LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập nghiên cứu khoa học tác giả nhận giúp đỡ nhiệt tâm TS Trần Văn Vuông, định hướng thầy mà tác giả có lòng say mê Toán học thực nghiên cứu đề tài "Phép biến đổi Radon" Nhân dịp luận văn hoàn thành tác giả xin kính tặng thầy luận văn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với người thầy cố Tác giả chân thành cảm ơn đến TS Nguyễn Văn Hào người giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học, thầy giáo, cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho tác giả thời gian học tập trường Tác giả biết ơn BGH trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Điện Biên đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực kế hoạch học tập Tác giả xin cảm ơn người thân, bạn bè cổ vũ động viên tác giả trình làm luận văn Do thời gian kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót định Tác giả xin chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn học viên Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Hoàng Thị Hoa i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng định hướng Tiến sĩ Trần Văn Vuông hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hào Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2011 Tác giả Hoàng Thị Hoa ii iii Mục lục Mở đầu v Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 1.1.1 Một số khái niệm tính chất 1.1.2 Ánh xạ tuyến tính liên tục không gian định 1.1.3 1.2 1.3 chuẩn Một số nguyên lý không gian định chuẩn Không gian Hilbert 12 1.2.1 12 Một số khái niệm Không gian Lp 14 1.3.1 Các định lý quan trọng lý thuyết tích phân 14 1.3.2 Không gian Lp 16 Tích chập 19 1.4.1 Khái niệm tích chập 19 1.4.2 Một số tính chất tích chập 19 1.5 Chuỗi Fourier 21 1.6 Biến đổi Fourier 24 1.6.1 Phép biến đổi Fourier không gian L1 (R) 24 1.6.2 Phép biến đổi Fourier không gian L2 (R) 27 Hàm Delta Dirac 28 1.4 1.7 iv 1.7.1 Hàm tiêu chuẩn 28 1.7.2 Hàm phân bố 29 1.7.3 Hàm Delta 32 Phép biến đổi Radon ứng dụng 2.1 34 Định nghĩa biến đổi Radon 34 2.1.1 Trường hợp hai chiều 34 2.1.2 Trường hợp nhiều chiều 36 2.2 Một số ví dụ 38 2.3 Các tính chất biến đổi Radon 39 2.4 2.3.1 Mối liên hệ biến đổi Fourier biến đổi Radon 39 2.3.2 Tính chất tuyến tính 40 2.3.3 Tính chất chuyển dịch 41 2.3.4 Tính chất 42 2.3.5 Tính chất đối xứng 42 Biến đổi Radon đạo hàm 46 2.4.1 Biến đổi Radon đạo hàm bậc 46 2.4.2 Biến đổi Radon đạo hàm bậc hai 47 2.5 Đạo hàm biến đổi Radon 48 2.6 Biến đổi Radon tích chập 50 2.7 Biến đổi Radon ngược 52 2.8 Áp dụng biến đổi Radon để giải toán Cauchy phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic 58 Kết luận 62 Phụ lục 65 v Mở đầu Lý chọn đề tài Nguồn gốc phép biến đổi Radon đánh dấu công trình tiếng năm 1917 nhà toán học Johan Radon [11] "Về vấn đề xác