1 Bộ giáo dục đào tạo Trường đại học sư phạm hà nội Lời cảm ơn Nguyễn đình tuấn Luận văn hoàn thành hướng dẫn cô giáo PGS TS Lưu Thị Kim Thanh cô tận tình hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học nội dung luận văn Cô động viên, khích lệ để Các phân bố thống kê lượng tử vươn lên học tập vượt qua khó khăn công tác nghiên cứu chuyên môn biến dạng ứng dụng Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành sâu sắc Cô Chuyên ngành: Vật lí chất rắn Mã số: 60 44 07 Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học Khoa Vật lý tạo điều kiện thuận lợi luận văn thạc sĩ vật lí cho hoàn thành chương trình học luận văn tốt nghiệp Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tạo điều Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS lưu thị kim kiện, đóng góp ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp hoàn thành luận văn Hà Nội,Hà 2010 nội, ngày tháng năm 2010 Học viên Nguyễn Đình Tuấn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không trùng lặp với đề tài nghiên cứu khác Hà nội, ngày tháng năm 2010 Học viên Nguyễn Đình Tuấn a mở đầu Lý chọn đề tài: Cùng với phát triển xã hội loài người, Vật lý học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt nhiều thành tựu đáng kể : Thế kỷ XVIII học cổ điển Niutơn trở thành môn khoa học , kỷ XIX lý thuyết điện từ trường Macxoen Faraday đời có nhiều ứng dụng đời sống khoa học , kỷ XX kỷ Vật lý học đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất Khi người ta nhận thấy thống quy luật xảy giới vi mô với quy luật tìm thấy thống kê cổ điển Trong học lượng tử lý thuyết trường lượng tử, có sai khác lý thuyết tắc kết thực nghiệm, người ta thường dùng phương pháp gần để giải Tuy nhiên nhiều tượng vật lý lại không dễ dàng thấy phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn phá vỡ đối xứng tự phát, chuyển pha trạng thái Điều có đòi hỏi phải có phương pháp không nhiễu loạn mà bao gồm tất bậc khai triển lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ yếu tố phi tuyến lý thuyết phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp mô men, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc đại số biến dạng Trong năm gần việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số lượng tử thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý lý thuyết cấu trúc toán học phù hợp với nhiều vấn đề vật lý lý thuyết thống kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lượng tử đại số lượng tử biểu diễn nhiệt dung thuận lợi hình thức dao động tử điều hòa biến dạng ứng dụng phân bố thống kê lượng tử biến dạng Xuất phát từ vấn đề nêu , lựa chọn đề tài Các phân bố thống kê lượng tử biến dạng ứng dụng làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu: - Xây dựng phân bố thống kê lượng tử phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Xây dựng phân bố thống kê lượng tử biến dạng, tìm hệ thức nhiệt dung CV phụ thuộc vào tham số biến dạng - ứng dụng phân bố thống kê lượng tử biến dạng xác định nhiệt dung mạng tinh thể