1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 1.1 Biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa tuyến tính 1.2 Biểu diễn ma trận toán tử sinh, hủy Boson 13 Kết luận chương I: 17 CHƯƠNG II: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 18 2.1 Xây dựng thống kê lượng tử phương pháp GIBBS 18 2.1.1 Phương pháp GIBBS 18 2.1.2 Phân bố Bose - Einstein 19 2.1.3 Phân bố Fermi - Dirac 20 2.2 Xây dựng phân bố thống kê phương pháp lý thuyết trường lượng tử 21 2.2.1 Xây dựng thống kê Bose - Einstein 21 2.2.2 Xây dựng thống kê Fermi - Dirac 23 Kết luận chương II 29 CHƯƠNG III: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG 30 3.1 Lý thuyết q - số 30 3.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q 32 3.1.1 Dao động tử Boson biến dạng q 32 3.1.2 Dao động tử Fermion biến dạng q 34 3.3 Phân bố thống kê 35 3.2.1 Phân bố thống kê Bose-Einstein biến dạng q 35 3.2.2 Phân bố thống kê Fermi - Dirac biến dạng q 36 3.3 Dao động tử biến dạng R 37 3.3.1 Dao động tử Boson biến dạng R 37 3.3.2 Phân bố thống kê dao động tử Boson biến dạng R 39 Kết luận chương III 41 CHƯƠNG IV: ĐẠI SỐ LƯỢNG TỬ SU (2) 42 4.1 Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) 42 4.2 Đại số lượng tử thông số SU(2)q 49 Kết luận chương IV 53 KẾT LUẬN CHUNG 54 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH Đà ĐƯỢC CÔNG BỐ 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mô nói chung lý thuyết trường lượng tử nói riêng tạo nên sở giới quan vật lý để lý giải chất hạt vi mô mặt cấu trúc tính chất Cùng với phát triển lịch sử loài người, vật lý học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt nhiều thành tựu quan trọng Từ học cổ điển Niutơn đến thuyết điện từ trường Maxwell Faraday, ngày vật lý học đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất người ta thấy quy luật tìm thấy vật lý cổ điển xuất quy luật quy luật thống kê Vật lý thống kê phận vật lý đại nghiên cứu hệ nhiều hạt phương pháp thống kê Để tìm định luật phân bố thống kê lượng tử có nhiều phương pháp có phương pháp lý thuyết trường lượng tử Lý thuyết trường lượng tử tạo nên sở giới quan vật lý để lý giải chất hạt vi mô mặt cấu trúc tính chất Từ lý thuyết trường lượng tử mở đường để nhận biết trình vật lý xảy giới vi mô, giới phân tử, nguyên tử, hạt nhân hạt Một phương pháp phương pháp biến dạng lý thuyết nhóm lượng tử đại số lượng tử Việc nghiên cứu dao động tử biến dạng mà toán tử sinh, huỷ dao động tử tuân theo hệ thức giao hoán biến dạng nhằm giải toán phi tuyến tính quang học lượng tử, nhóm lượng tử có đại số lượng tử SU(2)q, toán phi tuyến dao động mạng vật lý chất rắn, làm xác phong phú thêm hiểu biết giới hạt vi mô Việc mở rộng nhóm lượng tử đại số lượng tử thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý nước giới với quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác với Bose - Einstein, Fermi - Dirac quen thuộc thống kê vô hạn, thống kê biến dạng, thống kê Para boson Đề tài: “Biểu diễn dao động đại số SU(2)q” nằm hướng nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ giới quanh ta, đặc biệt giới hạt vi mô Vì vậy, lựa chọn hướng nghiên cứu đề tài Mục đích nghiên cứu Từ hình thức luận dao động tử điều hoà tìm biểu diễn ma trận toán tử sinh hủy số hạt dao động tử Bozon, Fermion biến dạng q Từ xây dựng đại số lượng tử SU(2)q Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu viết tổng quan dao động tử lượng tử, toán tử sinh huỷ số hạt dao động tử Bozon, Fermion - Xây dựng hình thức luận dao động tử điều hoà thu biểu diễn ma trận toán tử sinh huỷ số hạt, dao động tử điều hoà biến dạng q - Xây dựng phân bố thống kê dao động tử điều hoà biến dạng q đại số lượng tử đơn giản SU(2)q - Trên sở nghiên cứu dao động tử có thống kê lượng tử Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử lượng tử lý thuyết trường lượng tử nhóm lượng tử có đại số lượng tử SU(2) cho hệ hạt vi mô Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử - Phương pháp vật lý thống kê phương pháp giải tích khác - Đề tài sử dụng kết hợp hình thức luận dao động tử điều hòa hình thức luận trạng thái kết hợp cho hệ hạt vi mô để nghiên cứu dao động tử lượng tử Tên đề tài, kết cấu luận văn - Tên đề tài: “Biểu diễn dao động đại số SU(2)q” - Kết cấu luận văn: Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn kết cấu làm chương: Chương I: Hình thức luận dao động tử điều hòa Chương II: Các thống kê lượng tử Chương III: Các thống kê lượng tử biến dạng Chương IV: Đại số lượng tử SU(2)q CHƯƠNG I: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 1.1 Biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa tuyến tính Dao động tử điều hòa chiều chất điểm có khối lượng m, chuyển động tác dụng lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo đường thẳng Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian dao động tử điều hòa chiều [1], [6]: P x m  H  x 2m (1.1) Trong đó: xˆ  qˆ  x toán tử tọa độ pˆ x  pˆ   i d toán tử xung lượng dx Hệ thức giao hoán pˆ qˆ ˆ ˆ   pq ˆ ˆ  qp ˆ ˆ  i  d x  x   i   d   i  d x  i x d  p,q dx dx dx dx ˆ ˆ    i d  x   ix d   i  p,q dx dx   p,q ˆ ˆ    i (1.2) Do ta biểu diễn toán tử Hamiltonian theo pˆ qˆ sau: H Ta đặt: pˆ  m qˆ 2m 2 pˆ  i m  aˆ  aˆ   qˆ  h  aˆ  aˆ  2m  ˆ theo aˆ a aˆ  sau: Khi ta biểu diễn H (1.3) pˆ H  m qˆ  i m  aˆ  aˆ 2m 2m 2 2    aˆ  aˆ    aˆ  aˆ   2    aˆ  aˆ  aˆ  aˆ    aˆ  aˆ 2 ˆ ˆ  2aˆ aˆ     2aa 2        m   aˆ  aˆ 2m  2    aˆ  aˆ    ˆ ˆ  aˆ aˆ     aa    (1.4) Ta biểu diễn toán tử aˆ aˆ  a ngược lại qua pˆ qˆ : pˆ pˆ  i m  aˆ  aˆ   aˆ  aˆ    ipˆ m  i m      aˆ  aˆ   aˆ  aˆ  2m  qˆ   qˆ  qˆ 2m   2m Từ ta thu được: m  qˆ  i pˆ    2  m aˆ  m  qˆ  i pˆ  a   2  m  aˆ  (1.5) (1.6) Dễ dàng chứng minh toán tử aˆ aˆ  thỏa mãn hệ thức giao hoán: ˆ ˆ  1 a,a  (1.7) Thật vậy: ˆ ˆ   aa ˆˆ a,a   pˆ  m  qˆ  i pˆ  m  q-i    ˆ  2  m    m   aˆ aˆ  m  qˆ  i pˆ  m  qˆ  i pˆ      2  m  2  m   2ipq ˆ ˆ  2iqp ˆ ˆ   i  pq ˆ ˆ  qp ˆˆ 1   Vậy ta thu toán tử Hamiltonian có dạng: H   aˆ aˆ     2  (1.8) ˆ  aˆ aˆ 1, 5 Ta đưa vào toán tử N  (1.9)  Hệ thức giao hoán toán tử N với toán tử aˆ aˆ là: ˆ ˆ   Na ˆ ˆ  aN ˆ ˆ  aˆ aa ˆˆ  aa ˆ ˆ aˆ   aˆ aˆ  aa ˆ ˆ  aˆ  1.aˆ  aˆ +  N,a    ˆ ˆ  aˆ N ˆ 1 Hay: Na     (1.10) ˆ ˆ   Na ˆ ˆ  aˆ N ˆ  aˆ aa ˆ ˆ  aˆ aˆ aˆ  aˆ  aa ˆ ˆ  aˆ aˆ   aˆ +  N,a       ˆ ˆ  aˆ N ˆ 1 Hay Na           (1.11) ˆ ứng với trị riêng n Ta ký hiệu n véc tơ riêng toán tử N ˆ sau: Khi ta có phương trình hàm riêng, trị riêng toán tử N ˆ n n n N (1.12) ˆ n  n n n n n n  nN ˆ n nN n aˆ aˆ n  nn nn  n   Vì: n n     r  dr  n   n aˆ aˆ n   aˆ  r  dr   n (1.13) Kết luận 1: ˆ số không âm Các trị riêng toán tử N Xét véc tơ trạng thái thu aˆ n cách tác dụng toán tử aˆ lên ˆ sử dụng véc tơ trạng thái n Tác dụng lên véc tơ trạng thái toán tử N công thức (1.10) ta có:   ˆ ˆ n  aˆ N ˆ  n  aN ˆ ˆ n  aˆ n Na (1.14)  aˆ  n  1 n   n  1 aˆ n Hệ thức có ý nghĩa là: ˆ N Véc tơ trạng thái aˆ n véc tơ trạng thái riêng toán tử N ứng với trị riêng (n - 1) Tương tự aˆ n ;aˆ n véc tơ trạng thái toán tử ˆ ứng với trị riêng (n - 2), (n - 3)… N Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái aˆ n , tác dụng lên véc tơ trạng thái ˆ , sử dụng công thức (1.11) ta có: toán tử N   ˆ ˆ n  aˆ N ˆ  n  aˆ N ˆ n  aˆ n Na    (1.15)  aˆ  n  1 n   n  1 aˆ n    Hệ thức có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái aˆ véc tơ trạng thái ˆ ứng với trị riêng (n + 1) riêng toán tử N Tương tự aˆ 2 n ;aˆ 3 n véc tơ trạng thái riêng toán ˆ ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)… tử N Kết luận 2: ˆ ứng với trị riêng n aˆ n Nếu n véc tơ riêng toán tử N p ˆ ứng với trị riêng n – p (p = 1,2,3…) véc tơ riêng toán tử N ˆ Kết hợp kết luận kết luận ta thấy n trị riêng toán tử N ˆ chuỗi số không âm n – 1, n – 2, n – 3… trị riêng toán tử N Vì chuỗi giảm dần nên phải tồn số không âm nhỏ thì: aˆ n (1.16) 0 Vì aˆ n  véc tơ trạng thái ứng với trị riêng n 1 n min trái với giả thiết nmin trị riêng nhỏ ˆ n 0 Từ (1.16) ta có: aˆ  aˆ n  N ˆ n Mặt khác theo định nghĩa N n (1.17) n (1.18) So sánh hai phương trình (1.17) (1.18) ta đến kết luận sau: Kết luận 3: ˆ nmin có giá trị Véc tơ trạng Trị riêng nhỏ toán tử N ˆ ký hiệu Véc tơ trạng thái thái ứng với trị riêng nhỏ N thỏa mãn điều kiện aˆ  Ta có: ˆ N ứng với trị riêng n = + aˆ tỉ lệ với véc tơ riêng l N  ˆ  1 * Thật ta có: N ˆ ứng với trị riêng + = 1, Mà aˆ  véc tơ riêng toán tử N ˆ ˆ  1aˆ  * *  tức Na   Từ (*) (**) ta thấy: ˆ ứng với trị riêng 1 véc tơ riêng toán tử N ˆ ứng với trị riêng aˆ véc tơ riêng toán tử N  ˆ ứng với trị Vì aˆ  phải tỉ lệ với véc tơ riêng l toán tử N riêng n = 10 ˆ ứng với trị + Tương tự aˆ tỉ lệ với