LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy hướng dẫn truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn trình nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán quý thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Yên Bái, trường Cao đẳng Sư phạm Yên Bái, khoa Tự Nhiên Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện cho giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011 Tác giả Phạm Thị Hằng Thu LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011 Tác giả Phạm Thị Hằng Thu iii Mục lục Bảng kí hiệu viết tắt v Mở đầu ix Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 1.2 Không gian Lp , bất đẳng thức không gian Lp , công thức tích chập 1.1.2 Không gian hàm 1.1.3 Không gian hàm suy rộng D (Ω) 1.1.4 Không gian hàm giảm nhanh S (Rn ) 1.1.5 Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) 1.1.6 Các toán tử Biến đổi Fourier 1.2.1 1.2.2 1.3 Biến đổi Fourier hàm thuộc Lp (Rn ) S (Rn ) Biến đổi Fourier hàm suy rộng 15 Giải tích thời gian-tần số 16 1.3.1 Giải tích thời gian-tần số 16 1.3.2 Nguyên lý không chắn 18 1.3.3 Biến đổi Fourier thời gian ngắn 24 1.3.4 Ảnh phổ 30 iv 1.4 1.3.5 Một số phân bố thời gian-tần số quan trọng 30 1.3.6 Lớp phân bố Cohen 36 Toán tử giả vi phân 39 1.4.1 Một số định nghĩa ví dụ 39 1.4.2 Tính bị chặn toán tử giả vi phân 42 Nguyên lý không chắn, tính dương bị chặn Lp ảnh phổ tổng quát 51 2.1 51 2.2 2.3 Toán tử địa phương hoá 2.1.1 Toán tử địa phương hoá với biểu trưng thuộc S R2n 2.1.2 Toán tử địa phương hoá với biểu trưng thuộc Lp R2n , 51 với p ∈ [1, 2) 53 Dạng toán tử ảnh phổ tổng quát 55 2.2.1 Ảnh phổ tổng quát 55 2.2.2 Toán tử ảnh phổ tổng quát 58 Công thức tích chập ảnh phổ tổng quát tính dương toán tử địa phương hóa 63 2.4 Ảnh phổ tổng quát nguyên lý không chắn 67 2.5 Tính liên tục không liên tục toán tử địa phương hóa 74 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 84 v Bảng kí hiệu viết tắt N: Tập hợp số tự nhiên N∗ : Tập hợp số nguyên dương |α| : Bậc đa số α, n αi , α = (α1 , , αn ) ∈ N∗ |α| = i=1 R: Rn : C: Tập hợp số thực Không gian Ơclit n chiều Tập hợp số phức z, |z| : Số phức liên hợp, mô đun số phức z Dα f : Đạo hàm cấp α f, Dα f = (−1)|α| ∂ α f ∂ αu : Đạo hàm riêng cấp α u, (∂ α u)(ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ) C∞ : Không gian hàm khả vi vô hạn C0∞ (Ω) : Tập hợp hàm khả vi vô hạn giá compact C0 (Rn ) : Không gian hàm liên tục có giá compact D (Ω) : S (Rn ) : Không gian hàm Không gian hàm giảm