1 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS-TS Nguyễn Thị Hà Loan, người giảng dạy, tận tình hướng dẫn trình học tập hoàn thiện luận văn Cô cung cấp tài liệu truyền thụ cho kiến thức phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm bồi dưỡng cô giúp hoàn thành luận văn trình học tập nghiên cứu Nhân dịp cho phép bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô giáo khoa Vật lý – Trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy cô trường như: Đại học sư phạm Hà Nội, Đại học Quốc gia, Đại học Bách khoa,…đã nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập hoàn thiện luận văn Lêi Cam §oan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác Tác giả ĐINH VĂN TÌNH MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan………………………………………………………………… MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG 1.1.Dao động tử Boson biến dạng q: 1.1.1.Dao động tử Boson: 1.1.2.Dao động tử Boson biến dạng q:………… ………………….………… 1.2 Dao động tử có thống kê vô hạn 11 1.3.Dao động tử Fermion biến dạng q: 13 1.3.1.Dao động tử Fecmion: 13 1.3.2 Dao động tử Fermion biến dạng q: 14 1.4 Dao động tử biến dạng q tổng quát: 15 1.5 Dao động biến dạng q- R: 19 1.5.1 Dao động tử biến dạng q- R: 19 1.5.2 Thống kê dao động tử biến dạng q – R: 23 Chương PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG (q, R) CHO CHUỖI NGUYÊN TỬ CÙNG LOẠI 25 2.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa: 25 2.2 Phổ lượng dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử loại: 34 2.3 Phổ lượng dao động biến dạng q-R: 45 2.4 Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng q-R cho chuỗi nguyên tử loại: 49 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vài chục năm gần đại số lượng tử nhiều nhà Vật lý nước quốc tế quan tâm nghiên cứu ứng dụng nghiên cứu Vật lý lý thuyết Ví dụ như: nghiên cứu nghiệm phương trình Yâng – Bascter lượng tử, toán tán xạ ngược lượng tử, mẫu hoà tan xác học thống kê, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số Đặc biệt gần áp dụng hình thức luận dao động tử lượng tử có hiệu nghiên cứu quang lượng tử, quay rung động hạt nhân, chất rắn, vật chất đông đặc, dao động mạng tinh thể… Cùng với lý luận văn áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để nghiên cứu “Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử loại” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu “Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử loại” Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể Phương pháp nghiên cứu - Các phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết - Các phương pháp nghiên cứu vật lý chất rắn - Dùng biểu diễn số hạt dao động biến dạng để nghiên cứu dao động mạng tinh thể 5 Những vấn đề nghiên cứu - Nghiên cứu dao động mạng tinh thể - Nghiên cứu dao động biến dạng - Nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể Cấu trúc luận văn Chương 1: Dao động lượng tử biến dạng - Tìm hiểu hình thức luận dao động tử lượng tử - Tính thống kê cho dao động biến dạng Chương 2: Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho chuỗi nguyên tử loại - Phổ lượng dao động tử điều hòa -Phổ lượng dao động mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử loại - Phổ lượng dao động biến dạng q-R - Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng q-R cho chuỗi nguyên tử loại NỘI DUNG Chương DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG 1.1 Dao động tử Boson biến dạng q: 1.1.1 Dao động tử Boson: Dao động tử Boson đơn mode đặc trưng hệ thức giao hoán:  aˆ , aˆ    (1.1) Toán tử số dao động tử có dạng: Nˆ  aˆ  aˆ (1.2) Kết hợp (1.1) (1.2) ta có:  Nˆ , aˆ    aˆ     Nˆ , aˆ   aˆ   (1.3) Xét không gian Fock trạng thái chân không định nghĩa trạng thái có số hạt 0, thỏa mãn điều kiện: (1.4) aˆ  Kí hiệu n trạng thái số hạt n thực không gian Fock với có sở trạng thái riêng chuẩn hóa toán tử số dao động tử N: n  (aˆ  )n  n ! , n= 0, 1, 2,… (1.5) Ta có toán tử tọa độ Q toán tử xung lượng P liên hệ với toán tử sinh dao động aˆ  toán tử hủy dao động aˆ sau:   2 ˆ ˆ Q  a  a  2m   m   P   aˆ  aˆ    Trong m,  khối lượng tần số góc dao động tử Khi ta có hệ thức giao hoán toán tử Q toán tử P sau: i   aˆ  aˆ  ,  aˆ   aˆ     i  aa ˆ ˆ     aˆ  aˆ    ˆ ˆ    i  aa  Q, P     (1.6) Thay (1.1) vào (1.6) ta  Q, P   i  (1.7) Toán tử Hamintonian dao động tử điều hòa biểu diễn: P m 2 ˆ H  Q 2m 2      aˆ  aˆ   aˆ  aˆ    4   ˆ ˆ   aˆ aˆ  aa    2aˆ  aˆ   aˆ , aˆ      N  1 1     N   2    (1.8) Phổ lượng dao động điều hòa xác định phương trình hàm riêng trị riêng: Hˆ n  En n 1     N   n  En n 2  1     n   n  E n n 2  1   En    n   ;  0,1, 2  (1.9) 1.1.2 Dao động tử Boson biến dạng q: Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q mô tả toán tử hủy toán tử sinh dao động tử aˆ , aˆ  theo hệ thức sau: ˆ ˆ   qaˆ  aˆ  q  N aa (1.10) Với q thông số biến dạng Toán tử số dao động biến dạng q thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng: Nˆ n q n n q (1.11) Toán tử hủy, sinh aˆ , aˆ  toán tử số dao động Nˆ thỏa mãn hệ thức:  Nˆ , aˆ    aˆ     Nˆ , aˆ    aˆ   Chúng ta đưa vào không gian Fock: (1.12) n q  (aˆ  ) n  n q ! (1.13) Ở trạng thái dùng kí hiệu:  n q  qn  qn q  q 1 (1.14)  n q !   n q  n  1q  n  2q 1q ˆ ˆ  lên trạng thái riêng n q ta được: Tác dụng aˆ  aˆ , aa  aˆ  aˆ n q  aˆ  aˆ (aˆ  ) n   q  n q !  