-1- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN HOÀNG HƯƠNG TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY VÀ CÁC BÀI TOÁN BIÊN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Huy Lợi HÀ NỘI, 2009 -2- LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi Trong nghiên cứu luận văn thừa kế thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà nội, tháng 09 năm 2009 Nguyễn Hoàng Hương -3- MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương Tích phân Cauchy 1.1 Khái niệm hàm giải tích 1.2 Lý thuyết tích phân Cauchy Chương Tích phân loại Cauchy toán biên 11 2.1 Tích phân loại Cauchy 11 2.2 Các toán biên 23 2.2.1 Bài toán biên Hilbert – Privalov 23 2.2.2 Công thức Keldysh – Sedov 32 2.2.3 Bài toán biên Riemann – Hilbert 38 2.2.4 Bài toán đạo hàm riêng 40 2.2.5 Dạng khác toán đạo hàm riêng 41 2.2.6 Bài toán hỗn hợp hàm điều hoà 43 Chương Một số ứng dụng 45 3.1 Ứng dụng để giải vấn đề lý thuyết toán học 45 3.1.1 Hệ Carleman 45 3.1.2 Hệ Elliptic tuyến tính 49 3.1.3 Lý thuyết đạn lõm 57 3.2 Ứng dụng để giải số toán cụ thể 70 3.2.1 Bài toán Tricomi 70 3.2.2 Các toán thuỷ - khí động học 74 3.2.3 Các toán lý thuyết đàn hồi 84 Kết luận 95 Tài liệu tham khảo 96 -4- MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng việc giải số vấn đề toán học thực tiễn Ngay từ năm đầu kỷ XX nhiều nhà toán học có thành công việc nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết hàm biến phức để giải toán thuỷ động học khí động học Đặc biệt lý thuyết có toán biên dựa sở tích phân loại Cauchy phát triển ứng dụng nhiều vào giải số vấn đề lý thuyết, giải toán thực tiễn Việc nghiên cứu tích phân loại Cauchy toán biên giúp tìm hiểu sâu sắc lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết để giải số vấn đề lý thuyết toán học sở để giải số toán thực tiễn khác Hơn nữa, tìm hiểu tích phân loại Cauchy toán biên giúp nhìn nhận kiến thức toán giải tích bậc cao đẳng, đại học cách sâu rộng để đáp ứng yêu cầu dạy học Với lý với hướng dẫn tận tình PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi, chọn đề tài: "Tích phân loại Cauchy toán biên" Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tích phân loại Cauchy toán biên không gian phức - Nghiên cứu số ứng dụng tích phân loại Cauchy toán biên Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm ứng dụng tích phân loại Cauchy toán biên Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu tích phân loại Cauchy toán biên -5- không gian phức số ứng dụng Nội dung luận văn gồm có chương: - Chương Tích phân Cauchy - Chương Tích phân loại Cauchy toán biên - Chương Một số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu ứng dụng Giả thuyết khoa học Luận văn tập trung nghiên cứu số đối tượng Toán học, nâng thành đề tài nghiên cứu đề xuất ứng dụng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi hướng dẫn tận tình, thường xuyên dành cho bảo, động viên giúp đỡ hoàn thành luận văn thời hạn Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ban lãnh đạo, thầy cô giáo, cán nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiên thuận lợi cho thời gian học tập trường Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh em, bạn bè, đồng nghiệp động viên, tạo điều kiện để luận văn hoàn thành Do thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn Hà Nội, tháng 09 năm 2009 Tác giả Nguyễn Hoàng Hương -6- Chương TÍCH PHÂN CAUCHY 1.1 Khái niệm hàm giải tích Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f xác định miền   Xét giới hạn: lim z  f ( z  z )  f ( z ) , z  z   z Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức f z, ký hiệu f ' ( z ) hay Như f ' ( z ) = lim z 0 df ( z) dz f ( z  z )  f ( z ) z Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay -khả vi z Bởi lim [f(z+ z )-f(z)] = lim z  z  nên f f ( z  z )  f ( z ) z  z -khả vi z lim [f(z + z ) - f (z)] = z  Nói cách khác f liên tục z Cũng hàm biến thực, quy nạp ta viết: f k  ( f k 1 )' vế phải tồn gọi đạo hàm phức cấp k f  Định lý 1.1 Nếu f(z) g(z) khả vi phức zo αf(z) + βg(z), f(z)g(z) f(z)/g(z) (g(zo) ≠ 0) khả vi phức zo với α, β  (i) (αf + βg)’(zo) =  f ' (z ) +  g ' (z ) -7- (ii) (fg)’(zo) = f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z ) (iii) (f/g)’(zo) = f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z ) g ( z0 ) (iv) Nếu   f ( z ) khả vi phức zo, g(  ) khả vi phức 0  f ( z0 ) ' ' ' hàm hợp g f khả vi phức zo (gf) (z )= g (f(z ))f (z ) Ví dụ 1.1 a) Rõ ràng z  = 1, theo công thức (ii) quy nạp theo n ta có: (zn)’ = nzn-1 ' n 1 Từ đó, f(z) = aozn + … + an f ( z )  na0 z   an 1 b) Cho hàm f ( z )  Như f z2 (2 z  1)2 z  z , z  , f ' ( z )  (2 z  1) 2z 1 -khả vi z  c) Từ ví dụ b) suy f(z) = P(z)/Q(z) hàm hữu tỉ -khả vi z mà xác định Định nghĩa 1.2 Hàm f xác định miền   với giá trị (chỉnh hình) z0  tồn r > để f gọi giải tích -khả vi z  D(z0,r)   Nếu f giải tích z   ta nói f giải tích  (hay f chỉnh hình  ) Định lý 1.2 Giả sử   miền, H(  ) tập hàm giải tích  Khi (i) H(  ) không gian vectơ (ii) H(  ) vành (iii) Nếu f  H(  ) f(z) ≠ với z  1/f  H(  ) (iv) Nếu f  H(  ) f nhận giá trị thực f không đổi -8- Định lý 1.3 Nếu f :     g :    hàm giải tích,    miền mặt phẳng (z) (w) g  f :   giải tích Định lý 1.4  Giả sử chuỗi luỹ thừa C n z n có bán kính hội tụ R > Khi tổng f(z) n 0  giải tích z với z  R đạo hàm phức  nC n z n 1 n 1 1.2 Lý thuyết tích phân Cauchy Định lý 1.5 (Định lý Cauchy cho miền đơn liên) Nếu hàm ω = f(z) chỉnh hình miền đơn liên Ω với chu tuyến trơn khúc γ  Ω ta có:  fdz  Định lý 1.6 Giả sử Ω miền đơn liên bị chặn, với biên,  chu tuyến trơn khúc Khi đó, f hàm liên tục  =    chỉnh hình Ω thì:  fdz  D Ta gọi Ω miền n – liên (hay đa liên bậc n) biên Ω gồm có chu tuyến γ chu tuyến γ1, γ2, …., γn-1 đôi không giao nằm n 1 Ωγ, Ω = Ωγ \   k         n 1 k 1 Định lý 1.7 (Định lý Cauchy cho miền đa liên) Nếu Ω miền n-liên, f hàm liên tục  , giải tích Ω  fdz   -9- Định lý 1.8 (Định lý tồn nguyên hàm) Giả sử f hàm liên tục miền đơn liên Ω cho tích phân f dọc theo chu tuyến nằm Ω z Khi đó, với zo = Ω cố định, hàm  ( z )   f ( )d giải tích z0 miền Ω  ' ( z )  f ( z ) z   Định lý 1.9 Giả sử Ω miền đơn liên f