LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học; Giáo sư, Tiến sĩ toàn thể thầy giáo, cô giáo Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có điều kiện tốt suốt trình học tập, thực đề tài nghiên cứu khoa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào định hướng chọn đề tài tận tình bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn Tác giả xin trân thành cảm ơn UBND tỉnh Vĩnh Phúc, Sở GD - ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, BGH trường THPT Ngô Gia Tự huyện Lập Thạch tỉnh Vĩnh Phúc tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập hoàn thành luận văn Do thời gian kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót định.Tác giả xin chân thành cảm ơn nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn học viên Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2011 Tác giả Phạm Quốc Huy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, luận văn tốt nghiệp “Cấu trúc (DN ) (DNϕ ) đối ngẫu không gian mầm hàm chỉnh hình” hoàn thành nhận thức thân tác giả không trùng với luận văn khác Trong trình làm luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 25 tháng 05 năm 2011 Tác giả Phạm Quốc Huy Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian lồi địa phương 1.2 Đối ngẫu tô pô yếu 11 1.3 Pôla 13 1.4 Tích tensor không gian lồi địa phương 16 1.4.1 Tích tensor xạ ảnh 16 1.5 Đa thức không gian lồi địa phương 18 1.6 Ánh xạ chỉnh hình 24 1.7 Tô pô không gian ánh xạ chỉnh hình 28 1.8 không gian mầm hàm chỉnh hình 30 CẤU TRÚC (DN) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN ¯¯¯ MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 33 2.1 Khái niệm bất biến tô pô tuyến tính (DN) ¯¯¯ 2.1.1 Lưu ý 34 2.2 Một số điều kiện tương đương 34 2.3 Một số ví dụ 45 ii 34 iii 2.3.1 Không gian dãy K¨othe 45 2.3.2 Không gian dãy giảm nhanh 46 2.3.3 Không gian chuỗi lũy thừa 46 2.4 Cấu trúc (DN) không gian [H(OE )]∗ ¯¯¯ 2.5 Cấu trúc (DN) không gian [H(K)]∗ ¯¯¯ 47 51 CẤU TRÚC (DNϕ ) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 55 3.1 Một số khái niệm ví dụ 55 3.2 Cấu trúc (DNϕ ) không gian [H(OE )]∗ 56 3.3 Cấu trúc (DNϕ ) không gian [H(K)]∗ 57 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Từ kết Mujica [10], không gian mầm H(K) quy, với tập compact K không gian Frechet E Từ đó, ta suy [H(K)]∗ không gian Frechet Không gian Frechet trường hợp điển hình không gian lồi địa phương khả metric đầy với nhiều tính chất đặc trưng giải tích phức vô hạn chiều Việc nghiên cứu sâu lớp không gian có nhờ vào tính chất tô pô đặc trưng Các bất biến tô pô tuyến tính đề xuất từ năm 1980 đến trở thành hướng nghiên cứu nhiều nhà Toán học quan tâm Các bất biến tô pô tuyến tính đem lại đặc trưng đẹp đẽ cho lớp không gian Frechet