán dẫn nói chung (còn gọi nano tinh thể bán dẫn), thông thường có kích thước vào khoảng từ vài nano mét đến vài chục nano mét, có hình dạng khác tùy theo phương pháp nuôi cấy chế tạo Một số dạng thường gặp dạng hình cầu, bán cầu, dạng đĩa (2D), chóp cụt vv… Bên cạnh tính chất vật liệu khối, chấm lượng tử thể đặc tính ưu việt mà bán dẫn khối hiệu ứng giam cầm lượng tử mạnh gây [3], mà biểu rõ hiệu ứng vùng lượng liên tục trở thành mức gián đoạn Khi kích thước chấm lượng tử thay đổi kéo theo cấu trúc lượng thay đổi khoảng cách mức lượng thay đổi theo Mặc dù cấu trúc tinh thể thành phần cấu tạo nên chúng giữ nguyên, mật độ trạng thái điện tử mức lượng gián đoạn, giống nguyên tử nên người ta coi chấm lượng tử nguyên tử nhân tạo, cách điều khiển hình dạng, số chiều, số điện tử bị giam cầm ta điều khiển tính chất vật lí theo yêu cầu [10] 1.1.2 Nội dung nghiên cứu chấm lượng tử hai chiều Nội dung toán hệ nhiều điện tử chấm lượng tử hai chiều xét đến cấu trúc lượng điện tử hệ Cấu trúc lượng hệ điện tử trong chấm lượng tử phụ thuộc nhiều vào dạng giam cầm hình dạng chấm lượng tử Khi người ta giả định giam cầm có dạng xác định ta dự đoán cấu trúc vùng lượng đặc trưng tương ứng hệ Muốn xét cấu trúc lượng hệ nhiều điện tử ta cần biết trước dạng giam cầm [15] Có nhiều cách tiếp cận vấn đề cách đơn giản thường áp dụng xét cấu trúc lượng hệ dựa phương pháp gần hạt Trong phương pháp người ta đưa toán hệ nhiều hạt trở toán hạt với thay tất tác động hạt lại trường tự hợp Nghĩa trường tương tác hạt với tất hạt lại hệ trung bình hóa theo chuyển động Bài toán hệ nhiều điện tử quy toán điện tử với việc tìm hàm sóng tự hợp mô tả trạng thái điện tử trường hiệu dụng gây tất điện tử lại hệ Sử dụng phương pháp Hartree-Fock với hình thức luận Hatree-FockRoothaan, thay việc giải phương trình Schrodinger việc tính yếu tố ma trận 1.2 Mô hình 1.2.1 Bài toán Xét hệ lượng tử gồm N điện tử chấm lượng tử với giam cầm V ( r ) Hamiltonian hệ phụ thuộc vào tọa độ N hạt mà hạt có ba thành phần theo ba phương khác nên Hamiltonian hệ phụ thuộc vào 3N tọa độ viết dạng: Hˆ = Hˆ ( r1 , , rN ) (1.1) Phương trình schrodinger hệ có dạng Hˆ ψ = Eψ (1.2) Thực tế phương trình phương trình mà hệ 3N phương trình vi phân, phương trình giải giải tích xác, nên hệ phương trình không không giải xác mà phải giải gần Một phương pháp gần thông dụng gần Hartree-Fock Nội dung phương pháp chuyển việc nghiên cứu giải phương trình Schrodinger hệ nhiều điện tử (hệ phương trình nhiều biến) [2] việc nghiên cứu phương trình Schrodinger đơn