nhanh vi S (Rn ) : Tx f : Không gian hàm tăng chậm Phép tịnh tiến theo x hàm f, Tx f (t) = f (t − x) Mω f : Sự điều biến theo ω hàm f, Mω f (t) = e2πit·ω f (t) f∗ : Phép đối hợp f, f ∗ (x) = f (−x) f: Phép đối xứng f, f (x) = f (−x) f ∗g : Tích chập f g, (f ∗ g)(x) = f (y)g(y − x)dy Rn f , F (f ) : F −1 (f ) , fˇ : F, fˆ : X α f (x) : Biến đổi Fourier hàm f Biến đổi Fourier ngược hàm f Liên hợp biến đổi Fourier f Toán tử nhân, X α f (x) = xα f (x) span{A} : Bao tuyến tính tập A Ap : Hằng số Babenko-Beckner, Ap = Vg f : p1/p (p )1/p 1/2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn hàm f hàm cửa sổ g, f (t) g (t − x)e−2πit·ω dt Vg f (x, ω) = Rn F2 : Biến đổi Fourier hàm F theo biến thứ 2, F (x, t)e−2πit·ω dt F2 F (x, ω) = Rn vii Lp : Không gian hàm đo Lebesgue, có chuẩn Lp hữu hạn  f Lp (Ω)  p1 |f (x)|p dx = Ω H s (Rn ) : Không gian Sobolev cấp s, H s (Rn ) = {u ∈ S (Rn )| ξ s Fu(ξ) ∈ L2 (Rn )} Tσ : Tσ ϕ(x) Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ, = (2π)−n/2 eix·ξ σ(x, ξ)ϕ(ξ)dξ, ˆ ϕ ∈ S(Rn ) Rn Tσ∗ : Liên hợp hình thức toán tử Tσ W ig (f ) : Phân bố Wigner hàm f W ig (f, g) : Phân bố Wigner chéo hàm f g Qσ f : Lớp phân bố Cohen R (f ) : Biểu diễn Rihaczek hàm f R (f, g) : Biểu diễn Rihaczek hai hàm f , g R∗ (f, g) : Biểu diễn Rihaczek liên hợp hai hàm f , g SP ECg f, Spg f : Ảnh phổ hàm f hàm cửa sổ g qφ,ψ (f, g) : Ảnh phổ tổng quát hàm f , g hàm cửa sổ φ, ψ Tσ : Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ AF : Toán tử giả vi phân Kohn-Nirenberg với biểu trưng F W F : Toán tử Weyl với biểu trưng F LFφ,ψ : Toán tử địa phương hoá với biểu trưng F, LFφ,ψ f (x) F (z) (f, φz )L2 ψz (x) dz, f ∈ S(Rn ) = Rn viii X[a,b] : ϕa (x) : Ta : Hàm đặc trưng [a, b] Là hàm Gauss với ϕa (x) = e− πx2 a Phép biến đổi tọa độ không đối xứng với Ta f (x, t) = f (t, t − x) Ts : Phép biến đổi tọa độ đối xứng với Ts f (x, t) = f f ⊗g : t t x + ,x − 2 Tích ten sơ hàm f g, (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t) B(L2 (Rn )) : Là C ∗ − đại số tất toán tử bị chặn từ L2 (Rn ) vào L2 (Rn ) ∗ : Sh f : (Sh f )(x) Chuẩn B(L2 (Rn )) Toán tử Hilbert-Schmidt L2 (Rn ), h(x, y)f (y)dy, x ∈ Rn , f ∈ L2 (Rn ) = Rn Lp∗ (R2n ) : với Lp∗ (R2n ) = {σ ∈ Lp (R2n ) σ ˆ ∈ Lp (R2n )} ix Mở đầu Lí chọn đề tài Phép biểu diễn thời gian-tần số dạng toàn phương, ứng với tín hiệu f Rn hàm phân bố Qf mặt phẳng thời gian-tần số Rnx × Rnw Hàm Qf (x, w) biểu diễn cho phân bố lượng tín hiệu biến thời gian x biến tần số w, điều nói lên tần