biến dạng q, nhiệt dung electron biến dạng q Đối tượng nghiên cứu Các phân bố thống kê lượng tử tính chất số hệ lượng tử Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp vật lý lý thuyết - Phương pháp đại số biến dạng - Phương pháp toán giải tích Nội dung nghiên cứu: Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê lượng tử phương pháp lý thuyết trường lượng tử 1.1 Hệ lượng tử tính chất chúng 1.1.1 Hệ lượng tử 1.1.2 Tính chất 1.2 Các phân bố thống kê lượng tử 1.2.1 Phân bố tắc lượng tử 1.2.2 Phân bố tắc lớn lượng tử 1.2.2.1 Phân bố tắc lớn lượng tử 1.2.2.2 áp dụng phân bố tắc lớn lượng tử 1.2.2.2.1 Thống kê Bose- Einstein 1.2.2.2.2 Thống kê Fermi-Dirac 1.2.2.2.3 Thống kê Maxwell- Boltzmann 1.3 Xây dựng phân bố thống kê lượng tử phương pháp lý thuyết trường lượng tử 1.3.1 Biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa tuyến tính 1.3.2 Các toán tử sinh, hủy Boson 1.3.3 Xây dựng thống kê Boson - Einstein phương pháp lý thuyết trường lượng tử 1.3.4 Phân bố thống kê lượng tử Fermi Dirac 1.4 Kết luận chương Chương 2: Các phân bố thống kê lượng tử biến dạng 2.1 Dao động tử điều hòa biến dạng q 2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng - q 2.1.2 Dao động Fermion biến dạng - q: 2.2 Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q 2.3 Phân bố thống kê Fermi - Dirac biến dạng q 2.4 Kết luận chương 2: Chương 3: Một số ứng dụng phân bố thống kê lượng tử 3.1 Nhiệt dung mạng tinh thể áp dụng lý thuyết biến dạng q 3.1.1 Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể Einstein 3.1.2 Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể Debye 3.1.3 Nhiệt dung chất rắn theo quan điểm hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng - q 3.2 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng lý thuyết biến dạng q 3.2.1 Cách tính gần đơn giản 3.2.2 Cách tính đầy đủ xác 3.2.3 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng thống kê biến dạng - q 3.3 Kết luận chương Những đóng góp đề tài: - Xây dựng phân bố thống kê lượng tử phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Xác định phân bố thống kê lượng tử biến dạng - áp dụng thống kê lượng tử biến dạng nghiên cứu nhiệt dung mạng tinh thể khí điện tử tự kim loại B NộI DUNG Chương Xây dựng phân bố thống kê lượng tử phương pháp lý thuyết trường lượng tử 1.1 Hệ lượng tử tính chất chúng 1.1.1 Hệ lượng tử Hệ lượng tử hệ cấu thành hạt lượng tử - Hạt lượng tử hạt tuân theo định luật học lượng tử - Cơ học lượng tử mô tả tính chất đặc tính riêng biệt hạt giới vi mô mà thông thường không giải thích dựa vào quan điểm cổ điển 1.1.2 Tính chất - Các hạt vi mô mang tính chất sóng lẫn tính chất hạt Do có đặc tính sóng hạt nên hạt vi mô toạ độ xác định tuyệt đối xác, bị nhoè không gian Khi có hai nhiều hai hạt đồng tồn miền không gian định ta phân biệt chúng nhau, ta không theo dõi chuyển động hạt Đó tính đồng hạt học lượng tử - Các đại lượng đặc trưng cho hạt vi mô có tính gián đoạn Để diễn tả cách toán học đặc tính đại lượng vật lý, ta gán cho đại