điện tử (phương trình biến) Phương trình Schrodinger hệ N điện tử trạng thái dừng có dạng Hˆ ψ (r1 , , rN ) = Eψ (r1 , , rN ), (1.3) Với Hamiltonian hệ có dạng: N N e2 Hˆ = ∑ Hˆ i + ∑ i ≠ j =1 ε rij i =1 (1.4) ∇ 2i Trong Hˆ i = −ℏ + V ( ri ) Hamiltonian đơn điện tử hố V( r ) 2m * Số hạng thứ hai Hamiltonian (1.4) mô tả tương tác Coulomb tất điện tử, ε số điện môi, rij = ri − rj khoảng cách điện tử i j, m* khối lượng hiệu dụng điện tử Để đưa phương trình Schrodinger hệ N điện tử phương trình điện tử ta đưa vào khái niệm trường trung bình xét điện tử thứ i trường tất điện tử lại 10 Hãy đơn cử điện tử thứ i vị trí ri đó, điện tử tương tác với tất N-1 điện tử lại, mô tả điện tử cách xét chuyển động trường tạo thành tất điện tử lại Kí hiệu trường điện tử lại U eff (ri ) Do U eff (ri ) phải mô tả gần tác dụng trung bình tất điện tử lên điện tử thứ i 1.2.2 Gần Hartree[4] Giả sử ta biết trường trung bình U eff (ri ) Khi toán tử Hamiltonian hệ N điện tử viết dạng: N Hˆ = ∑ Hˆ 'i , (1.5) i =1 ℏ 2∇i2 Với Hˆ 'i = + V (ri ) + U eff ( ri ) Hamiltonian điện tử thứ i 2m Hamiltonian hệ viết thành tổng N Hamiltonian với Hamiltonian thứ i phụ thuộc vào tọa độ ri hệ, hàm sóng hệ tìm tích trực tiếp N hàm sóng ψ (r1 , , rN ) = ψ (r1 )ψ (r2 ) ψ (rN ), (1.6) Với ψ ni (ri ) hàm riêng toán tử Hamiltonian Hˆ i' với trị riêng ε ni , ta có ' Hˆ iψ ni ( ri ) = ε niψ ni ( ri ) , (1.7) Với lượng hệ N E = ∑ ε ni (1.8) i =1 Mật độ xác suất tìm thấy điện tử thứ vị trí r1 , điện tử thứ hai vị trí r2 , điện tử thứ N vị trí rN 2 2 ψ (r1 , , rN ) = ψ (r1 ) ψ (r2 ) ψ (rN ) (1.9) 56 ε nm = Ω e (2n + m + 1) + mωce Với re vị trí điện tử , rh vị trí lỗ trống, ri khoảng cách điện tử đến lỗ trống, d khoảng cách lớp mặt phẳng chứa điện tử lỗ trống Hamiltonian đơn lỗ trống h ' (rk ) = − ∇ 2k mh* ωch2 + (ωh + )rk − ωch LˆZk 2mh* Với lượng riêng ε nm = Ω h (2n + m + 1) − mωch 4 Các ký hiệu Ωe2 = ωe2 + ωce2 Ω2h = ωh2 + ωch2 ωce , ωch tần số cyclotron điện tử lỗ trống me* , mh* khối lượng hiệu dụng điện tử lỗ trống LˆZ thành phần Z toán tử momen động lượng điện tử lỗ trống ε số điện môi Đơn vị chiều dài dùng bán kính Born hiệu dụng aB = lượng lần lượng Rydberg Ry = ℏ 2ε , đơn vị me*e me*e ℏ 2ε Việc tính yếu tố ma trận tương tác quy việc tính tích phân sau ∞ I n (d ) = ∫ x e n − x2 − d x dx Ta thấy biểu diễn thành dãy truy hồi với khởi đầu hàm đặc biệt, tên Complementary error function 57 Từ ta có định nghĩa x dn erf ( x) = −u ∫ e du π ∞ dn erfc ( x ) = −u ∫ e du π x Viết công thức truy hồi cho In tích phân phần sau ∞ I n (d ) = ∫ x n e − x2 − d x dx ∞ =∫x n −1 ( x + d − d )e − x2 −d x dx ∞ =∫x n −1 ( x + d )e − x2 − d x ∞ dx − d ∫ x n −1e − x2 −d x dx ∞ = − ∫ x n −1d ( − x − d x ) − d I n −1 ∞ − x2 −d.x = ( n −1) ∫ x e n−2 n−2 x→∞ − x2 −d.x dx − x e − d.In−1 = ( n − 1) I n −2 − d I n −1 với n ≥ 2 Vì lim x→∞ ( x m e− ax ) = với a, n dương cho trước tùy ý Tóm lại ta có In = (n−1)In−2 −d.In−1 với n ≥ Quan sát lại biến đổi với việc rà soát theo n, ta quy việc tính ∞ I (d ) = ∫ x 0e − x2 −d x dx ∞ I1 (d ) = ∫ xe − x2 − d x dx Thật chúng có mối liên hệ, ta thấy 58 ∞ I1 ( d ) = ∫ xe − x2 − d x ∞ dx = ∫ ( x + d )e − x2 −d x ∞ = − ∫ d (e − x2 −d x ∞ dx − d ∫ e − x2 − d x dx ) − d I (d ) = − d I (d ) Hơn ta viết ∞ I (d ) = ∫ e − x2 −d x dx ∞ = ∫e  x+d d  ) −  − (   dx =e d2 ∞ ∫e −( x+d ) dx =e d2 ∞ ∫e −( x+d ) dx đặt = 2e d2 ∞ ∫ u = ( x+d dx ) ⇒ du = 2 e− u du d = π d2 e erfc ( d ) (3.11) Như vậy, cho trước n, d tính I0, I1,… Và truy In Hàm sóng hệ N + điện tử lỗ trống tìm từ việc giải hệ phương trình sau 59 nβ nα   α α + − + h ( r ) ( J K ) J βj − J  ϕiα (r ) = ε iα ϕiα (r ),  ∑ ∑ j j j =1 j =1   nβ nα   β β β α β β h(r ) + ∑ ( J j − K j ) + ∑ J j − J  ϕi (r ) = ε i ϕi (r ), j =1 j =1   nβ nα   ' α β  α ,β α ,β  h (r ) − ∑ J j − ∑ J j  ϕi (r ) = ε 0ϕ0 (r ), j =1 j =1   (3.12) J K số hạng tương tác Coulomb tương tác trao đổi, nα nβ số điện tử có spin lên spin xuống 3.4.2 Kết tính số cho phổ hấp thụ excitons chấm lượng tử hai lớp Tính toán cho chấm lượng tử InAs với số liệu sau me = 0.067 m0 mh = 0.25m0 ωe = 49meV ωh = 25meV aB = 9.9nm Ry = 11.61meV d ≠0 60 Trường hợp khoảng cách hai lớp d=0 d=2 trường hợp số điện tử N=0 20 N=0, d=0 N=0, d=2 Absorption Coefficient (Arbit unit) 18 16 14 12 10 0 10 12 14 Photon energy (E-Eg)/Ry2 Hình 3.5: So sánh phổ hấp thụ điện tử cho cấu trúc hai lớp với trường hợp điện tử cho cấu trúc lớp Nhận xét: Ta thấy đỉnh phổ trường hợp d=2 (nm) dịch so với trường hợp d=0, khoảng cách lớp chứa điện tử lỗ trống thay đổi số điện tử không 61 Trường hợp khoảng cách hai lớp d=0 d=2 trường hợp số điện tử N=1 N=1, d=0 N=1, d=2 Absorption Coefficient (Arbit unit) 0 10 12 14 Photon energy (E-Eg)/Ry2 Hình 3.6: So sánh phổ hấp thụ có điện tử cho cấu trúc hai lớp với trường hợp có điện tử cho cấu trúc lớp Nhận xét: Ta thấy đỉnh phổ trường hợp d=2 (nm) dịch nhiều so với trường hợp d=0 hình 3.5 đồng thời xuất tách vạch phổ 62 Trường hợp khoảng cách hai lớp d=0 d=2 trường hợp số điện tử N=2 16 N=2, d=0 N=2, d=2 Absorption Coefficient (Arbit unit) 14 12 10 0 10 12 14 Photon energy (E-Eg)/Ry2 Hình 