định hàm từ tích phân dọc theo đa tạp đó" Trong công trình phôi thai đó, Radon giải thích để xây dựng hàm hai biến từ tích phân đường tất đường thẳng mặt phẳng Ông thiết lập tổng quát khác biến đổi liên quan đến việc xây dựng lại hàm từ tích phân đường cong trơn, việc xây dựng lại hàm n biến từ tích phân tất siêu phẳng Mặc dù, phép biến đổi Radon có số hệ trực tiếp đến toán tìm nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng hyperbolic với hệ số số, không nhận quan tâm nhà Toán học giới khoa học thời Đến năm 1960, phép biến đổi Radon thu hút ý nhà khoa học nhiều lĩnh vực Điểm nhấn quan trọng việc nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Radon để xây dựng lại mặt cắt cấu trúc bên vật thể mà không cần phải cắt hay làm hư hại đến đối tượng Thông qua tương tác phận vật thể "thăm dò" đối tượng loại tia X, tia gamma, ánh sáng nhìn thấy, điện tử, notron với sóng siêu âm, vi người ta thường thu tích phân đường tích phân siêu phẳng nhờ phép biến đổi Radon mà người ta xây dựng lại cấu trúc nội bên vật thể Có mối quan hệ mật thiết phép biến đổi Radon với phát triển kỹ thuật quét X-quang hình ảnh y tế Trong thực tế, quét X-quang cung cấp hình ảnh quan nội thể người động vật giúp ta phát hiện, định vị bất thường bên Một ví dụ bật ứng dụng phép biến đổi Radon đời máy tính hỗ trợ chụp cắt lớp y học chuẩn đoán, phương pháp sử dụng để tạo hình ảnh bên quan người Trong nhiều năm sau với đời phát triển mạnh mẽ kỹ thuật tin học nhà khoa học liên tiếp giới thiệu thuật toán với tốc độ nhanh máy tính điện tử đem lại phát triển nhanh chóng kỹ thuật chụp cắt lớp vi tính Hơn năm mươi năm sau kể từ phát phép biến đổi Radon, nhà vật lý trẻ người Nam Phi Allan Cormack quan tâm đến việc tìm kiếm đồ hệ số hấp thu cho phận khác thể người Để làm cho việc sử dụng chụp X-quang xạ trị đạt hiệu hơn, ông nhanh chóng nhận thấy tầm quan trọng biến đổi Radon, tương tự phép đo hấp thu tia X-quang dọc theo mặt cắt chúng thể người Bởi logarit tỉ số cố phản ánh cường độ X-quang dọc theo đường thẳng cho tích phân đường hệ số hấp thu dọc theo đường đó, nên vấn đề toán học tương đương với việc tìm kiếm hàm từ giá trị tích phân dọc theo tất số đường mặt phẳng Vào đầu năm 1963, Cormack thu ba lời giải thay cho vấn đề cốt lõi [2], [3], [4] Cùng thời gian kĩ sư y - sinh học trẻ người Anh Godfrey Hounsfield nhận tầm quan trọng đặc biệt vii ý tưởng lớn Radon Cormack sử dụng chúng để phát triển loại máy X-quang đem lại cách mạng hóa toàn lĩnh vực hình ảnh y tế Ngay sau Cormack Hounsfield cộng tác thực nhiều phương pháp tinh tế việc giải vấn đề hình ảnh y tế Sự cộng tác họ đem lại khám phá quan trọng kỹ thuật quét CT giành giải Nobel năm 1979 lĩnh vực vật lý y khoa [11] Phép biến đổi Radon đem lại nhiều hữu ích lĩnh vực đa