số w có mặt tín hiệu f quanh thời điểm x Trong trường hợp sử dụng thuật ngữ khác "phép biểu diễn" "dạng" Hàm Qf thường đòi hỏi phải thỏa mãn vài điều kiện, cụ thể là:(thoả mãn tính dương) Qf với x, w; (thoả mãn tính không tràn) supp f ⊆ I với khoảng I ⊆ R πx supp f ⊆ I (πx phép chiếu trực giao mặt phẳng thời gian-tần số Rn × Rn ) tương tự supp fˆ ⊂ J kéo theo πw supp Qf ⊂ J; x w Qf (x, w)dx = fˆ(w) (thoả mãn điều kiện lề hàm phân phối) 2 Rn Qf (x, w)dw = fˆ(x) Rn Ý nghĩa yêu cầu tìm thấy "Giải tích thời gian-tần số" L Cohen (xem [10]) Tuy nhiên, theo nguyên lý không chắn, điều kiện không tương thích chúng thỏa mãn với độ gần Vì nhiều phép biểu diễn khác định nghĩa lý thuyết giải tích thời gian-tần số với cố gắng để chúng gần tốt phép x biểu diễn lý tưởng Ba số nhiều phép biểu diễn thời gian-tần số sử dụng nhiều ảnh phổ, phép biểu diễn Rihaczek biểu diễn Wigner Việc nghiên cứu tính chất biểu diễn trình bày [9] Tuy nhiên, góc độ phép biến đổi, tính chất ánh xạ, chẳng hạn tính bị chặn, chưa đề cập tới Mặt khác giải tích thời gian-tần số có nhiều mối liên hệ với lý thuyết toán tử giả vi phân Ví dụ như: phép biểu diễn Wigner liên hệ với toán tử Weyl, toán tử địa phương hóa lại quan tâm đến lọc tín hiệu Trong báo [6], [7], tác giả nghiên cứu công bố kết tính dương, tính bị chặn tính compact số lớp biểu diễn thời gian tần số Đồng thời liên hệ với toán tử giả vi phân tương ứng để thu kết tính bị chặn, tính compact số lớp toán tử giả vi phân Lp Trong luận văn này, tập trung chủ yếu vào việc nghiên cứu kết công bố tài liệu nêu Có thể khái quát sơ lược vấn đề nghiên cứu sau: + Đầu tiên, tác giả xây dựng ảnh phổ tổng quát dựa hai-cửa sổ φ, ψ rằng, theo cách tương tự phép biểu diễn Wigner cho lớp toán tử Weyl, ảnh phổ tổng quát tương ứng lớp toán tử địa phương hóa + Tiếp theo, tác giả chứng minh rằng, tương tự ảnh phổ, ảnh phổ tổng quát tích chập biểu diễn Wigner lớp ảnh phổ tổng quát lớp lớp Cohen, chứng minh phép biểu diễn Rihaczek xem ảnh phổ tổng quát với hàm cửa sổ phù hợp, phép biểu diễn Wigner không thuộc lớp ảnh phổ tổng quát 71 q1 q2 , ,1 p p p p + = p = ta nhận được: q1 q p p s1 ˜ s1 || |f | ∗ |φ| s1 ˜ s2 |g| ∗ |ψ| s2 p s1 ˜ s1 ≤ || |f | ∗ |φ| s1 p s2 ||1 p s2 ˜ s2 || qp1 || |g| ∗ |ψ| s2 p p s1 s2 || qp2 ˜ s2 || qq2 ˜ s1 || qq11 |||g|s2 ∗ |ψ| = |||f | ∗ |φ| s1 Vì thế, từ (2.23), ta suy ra:   Rn ≤  |Vφ f Vψ g (x, ω) |p dω  dx Rn p s1 ˜ s1 |f | ∗ |φ| Csnp Csnp s1 p s2 ˜ s2 |g| ∗ |ψ| s2 (x) dx (2.26) Rn q1 q1 s1 ˜ s2 || ˜ s1 || |||g|s2 ∗ |ψ| ≤ Csnp Csnp |||f |s1 ∗ |φ| p q2 q2 s2 p ≤K s1 p1 s1 s2 p2 s2 s2 p2 s2 ˜ || |||f | || |||g| || |||ψ| || |||φ| s1 s2 s2 np s1 K = Csnp Csnp C ps1 C p1 C( sq11 ) s1 r Tuy nhiên, với h ∈ Lr (Rn ), |||h|s || rs = s , C ps2 C p2 C( sq22 ) s1 s1 p1 s1 np s2 s2 s sr |h|s s = ||f ||r Sau thay Rn chúng vào (2.26) ta được: |Vφ f Vψ g(x, ω)|p dxdω ≤ K(||f ||p1 ||g||p2 ||φ||p1 ||ψ||p2 )p R2n Thực vài phép biến đổi ta có: Csj C sj q ( sj j qj −2 2qj ) = qj − q1 (qj − 1) j (qj − 2) − qj −2 2qj , sj = (qj ) sj pj sj C C sj p j sj − = (pj −1) pj −1 2pj qj pj (qj −1) qj −1 qj (qj (pj −1)−pj ) qj (pj −1)−pj 2pj qj (qj −pj ) qj −pj 2pj qj , 72 Do đó: Csj C sj q ( sj j ) sj pj sj C C sj p j sj = Qj Pj , Định lý chứng minh Hệ 2.4.1 Cho h = max {p1 , p1 , p2 , p2 }, cố định pj , pj ; 1 j = 1, 2; với + = Nếu f ∈ Lp1 , φ ∈ Lp1 , g ∈ Lp2 , ψ ∈ Lp2 pj pj h ≤ p < ∞, thì: |Vφ f Vψ g(x, ω)|p dxdω ≤ Q2 P1 P2 np (||f ||p1 ||g||p2 ||φ||p1 ||ψ||p2 )p , R2n 1−p 1 Q = Q1 = Q2 = √ p− 2p (p − 1) 2p P1 , P2 có dạng: − Pj = (pj − 1) pj −1 2pj pj2p (2p(pj − 1) − pj ) 2p(pj −1)−pj 4pj p (2p − pj ) 2p−pj 4pj p , j = 1, Hệ 2.4.2 Nếu f, φ, g, ψ ∈ L2 (Rn ) ≤ p < ∞ thì: p p |Vφ f Vψ g(x, ω)| dxdω ≤ n (||f ||2 ||g||2 ||φ||2 ||ψ||2 )p R2n Chứng minh Trong Hệ 2.4.1 ta lấy p1 = p2 = giả sử có h = ta suy P1 = P2 = P = 2p (2p − 2) p−1 2p nhận 1−p p−1 1 Q2 P1 P2 = (QP )2 = p− p (p − 1) p p (2p − 2) p = p− p n 2np điều có nghĩa (QP ) = p Hệ chứng minh Nhận xét 2.4.8 Nếu f = g φ = ψ ta có: 2p |Vφ f | dxdω ≤ R2n p n (||f ||22 ||φ||22 )p , với p ≥ 1, ta 73 trường hợp 2p = q nhận bất đẳng thức cổ điển tiếng Lieb biến đổi Fourier thời gian ngắn Vφ f : q |Vφ f | dxdω ≤ q n (||f ||2 ||φ||2 )q , q ≥ R2n Trong chương tìm hiểu nguyên lý không chắn Heisenberg-Pauli-Weyl, nguyên lý không chắn yếu với biến đổi Fourier thời gian ngắn, nguyên lý không chắn phân bố Wigner Trong mục tìm hiểu tiếp nguyên lý không chắn ảnh phổ tông quát Định lí 2.4.9 [7][Nguyên lý không chắn ảnh phổ tổng quát] Giả sử f ∈ Lp1 , φ ∈ Lp1 , g ∈ Lp2 , ψ ∈ Lp2 Nếu U ⊆ R2n , ≥ cho thỏa mãn bất đẳng thức tích phân: |Vφ f Vψ g(x, ω)|p dxdω ≥ (1 − ) ||f ||p1 ||g||p2 ||φ||p1 ||ψ||p2 , U thì: µ(U ) ≥ sup (1 − ) p>h p p−1 np 1−p Q j Pj j=1 Chứng minh Cho p, p số liên hợp, p > h, max {p1 , p1 } max {p2 , p2 } h= max {p1 , p1 } + max {p2 , p2 } Áp dụng bất đẳng thức H¨ older hàm Vφ f Vψ g ∈ Lp hàm đặc trưng U, χU (x, ω) ∈ Lp , ta có: (1 − ) ||f ||p1 ||g||p2 ||φ||p1 ||ψ||p2 |Vφ f Vψ g(x, ω)|p dxdω ≤ U   p1  ≤ |Vφ f Vψ g(x, ω)|p dxdω  ·  R2n 1 p χU (x, ω)p dxdω  , R2n 74 từ Định lý 2.4.7 ta kết luận rằng: n 1− ≤ Q j Pj µ (U ) p−1 p , j=1 nghĩa là: µ (U ) ≥ sup (1 − ) p>h np 1−p p p−1 Qj Pj j=1 Định lý chứng minh Nhận xét 2.4.10 Với f, φ, g, ψ ∈ L2 (Rn ) ≤ p < ∞ suy rằng: µ (U ) ≥ sup (1 − ) p p−1 p>1 p n 1−p , f = g, φ = ψ có nguyên lý không chắn Lieb ảnh phổ: µ (U ) ≥ sup (1 − ) p p−2 p>2 2.5 p 2n 2−p Tính liên tục không liên tục toán tử địa phương hóa Trong mục 2.1 tìm hiểu số tính chất toán tử địa phương hoá với biểu trưng thuộc S R2n Lp R2n , p ∈ [1, 2) Trong mục trình bày tính liên tục toán tử địa phương hoá LFφ,ψ , F ∈ Lp không gian Lq R2n với 2p 2p , , p ≥ hàm cửa sổ lựa chọn q ∈ p+1 p−1 không gian Lr (Rn ) thích hợp Định lí 2.5.1 (Tính liên tục toán tử địa phương hoá) Với F ∈ Lp R2n , φ ∈ Lq (Rn ) , ψ ∈ Lq (Rn ) 75 ≤ q ≤ ∞ thỏa mãn điều kiện: q∈ 2p 2p , p+1 p−1 toán tử: LFφ,ψ f (t) = F (z) (f, φz )L2 ψz (t) dz R2n bị chặn, z = (x, ω) ∈ R2n , φz (t) = e2πiωt φ (t − x) Chứng minh Nếu với q p˜ thỏa mãn điều kiện (2˜ p) ≤ q ≤ 2˜ p ánh xạ: Vφ f Vψ g : Lq (Rn ) × Lq (Rn ) × Lq (Rn ) × Lq (Rn ) −→ Lp˜ R2n (2.27) cho: (φ, ψ, f, g) → Vφ f Vψ g bị chặn kết Định lý 2.4.7 trường hợp p1 = p2 = q, viết p˜ thay cho p để tiện cho việc tính toán Ta có: LFφ,ψ f, g = F, Vφ f Vψ g ; f, g, φ, ψ ∈ S (Rn ) (2.28) Áp dụng Mệnh đề 2.2.3 Vφ f Vψ g đóng vai trò σ (φ, ψ, g, f ); LFφ,ψ đóng vai trò TF,φ,ψ , E1 = E2 = E4 = Lq (Rn ) , E3 = Lq (Rn ) ˜ E = Lp R2n Khi theo phần Mệnh đề 2.2.3 bảo đảm ánh xạ: ˜ (F, φ, ψ) ∈ Lp R2n × Lq (Rn ) × Lq (Rn ) → LFφ,ψ ∈ B (Lq (Rn ) , Lq (Rn )) liên tục Trong trường hợp riêng, viết p thay cho p˜ (điều có nghĩa p˜ = p ), có với biểu trưng F ∈ Lp R2n với hàm cửa sổ φ ∈ Lq (Rn ) , ψ ∈ Lq (Rn ) tương ứng với toán tử địa phương hóa 76 LFφ,ψ bị chặn Lq (Rn ), với điều kiện (2p ) ≤ q ≤ 2p , tức là: 2p 2p ≤q≤ p+1 p−1 Định lý chứng minh Vậy toán tử địa phương hóa có liên tục trường hợp không? Để trả lời câu hỏi trước hết ta chứng minh mệnh đề Mệnh đề 2.5.2 Cố định q, r, p˜ ∈ [1, ∞] thoả mãn q ≥ r ≤ ngược lại, q ≤ r ≥ Khi với (φ, ψ, f, g) ∈ Lr (Rn )× Lr (Rn ) × Lq (Rn ) × Lq (Rn ) có ánh xạ: Vφ f Vψ g : (φ, ψ, f, g) → Vφ f Vψ g, (2.29) Vφ f Vψ g ∈ Lp˜ R2n , không bị chặn với r, q, p˜ thỏa mãn: 1 + < max {r, r } max {q, q } p˜ (2.30) Chứng minh Giả sử cố định x ∈ Rn 2 h (x) = e−πx , hλ (x) = e−πλx , (2.31) cho s, s˜ ∈ [1, ∞] Khi ta có: n n n Vh hλ Ls˜ (s ) 2s s 2s (λ + 1) s n2 ( 1s − 1s˜ ) = n n λ h Ls hλ Ls s˜ s˜ (λ + 