lượng vật lý toán tử tương ứng định Trong học lượng tử, đại lượng vật lý biểu diễn toán tử trị số chúng xác định trị riêng toán tử - Để diễn tả tính chất đối tượng vi mô, tính chất thông số mà ta dùng để diễn tả hạt vi mô cách cổ điển khối lượng, điện tích ta phải đưa vào thông số tính chất mới, tuý lượng tử Đó spin hạt, tương tác trao đổi, nguyên lý Pauli 1.2 Xây dựng phân bố thống kê lượng tử phương pháp Gibbs Để tìm định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta dùng ba phương pháp: - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Phương pháp Gibbs - Phương pháp ô Boltzman Trong phương pháp ô Boltzman đời sớm nhất, phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm coi phương pháp Bên cạnh phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho ta khả mở rộng thống kê lượng tử với hy vọng giải gần toán có sai khác lý thuyết thực nghiệm Cả ba phương pháp hỗ trợ, bổ sung cho nhau, giúp có cách nhìn đầy đủ hệ vĩ mô lượng tử 1.2.1 Phân bố tắc lượng tử Do đặc tính hạt vi mô hệ lượng tử nên áp dụng phương pháp Gipxơ ta cần có thay đổi thích hợp so với áp dụng vật lý thống kê cổ điển Đối với hệ đẳng nhiệt, xác suất để hệ nằm trạng thái có lượng Ek là: Ek Wk exp Biểu thức (1) phân bố tắc lượng tử Trong đó: ( , a ) lượng tự nhiệt độ thống kê, kT Thật vậy, từ điều kiện chuẩn hoá: (1.1) W K K E exp exp k K EK tổng trạng thái, ta nZ Đặt Z exp k Xét: Z lnZ exp Z Ek exp k Ek E Ek exp k Hay: E (1.2) Biểu thức (2) phương trình Gipxơ Hemhômxơ Xét: Z exp a Z a k E exp k Ek k a Ek Ek exp a Theo học lượng tử ta có: Ek H a a k k H k dq a Khi đó: H A a a (1.3) Nhận xét: Ta thấy có ý nghĩa nhiệt độ tuyệt đối có ý nghĩa lượng tự - Đối với hệ có mức lượng hoàn toàn không suy biến ta có phân bố: Ek Wk exp (1.4) - Đối với hệ có mức lượng suy biến (giả sử độ suy biến gk) ta có phân bố: Ek Wk exp g k Ek (1.5) * Xét trường hợp đặc biệt: Hệ lượng tử gồm N hạt không tương tác Tương tự vật lý thống kê cổ điển, từ phân bố tắc lượng tử ta suy phân bố Maxwell- Boltzmann lượng tử: exp i kT Wi Z Trong đó: i lượng hạt hệ Wi xác suất để hạt hệ nằm mức lượng i Z tổng trạng thái xác định từ điều kiện chuẩn hoá W i i Z exp i kT i0 - Trường hợp mức lượng i bị suy biến, với độ suy biến g( i ) Khi đó: exp i kT Wi g i Z (1.6) Biểu thức (1.6) thống kê Maxwell- Boltzmann lượng tử 1.2.2 Phân bố tắc lớn lượng tử 1.2.2.1 Hàm phân bố tắc lớn lượng tử Trong tìm phân bố tắc lượng tử phân bố MaxwellBoltzmann lượng tử, ta chưa xét đến tính đồng hạt vi 10 mô tính đối xứng hàm sóng Do đó, thống kê vừa tìm áp dụng cho số trường hợp đặc biệt Nếu ta ý đến toàn đặc tính đó, ta tìm hai loại thống kê lượng tử quan trọng: - Thống kê Bose- Einstein - Thống kê Fermi-Dirac Xét hệ số có hạt thay đổi, tương tự vật lý thống kê cổ điển ta suy hàm phân bố tắc lớn lượng tử sau: Wk N Ek exp g k Ek N! (1.7) 1.2.2.2 áp dụng phân bố tắc lớn lượng tử - Xét hệ số có hạt thay đổi, hạt hệ không tương tác, ta có: Ek ni i i Trong đó: ni số chứa đầy (số hạt có lượng i ) i mức lượng hạt