dạng khoa học kỹ thuật bao gồm: hình ảnh y tế, thiên văn học, tinh thể, hiển vi điện tử, địa vật lý, khoa học vật liệu quang học Một vấn đề quan trọng đáng phải đề cập tới phép biến đổi Radon sử dụng việc chụp cắt lớp hỗ trợ máy tính phục vụ hữu hiệu y học đem lại kết chuẩn đoán bệnh xác ngày cao Ý nghĩa quan trọng vấn đề việc xác định cấu trúc nội vật thể quan sát hình ảnh liên quan mật thiết với phép biến đổi Radon Được định hướng người hướng dẫn, em chọn đề tài "Phép biến đổi Radon" để hoàn thành khóa đào tạo thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích Bố cục luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo trình bày hai chương Chương Chương dành cho việc trình bày số kiến thức chuẩn bị bao gồm: Không gian định chuẩn nguyên lý ánh xạ tuyến tính liên tục lớp không gian này; Một số khái niệm kết quan trọng không gian Hilbert không gian Lp ; Biến đổi Fourier; cuối khái niệm tính chất hàm Delta-Dirac phục vụ trực tiếp cho việc xác định tính toán biến đổi Radon Chương Đây chương luận văn, trình bày viii cách hệ thống biến đổi Radon bao gồm: Khái niệm biến đổi Radon không gian hai chiều không gian n chiều; Tính chất biến đổi Radon; Đạo hàm biến đổi Radon biến đổi Radon đạo hàm; Biến đổi Radon tích chập; Mối liên hệ biến đổi Fourier biến đổi Radon; Cuối chương trình bày áp dụng phép biến đổi Radon việc giải toán Cauchy phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic Đối tượng, mục đích, nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu biến đổi Radon mối quan hệ biến đổi với biến đổi Fourier Biến đổi Radon có nhiều ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khác ngành khoa học đời sống thực tiễn Tuy nhiên luận văn đề cập đến ứng dụng toán Cauchy việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng loại hyperbolic Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, tra cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài Hệ thống cách số kiến thức biến đổi Radon Minh họa ý nghĩa biến đổi Radon cách lĩnh vực khoa học đời sống thực tiễn thông qua việc giải toán Cauchy việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng loại hyperbolic Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian định chuẩn Một số khái niệm tính chất Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E không gian vector Một giá trị hàm thực · : E → R gọi chuẩn E thỏa mãn điều kiện (N1 ) x 0; với x ∈ E x = x = (N2 ) λx = |λ| x ; với x ∈ E λ ∈ R (N3 ) x + y x + y ; với x, y ∈ E Không gian vector E với · gọi không gian tuyến tính định chuẩn hay nói gọn không gian định chuẩn Mệnh đề 1.1.1 Giả sử E không gian định chuẩn · Với x, y ∈ E ta đặt ρ (x, y) = x − y Khi ρ khoảng cách E gọi khoảng cách sinh chuẩn Chứng minh + Hiển nhiên ρ (x, y) = x − y với phần tử