Những kết đạt phân loại lớp không gian đem lại nhiều áp dụng cho nhiều lĩnh vực Toán học giải tích Cấu trúc không gian [H(K)]∗ số tác giả quan tâm nghiên cứu Chẳng hạn, E = Cn , Zaharjuta [16] chứng tỏ [H(K)]∗ có tính chất Ω K tập compact L - quy Kết Meise -Vogt [9] cấu trúc loại (Ω) không gian mầm hàm chỉnh hình xác định không gian Frechet hạch, P T Danh – N V Khuê [3] mở rộng tới trường hợp không gian Frechet Các cấu trúc loại Ω Ω lớp không gian N V Đông [6] nghiên cứu Một số đặc trưng cấu trúc (LB ∞ ), (DN ) Ω lớp không gian mầm thu L M Hải – P H Bằng [7] Được định hướng người hướng dẫn em chọn đề tài “CẤU TRÚC (DN ) VÀ (DNϕ ) CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH” Bố cục luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo trình bày ba chương Chương Chương bắt đầu việc giới thiệu số khái niệm đưa số kết quan trọng không gian lồi địa phương; khái niệm cặp đối ngẫu tô pô pôla; tích tensor; đa thức không gian lồi địa phương số khái niệm ánh xạ chỉnh hình tô pô không gian ánh xạ chỉnh hình Chương Trình bày khái niệm bất biến tô pô (DN ) , đưa số điều kiện tương đương ví dụ bất biến tô pô tuyến tính (DN ) Trình bày hai kết cấu trúc (DN ) đối ngẫu không gian mầm hàm chỉnh hình Chương Trong chương trình bày khái niệm bất biến tô pô tuyến tính (DNϕ ) không gian Frechet Hai kết chương để không gian [H(OE )]∗ có tính chất (DNϕ ) E không gian Frechet tiệm cận chuẩn có sở tuyệt đối; đối ngẫu không gian mầm hàm chỉnh hình [H(K)]∗ có tính chất (DNϕ ) K phải tập compact cân không gian Frechet Hilbert tiệm cận chuẩn Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cấu trúc (DN ) (DNϕ ) đối ngẫu không gian mầm hàm chỉnh hình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu bất biến tô pô tuyến tính (DN ), (DNϕ ) không gian Frechet Nghiên cứu cấu trúc (DN ) (DNϕ ) không gian [H(OE )]∗ không gian [H(K)]∗ Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn Trình bày cách hệ thống bất biến tô pô tuyến tính lớp không gian Frechet điều kiện tương đương thông qua hệ sở lân cận hệ đếm nửa chuẩn xác định tô pô Đưa số điều kiện tương đương tập compact K không gian Frechet E để từ xác định cấu trúc (DN ) (DNϕ ) không gian Frechet [H(OE )]∗ [H(K)]∗ Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.1.1 Cho E không gian véc tơ A tập E i) Tập A gọi lồi với x, y ∈ A ta có λx + (1 − λ)y ∈ A, λ ≥ 0, ii) Tập A gọi cân với x ∈ A ta có λx ∈ A |λ| ≤ iii) Tập A gọi lồi tuyệt đối đồng thời lồi cân iv) Tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn n n λi xi với λi ≥ 0, i=1 λi = 1, xi ∈ A i=1 tập lồi chứa A gọi bao lồi A v) Bao tuyệt đối lồi A tập tất tổ hợp tuyến tính hữu n n λi xi với λi ≥ 0, hạn i=1 λi ≤ với xi ∈ A (là tập tuyệt đối lồi i=1 nhỏ chứa A.) vi) Tập