aˆ (aˆ  ) n  qaˆ  aˆ  q  N (aˆ  ) n 1 N  (aˆ  )n 1  qaˆ  aˆ (aˆ  ) n 1      q  N (aˆ  )n 1  qaˆ  qaˆ  aˆ  q  N (aˆ  ) n      q  N (aˆ  )n 1  q  N  (aˆ  ) n1  q aˆ   aˆ (aˆ  )n   q   q   aˆ  aˆ (aˆ  )n N     q  N    q  N  n  (aˆ  )n 1  q n aˆ   N 1     q  N    q  N  n 1 (aˆ  ) n  q n aˆ  Vậy aˆ  aˆ n q    q  n 1  q  n 3   q n 1 n  qn  qn n q  q 1   n q n q q q n  aˆ aˆ n 1 10 ˆ ˆ  aˆ aˆ  n q  aa  qaˆ  aˆ (aˆ  ) n  n q !   qaˆ  aˆ  q  N (aˆ  )n  n q !  q N  qaˆ  aˆ n q  q  N n n q  nq !  n q ! 0 q n q q n q  q n n 1 qq q  q n 1  q  n 1  q  n 1  q  n 1 n q  q 1  q n 1  q  n 1 n q  q 1   n  1q n Vậy (aˆ  )n ˆ  )n  (a q q q aˆ  aˆ n q   n q n q   n  1q n  aˆ aˆ n q (1.15) q Hamiltonian biểu diễn qua toán tử tọa độ xˆ toán tử xung lượng pˆ có dạng: pˆ Hˆ   m xˆ 2m (1.16) Toán tử hủy sinh dao động tử aˆ , aˆ  dao động biến dạng q: aˆ  m 2 i   pˆ   xˆ  m    m aˆ   2 (1.17) i   pˆ   xˆ  m   Các toán tử tọa độ xung lượng biểu diễn ngược lại qua toán tử hủy sinh dao động tử aˆ , aˆ  : 45   aˆk aˆ k aˆk n k   q   N  k 1    q  N  k 3  q  N k 5   q  Nk  n k 1 aˆk  k aˆ k aˆ n   aˆ   k n k    q n k aˆk n k 1  aˆ k nk  nk q ! n k q !   aˆ k aˆk n k 1  q n k  q  n k   q  q  n k  n 1 qq    q n k 1  q  n k 1  q  n k 1  q  n k 1   n q  q 1   n k 1  n k 1 q  q  n 1 qq     n k  1q n Vậy: En   (1) k   n k  1q   nk q   (2.26) 2.3 Phổ lượng dao động biến dạng q-R: Ta có Hamiltonian dao động diến dạng (q-R) biểu diễn sau: pˆ Hˆ   m xˆ 2m (2.27) Chúng ta định nghĩa toán tử sinh hủy aˆ  (aˆ ) dao động biến dạng (q,R) sau: aˆ   m 2 m aˆ  2 i   pˆ  x m   (2.28) i   pˆ  x m   Ta biểu diễn toán tử tọa độ xung lượng thông qua toán tử sinh hủy sau: 46   aˆ  aˆ   2m xˆ  (2.29)  pˆ  i aˆ  aˆ    2m Thay (2.29) vào (2.27) ta được: m  aˆ  aˆ  aˆ  aˆ  2 m   ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ    aˆ  aa     xˆ  aˆ  aˆ  aˆ  aˆ  2m   ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ    aˆ  aa   2m   pˆ            (2.27) viết thành: 2      ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ    ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ   Hˆ  aˆ  aa aˆ  aa      ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aa       (2.30) Toán tử sinh (huỷ) dao động tử aˆ   aˆ  toán tử phản xạ Rˆ theo hệ thức ˆ ˆ   qaˆ  aˆ  q  N   Rˆ  aa  Rˆ 1     ˆ ˆ  aˆ Rˆ  Ra ˆ ˆ  aR ˆˆ  Ra  0   , q thông số biến dạng thực Toán tử phản xạ Rˆ toán tử số hạt Nˆ thoả mãn điều kiện: (2.31) 47  Nˆ , aˆ    aˆ     Nˆ , aˆ    aˆ   (2.32) Ta xây dựng không gian Fock có sở vectơ trạng thái   n  Cn a  n với Cn hệ số chuẩn hoá, trạng thái chân không Trạng thái thoả mãn điều kiện sau: aˆ    Nˆ    0 1 ˆ  R  r , r  1 (2.33) Tác dụng toán tử aˆ   aˆ  lên trạng thái n , ta có: n aˆ   aˆ  n  cn aˆ   aˆ   aˆ     n q n (  n = 0, 1, 2…) (Xét với r = 1) n  q n   1 v  n q   n q  q 1   qn  qn  n   q q  q 1  (2.34) (2.35) Từ ta suy   aˆ , aˆ  n   aˆ aˆ  n          n 1 n 1  q n  (1)n   n   aˆ    v  aˆ   Rˆ  q q 1    (2.36) Với r  1,   1 không gian biểu diễn đại số biến dạng q – R vô hạn xây dựng từ vectơ chuẩn hoá sau: 48 a   n n  nqv ! (2.37) n n'   n , n ' Tác dụng toán tử số hạt Nˆ lên trạng thái n , ta có:  n Nˆ n  Nˆ    n qv ! aˆ   aˆ    Nˆ   aˆ  n 1  n qv !  