x, y ∈ E Thêm ρ (x, y) = x − y = Từ tiên đề (N1 ) ta suy x − y = hay x = y + Ta nhận thấy ρ (x, y) = x − y = y − x = ρ (y, x) ; với x, y ∈ E + Cuối với x, y, z ∈ E, tiên đề (N3 ) ta có ρ (x, z) = x − z x − y + y − z = ρ (x, y) + ρ (y, z) Như vậy, không gian định chuẩn không gian metric với khoảng cách sinh chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E khoảng cách sinh chuẩn không gian metric đầy Mệnh đề 1.1.2 Không gian định chuẩn E không gian Banach với dãy {xn } ⊂ E mà xn − xm → n, m → ∞ dãy hội tụ Chứng minh Thật vậy, giả sử {xn } ⊂ E mà xn − xm → n, m → ∞ Điều tương đương với ρ (xn , xm ) → 0; n, m → ∞ Điều chứng tỏ {xn } dãy Cauchy không gian metric E Từ suy điều nhận xét n Định lí 1.1.1 Dãy {xk }∞ k=1 ⊂ R hội tụ dãy Cauchy Như Rn không gian Banach Chứng minh n Điều kiện cần Giả sử {xk }∞ k=1 dãy hội tụ tới phần tử x R Khi theo định nghĩa với ε > tồn N0 cho với k có xk − x < ε/2 N0 51 x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) Lấy biến đổi Radon ˆ u) = h(p, {h(x)} = {(f ∗ g) (x)} ∞ h(x)δ(p − ux)dx = −∞ ∞ ∞ g(x − y)δ(p − ux)dx f (y)dy = −∞ ∞ = −∞ ∞ g(z)δ(p − u.y − u.z)dz; (z = x - y) f (y)dy −∞ ∞ −∞ f (y)ˆ g (p − u.y, u)dy = −∞ ∞ = ∞ gˆ(p − s, u)δ(s − u.y)ds f (y)dy −∞ ∞ −∞ ∞ gˆ(p − s, u)ds = −∞ ∞ f (y)δ(s − u.y)dy −∞ fˆ(s, u)ˆ g (p − s, u)ds = −∞ = fˆ ∗ gˆ (p, u) , ∞ gˆ(p − u.y, u) = gˆ(p − s, u)δ(s − u.y)ds −∞ Hay ˆ u) = h(p, {f ∗ g} (x) = fˆ(p, u) ∗ gˆ(p, u) 52 2.7 Biến đổi Radon ngược Chúng ta xét biến đổi Fourier n - chiều f˜(k) f (x) xác định ∞ f˜(k) = F {f (x)} = e−ik.x f (x)dx n/2 (2π) (2.60) −∞ Sử dụng hệ tọa độ siêu cầu, đặt k = ρu, u ∈ S n−1 n−1 mặt cầu đơn vị x2r = Từ suy r=1 ∞ f˜(k) = f˜(ρu) = e−iρ(u.x) f (x)dx n/2 (2π) (2.61) −∞ Với ρ u cố định, đặt F (x) = exp [−iρ(u.x)] f (x) cho Fˆ (p, u) = e−iρ(u·x) f (x)ds, (2.62) L Trong L siêu phẳng u’.x = p ds độ đo diện tích mặt (n − 1)chiều Rn Do f (x)ds = e−iρp fˆ(p, u), Fˆ (p, u) = e−iρp (2.63) u’.x=p Từ hệ thức (2.52) suy khả tích ∞ ∞ Fˆ (p, u)dp = −∞ e−iρp fˆ(p, u)dp (2.64) e−iρp fˆ(p, u)dp (2.65) −∞ Do đó, công thức (2.61) trở thành ∞ f˜(ρu) = n/2 (2π) −∞ 53 Tiếp theo biến đổi Fourier chiều theo hướng bán kính Fr (2.65) viết sau F {f (ρu)} = (2π) Fr fˆ(p, u) (2.66) f˜(ρu)e−iρp dρ (2.67) n−1 Biến đổi Fourier ngược (2.65) ∞ fˆ(ρu) = (2π) n−1 −∞ Tiếp theo nhận xét biến đổi Fourier ngược với (2.65) thu ∞ f (x) = (2π) = −∞ ∞ ∞ = |u|=1 ∞ ρn−1 dρ n/2 (2π) eiρ(x.u) f˜(ρu)du ρn−1 dρ n/2 (2π) = e−ik.x f˜(k)dk n/2 du |u|=1 eiρ(x.u) fˆ(p, u)e−ρp dp −∞ h(x.u, u)du, |u|=1 ∞ h(t, u) = ρn−1 eiρ(p−t) fˆ(p, u)dp dρ n/2 (2π) ∞ −∞ Từ thu hồi định lý biến đổi Radon ngược Định lí 2.7.1 (Định lý phép biến đổi ngược) Nếu fˆ biến đổi Radon f (x) f (x) = h(x.u, u)du, |u|=1 (2.68) 54   ∂ n−1  an n−1 fˆ(t, u) ∂t n−1 h(t, u) = ∂   