có trị số từ đến i lượng hạt riêng lẻ hệ Do số hạt hệ thay đổi nên tương tự vật lý thống kê cổ điển ta phải dùng phân bố tắc lớn lượng tử N ni , i i W n0 , n1 exp gk N! Trong đó: N ni i0 nhiệt động lớn hoá học Ký hiệu: G n0 , n1 gk N! 61 I 5 Và: (3.32) N 03 E0 5 32 V 2m N 32 N 0 2 2m V E0 N (3.33) Từ kết cho thấy rằng, trạng thái T 00 K điện tử tự có lượng khác 2 Ta có: N kT T0 k 2mk V T0 gọi nhiệt độ suy biến nhiệt độ T > T0 ta có khí điện tử không suy biến Lưu ý đến điều kiện áp dụng thống kê cổ điển là: 2 N T mk V Điều nghĩa khí điện tử không suy biến (T >> T0) tuân theo thống kê cổ điển Thay giá trị , m, k N V 1024 cm ta T0 105 K Điều nghĩa nhiệt độ phòng thí nghiệm ( T 3000 K T0 , khí điện tử tự tuân theo định luật Fermi Dirac 62 Từ (3.31) (3.33) suy ra: 2 2 03 I1 3 N 2 2 12 (3.34) Kết hợp (3.31) (3.34) ta được: E I 2 E 05 12 E0 24 25 E0 12 02 192 04 (3.35) Vậy lượng toàn phần khí điện tử tự nhiệt độ T thấp gần bằng: E E0 N 12 02 12 02 (3.36) Nhiệt dung đẳng tích khí điện tử tự kim loại là: k 2T E C 2 N 12 T V el V CVel Nk 2T (3.37) Vậy nhiệt độ thấp, nhiệt dung kim loại phụ thuộc vào nhiệt độ dạng: CV T T 63 Phần tuyến tính T nhiệt dung khí điện tử tự do, phần T nhiệt dung mạng ion dương 3.2.3 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng lý thuyết biến dạng q Tương tự xác định nhiệt dung khí điện tử tự kim loại phần lý thuyết lượng tử trên, ta xác định tổng số điện tử tự lượng toàn phần khí điện tử tự nhiệt độ T, sau xác định nhiệt dung khí điện tử tự có biến dạng Ta có tổng số điện tử tự lượng toàn phần khí điện tử tự nhiệt độ T tính theo cong thức sau: N .n d E .n d Với mật độ trạng thái, g V 32 2m 2 g bội suy biến mức lượng Vì mức lượng ứng với hai trạng thái s nên g 2s n số hạt trung bình có lượng : n e e q q e Vậy: N V 2m 32 2 e kT 12 e kT q q e kT d (3.38) 64 E Đặt V 2m 32 2 V 2m e kT 32 e kT q q e kT d (3.39) 32 2 e kT N e q q kT e kT d (3.40) d (3.41) e kT E e q q kT e kT * Ta có hoá nhiệt độ T 00 K lim T T Để ý rằng: e kT lim n lim T T e kT ( q q )e kT 0 (3.42) Như nhiệt độ tuyệt đối điện tử tự phân bố đặc biệt, trạng thái với ăng lượng chứa điện tử, trạng thái với lượng trạng thái trống Nếu kể đến spin điện tử ứng với mức lượng có hai trạng thái lượng tử phân biệt ; s ; s Ta nói rằng, nhiệt độ T K điện tử tự lấp đầy trạng thái lượng tử với lượng Mức lượng giới hạn gọi mức Fermi Ta xác định mức lượng Fermi theo hệ thức: 65 e kT N e kT d q q e kT Để ý đến (3.42) ta có: N d 03 (3.43) Từ đây, ta dễ dàng suy mức lượng Fermi: N F 23 N 2m V 23 (3.44) Năng lượng toàn phần khí điện tử tự T = 00K là: E0 32 0 e kT e kT q q e kT d d E0 05 N 5 (3.45) Như lượng trung bình tính cho điện tử tự Điều cho thấy trạng thái (T = 00K) khí điện tử tự có lượng khác * nhiệt độ T 00K với nhiệt độ T thấp, để xác định E ta cần tính tích phân dạng: e kT I g e kT q q e kT d g f ( )d Với g , g Trước hết ta khẳng định với kT kT nhỏ thì: 66 I g f ( )d g ( ) d g '( ).F (q ).