nqv  aˆ !  nqv  nqv   aˆ  Nˆ  n 1   aˆ   aˆ  n  aˆ  aˆ   aˆ  Nˆ !    n2   aˆ    (2.38)   aˆ  n   aˆ  2 Nˆ  a  n    !     nqv ! n n  aˆ   n n Vậy ta có N n  n n Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng (q, R) cho bởi: n aˆ       ˆ ˆˆ  H n   En n  aˆ aˆ  aa n! với: 49   ˆ ˆ  Hˆ  aˆ aˆ  aa    q N 1 q N 1    N  v  N   v   q 1 q 1     q N 1  q N   N   v   q 1   q N 1  q N      N   v 2(q  1)   Từ ta có phổ lượng dao động tử biến dạng (q, R):  q n 1  q n   E n  n   v  2(q  1)   (2.39) Trong trường hợp giới hạn: Khi q  thì: E n  ( 2n  1)  Khi q  – ta có E n  ( 2n   v )  2.4 Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng q-R cho chuỗi nguyên tử loại: Hamiltonian hệ dao động biến dạng (q, R): pˆ Hˆ  k  m xˆ 2m (2.40) xˆ  Uˆ k tọa độ suy rộng nguyên tử thứ k pˆ k sung lượng suy rộng nguyên tử thứ k ứng với tọa độ Uˆ k 50 Toán tử sinh hủy dao động ứng với véctơ sóng kˆ có dạng: aˆk  i   pˆ  k   m (k )uˆ k   ( k )  m  i   aˆk  pˆ k   m (k )uˆk   ( k )  m  (2.41) Các toán tử tọa độ xung lượng biểu diễn qua toán tử sinh hủy aˆ  , aˆ : i   pˆ k   m (k )uˆk   ( k )  m  aˆk  aˆk  m (k )uˆk  ( k ) aˆk  aˆk  aˆk   uˆk  (2.42) 2i pˆ k  ( k ) m  ( k ) aˆk  aˆk m (k )   ( k ) pˆ k  i m aˆk  aˆk   (2.43)  Đưa vào toán tử số dao động Nˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán:  Nˆ k , aˆk '   aˆk k , k ' ,  Nˆ k , aˆ k '   aˆk  k , k '      Nk   aˆk aˆ k '  qaˆk aˆ k '  q  k , k '  aˆk , aˆk '   0,  aˆk , aˆk'   Sử dụng phương trình (2.44) (2.41) ta có:   Hˆ   (1)  pˆ  k pˆ k  m (k )uˆ k uˆk   2m  k (2.44) 51 pˆ  k pˆ k    m  k   aˆ k uˆ k uˆk   m  k   aˆ  aˆ 2m  k   aˆ 2m  k  k  aˆk  aˆ k  aˆk  aˆk  aˆ k aˆk  aˆk aˆk  aˆk aˆk   k k  aˆk  aˆ k  aˆk   aˆk  aˆ k aˆk  aˆk aˆk  aˆk aˆk  Vậy:     k     k  Hˆ   (1)  aˆ k aˆk  aˆ k aˆk  aˆk aˆk  aˆk aˆk  aˆ k aˆk  aˆ k aˆk  aˆk aˆk  aˆk aˆk  4 k       k  Hˆ   (1) aˆ k aˆk  aˆk aˆk k     (2.45) Hệ thức biến dạng tắc (q, R) biểu diễn sau:  pˆ k , Uˆ k   i  aˆk , aˆ  k      Những véc tơ trạng thái biến dạng (q, R) không gian Fock có dạng: nˆ  nk k  n k k  aˆ   aˆ    nq ! n k q ! Ở trạng thái chân không sử dụng kí hiệu:  nk q  q nk  q n k q  q 1  nk q !   