fˆ(p, u) (t) an H n−1 ∂p H biến đổi Hilbert ứng với p,  n−1 i    n−1 an = 2(2π) in    2(2π)n−1 n lẻ (2.69) n chẵn n lẻ (2.70) n chẵn Định lí 2.7.2 (Định lý phép biến đổi ngược hai chiều) Nếu fˆ(p, u) biến đổi Radon f (x, y), ∞ f (x, y) = − 4π du fˆp (p, u) dp p − x.u (2.71) −∞ |u |=1 Trong trường hợp n = 2, từ (2.69) - (2.70) suy ∞ −1 h(t, u) = 2(2π) π fˆp (p, u) dp, p−t (2.72) −∞ ∂ ˆ fˆp (p, u) = f (p, u) ∂p Do đó, công thức (2.68) quy công thức (2.71) Ngược lại, sử dụng u = (cos φ, sin φ), công thức (2.71) trở thành ∞ π f (x, y) = − π dφ fˆp (p, u) dp p − x.u (2.73) −∞ Một phép biến đổi đơn giản x = r cos θ, y = r sin θ dẫn đến công thức phép biến đổi ngược dạng tọa độ cực ∞ 2π f (r, θ) = − 4π dφ −∞ fˆp (p, φ) dp p − r cos(φ − θ) (2.74) 55 Chúng ta thảo luận biến đổi Radon ngược - chiều cách độc lập không liên quan đến biến đổi Hilbert Định lí 2.7.3 (Định lý phép biến đổi ngược - chiều) Nếu fˆ(p, u) = {f (x, y, z)} fˆ(p, x.u)du, f (x) = −∇2 (2.75) |u|=1 x = (x, y, z) ∈ R3 Chứng minh Chúng ta bắt đầu với phép nghịch đảo biến đổi Fourier - chiều dạng ∞ ˜ f (x) = F−1 f (su) = f˜(qu)eis(x·u) du s2 ds −∞ |u|=1 tích phân mặt cầu đơn vị biểu diễn sau π 2π dφ du = |u|=1 sin θdθ, u = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ), θ góc tọa độ cực φ góc phương vị Gọi phép đối xứng phép biến đổi Radon fˆ, F fˆ = f˜, tích phân theo q từ đến ∞ thay nửa tích phân từ −∞ đến ∞  f (x) = 2  s2 f˜(su)eisp  du −∞ |u|=1 = ∞ F−1 p=x·u s2 f˜(su) du p=x·u |u|=1 ds 56 hay theo biến đổi Fourier đạo hàm thứ hai =− fˆpq (p, u) du p=x·u |u|=1 Đây công thức biến đổi ngược cho biến đổi Radon - chiều Thực tế, với f (x,u) bất kì, ∇2 f (x,u) = |u|2 [fpp (p)]p=x·u = [fpp (p)]p=x·u , thu dạng khác công thức biến đổi ngược cho biến đổi Radon f (x) = − ∇2 fˆ(x.u, u)du |u|=1 Tiếp theo giới thiệu biến đổi Radon liên hợp từ định nghĩa tích bên ∞ φ, [f ] = dp −∞ ∞ = φ(p, u)( f )(p, u)du |u|=1 ∞ dp −∞ f¯(x)δ(p − x.u)dx φ(p, u)du −∞ |u |=1   ∞ ∞ = −∞ ∞ =  f¯ (x) dx  −∞ |u|=1    −∞ du  φ (p, u) δ (p − x.u) dp   φ(x.u, u)du f¯(x)dx |u|=1 ∞ (R∗ [φ])f¯(x)dx = R∗ [φ] , f = −∞ 57 liên hợp R∗ xác định R∗ [φ] (x) = φ(x.u, u)du (2.76) |u|=1 Điều nghĩa chuyển động liên hợp R∗ φ tương ứng với phép lấy tích phân theo φ tất không gian qua điểm cho Chúng ta sử dụng (2.69) để giới thiệu toán tử K sau  ∂ n−1   với n lẻ an n−1 φ(p, u), ∂p Kφ(p, u) = ∂ n−1   φ(p, u) , với n chẵn an H ∂pn−1 (2.77) an xác định (2.70) H thay cho biến đổi Hilbert Rõ ràng ta suy từ công thức (2.69) K fˆ(x · u, u) = h(x.u, u) (2.78) theo (2.76) ta có R∗ K fˆ(x.u, u) = R∗ [h(x.u, u)] = h(x.u, u)du =f (x) (2.79) |u|=1 Điều có nghĩa công thức (2.68) viết f = R∗ K fˆ Định lí 2.7.4 (Định lý Parseval) Nếu {f (x)} = fˆ(p, u) {g(x)} = gˆ(p, u) (a) Với n chẵn ∞ f, g = f (x)¯ g (x)dx −∞ ∞ = an |u|=1 ∞ du −∞ −∞ g (q, u) (p − q)−n dpdq, fˆ(p, u)ˆ (2.80) 58 n an = (−1) (2π)−n (n − 1)! (b) Với n lẻ ∞ f, g = f (x)¯ g (x)dx −∞ ∞ n−1 (−1) = 2(2π)n−1 du |u|=1 = 2(2π)n−1 m = (2.81) −∞ ∞ du |u|=1 fˆ(p, u)¯ˆgp(n−1) (p, u)dp fˆp(m) (p, u)¯ˆgp(m−1) (p, u)dp, −∞ n−1 Tiếp theo giới thiệu toán tử H đưa Ludwig [8] ∂ m f (p) H [f ] (p) = √ , m (2π) ∂pm m = (2.82) n−1 Từ đó, công thức Parseval (2.81) quy dạng f, g = H fˆ, H gˆ Năm 1966 Ludwig [8] chứng minh H (2.83) biến đổi đồng từ L2 (Rn ) vào L2 (R × S n−1 ) 2.8 Áp dụng biến đổi Radon để giải toán Cauchy phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic Chúng ta chứng minh quan hệ đáng ý biến đổi Radon nghiệm toán Cauchy liên quan đến nghiệm phương trình 59 sóng utt = c2 ∇2 u; x ∈ R3 , t > (2.84) u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x) (2.85) c số ∇2 toán tử Laplace - chiều Chúng ta áp dụng biến đổi Radon hàm u(x, t) ∞ uˆ(p, ξ, t) = {u(x, t)} = u(x, t)δ(p − x · ξ)dξ, (2.86) −∞ ξ = (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) vector đơn vị - chiều R3 cho |ξ| = ξ12 + ξ22 + ξ32 = Áp dụng (2.86) vào (2.84) - (2.85) ta uˆtt = c2 ξ12 + ξ22 + ξ32 uˆpp = c2 uˆpp , dˆ u(p, ξ, t) uˆ(p, ξ, 0) = fˆ(p, ξ), dt = gˆ(p, ξ) (2.87) (2.88) t=0 Do đó, biến đổi Radon uˆ(p, ξ, t) thỏa mãn toán Cauchy (2.87) (2.88) Chúng ta giải toán cách áp dụng biến đổi Fourier uˆ(p, ξ, t) cho d2 Uˆ = −c2 k Uˆ , dt dUˆ ˆ ˆ U (k, ξ, 0) = F (k, ξ); dt (2.89) ˆ ξ) = G(k, (2.90) e−ikp uˆ(p, ξ, t)dp (2.91) t=0 ∞ Uˆ (k, ξ, t) = F {ˆ u(p, ξ, t)} = √ 2π −∞ Nghiệm (2.89) - (2.90) cho ˆ ξ) G(k, sin(ckt) Uˆ (k, ξ, t) = Fˆ (k, ξ) cos(ckt) + 2ick 60 Nghiệm D’ Alembert thu có dạng p+ct 1 ˆ f (p − ct) + fˆ(p + ct) + uˆ(p, ξ, t) = 2c gˆ(α, ξ)dα (2.92) p−ct Biến đổi Radon ngược cho ta nghiệm toán Cauchy dạng u(x, t) = −1 {ˆ u(p, ξ, t)} = −∇2 uˆ(x.ξ, ξ, t)dξ (2.93) |ξ|=1 Chú ý biến đổi Radon biến đổi phương trình sóng (1 + 3) - chiều (2.84) thành phương trình sóng (1 + 1) - chiều (2.87), phương trình giải cách sử dụng phương pháp tắc Nói chung biến đổi Radon quy toán (n + 1) - biến độc lập toán với hai biến độc lập Nói cách khác, trình bày phương trình (2.37), L toán tử vi phân (n + 1) - chiều với hệ số số, biến đổi Radon L ∂ ∂ ∂ ∂ , , , ; f (x, t) ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ ˆ = L u1 , u2 , , un ; f (p, ξ, t) (2.94) ∂p ∂p ∂p ∂t Tính chất giúp giải phương trình vi phân đạo hàm riêng hyperbolic có hệ số số Ví dụ 2.8.1 Xét phương trình truyền sóng (với tốc độ truyền sóng c) ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 + + − ∂x2 ∂y ∂z c ∂t2 u (X; t) = điều kiện ban đầu u (X; 0) = 0, ut (X; 0) = e−x −y −z Áp dụng biến đổi Radon vào toán, ta ∂2 ∂2 − ∂p2 c2 ∂t2 [u] (p, ξ; t) = 0, 61 ∂ [u] (p, ξ; 0) = πe−p ∂t Bằng