1) (2.32) Bây tìm dãy (φλ , ψλ , fλ , gλ ) cho: φλ Lr Vφλ fλ Vψλ gλ Lp˜ ψλ Lr fλ Lq gλ Lq không bị chặn Đầu tiên xét trường hợp q ≤ (kéo theo r ≥ 2), chọn: (φλ , ψλ , fλ , gλ ) = (h, hλ , hλ , h) , (2.33) 77 h hλ xác định (2.32) Vì h hλ nhận giá trị thực, nên có: Vhλ h (x, ω) = e−2πixω Vh hλ (−x, ω) = e−2πixω Vh hλ (−x, ω) ; Mặt khác e−2πixω = 1, nên ta có: ||Vh hλ (x, ω) Vhλ h (x, ω) ||Lp˜ = ||Vh hλ (x, ω) Vh hλ (−x, ω) ||Lp˜ (2.34) Ta lại có: n Vh hλ (x, ω) = (λ + 1)− e2πi λ+1 xω h λ λ+1 (x) g λ λ+1 (ω) ; ta thay Vh hλ (−x, ω) (2.34) Vh hλ (x, ω), chuẩn không thay đổi Khi ta có: ||Vh hλ Vh hλ ||Lp˜ ||Vh hλ Vhλ h||Lp˜ = ||h||Lr ||hλ ||Lr ||hλ ||Lq ||h||Lq ||h||Lr ||hλ ||Lr ||hλ ||Lq ||h||Lq ||Vh hλ ||L2p˜ ||Vh hλ ||L2p˜ = ||h||Lr ||hλ ||Lr ||hλ ||Lq ||h||Lq n n n n n (r ) 2r r 2r (q ) 2q q 2q (λ + 1) p n2 ( 1r + q1 − p1 ) = λ n (λ + 1)n (2˜ p) p Biểu thức cuối tiến tới +∞ λ −→ 0+ , điều ta suy từ (2.30) Khi ánh xạ (2.29) không bị chặn Trong trường hợp q ≥ (điều kéo theo r ≤ 2) ta chứng minh tương tự cách chọn dãy thỏa mãn điều kiện: (φλ , ψλ , fλ , gλ ) = (hλ , h, h, hλ ) Định lý chứng minh Định lí 2.5.3 (Tính không liên tục toán tử địa phương hóa ) Chúng ta xét toán tử địa phương hóa LFφ,ψ cho p, q ∈ [1, ∞] cho: q< 2p 2p q > p+1 p−1 (2.35) 78 Khi tồn biểu trưng F ∈ Lp R2n hai cửa sổ φ ∈ Lr (Rn ), ψ ∈ Lr (Rn ), với: r=   2p  (2p ) 2p , p+1 2p q > p−1 q < (2.36) cho LFφ,ψ ∈ / B (Lq (Rn )) , (2.37) ta viết B (Lq (Rn )) thay cho B (Lq (Rn ) , Lq (Rn )) Chứng minh Đầu tiên sử dụng kết tổng quát Mệnh đề 2.4.7 giống phần chứng minh Định lý 2.5.1: so sánh (2.28) (2.16) chứng tỏ sử dụng kết Mệnh đề 2.4.7 trường hợp đặc biệt: σ (φ, ψ, g, f ) = Vφ f Vψ g TF,φ,ψ = LFφ,ψ Khi kết không dương Mệnh đề 2.5.2, với phần ˜ Mệnh đề 2.4.7, áp dụng với E = Lpφ,ψ (R2n ), E1 = E2 = Lq (Rn ), E3 = Lr (Rn ), E4 = Lr (Rn ), đảm bảo ánh xạ: ˜ (F, φ, ψ) ∈ Lp (Rn ) × Lr (Rn ) × Lr (Rn ) −→ LFφ,ψ ∈ B(Lq (Rn )) không liên tục với p˜, q r thoả mãn: 1 + < , max {r, r } max {q, q } p˜ r q giả sử thoả mãn giả thiết Mệnh đề 2.5.2 Chúng ta viết p đơn giản thay cho p˜ (điều kéo theo p˜ = p ) cố định r cho: max {r, r } = 2p (2.38) 79 (chú ý (2.38) tương đương với (2.36) giả thiết Mệnh đề 2.5.2; có ánh xạ: (F, φ, ψ) ∈ Lp (Rn ) × Lr (Rn ) × Lr (Rn ) → LFφ,ψ ∈ B(Lq (Rn )) (2.39) không liên tục với p q thoả mãn: 1 < max {q, q } p Chú ý điều kiện cuối tương đương với (2.35), có ánh xạ (2.39) không liên tục với p q thoả mãn (2.35) Bây ta muốn chứng minh (2.39) chí không