nk q  nk  1q  nk  2q 1q Trong n trạng thái riêng toán tử số dao động: Nˆ k n  nk n Ta tìm thấy tác dụng aˆk , aˆk lên trạng thái riêng n cách chọn sau: 52 aˆk n   nk  1q aˆk n   nk q n 1 n 1 Thật vậy: aˆk n   n n  aˆk n   n n  , Ta có:  nk q   nk q  n aˆk aˆk n   n n 1 n 1  n n aˆk aˆk n  n q 1aˆk aˆk  q  Nk 1 n  n q 1aˆk aˆk n  n q  N k 1 n  q 1  n n  n   q  nk 1 n n  q 1  n  q  nk 1  n ,  n coi số thực, ta rút n   nk q  nk q   q 1  n  q  nk 1 q 1  n   nk q  q  nk 1 q 1  n  n  n  q nk  q  nk  q  nk 1 1 qq q nk 1  q  nk 1  q  nk 1  q  nk 1 q  q 1 q nk 1  q  nk 1 q  q 1   nk  1q  n   nk  1q 53 Phổ lượng dao động mạng tinh thể biến dạng (q,R) cho chuỗi nguyên tử loại tìm từ phương trình sau : Hˆ n  En n  (1)  (1)   k  k   k  k  (1)  (1) k k k aˆ k  aˆk  aˆk aˆk n  En n  aˆk n  aˆk aˆk n  En n n k nk n k   nk  aˆk aˆk aˆk aˆk aˆk   k   aˆ k aˆ  k aˆk      nk q ! n k q ! nk q ! n k q !     nk n k aˆk aˆk   k    n k 1 aˆ k aˆ k  aˆk aˆk aˆk    nk  ! n k  !  nk q ! n k q ! q q       aˆ aˆ n           k k aˆk aˆ k  aˆ nk    n k k  aˆ   nk q ! n k q !   qaˆ k aˆk  q  Nk   q   q   aˆ   k nk 1   aˆk aˆk aˆk nk 1  qaˆk qaˆk aˆk  q  Nk  aˆ  nk 1  q  Nk  aˆk  k  Nk nk       En n  nk 0    q  Nk aˆk  Nk    En n    nk 1    q  Nk   q  N k  aˆk   aˆ   k 0    qaˆ aˆ  q aˆk nk 1 nk   q  Nk  k k  nk 3 k   aˆ  aˆ   q aˆk k   aˆ   k nk  0 0    aˆk aˆk aˆk nk  q   Nk  q    q  Nk   q  N k    q  Nk  nk  aˆk  N k 1 nk 1    q  Nk 3  q  Nk 5   q  N k  nk 1 aˆk    q nk aˆk nk nk    q nk aˆk  aˆk nk 1  aˆk 54    aˆk aˆk n  q  nk 1  q  nk 3  q  nk    q nk 1 n nk   nk q q q  q 1 n   nk q n  k  aˆ k aˆ n    aˆ k aˆk n k 1  nk k  aˆ   nk q ! n k q !    aˆ k aˆk aˆk n k      aˆk aˆ k aˆk n k   q   N  k 1 n k 1 0  qaˆk aˆ k  q  N k  qaˆk aˆ k aˆk   aˆ k aˆk n k   aˆ   k n k    q  N  k aˆk n k    q  N  k 3  q  N k 5   q  Nk  n k 1 aˆk  k aˆ k aˆ  aˆ   k n  n k    q n k aˆk n k 1  aˆ k nk  nk q ! n k q !   aˆ k aˆk n k 1  q n k  q  n k   q  q  n k  n 1 qq    q n k 1  q  n k 1  q  n k 1  q  n k 1   n q  q 1    q n k 1  q  n k 1   n q  q 1     n k  1q n Vậy: En   (1) k   n k  1q   nk q   (2.46) Mạng tinh thể đơn giản lý thuyết lượng tử biến dạng (q, R) biểu diễn Hamiltonian (2.40) với toán tử sinh dao động aˆk toán tử hủy dao động aˆk thỏa mãn hệ thức giao hoán (2.41), coi 55 mạng tinh thể dao động hệ nhiều hạt có phổ lượng En phụ thuộc vào thông số biến dạng (q, R) công thức (2.46) 56 KẾT LUẬN Sau thời gian tiến hành tìm hiểu, nghiên cứu dao động biến dạng mạng tinh thể thực nhiệm vụ đề ra, cụ thể là: Nghiên cứu dao động biến dạng Boson, dao động tử Fermion số dao động khác (tuân theo thống kê khác thống kê Bose – Einstein thống kê Fermi – Dirac, ví dụ thống kê Para, thống kê vô hạn …) Nghiên cứu dao động mạng tinh thể nói chung dao động biến dạng mạng tinh thể cho chuỗi nguyên tử loại Áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để nghiên cứu phổ lượng dao động biến dạng cho chuỗi nguyên tử loại Với kết tìm phổ lượng vấn đề nghiên cứu vật lý chất rắn, tài liệu cho quan tâm đến vấn đề Trong khoảng thời gian nghiên cứu hạn chế cố gắng hoàn