hàm giải tích Ω khác không điểm Khi tồn hàm g giải tích Ω để eg = f Định lý 1.10 (Công thức tích phân Cauchy) Giả sử f hàm giải tích miền Ω z o   Khi với chu tuyến       ta có công thức tích phân Cauchy: f(zo) = f ( ) d  2i    z (1.1) Nếu thêm f liên tục   chu tuyến với z   ta có: f(z) = f ( ) d 2i   z (1.2) Hình 1.1 Chứng minh: Giả sử  chu tuyến tùy ý vây quanh zo cho     Chọn   đủ bé để hình tròn D(zo,  )    Ký hiệu C  biên D(zo,  ), đặt:   ,    \ D( z ,  ) ,   ,  miền 2-liên, nên theo định lý 1.4 ta có: f ( ) d    z0  C   -10- Từ có đẳng thức: f ( )    z d  f ( )   z C d (1.3) Thực phép đổi biến   z  e i , d  ie i d , vế phải (1.3) trở thành: f ( ) C   z d =  2  2 2 f ( z  e i ) i i  e d   i f ( z  e i )d i  e   i = i  f ( z  e )  f ( z ) d  2i f ( z ) Chú ý ρ→0 tính liên tục f ta có 2   lim i  f ( z  e i )  f ( z ) d   0 Vì lim  0 f ( )   z C d  2if ( z ) Kết hợp điều với (1.3) ta có công thức (1.1) Trường hợp f liên tục  giải tích Ω lấy ∂Ω thay cho γ chứng minh Khi đó, với z   điều kiện trường hợp nói thoả mãn Vì ta có công thức (1.2) -82- tích hợp với z – hàm số f Trên sở này, kết hợp (3.91) lần với z, sau với z , tìm thấy: 8u1  F  f ' g  f ' g  h  h , (3.92) với g   f  dz , g   f  dz - hàm số biết, h h - hàm giải tích tuỳ ý tương ứng với đối số z z , với h ( z )  h( z ) Vì vậy, hàm số h  h hàm điều hoà, rút ngắn trình tìm kiếm lời giải toán Riemann, giá trị biên xác định đạo hàm thông thường với điều kiện biên u  n Phương pháp (Phương pháp Chaplygin) Là phương pháp xấp xỉ thứ hai giải toán lưu lượng mô tả vận tốc âm luồng khí, mà muốn diễn tả - dựa ý tưởng khớp nối công trình cổ điển SA Chaplygin «sự tuôn ra» (1904), bao gồm việc thay đoạn nhiệt   k  (  1) cường điệu thành  a b  , với số a b chọn để cường điệu đoạn nhiệt điểm Phương pháp tương ứng với thay khí không thật, mà   1 , đơn giản hóa đáng kể máy toán học Để nhận phương trình cần dùng, giới thiệu gọi mặt phẳng biểu diễn V x ,V y  , - thuộc tọa độ V ,  (mô-đun vận tốc góc nghiêng trục V x  V cos  , V x ) V y  V sin  sở (16), nhận được: du  i 0 dv  (Vx dx  V y dy )  i (V y dx  Vx dy )  Ve i dz ,  đây, dz  dx  idy Thay du  dv , ta có: Sau đó, có u u dV  d tương tự với v  -83- z e i  V V z e i    V  u  v   i ,  V   V  u  v   i       2z 2 z với rút gọn sau đây: V V Bây đặt đạo hàm hỗn hợp  u  v   v   u d i i     i   i  V  V      dV  V    v       Phần thực phần ảo dẫn đến gọi phương trình biểu diễn: u d    v V   , V dV  V   u  0V v  ,   V (3.93) tuyến V1 ,  (cực tọa độ vectơ vận tốc) Phương trình (3.93) SA Chaplygin thu được giải số toán quan trọng lý thuyết hạt khí  V2 Khi   1 tích phân Bernoulli (3.86) có dạng    1   Vmax    , thay  vào phương trình (3.93) ta được: u V v  V 1 ,  Vmax V v V u  V   Vmax V Giới thiệu hàm số vận tốc chia W (V )   Vì dV V2 V 1 Vmax 2 Vmax  Vmax  V  ln ; 2 Vmax  Vmax V (3.94) v v v V2 u   V  tương tự với , phương trình W W V W  V Vmax cuối có dạng: u v  ,  W v u  ,  W nghĩa phương trình trùng với phương trình Cauchy - Riemann -84- Như vậy, u  iv tất giả thiết hàm giải tích W  i , hàm số định