xác định hầu khắp nơi, nghĩa tồn biểu trưng F hai hàm cửa sổ φ ψ không gian tương ứng cho toán tử địa phương hoá LFφ,ψ không bị chặn Lq (Rn ) Trong chứng minh đủ để kết luận đồ thị ánh xạ (2.39) đóng đảm bảo theo Định lý Đồ thị đóng, ánh xạ lên không xác định hầu khắp nơi Chúng ta lấy dãy: (Fj , φj , ψj ) → (F, φ, ψ) Lp (Rn ) × Lr (Rn ) × Lr (Rn ) cho toán tử địa phương hoá tương ứng là: F Lφjj ,ψj → A B(Lq (Rn )); (2.40) Chúng ta phải chứng minh rằng: A = LFφ,ψ (2.41) Chúng ta chứng tỏ với u, v ∈ S(Rn ) ta có: (Au, v) = LFφ,ψ u, v (2.42) Bây giờ, từ (2.40) nhận được: F Lφjj ,ψj u, v → (Au, v) (2.43) 80 Mặt khác từ tính liên tục (2.27) trường hợp q = r p˜ = p , đảm bảo rằng: Vφj vVψj u → Vφ vVψ u Lp R2n , (2.44) r thoả mãn (2.38); đó, từ (2.27), (2.44) từ Fj → F Lp R2 n nhận được: F Lφjj ,ψj u, v = Fj , Vφj vVψj u → F, Vφ vVψ u = LFφ,ψ u, v (2.45) Bây giờ, so sánh (2.43) với (2.45) nhận (2.42) Khi (2.41) hệ (2.42) mật độ tiêu chuẩn mẫu Vậy: Từ kết chứng minh Định lý 2.5.1 Định lý 2.5.3 với biểu trưng F ∈ Lp R2n với việc lựa chọn hàm cửa sổ không gian Lr (Rn ) thích hợp ta có toán tử địa phương hoá: LFφ,ψ : Lq (Rn ) → Lq (Rn ) , p ≥ Liên tục khi: q∈ 2p 2p , p+1 p−1 Không liên tục khi: q< 2p 2p q > p+1 p−1 Kết luận chương Nội dung chương trình bày vấn đề sau: • Định nghĩa loại toán tử: địa phương hoá, toán tử Weyl, toán tử giả vi phân Kohn-Nirenberg ; mối quan hệ toán tử địa phương hoán với toán tử Weyl; mối quan hệ toán tử với phép biểu diễn tương ứng: ảnh phổ tổng quát, phép biểu diễn Rihaczek phép biểu diễn Wigne 81 • Đưa định nghĩa ảnh phổ tổng quát chứng minh ảnh phổ tổng quát tương ứng với toán tử địa phương hoá Tiếp theo chứng minh rằng, tương tự ảnh phổ, ảnh phổ tổng quát tích chập biểu diễn Wigner lớp ảnh phổ tổng quát lớp lớp Cohen, chứng minh phép biểu diễn Rihaczek xem ảnh phổ tổng quát với hàm cửa sổ phù hợp, Wigner không thuộc lớp ảnh phổ tổng quát • Đã mở rộng đánh giá Lieb với ảnh phổ tổng quát chứng minh mở rộng tự nhiên nguyên lý không chắn Lieb cho ảnh phổ tổng quát không gian Lp • Chứng minh toán tử địa phương hóa LFφ,ψ dương φ = Cψ • Cuối cùng, xét tính bị chặn toán tử địa phương hóa việc sử dụng ảnh phổ tổng quát tương ứng, đồng thời tính không bị chặn toán tử địa phương hóa số trường hợp p 82 Kết luận Nội dung luận văn trình bày tổng quan kết về: • Một số không gian hàm, biến đổi Fourier không gian hàm • Giải tích thời gian-tần số biểu diễn thời gian-tần số • Định nghĩa loại toán tử: địa phương hoá, toán