phương pháp thông thường, ta có nghiệm toán [u] (p, ξ; 0) , p+ct π [u] (p, ξ; t) = 2c e−s ds p−ct Ngoài ra, ta có 2 ∂ [u] ∂ [u] π −(p−ct) −(p+ct) (p, ξ; t) = = (p − ct) e − (p + ct) e , ∂p2 c2 ∂t2 c suy u (X; t) = − 8πc 2 (ξ.X − ct) e−(ξ.X−ct) − (ξ.X + ct) e−(ξ.X+ct) |ξ|=1 dξ 62 Kết luận Phép biến đổi Radon có nhiều ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khác ngành khoa học đời sống thực tiễn Qua thời gian tìm hiểu luận văn giải vấn đề sau đây: • Trình bày có hệ thống kiến thức chuẩn bị cho luận văn như: Không gian định chuẩn nguyên lý ánh xạ tuyến tính liên tục lớp không gian này; Một số khái niệm kết quan trọng không gian Hilbert không gian Lp ; Biến đổi Fourier; cuối khái niệm tính chất hàm Delta-Dirac • Luận văn trình bày có hệ thống phù hợp với nội dung nghiên cứu phép biến đổi Radon: định nghĩa phép biến đổi trường hợp hai chiều nhiều chiều, tính chất biến đổi Radon, đạo hàm biến đổi Radon, mối liên hệ biến đổi Radon biến đổi Fourier, biến đổi Radon tích chập biến đổi Radon ngược • Cuối luận văn trình bày ứng dụng mang tính túy Toán học giải phương trình đạo hàm riêng Hyperbolic Với thời gian ngắn lượng kiến thức luận văn lớn nên luận văn tránh thiếu sót Một số vấn đề đưa chưa giải cách triệt để Tác giả cảm ơn nhận đóng góp quý Thầy cô bạn học viên để luận văn hoàn thiện 63 Tài liệu tham khảo [1] N L Carothers (2000), Real analysis, Cambrigde university Press [2] A M Cormak (1963), Representation of a function by its line integrals with some radiological applications, J Appl Phys, 34, pp 2722-2727 [3] A M Cormak (1964), Representation of a function by its line integrals with some radiological applications, J Appl Phys, 35, pp 2908-2913 [4] A M Cormak (1973), Reconstruction of densities from their projections with applications in radiological physics, Phys, Med Biol, 18, pp 195-207 [5] A M Cormak (1980), Nobel Prize address, Dec 8, 1979, Early twodimention reconstruction and recent topics stemming from it,Med Phys., 7, pp 277-282 [6] S R Deans (1983), The Radon transform and some of its applications, J Wiley - Sons, USA [7] S Helgason (1980), The Radon transform, Birkhauser, Boston Basel Stuttgard [8] D Ludwig (1966), The Radon transform on Euclidean, Comm Pure Appl Math, 19, pp 49-81 64 [9] F Natterer (1986), The mathematics of computerized tomography, J Wiley - Sons, Stuttgard [10] Poularikas (2000), The transforms and Applications Handbook: Second Edition, CRC Press LLC, Florida [11] J Radon (1917), Berichte Sachsische Akademie der Wissenchaften, Leipzig, Mathmatische-Physikalische Klasse, vol 69, pp 262 - 267 [12] W Rudin (1976), Principles of Mathematical Analysis, MC Gray Hill Inc, Newyork [13] I N Sneddon (1951), Fourier Transforms, MC Gray Hill, Newyork 65 Phụ lục