(kT ) (3.46) Để chứng minh công thức ta xét tích phân: I f d d , hàm thỏa mãn điều kiện d áp dụng công thức tích phân phần, ta được: d df I f d f d 0 d d Vì f nên ta có: I Xét đạo hàm df d d (3.47) df : d df d e kT d d d kT kT e q q e kT e kT e kT q q e kT kT kT kT e e q q e kT kT q q e kT e Khai triển hàm thành chuỗi giới hạn số hạng tỉ lệ với : ' Thay (3.48) vào (3.47) ta được: " (3.48) 67 df df df d ' d " d d d d I (3.49) Ta xét tích phân vế phải (3.49) df I1 d f d e kT e kT q q1 e kT df d d I2 Vì: df I d d e kT k T kT kT e q q e kT kT kT ( e 1).[2 e q q e ] d kT kT kT [e q q e 1] Tính: I 21 Đặt x e kT e kT e kT kT kT ln x d kT dx x x x Thay vào I21 ta được: d q q e kT 68 I 21 kT ln x .kT kT x dx x q q x x ln x dx q q x x I 21 kT Ta thấy rằng, I 21 tích phân không tồn q Vậy I 21 Ta tính: I 22 (e kT 1).[2e kT [e 2 kT q q kT e q q e kT kT ] d 1] Tương tự tính I 21 , ta thấy I 22 không tồn q => I 22 Vậy ta kết luận rằng: I = Thay kết vào (3.49) được: df I " d d (3.50) Ta tính I : kT df e I d kT kT d e q q e kT q q e kT (e 1).[2e kT [e kT q q e kT 1]2 kT kT ] d Tính: I 31 Đặt x e kT e kT e kT kT ln x d kT dx x kT d q q e kT 69 x x Thay vào I31 ta được: I 31 kT ln x kT kT I 31 kT ln x x dx 1 x q q x x q q x x dx Ta thấy rằng, tích phân không tồn q Vậy I 31 (3.51) Ta tính I 32 sau: I 32 (e kT 1).[2e kT ta đặt x e I 32 [e 2 kT q q e kT ] kT q q e kT 1] kT , tương tự ta có: kT ln x kT x kT I 32 kT ln x x x q q x x q q (1 x ) q q x q q x x x dx Ta nhận thấy rằng: kT ln x Vậy: d I 32 kT 2 (1 x) q q x q q ln x x x dx (1 x) q q x q q x x dx dx 70 I 32 kT k k q q q (q 1) (1 q ) q k k k k k q k q q k k k k (3.52) Thay (3.52), (3.51) vào (3.50) ta được: I f d d " F q kT d Với k k k k 1q q 1q q F q q(q 1). (1 q). q q k k k k k k k k Khi g , ta có: g d g .d d d 0 "( ) 2 I1/2 F (q ).(kT ) 2 F (q ).( kT ) Khi g , ta được: g d g .d d d 0 "( ) (3.53) 71 I 3/ F (q ).(kT ) 2 F (q ).(kT ) (3.54) Thay (3.53), (3.52) vào (3.50), (3.51) ta được: N I1/2 3/2 1/2 F (q ).(kT ) (3.55) E I 3/2 5/2 1/2 F (q ).(kT ) (3.56) 23 N Để ý , ta biến đổi (3.55), (3.56) sau: 2m V N 3/2 F (q ).(kT ) F (q).(kT )2 3/2 F (q).(kT ) 02 F ( q).( kT ) F (q ).( kT ) 02 02 (3.56) 15 2 15 F(q).(kT)2 E F(q).(kT) 02 5 F(q).(kT )2 15 F (q).(kT )2 E . 02 02 F (q).(kT )2 15 F (q).(kT )2 E . 02 02 72 F (q).(kT )2 75 F (q).(kT )4 E E0 02 04 (3.57) Vậy lượng toàn phần khí điện tử tự nhiệt độ T thấp gần bằng: F (q).(kT )2 F (q).(kT )2 E E0 N 02 (3.58) Nhiệt dung đẳng tích khí điện tử tự kim loại có biến dạng q là: F (q).k 2T E CVel N 5.2 02 T V el V C N k F (q ).T (3.59) Vậy nhiệt độ thấp nhiệt dung khí điện tử tự kim loại có biến dạng q tỉ lệ thuận với nhiệt độ phụ thuộc tham số biến dạng q 3.3 Kết luận chng 3: Trong chương này, áp dụng phân bố thống kê lượng tử biến dạng xây dựng chương 2, nghiên cứu nhiệt dung mạng tinh thể nhiệt dung khí điện tử tự kim loại, kết thu nhiệt dung phụ thuộc vào nhiệt độ vào tham số biến dạng q, với kết hi vọng có kết tính số phù hợp với thực nghiệm 73 C kết luận Trong đề tài xây dựng phân bố thống kê lượng tử phương pháp lý