thiện luận văn hy vọng tiếp tục nghiên cứu sâu lĩnh vực đề cập điều kiện cho phép 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Việt Dũng, Nguyễn Thị Hà Loan (1994), “The p, q – Deformed harmonic oscillators repressentation of the quantum algebra SU(2)pq”, Communications in physics, Vol 4, No 2, page 85 – 89 [2] Hoàng Dũng (1999), Nhập môn Cơ học lượng tử, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Nguyễn Hoàng Phương (1998), Nhập môn Cơ học lượng tử, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [6] Nguyễn Thị Hà Loan, Nguyễn Hồng Hà (2005), “Oscillators repressentation of R(q) – Deformed Virasoro algebra”, Báo cáo Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 30, Thành phố Huế [7] Nguyễn Thị Hà Loan, Nguyễn Hồng Hà (2003), “(q, R) – Deformed Heisenberg algebra and statistics of quantum oscillators”, Communications in physics, Vol 13, No 4, page 240 – 244 [8] Nguyễn Thị Hà Loan (1996), “Deformed oscillators and their Statistics”, Communications in physics, Vol 6, No 2, page 18 – 22 [9] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh (1999), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 58 [10] A S Davydov (1972), Cơ học lượng tử, Đặng Quang Khang dịch, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [11] A Messiah (1968), Quantum Mechanics, Vol I, II, Wiley, NewYork [12] C Kittel (1964), Quantum Theory of Solids, Wiley, NewYork [13] D Halliday, R Resnick J W Walker (1998), Cơ sở Vật lý Tập VI, Quang học Vật lý nguyên tử, Hoàng Hữu Thư, Phan Văn Thích Phạm Văn Thiều dịch, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [14] E U Condon and G H Shortley (1963), The Theory of Atomic Spectra, Cambridge University Press, Cambridge [15] E V Spolskii (1967), Vật lý nguyên tử, Phạm Duy Hiển, Phạm Quý Tư Nguyễn Hữu Xý dịch, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [16] H Haken (1976), Quantum Field Theory of Solids, North – Holland, Amsterdam [17] Itzykson.C, and Zuber.J.B (1980), Quantum Field Theory, McGraw – Hill, NewYork [18] J J Sakurai (1967), Advanced Quantum Mechanics, Addison Wesley, NewYork [19] L D Landau and E M Lifshitz (1962), Quantum Mechanics NonRelativistic Theory, Pergamon Press, Oxford [20] Lee T Dn (1998), Particle physics and Introduction to Field Theory, Harwood Academic Publishers [21] Schrodinger.E (1926), Naturwissenschaff.ten 14, 644 59 [22] S Gasiorowixz (1974), Quantum Physics, Wiley, NewYork [23] P A M Dirac (1958), The Principles of Quantum Mechanics, 4th ed, Clarendon, Oxford [24] R Gautreau and W Savin (1999), Modern Physics, Schaum’s Outline Series, McGraw – Hill, NewYork [25] Yaping Yang and Zurong Yu (1994), “On q – Coherent state of q – Deformed oscillator”, Modern physics Letters A, Vol 9, No 36