3.7: So sánh phổ hấp thụ có điện tử cho cấu trúc hai lớp với trường hợp có điện tử cấu trúc lớp Nhận xét: Ở hình 3.7 ta thấy rõ dịch chuyển phổ hấp thụ ánh sáng phí tần số lớn có thay đổi độ cao đỉnh phổ, có thay đổi khoảng cách lớp dẫn đến tương tác chấm lượng tử thay đổi theo Kết luận Khi d ≠ đỉnh hấp thụ dịch chuyển xanh so với trường hợp d=0, lý chung tương tác điện tử-lỗ trống (âm) yếu khoảng cách điện tử-lỗ trống tăng so với trường hợp d=0 63 3.4.3 Phổ lượng Phổ lượng phụ thuộc vào khoảng cách lớp Hình 3.8: Đồ thị biểu diễn phụ thuộc lượng trạng thái vào khoảng cách lớp Nhận xét: Năng lượng trạng thái hệ tăng khoảng cách hai lớp tăng, khoảng cách hai lớp tăng tương tác điện tử - lỗ trống giảm 64 3.4.4 Sự dịch chuyển phổ hấp thụ theo khoảng cách Transition 0-0 Spectrum shift (2Ry) 5.5 4.5 3.5 3 Separation lenght (nm) Hình 3.9: Đồ thị biểu diễn phụ thuộc độ dịch chuyển phổ hấp thụ vào khoảng cách lớp Nhận xét: Ta thấy độ dịch chuyển phổ hấp thụ ánh sáng tăng khoảng cách hai lớp tăng 65 KẾT LUẬN Các kết thu đề tài là: Xây dựng lại phương pháp Hartree-Fock cho hệ nhiều điện tử vận dụng thành công vào việc khảo sát toán chấm lượng tử Xây dựng tính lại phổ hấp thụ cho toán excitons cấu trúc lớp So sánh kết phổ hấp thụ trường hợp có thêm điện tử bán dẫn 2D cấu trúc lớp Xây dựng lý thuyết tính toán chi tiết cho trường hợp excitons cấu trúc lớp Tính số so sánh kết phổ hấp thụ với excitons cấu trúc lớp thu kết dịch chuyển xanh 66 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [1] N H Quang, N D Bo, N N Dat, T X Hoang and D X Long, (2010), Charged Excitons in Bilayer Quantum Dots, Hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 35, Đại học Sài Gòn 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Đình Cự (1997), Vật lý chất rắn, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [2] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB ĐHSP [3] Phùng Hồ Phan Quốc Phô (2008), giáo trình vật lý bán dẫn, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Văn Hùng (1999), Lý thuyết chất rắn, NXB ĐHQGHN [5] A.Natori, S.Ohnuma, N.H.Quang (2001), Jpn.J.Appl.Phys [6] A Natori, S.Ohnuma, N.H.Quang (2002), Appl Surface Sci [7] A Wojs and P.Hawrylak (1996), Phys.Rev [8] N H Quang, N D Bo, N N Dat, T X Hoang and D X Long, (2010), “Charged Excitons in Bilayer Quantum Dots”, Hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 35, Đại Học Sài Gòn [9] N H Quang, S Ohnuma, and A Natori (2000), Phys Rev B [10] M.Fujito, A.Natori and H.Yasunaga (1996), Phys.Rev [11] M Fujito, A