tử Weyl, toán tử giả vi phân Kohn-Nirenberg ; mối quan hệ toán tử địa phương hoán với toán tử Weyl; mối quan hệ toán tử với phép biểu diễn tương ứng: ảnh phổ tổng quát, phép biểu diễn Rihaczek phép biểu diễn Wigner • Đưa định nghĩa ảnh phổ tổng quát chứng minh ảnh phổ tổng quát tương ứng với toán tử địa phương hoá Tiếp theo chứng minh rằng, tương tự ảnh phổ, ảnh phổ tổng quát tích chập biểu diễn Wigner lớp ảnh phổ tổng quát lớp lớp Cohen, chứng minh phép biểu diễn Rihaczek xem ảnh phổ tổng quát với hàm cửa sổ phù hợp, Wigner không thuộc lớp ảnh phổ tổng quát • Đã mở rộng đánh giá Lieb với ảnh phổ tổng quát chứng minh mở rộng tự nhiên nguyên lý không chắn Lieb cho ảnh phổ tổng quát không gian Lp 83 • Chứng minh toán tử địa phương hóa LFφ,ψ dương φ = Cψ • Cuối cùng, xét tính bị chặn toán tử địa phương hóa việc sử dụng ảnh phổ tổng quát tương ứng, đồng thời tính không bị chặn toán tử địa phương hóa số trường hợp p Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn học góp ý để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 84 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Hà Tiến Ngoạn,Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung(2002), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Mạnh Hùng(2006), Phương trình đạo hàm riêng, Phần 2, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [3] Nguyễn Hội Nghĩa(2004), Hàm suy rộng, NXB Đại học quốc gia, Thành phố Hồ Chí Minh [4] Hoàng Tụy(2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Alip Mohammed, M W Wong(2007), "Rihaczek Transform and Pseudo-Differential Operators", Toronto, Canada [6] A Oliaro, M W Wong, P Boggiatto(2006), "Boundedness and Compactness of Localization Operator", J Math Anal Appl 322 pp 193–206 [7] A Oliaro, M W Wong, P Boggiatto(2007), "Uncertainty principle, positivity and Lp -boundedness for generalized spectrograms" Preprint, Dipartimento di Matematica di Torino, Italy 85 [8] P Boggiatto, A Oliaro M W Wong(2006), "Lp boundedness and compactness of localization operators", Elsevier, journal of Mathematical Analysis and application, Canada [9] K Grochenig(2001), Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhauser, Boston [10] L Cohen(1995), Time-Frequency Analysis, Prentice Hall Signal Proc Series, New Jersey [11] M W Wong(2002), Wavelet Transforms and Localization Operators, Birkhauser-Verlag, Basel [12] M.W Wong(1999), An troduction to Pseudo-differential Operators, second editon, World Scientific, Singapore