thuyết trường lượng tử, xác định phân bố thống kê lượng tử biến dạng, xác định nhiệt dung mạng tinh thể, nhiệt dung khí electron kim loại Theo lý thuyết cổ điển, điện tử tuân theo phân bố Gipxơ Thành tựu lý thuyết rút hệ thức độ dẫn điện độ dẫn nhiệt Tuy nhiên bộc lộ nhiều thiếu sót như: Không giải thích phụ thuộc nhiệt độ nhiệt dung riêng điện tử dẫn Lý thuyết lượng tử giải thích cách đầy đủ đắn tính chất kim loại Theo lý thuyết lượng tử, điện tử tuân theo phân bố Fecmi - Dirac Trong tinh thể kim loại ion xếp đặt cách đặn tuần hoàn mạng tinh thể Vì sóng lan truyền tự cấu trúc tuần hoàn, nên sóng điện tử lan truyền tự do, không bị cản trở tinh thể Mặt khác, kết nguyên lý Pauli, điện tử dẫn tán xạ lên điện tử dẫn khác Như vậy, theo lý thuyết lượng tử, coi điện tử dẫn tạo thành chất khí gồm điện tử tuân theo nguyên lý Pauli, tự không tương tác Đề tài nghiên cứu Các phân bố thống kê lượng tử biến dạng đã: + Xây dựng phân bố thống kê lượng tử phương pháp trường lượng tử + Sử dụng lý thuyết q số, trình bày hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng q cho dao động tử Boson Fermi + Xây dựng thống kê Boson Einstein biến dạng q Fermi Dirac biến dạng q kết tham số biến dạng q -> 1thì thu phân bố thống kê Boson Einstein, Fermi Dirac quen thuộc 74 + áp dụng phân bố thống kê lượng tử biến dạng q, nghiên cứu nhiệt dung mạng tinh thể nhiệt dung khí điện tử tự kim loại thu biểu thức giải tích nhiệt dung tương ứng Các kết thu cho thấy nhiệt dung bên cạnh phụ thuộc vào nhiệt độ phụ thuộc tham số biến dạng q để kết tính toán lý thuyết kết thực nghiệm Nhưng thời gian có hạn dự kiến tiếp tục công việc công trình nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh thầy cô tận tình giúp đỡ hoàn thành đề tài này./ Người thực đề tài Nguyễn Đình Tuấn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (2004), Vật lý thống kê, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn [3] Đỗ Trần Cát, Vật lý thống kê, Nxb KH KT Hà Nội [4] Vũ Đình Cự (1997), Vật lý chất rắn, Nxb Khoa học kỹ thuật [5] Bùi Công Dưỡng, Nghiêm Hùng, Nguyễn Văn Chi, Nguyễn Trọng Báo, Đỗ Minh Nghiệp (1986), Kim loại học, Nxb Đại Học Bách Khoa Hà Nội [6] Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình (1992), Vật lý chất rắn, NXB GD 75 [7] Vũ Thanh Khiết (1996), Nhiệt động lực học vật lý thống kê, NXB ĐHQG [8] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Nxb ĐHQG Hà Nội [9] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, Nxb ĐHQG Hà Nội [10] Phạm Quý Tư (1986), Cơ học lượng tử, Nxb GD [11] Nguyễn Thị Bảo Ngọc, Nguyễn Văn Nhã (1997), Giáo trình vật lý chất rắn, Nxb ĐHQG Hà Nội [12] Lưu Thị Kim Thanh (2010) Biểu diễn ma trận dao động tử điều hòa biến dạng q, Tạp chí khoa học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, (1), 77 81 [13] Luu Thi Kim Thanh (2010), The applications of q-deformed statistics in phenomenon of bose-einstein condensation for the q-deformed gases, Hội nghị khoa học trẻ Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2,