A gọi hút với x ∈ A, tồn λ > cho x ∈ µA với µ mà |µ| ≥ λ Định nghĩa 1.1.2 Một không gian véc tơ có sở gồm lân cận cân lồi điểm gốc gọi không gian véc tơ lồi địa phương (không gian lồi địa phương) tô pô gọi tô pô lồi địa phương Định nghĩa 1.1.3 a) Giả sử E không gian véc tơ tô pô lồi địa phương K (K = C K = R) Một hàm p xác định E có giá trị thực không âm (hữu hạn) gọi nửa chuẩn với x, y ∈ E λ ∈ K ta có +) p(x) ≥ +) p (λx) = |λ| p (x) +) p (x + y) ≤ p (x) + p (y) b) Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệt đối lồi hút A gọi hàm cỡ tập A Mệnh đề 1.1.1 Trong không gian lồi địa phương E, nửa chuẩn, p liên tục liên tục điểm gốc Chứng minh Nếu p liên tục điểm gốc ε > số cho trước tồn lân cận V cho p (x) < ε x ∈ V Do đó, với a điểm tuỳ ý E, ta có |p (x) − p (a)| ≤ p (x − a) < ε x ∈ a + V Định nghĩa 1.1.4 Không gian véc tơ E gọi khả định chuẩn tô pô xác định chuẩn p Mệnh đề 1.1.2 Không gian lồi địa phương E khả metric tách có sở lân cận điểm gốc đếm Tô pô không gian khả metric xác định metric, bất biến phép tịnh tiến Chứng minh Nếu E khả metric dĩ nhiên tách có sở đếm lân cận điểm gốc Ngược lại, giả sử E có sở lân cận đếm Khi đó, lân cận chứa lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn sở (un ) lân cận tuyệt đối lồi Gọi pn hàm cỡ un Đặt ∞ 2−n inf {pn (x) , 1} f (x) = n=1 Thế f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , f (−x) = f (x) Hơn E tách nên f (x) = pn (x) = 0, với n x = Đặt d (x, y) = f (x − y) d metric d (x + z, y + z) = d (x, y) Như d bất biến phép tịnh tiến Trong tô pô metric, tập hợp Vn = x : f (x) < 2−n lập thành sở lân cận Nhưng Vn mở tô pô xuất phát pn f liên tục Hơn Vn ⊂ Un , x ∈ / Un pn (x) ≥ 1, f (x) ≥ 2−n Thành thử d xác định tô pô xuất phát E Định nghĩa 1.1.5 Một phiếm hàm tuyến tính ϕ (x) (trong không gian thực hay phức) sơ chuẩn ϕ (αx) = |α| ϕ (x) với x ∈ X số α ∈ K Mệnh đề 1.1.3 Một hàm p : X → R sơ chuẩn hàm cỡ tập lồi, cân, hút; sơ chuẩn hàm cỡ tập lồi, cân, hút không chứa trọn đường thẳng Chứng minh Nếu B tập lồi, cân, hút hàm cỡ pB nghiệm đẳng thức pB (−x) = pB (x) Do pB (αx) = −αpB (−x) , với α < 51 |Cm | mm sup |m||m| am k :m∈ / Mα , |m| ≤ α |Cm | mm ak ap m 1+ε : m ∈ M sup |m||m| am q   m     a k 1+ε : |m| ≤ α, m ∈ / Mα ≤ sup     ap ≤ sup : |m| ≤ α, m ∈ / Mα ≤ rd d > ε Do đó, ta có (Cm )m∈M = (Cm )|m|≤α,m∈/ Mα +(Cm )|m|>α +(Cm )|m|≤α,m∈Mα ∈ rd Wp + Wk r 2.5 Cấu trúc (DN) không gian [H(K)]∗ ¯¯¯ Định lý 2.5.1 Nếu K tập compact Cn cho K = KU , KU bao lồi chỉnh hình K U, với lân cận Stein U K [H(K)]∗ có tính chất (DN ) Chứng minh Cho {Uk }k≥1 sở lận cận Stein K Theo giả thiết K = KU với U = Uk lận cận K cho H(Uk ) trù mật H(Uk+1 ) với k ≥ Từ suy K = KUk với k ≥ Với k ≥ 1, ta đặt   Wk = f ∈ H(Uk ) :  Uk   |f | dλ ≤  