nghĩa xác định dòng khí Điều cho ta khả xây dựng cách hiệu cấp lớn dòng khí, đặc biệt dòng khí chảy quanh bình diện 3.2.3 Các toán lý thuyết đàn hồi 3.2.3.1 Cách giải toán hình tròn Giả sử miền D hình tròn đơn vị, ta phải tìm cân đàn hồi hình tròn đơn vị C với sức căng (điện áp) bên cho trước Fn  X n  iYn (bài toán I) với dịch chuyển g  u  iv (bài toán II) Cách giải toán dẫn tới việc phải tìm hai hàm giải tích  (z )  (z ) hình tròn z  , hàm số có liên quan với đường tròn trường hợp toán I với điều kiện:           z   f   , (3.95)  f    i  Fn ds hàm số cho trước C (trong công thức ta có 0 thể đặt A = 0), trường hợp toán II với điều kiện:            z   g   , (3.96)   số Bây xem xét cách chi tiết lời giải toán I Để xác định cách hoàn toàn đầy đủ toán với điều kiện:  (0)  Im  (0)  (3.97) Chúng ta sử dụng giá trị thực  ( ) giá trị giới hạn hàm số  (z ) giải tích hình tròn z  Theo công thức (2.22) mục 2.1, có tính đến điều kiện (3.95) (3.97), có hệ thức tất z, z  , ta có hệ thức: -85-  d f ( )d  ( )d   ( )    d     2i C   z 2i C   z 2i C   z 2i C   z Vì hàm số  (z ) giải tích hình tròn z  nên áp dụng công thức Cauchy, hệ thức viết lại sau:  ( z)    ( ) f ( )d d   2i C   z 2i C   z (3.98) Chúng ta thu phương trình để xác định hàm số  (z ) Để giải  việc ta thay chuỗi Taylor  ( z )   c k z k vào tích phân vế trái k 0 (3.98): c1 d   ( )   d    kck  k 1d (3.99)     2i C   z 2i C   z 2i C   z k 2 Theo công thức tích phân Cauchy, số hạng đưa c1 z ; để biến đổi số hạng thứ hai cần nhớ đường tròn   1 , ta viết hàm số tích phân dạng: 2c2  ck  kck   k ,    z k 2  k 2  k 2  đồng thời dãy hội tụ   Dễ thấy số hạng thứ hai bên phải (3.99) 2c2 Như vậy, từ công thức (3.98), tìm thấy biểu thức hàm số  (z ) :  ( z)  f ( )d  c1 z  2c2 , 2i C   z (3.100) Tiếp theo, ta xác định số c1   (0) c2   (0) cách sử dụng công thức (3.100), lấy đạo hàm lần lần hai z, sau thay z = 0, có: -86- c1  c1  f ( ) d , 2i C  c2  f ( ) d 2i C  (3.101) Phương trình thứ hai hoàn toàn xác định c2, phương trình thứ trước hết nên nhớ giải với điều kiện: Im f ( ) i d   Im 2i C  2  f ( )d 0 C (chúng ta dùng   1 C), sau đặt f  f  if d  dx  idy ta viết dạng sau:  f dx  f dy  (3.102) C điều kiện đẳng thức tính chất vật lý biểu thị không mômen sức căng bên Trong điều kiện này, công thức thứ (3.101) xác định phần thực c1 , phần ảo giả sử không tương ứng với điều kiện (3.97) xét Như vậy, hàm số  (z ) xác định công thức (3.100), số c1 c2 ta tìm công thức (3.101) Khi biết hàm số này, tìm giá trị giới hạn hàm giải tích  (z ) từ điều kiện (3.95) để tìm giá trị cách áp dụng công thức Cauchy lập lại giá trị  (z ) hình tròn:  ( z)  f ( )d  ( )d   ( )   d   2i C   z 2i C   z 2i C   z (3.103) Tích phân thứ hai bên phải công thức (2.22) mục 2.1  (0) ; tích phân thứ ba tính cách dễ dàng theo định lý Cauchy phép thặng dư:   ( )  ( )d  (0)  ( z ) d      2i C   z 2i C  (  z ) z z (chúng ta dùng   1 C, đồng thời hàm dấu tích phân C có hai cực bậc một:     z ) -87- Như vậy, công thức (3.103) ta viết lại sau:  ( z)  f ( )d  ( z )  (0)     ( 0) 2i C   z z z (3.104) Các số hạng cố định công thức (3.100) (3.104) ta bỏ, xem không quan trọng với công thức (3.101) nhận lời giải toán I dạng cuối sau:  ( z)  f ( ) d z f ( )  d ,  2i C   z 4i C  f ( )d  ( z)    2i C   z 4iz C     f ( )  ( z )  d  z  2 (3.105) Đối với đường tròn đơn vị toán II giải cách hoàn toàn tương tự thay cho (3.105) đến công thức:  g ( )d c1  z, i C   z       g ( )d  ( z ) c1   ( z)      , i C   z z z   ( z)  (3.106) đó: c1   g ( )   d  g (  ) d     i (2  1)  C  C   (3.107) 3.2.3.2 Trường hợp mặt phẳng có lỗ tròn Đối với trường hợp này, toán lý thuyết tính đàn hồi giải cách tương tự Bước đầu ta giả sử véc tơ sức căng bên đặt vào đường biên, đồng thời sức căng vô hướng dần tới không, nghĩa là: X Y 0     (3.108) Từ giả thiết thấy hàm số  (z )  (z ) điểm xa vô cực, giả sử thêm  ()  Vì giá trị  (z ) đường tròn C, mà trước xem đường tròn đơn vị giá trị giới hạn hàm giải tích hình -88- tròn z  , nên theo công thức (2.23) mục 2.1, kể điều kiện biên (3.95), tất z, z  , có hệ thức: f ( ) d  ( ) d   ( )   d  ,   2i C   z 2i C   z 2i C   z sở công thức (2.20) mục 2.1, điều kiện     , ta có:   ( ) f ( ) d   ( z)  d   2i C   z 2i C   z  ck , hội tụ k 1 z k Dùng cách phân tách hệ thống Laurent  z    z  , giống trường hợp hình tròn, có tích phân vế trái công thức cuối không vậy:  ( z)   f ( )d 2i C   z (3.109) Bây ta xác định giá trị giới hạn    , theo công thức (3.95) ta tìm giá trị giới hạn    theo công thức (2.20) mục 2.1 ta xây dựng giá trị  z  với z  :  ( z)    ( )d   ( ) 2i C   z Thay vào giá trị    từ công thức (3.95) sử dụng hệ thức chứng minh cách dễ dàng:  ( )d  0, 2i C   z  ( )d  ( z )   , 2i C  (  z ) z cuối nhận được:  ( z)   f ( )d  ( z )  2i C   z z (3.110) (chúng ta bỏ số hạng không quan trọng) Bây chuyển sang trường hợp tổng quát, điều kiện (3.108) không thoả mãn Chúng ta có: -89- X  iY  ln z   ( z ),  2 (1  )   X  iY  ( z )  2   ln z   ( z ), 2 (1  )   ( z )  2  (3.111) với  z   z  hàm giải tích đơn dấu z  , đồng thời ta đặt     giả sử không quay vô cực, nghĩa  số thực Thay biểu thức vào điều kiện biên (3.95), nhận giá trị giới hạn hàm số  z   z  ràng buộc điều kiện hình thức mà có vế phải thay cho hàm số f   f ( )  f ( )  2     X  iY X  iY ln   2 2 2 (1  ) (3.112) (chúng ta dùng   1 C  số thực) Lưu ý thêm hàm số f   đơn dấu C, f   qua C, X  iY , bù lại số gia số hạng logarit Như vậy, việc tìm hàm số  z   z  dẫn tới toán giải, đó, hàm số tìm thấy công thức (3.109) (3.110) Trong có hàm số f   thay hàm số f   từ (3.112) Bây ta phải tìm hàm số  z    z  công thức (3.111), nghĩa toán giải trường hợp tổng quát Bài toán thứ hai giải hoàn toàn tương tự 3.2.3.3 Trường hợp nửa mặt phẳng Giả sử miền D nửa mặt phẳng Trong trường hợp này, để giải toán tiếp tục tìm hàm số  z    z  xác định miền D nửa mặt phẳng Tức là, z nửa mặt phẳng ta đặt theo định nghĩa:  ( z )   z ( z )   ( z )  const ; (3.113) -90-  ( z )   ( z )  z ( z )   ( z ) (3.114) Nếu ta ký hiệu   (x)   (x) giá trị giới hạn   (z ) với z  x tương ứng bên phải bên trái trục x (nghĩa là, từ nửa mặt phẳng nửa mặt phẳng trên), vậy:   ( x )   ( x)  x  ( x )    ( x) (3.115) Mặt khác: Yy  iX y   ( z )   ( z )  z ( z )   ( z ) (3.116) Chúng ta thấy phần bỏ trục x, nơi Yy  iX y   ( x)   (x)  x (x)   ( x)  , tỉ lệ (3.115) biểu diễn dạng:  ( x)   ( x) Do đó, đạo hàm (3.114) hàm số  z  nửa mặt phẳng đạo hàm giải tích hàm số thông qua phần bỏ trục x Thông qua hàm số  z  , thuộc nửa mặt phẳng trên, biểu diễn hàm số   z  Để có biểu thức này, thay công thức (3.114) z thành z (do z nằm nửa dưới) tiếp tục với biến phức có liên quan, ta thấy:  ( z )   ( z )   ( z )  z ( z ) ( z nằm nửa trên) Thay biểu thức biểu vào (3.115), có biểu thức bắt buộc thông qua hàm số  z  : Yy  iX y   ( z )   ( z )  ( z  z ) ( z ) (3.117) Tương tự, biểu thức thay thông qua hàm số:  (u  iv )   ( z )   ( z )  ( z  z ) ( z )  const (3.118) Về lời giải cho toán biên Bài toán biên thứ trục thực thiết lập ứng suất bên ngoài: áp suất P(t )  Y y ứng suất tiếp tuyến T (t )  X y ; giả sử thoả mãn điều kiện Goldera không vô Từ công -91- thức (3.117), mà phải đến giới hạn z  t , có điều kiện biên cho hàm số  z  :  (t )   (t )  P(t )  iT (t ) (3.119) Lời giải toán biên (3.119) sở công thức Sokhotsky (2.15) mục 2.1 cung cấp biểu mẫu trực tiếp tích phân loại Cauchy:   ( z )  P(t )  iT (t ) dt  2i   tz (3.120) Trong số điều kiện bổ sung áp dụng P(t ) T (t ) , hàm số  z  xác định theo công thức (3.120) thoả mãn điều kiện cần vô cùng, có nghĩa (từ biểu thức công thức (22) mục 51) có dạng:  ( z )   X  iY 1    , 2 z z (3.121) 1    - mức cao so với c  Theo điều kiện này, z z thay biểu thức tìm thấy  z  vào công thức (3.117), tìm ứng suất, từ công thức (3.118) tìm thấy độ dịch chuyển Bài toán biên thứ hai giá trị thực giá trị thành phần u   g (t ) , v   g (t ) ; thừa nhận đạo hàm g1 (t ) g 2 (t ) thoả mãn điều kiện Goldera không vô Mặt khác, phương trình (3.118) trục x, để vượt qua mức giới hạn z  t , cách sử dụng điều kiện biên tìm thấy toán: 2 g1 (t )  ig 2 (t )    (t )    (t ) (3.122) Biểu thức hàm số  (z )  z  nửa mặt phẳng    z  nửa mặt phẳng Khi đó, điều kiện (3.122) viết lại dạng:   (t )    (t )  2 g1(t )  ig 2 (t ) , hàm số  (t ) tìm thấy dạng tích phân loại Cauchy: -92-   g1(t )  ig 2 (t )  ( z)   dt i   tz Khi biết  , ta tìm hàm cần tìm  z   ( z )   ( z )     ( z )   (3.123) Im z > 0, (3.124) Im z < 3.2.3.4 Bài toán dấu Giả sử khoảng  l, l  trục thực, giới hạn đàn hồi dấu cứng đường đáy nằm ngang (hình 3.9) Chúng ta cho điểm thuộc  l, l  tiếp xúc với dấu dấu di chuyển theo chiều dọc Dưới toán biên hỗn hợp lý thuyết đàn hồi Hình 3.9 Trên khoảng (-l, l), cho trước hỗn hợp: u  iv  g (t )  ig (t )  const , (3.125) phần lại biên, nghĩa là, tia  ,l  l ,   cho trước áp lực  X y  Yy  (3.126) Thay điều kiện (3.126) vào công thức (3.125), thấy điểm tia  ,l  l ,   thoả mãn quan hệ   (t )    (t ) nghĩa là, hàm  z  thác triển giải tích qua tia Thay điều kiện (3.125) vào công thức (3.122), có mối quan hệ giá trị biên  z  bờ đoạn cắt  l, l  :   (t )    (t )  ,   (t )    (t ) (3.127) -93- Như vậy, để xác định hàm  z  , dẫn tới toán biên HilbertPrivalov trường hợp b  , a   chu tuyến C không đóng Chỉ số  hàm a không, đó, toán giải cách sử dụng công thức Gaxov (2.27) (2.28), mà trường hợp có dạng:  1 ln      d   (ln   i ) ln z  l F  ( z)  ,  2i l   z 2i zl l  ( z )  Ae   F  (z)  z  l 2  A   z l  i , ln Tuy nhiên, tìm thấy hàm số   z  không thoả mãn điều 2 kiện vô - giá trị hạn chế A, hàm số tìm kiếm theo điều kiện (3.121) phải có số không Vì vậy, cách sử dụng ý cuối mục 2.2 tìm thấy hệ số nhân A  z  l 2   ( z )    z l  z l   i : z l  z l  A   z l  i z2  l2 Thặng dư hàm nói điểm z   A (với lựa chọn riêng nhánh hàm số nhiều biến biểu thức đạt trên) Vì vậy, thay vào công thức (3.121), tìm số A   X Y , 2 tình hình chúng ta, X  , Y   P0 có biểu thức cuối hàm số   z  : iP  z  l   ( z )    2  z  l  i z2  l2 (3.128) Tính toán áp suất P(t ) sức căng tiếp tuyến T (t ) Theo công thức (3.119) (3.127) có: -94- P (t )  iT (t )    (t )    (t )  (1  )  (t ) Thay vào biểu thức (3.128), ta có: P 1 l  t  P(t )  iT (t )    2   l  t  i l2 t2 , vế phải xem xét giới hạn hàm số z  t Sau biến đổi ta được: P0 1  l t   cos  ln , l  t    2 l  t   P0 1  l t   T (t )  sin   ln  l  t    2 l  t  P (t )  -95- KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày tích phân loại Cauchy toán biên số tính chất quan trọng chúng, đồng thời tìm hiểu sâu sắc lý thuyết hàm biến phức Sau luận văn trình bày số ứng dụng tích phân loại Cauchy toán biên: + Ứng dụng để giải số vấn đề lý thuyết - Hệ Carleman - Hệ elliptic tuyến tính - Lý thuyết đạn lõm + Ứng dụng để giải số toán cụ thể - Bài toán Tricomi - Các toán thuỷ - khí động học - Các toán lý thuyết đàn hồi Tuy vậy, khuôn khổ luận văn chưa trình bày hết ứng dụng tích phân loại Cauchy toán biên Chúng tiếp tục trình bày công trình nghiên cứu khoa học sau Mặc dù cố gắng nhiều song chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong đóng góp ý kiến nhận xét để luận văn đầy đủ hoàn thiện, đồng thời có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau Một lần nữa, cho bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Khoa Toán, thầy cô Phòng SĐH Trường ĐHSP Hà nội 2, bạn bè, đồng nghiệp người thân gia đình, đặc biệt PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi nhiệt tình hướng dẫn hoàn thành luận văn -96- TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] B.V.Sabat (1979), Nhập môn giải tích phức Tập I, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Đậu Thế Cấp (2003), Bài tập hàm biến phức, Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Mạnh Hùng (2006), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội [4] Nguyễn Văn Hùng & Lê Văn Trực (2004), Phương pháp toán cho Vật lý Tập I, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội [5] Nguyễn Văn Khuê & Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội [6] Lê văn Trực & Nguyễn Văn Thoả (2008), Phương pháp toán cho Vật lý Tập II, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội Tiếng Nga [7] М.А.Лаврентьев и Б.В.Шабат (1973), Методы теории функций комплексного перменного, ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва " НАУКА "