Natori and H Yasunaga, Phys Rev B (53) [12] Ian Mondragon Shem, BoisA Rodríguez (2010), Physics Communi cations (181) [13] J Sée, P Dollfus, S Galdin-Retailleau (2002), Phys Rev B (66) [14] R.J.Warburton, C.S.Durr, K.Karrai, J.P.Kotthaus, G.Medeiros-Ribeiro and P.M.Petroff (1997), Phys.Rev.Lett [15] R.J.Warburton, B.T.Miller, C.S.Durr, C.Bodefeld,K.Karrai, J.P.Kotthaus, G.Medeiros - Ribeiro, P.M.Petroff and S.Huant (1998), Phys.Rev [16] R.M.Lee, N.D.Drummond, and R.J Needs (2002), Phys.Rev.B [17] R.J Warburton, B.T Miller, C.S Durr, C Bodefeld, K Karrai, J.P Kotthaus, G Medeiros-Ribeiro, (1998), Phys Rev B (58) 68 PHỤ LỤC TÍNH CÁC YẾU TỐ MA TRẬN Fµνα , Fµνβ , Fµνα , Fµνβ Từ hàm khai triển ϕiα (1) = ∑ Cναi χν (1) ϕiβ (1) = ∑ Cνβi χν (1) ν α ν α β ϕ k (1) = ∑ Cν k χ ν (1) β ϕ k (1) = ∑ Cν k χ ν (1) ν ν Kí hiệu Fµνα ≡ χ µ (1) f α (1) χν (1) với Nα f (1) = h(1) + ∑ α j =1 e (1 − P12 ) α ϕ j (2) ϕ j (2) ∈ r12 α Nβ + ∑ ϕ βj (2) j =1 M − ∑ ϕ l (2) l =1 e2 ϕ βj (2) ∈ r12 e2 ϕ l (2) ∈ r12 Ta có: Fµνα = χ µ (1) h(1) χν (1) Nα + ∑ χ µ (1)ϕ αj (2) j =1 Nα + ∑ χ µ (1)ϕ βj (2) j =1 M − ∑ χ µ (1)ϕ l (2) l =1 e2 (1 − P12 ) α ϕ j (2) χν (1)ϕ αj (2) ∈ r12 e2 χν (1)ϕ βj (2) ∈ r12 e2 χν (1)ϕ l (2) ∈ r12 Trong ϕ αj (2) = ∑ Cλα j χ λ (2) ϕ αj * (2) = ∑ Cσα *j χσ (2) ϕ βj (2) = ∑ Cλβ j χ λ (2) ϕ βj * (2) = ∑ Cσβ *j χσ (2) λ λ σ σ 69 ϕl (2) = ∑ C λl χ λ (2) ϕ l (2) = ∑ C σ l χ σ (2) * * σ λ Do Fµνα = χ µ (1) h(1) χν (1) Nα + ∑∑ Cλα j Cσα *j χ µ (1) χσ (2) λ ,σ j =1 Nα + ∑∑ Cλβ j Cσβ *j χ µ (1) χσ (2) λ ,σ j =1 M − ∑∑ C λl C σ l χ µ (1) χ σ (2) λ ,σ l =1 e (1 − P12 ) χν (1) χ λ (2) ∈ r12 e2 χν (1) χ λ (2) ∈ r12 e2 χν (1) χ λ (2) ∈ r12 Fµνα = χ µ (1) h(1) χν (1) + ∑ Pλσα χ µ (1) χσ (2) e (1 − P12 ) χν (1) χ λ (2) ∈ r12 + ∑ Pλσβ χ µ (1) χσ (2) e2 χν (1) χ λ (2) ∈ r12 λ ,σ λ ,σ − ∑ χ µ (1) χ σ (2) λ ,σ e2 χν (1) χ λ (2) ∈ r12 Trong Nα Pλσα = ∑ Cλα j Cσα *j j =1 Tách số hạng thứ hai ta được: Nβ Pλσβ = ∑ Cλβ j Cσβ *j j =1 T α β P λσ = P λσ + P λσ 70 Fµνα = χ µ (1) h(1) χν (1) + ∑ Pλσα χ µ (1) χσ (2) e2 χν (1) χ λ (2) ∈ r12 α χ µ (1) χσ (2) − ∑ Pλσ e2 P12 χν (1) χ λ (2) ∈ r12 + ∑ Pλσβ χ µ (1) χσ (2) e2 χν (1) χ λ (2) ∈ r12 − ∑ P λσ χ µ (1) χ σ (2) e2 χν (1) χ λ (2) ∈ r12 λ ,σ λ ,δ λ ,σ T λ ,σ P12 toán tử trao đổi biến P12 χν (1) χ λ (2) = χ λ (1) χν (2) Biểu thức cuối Fµνα có dạng Fµνα = χ µ (1) h(1) χν (1) + ∑ PλσT χ µ (1) χσ (2) e2 χν (1) χ λ (2) ∈ r12 α χ µ (1) χσ (2) − ∑ Pλσ e2 χ λ (1) χν (2) ∈ r12 λ ,σ λ ,σ − ∑ P λσ χ µ (1) χ σ (2) T λ ,σ Trong PλσT = Pλσα + Pλσβ Fµαv = Fvαµ e2 χν (1) χ λ (2) ∈ r12