Để chứng tỏ [H(K)]∗ có tính chất (DN ), ta cần cần kiểm tra điều kiện sau tồn p ∈ N cho với q tồn k, d > tồn C > 0, với r > cho Wq ⊆ Crd W2 + Wk r 52 Cho q ≥ 2, từ K = KU1 , tìm hàm đa điều hòa ρ U1 cho K ⊂ Z− := {ρ < 1} ⊆ Uq Cho sup ρ < δ2 < δ1 < α = sup ρ < +∞ Với L > 0, ta xác K U2 định hàm τL công thức    L t − L với δ2 < t < α τL (t) = δ2  0 với t ≤ δ2 Từ τL hàm lồi, ρL = τL ◦ ρ hàm đa điều hòa, chọn k ≥ q cho Uk ⊆ {ρ < δ1 } đặt Z+ = U2 \C {ρ < δ1 } , Z = Z+ ∩ Z− Với f ∈ Wq , ta có δ1 L |f |2 e−ρL dλ ≤ sup e−ρL = sup e− δ2 ρ+L = eL(1− δ2 ) Z (2.9) Z Z Từ kết Aytuna [2], ta tìm f+ ∈ H(Z+ ) f− ∈ H(Z− ) cho f+ − f− = f Z L(1− |f+ |2 e−ρL dλ ≤ Ce δ1 ) δ2 , Z+ L(1− |f− |2 e−ρL dλ ≤ Ce δ1 ) δ2 , (2.10) Z− C số không phụ thuộc vào L f ∈ Wq Từ ρL = Zδ2 = {ρ < δ2 }, ta có |f− |2 dλ = Zδ2 δ1 |f− |2 e−ρL dλ ≤ CeL(1− δ2 ) , (2.11) Zδ2 |f+ |2 dλ ≤ sup eρL Z+ Z+ |f+ |2 e−ρL dλ Z+ (2.12) 53   δ1 L L1−  − ρ−L δ2 sup e δ2 ≤ Ce δ1 ≤ρ cho với L ta có √ δ L 1− δ1 Wq ⊆ Ce Wk + 1+ C L + C e δ2 (α−δ1 ) W2 δ Đặt s = e −L 1− δ1 , ta nhận Wq ⊂ d = C Wk + s √ 1+ C + C s d W2 , α − δ1 Do [H(K)]∗ có tính chất (DN ) δ1 − δ2 Chương CẤU TRÚC DNϕ CỦA ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH Trong chương tiếp tục xét đến cấu trúc (DNϕ ) không gian [H (OE )]∗ không gian [H(K)]∗ 3.1 Một số khái niệm ví dụ Định nghĩa 3.1.1 Một không gian Frechet E gọi có tính chất (DNϕ ) (tính chất tiệm cận chuẩn) tồn p cho với q tồn k p q để nửa chuẩn || ||p || ||q xác định tô pô tương Uk Định nghĩa 3.1.2 Cho ϕ : (0; +∞) → (0; +∞) hàm dương tăng chặt lim ϕ (r) = +∞, ta nói E có tính chất (DNϕ ) với r→∞ p tồn q p tồn k q C > cho với r > ta có Uq0 ⊂ Cϕ(r)Up0 + Uk0 r Trong Uk = {x ∈ E : ||x||k 1} Uk0 pôlar Uk Mệnh đề 3.1.1 [13] Các điều kiện sau tương đương không gian Frechet 55 56 i) E không gian tiệm cận chuẩn ii) Tồn p cho với q p, tồn k q để với ε > ta chọn M > thoả mãn || ||q M || ||p + ε|| ||k Ví dụ 3.1.1 Từ mệnh đề 3.1.1 ta có không gian K¨othe λ(A) tiệm cận chuẩn tồn p cho với q p, tồn k q để với ε > 0, ta chọn M > thoả mãn aj,q 3.2 M aj,p + εaj,k ; với j ∈ N∗ Cấu trúc (DNϕ) không gian [H(OE )]∗ Định lý 3.2.1 Nếu E không gian Frechet tiệm cận chuẩn có sở tuyệt đối [H(OE )]∗ không gian Frechet tiệm cận chuẩn Chứng minh Ta tồn hàm ψ tăng chặt (0; +∞) cho ∃p ∀q ∃k, C > ∀r > : Wq ⊆ Cψ(r)Wp + Wk r (3.1) Bởi E không gian tiệm cận chuẩn nên tồn hàm dương tăng chặt ϕ (0; +∞) để ∃p ∀q ∃k, C > ∀j 1:ϕ aj,q aj,p Ta thấy (3.1) thoả mãn với ψ < r C aj,k aj,q Khi r > chọn (Cm )m∈M ∈ Wq , ta có (Cm )|m| α ∈ Wk với α = α(r) r l ogr log2 (3.2) 57 Mặt khác từ (3.2) ta có |Cm | mm : |m| α, m ∈ Mα sup |m||m| am k |Cm | mm aq ak m : m ∈ M sup : |m| |m||m| am   q m    α  : |m| α, m ∈ Mα C sup   ϕ aq ap sup α, m ∈ Mα , r với Mα = m ∈ M : −α log C + m1 log ϕ a1,q a1,p + + mn log ϕ an,q an,p l ogr sup |Cm | mm |m||m| am p sup :m∈ / Mα , |m| |Cm | mm |m||m| am q α :m∈M m sup aq ap : |m| α, m ∈ / Mα : |m| α, m ∈ / Mα ψq,p (r), ψq,p (r) = sup Ta chọn ψ cho lim aq ap m < +∞ ψq,p (r) = ψ(r) ∀q ∃k, C > ∀r > : Wq ⊂ Cψ(r)Wp + Wk r ∗ Điều chứng tỏ [H(OE )] có tính chất (DNϕ ) 3.3 Cấu trúc (DNϕ) không gian [H(K)]∗ Để chuẩn bị cho việc trình bày kết cấu trúc (DNϕ ) không gian [H(K)]∗ với K tập compact không gian Frechet - Hilbert 58 tiệm cận chuẩn, trình bày số khái niệm Vogt [15], giới thiệu nghiên cứu mối quan hệ với hàm tử Ext1 (E, F ) Định nghĩa 3.3.1 Cho E F không gian Frechet với dãy tăng nửa chuẩn || ||1 || ||2 xác định tô pô E F, tương ứng Xác định ||y||∗k = sup {|y(x)| : ||x||k 1} chuẩn đối ngẫu || ||k với y ∈ E ∗ F ∗ Ta nói (E, F ) ∈ (S1∗ ) : ∃n0 ∀µ ∃k ∀K, m ∃n, S ∀x ∈ En , y ∈ Fk∗ cho ||x||m ||y||∗k S ||x||n ||y||∗k + ||x||n0 ||y||∗µ (E, F ) ∈ (S1∗ )0 : ∃n0 ∀µ ∃k ∀K, m, R > ∃n, S ∀x ∈ En , y ∈ Fk∗ cho ||x||m ||y||∗k S||x||n ||y||∗K + ||x||n0 ||y||∗µ R (E, F ) ∈ (S1 ) : ∃n0 ∀µ ∃k ∀K, m, R > ∃n, S B (Em , Fk ) ⊂ S B (En , Fk ) + cho B (En0 , Fk ) R Trong B (Em , Fk ) hình cầu đơn vị L (Em , Fk ) Định lý 3.3.1 Nếu E không gian Frechet - Hilbert tiệm cận chuẩn K tập compact, cân E [H(K)]∗ tiệm cận chuẩn Để chứng minh định lý ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 3.3.1 Nếu E không gian Frechet - Hilbert tiệm cận chuẩn tồn tập số I không gian Frechet hạch tiệm cận chuẩn F cho E không gian (I)⊗F π Chứng minh Theo bổ đề 5.4 [14], ta thấy tồn không gian K¨othe hạch λ(B) với chuẩn liên tục cho (E, λ(B)) ∈ (S1∗ ) mệnh đề 3.2 [13], ta xây dựng dãy khớp ngắn → λ(B) → λ(A) → ω → 59 Trường hợp E không gian Hilbert bổ đề tầm thường Khi E không gian Frechet, từ bổ đề 3.3 [15] ta suy (E, λ(B)) ∈ (S1∗ )0 , ta chọn tập số I cho không gian Hilbert Ek đẳng cấu với không gian tích tenxơ 2 (I) Ta đồng (I)⊕λ(B) với không gian tất y = (yj ) cho với (yj ) ∈ π (I) k ∈ N ta có ||y||k = sup ||yj ||2 bj,k < +∞, j Trong || ||2 ký hiệu chuẩn (E, λ(B)) ∈ (S1∗ )0 kéo theo điều kiện (I) Tiếp tục chứng tỏ điều kiện E, (I)⊕λ(B) π ∈ (S1 ) Thật vậy, thay y = fj vào điều kiện (S1∗ ) , với fj véc tơ đơn vị thứ j không gian [λ(B)]∗ , ta thu ||x||m bj,k S ||x||n ||x||n0 + bj,K R bj,µ (3.3) Từ ta suy 1 1 Vm ⊂ S V + V bj,k bj,K n R bj,µ n0 (3.4) Vm hình cầu đơn vị Em Ta giả sử Fk = x = (x1 , x2 , ) : ||x||k = sup ||xj ||2 bj,k < +∞ j Em không gian Hilbert sinh || ||m Khi ánh xạ B ∈ (Em , Fk ) viết dạng Bx = (Bx1 , Bx2 , ) với Bj ∈ V , j bj,k m Ngược lại, với Bj xác định cho ta ánh xạ Bx = (Bx1 , Bx2 , ) hình cầu đơn vị B (Em , Fk ) L (Em , Fk ) Áp dụng (3.4) ta nhận Bj ⊂ S bj,K Vn0 + 1 V , R bj,µ n0 60 B (Em , Fk ) ⊂ SB (En , Fk ) + E, (I)⊕λ(B) Điều có nghĩa ∈ (S1 ) π Lấy tích tensor với 0→ B (Bn0 , Fµ ) R (I) ta nhận dãy khớp (I)⊗λ(B) → 2 (I)⊗λ(A) → π (N ) N → π Từ mệnh đề 2.1 [15] ta suy Ext1 E, (I)⊗λ(B) = π Từ suy phép nhung tự nhiên T : E → tới toán tử tuyến tính liên tục T : E → (I) N nâng (I)⊗λ(A) Do T π đơn ánh có ảnh đóng Chứng minh định lý 3.3.1 i) Ta chọn tập số I không gian Frechet hạch tiệm cận chuẩn F cho E không gian (I)⊗F Từ (I)⊗F π π có hệ nửa chuẩn Hilbert, cách áp dụng khai triển Taylor phần tử H(K) ∈ K ta thấy tập bị chặn H(K) ảnh tập bị chặn trong H (e(K)) ánh xạ hạn chế Trong e : E → (I)⊗F ánh xạ nhúng tắc π ∗ Điều suy [H(K)] không gian [H(e(K))]∗ Do đó, định lý chứng minh ta chứng tỏ [H(e(K))]∗ tiệm cận chuẩn ii) Cho{|| |k }k hệ nửa chuẩn F thoả mãn 2|| ||k || ||k+1 với k Do F tiệm cận chuẩn nên ta có (AS) ∃p ∀q ∃k :|| · ||p ∼ || · ||q Uk 61 Ở đây, ta viết || ||p ∼ || ||q tô pô sinh || ||p || ||q tương đương iii) Chúng ta kiểm tra với p, q k (AS) πpn ∼ πqn Trong Wkn hình cầu đơn vị Wkn với n (I)⊗F ⊗ ⊗ π π (I)⊗F π π n nửa chuẩn πkn cảm sinh || |k Để vấn đề đơn giản, ta cần xét n = Cho {fm } ⊂ Wk2 với πp2 (fm ) → m → ∞ Bởi (I)⊗F π ⊗ (I)⊗F π π ∼ = F⊗ (I)⊗ (I)⊗F π π π ∼ = L F ∗ , (I)⊗ (I)⊗F π π ta thấy dãy {fm } xem dãy fm ⊂ L F ∗ , (I)⊗ (I)⊗F π π thoả mãn ω ◦ fm (u) : u ∈ Uk0 , ω ∈ (V ⊗ V ⊗ Uk )0 , m sup 1 πp2 fm = sup ω ◦ fm (u) : u ∈ Uk0 , ω ∈ (V ⊗ V ⊗ Up )0 → m → ∞ Trong V hình cầu đơn vị Giả sử πp2 fm (I) → m → ∞, m tồn ωm ∈ (V ⊗ V ⊗ Uq )0 cho sup ωm ◦ fm (u) : u ∈ Uq0 ε với ε > 62 Điều mâu thuẫn, ωm ◦ f m ⊂ Uk0 ωm ◦ fm → p m → ∞ iv) Điều lại ta chứng tỏ với p, q k (AS) ta có || ||∗p ∼ || ||∗q Wk Trong ||µ||∗k = sup {|µ (f )| : f ∈ H ∞ (e (K) + conv (V ⊗ V ⊗ Uq )) , ||f ||k 1} với µ ∈ [H (e(K))]∗ Wk = µ ∈ [H (e(K))]* : ||µ||k Giả sử {µj } ⊂ Wk với ||µj ||∗p → j → ∞ Chọn δk > cho e(K) + conv (V ⊗ V ⊗ Uk ) ⊂ δk (e(K) + conv(V ⊗ V ⊗ Uq )) Viết khai triển Taylor f ∈ H ∞ (e(K) + conv(V ⊗ V ⊗ Uq )) dạng Pn f (ω), Pn f (ω) = f (ω) = n (2πi)n f (λω) dλ λn+1 |λ|=1 Ta suy với ε > tồn N cho µj Pn f < ε, n>N với j f ∈ H ∞ (e(K) + conv(V ⊗ V ⊗ Uq )) , ||f ||q Sử dụng (iii) ta suy với j đủ lớn ta có Pn f µj < ε; với ||f ||q n>N Do với j đủ lớn ta có |µj (f )| < 2ε, với f ∈ H ∞ (e(K) + conv(V ⊗ V ⊗ Uq )) Từ suy ||µj ||∗q → j → ∞ |f ||q KẾT LUẬN Luận văn giải vấn đề Chương Trình bày khái niệm không gian lồi địa phương, đối ngẫu tô pô yếu, tô pô pôla, tích tensor, ánh xạ chỉnh hình, tô pô không gian ánh xạ chỉnh hình, không gian mầm hàm chỉnh hình Chương Chúng giới thiệu bất biến tô pô tuyến tính (DN ) không gian Frechet số điều kiện tương đương ví dụ không gian Frechet có tính chất (DN ) Hai kết không gian [H (OE )]∗ có tính chất (DN ) E không gian Frechet có sở tuyêt đối tính chất (DN ); Để không gian [H(K)]∗ có tính chất (DN ) ˆU , K ˆ U bao chỉnh hình K tập compact Cn cho K = K K lân cận Stein U K Chương Chúng trình bày khái niệm bất biến tô pô tuyến tính (DNϕ ) không gian Frechet Hai kết chương để không gian [H(OE )]∗ có tính chất (DNϕ ) E không gian Frechet tiệm cận chuẩn có sở tuyệt đối; đối ngẫu không gian mầm hàm chỉnh hình [H(K)]∗ có tính chất (DNϕ ) K phải tập compact cân không gian Frechet Hilbert tiệm cận chuẩn Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] N V Khuê - L M Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập II, Nhà xuất giáo dục, 2001 [B] Tài liệu tiếng Anh [2] A Aytuna, On Stein manifolds M for which O(M ) is isomorphic to O(∆n ) as Frechet spaces, Manucrpta Math 62 (1988) 297 – 315 [3] P T Danh and N V Khue, Structure of spaces of germs of holomorphic functions, Publ Mat Vol 41 (1997), 467-480 [4] S Dineen, Holomorphic functions on (Co , Xb )- Modules, Math Annalen, 196 (1972), 106-116 [5] S Dineen, Complex Analysis in locally Convex Spaces, Mathematics Studies, North – Holland, (1981) [6] N V Dong, Proper holomorphic surjections and the properties Ω, Ω of spacse of germs of holomorphic functions, Publications of CFCA (1997), 31-38 [7] L M Hai and P H Bang, On the property (LB ∞ ) of germs of ˜ Ω ¯ of the Hartogs doholomorphic functions and the properties Ω, mains in infinite dimensions, Acta mathematica Vietnamica, Volume 25, Number 1, 2000, pp 33–47 64 65 [8] L M Hai and N V Khue, Some characterirations of the Properties (DN ) and Ω , Math Scand 87 (2000), 240 - 250 [9] R Meise and D Vogt, Struceture of spaces of germs of holomorphic functions on infinite dimensional polydiscs, Studia Math 75 (1983) 235-252 [10] J Mujica, Spaces of germs of holomorphic functions, studies in analysis Advances in Mathematics, Sup Studies (1979) 1-14 [11] R A Ryan, Holomorphic mappings on 1, Transaction of the American Mathematical Society 320 (2) (1987) 797 – 811 [12] H H Schaefer , Topological Vector Spaces, Springer- Verlag, Berlin and NewYork, 1971 [13] T Terzioglu and D Vogt, On asymptotically normable Frechet spaces, Note di Matematica Vol 11 (1991), 289 - 296 [14] D Vogt, Some results on continuous linear maps between Frechet spaces, in Funtional Analysis: Surveys and Recent Results, K D Bierstedt, B Fuchssteiner (Eds), North - Holland Math Studies 90 (1984) 349-381 [15] D Vogt, On the functor Ext1 (E, F ) for Frechet spaces, Studia Math 85 (1987) 163-197 [16] V P Zaharjuta, Isomorphism of spaces of analytic funtions, Sov Math Dokl 22 (1980) 631 – 634 (Russian) [C] Tài liệu tiếng Pháp [17] Ph Noverraz, Psuedo convexité, convexité polynomiale et domains d’holomorphie en dimension infinie, North-Holland Publ., Amsterdam, 1973