véc tơ riêng toán tử N 2 ˆ ứng với trị riêng n = 2, …, aˆ  n tỉ lệ với véc tơ riêng n toán tử N riêng n ˆ   aˆ aˆ      N ˆ     N ˆ   Từ biểu thức: H  2  2  ˆ  N ˆ   Vì N ˆ 0 0 H ˆ    E H ˆ ứng với trị riêng E   Nên: véc tơ riêng H ˆ ứng với trị riêng E      véc tơ riêng H  2 ………………………………………………………… ˆ ứng với trị riêng E   n    n véc tơ riêng H  2 n Vậy trạng thái dừng dao động tử điều hòa có lượng gián đoạn với giá trị cách nhau, hiệu số lượng hai trạng thaí kề luôn lượng tử lượng  E         2 2 E         2  E  E  E    12 Trạng thái có lượng thấp E0, trạng thái với lượng E   xem kết việc thêm lượng tử lượng  vào trạng thái Trạng thái ứng với lượng E    E  2 xem kết việc thêm 43 Trạng thái có n1 dao động tử mode 1, n2 dao động tử mode 2, v.v… n mô tả vectơ trạng thái riêng toán tử số dao động tử N   Ni i 1 có dạng: n n , n , , n  n1 N n2       a1 a2 an nN (4.5) n1 !n2 ! nN ! Tác dụng toán tử N N n i lên véc tơ trạng thái n là: i  ni n (4.6) Biểu diễn dao động tử đại số SU(2) thực hệ dao a động tử hai mode i  i  1,  sau Các vi tử đại số SU(2) J 1, J 2, J xây dựng theo công thức: J  i a   a  i     a a     (4.7) Trong σi ma trận Pauli 0 0 1 i  1     ,   i ,   1        Viết tường minh, ta có dạng vi tử J J ,J ,J     01   a1   a1 a2     a         a1   a2 a1   a   2   a2 a1  a1 a2   là: (4.8) 44  J  a a  a a ,  J   2 1    i   a1   a1 a2   i   a     Tương tự  J  a a  a a , 2i  J3  2 1      a1   a1 a2   1  a      J  a a  a a   1 2  Vậy J  a a  a a , J  a a  a a  , 2i J   a a  a a    2   2  1 (4.9)  2 Có thể thấy dựa vào hệ thức giao hoán (4.1) ta tìm hệ thức giao hoán Ji J , J   i j  ijk  i J ijk 4.10) k hoàn toàn phải đối xứng với số  123 = Đây đại số Lie SU(2) Vậy biểu diễn đại số SU(2) qua toán tử boson Biểu thức (4.5) véc tơ không gian 45 Hilbert biểu diễn Ta thử không gian biểu diễn (4.5) tìm không gian bất khả quy Để thuận tiện người ta dung vi tử tổ hợp vi tử sau: E  J   J1  iJ  a1 a2 , F  J   J1  iJ  a2 a1 ,  1 (4.11)  2 H  J  a a  a a  N1  N Các vi tử thực đại số SU(2) đóng kín có dạng sau:  E, F   H ,  H , F   2E,  H , F   2 F (4.12) Không gian biểu diễn SU(2) không gian Fock với sở véc tơ trạng thái riêng toán tử số dao động tử N: n  n ,n n1     a1 a2 n2 (4.13) n1 !n2 ! Từ không gian biểu diễn không gian bất khả quy biểu diễn xác định sau: Xét toán tử Casimir 2 C  J  J  J Đặt J   N  N 2   (4.14) 46   a a  a a     2 (4.15) Chúng ta biểu diễn toán tử Casimir theo toán tử J sau: C  J J   (4.16) Đối với biểu diễn bất khả quy toán tử Casimir có giá trị riêng xác định, từ dạng (4.16) C thấy đặc trưng cho biểu diễn SU(2) giá trị riêng toán tử J Theo định nghĩa toán tử số dao động tử Ni , từ công thức (4.15) có: J n  j n ,  N1  N  n  j n ,  n1  n2  n  j n (4.17) Từ suy ra: j  n  n  (4.18) n1 , n2 số nguyên, suy j số nguyên bán nguyên, không âm Để xác định véc tơ riêng không gian không gian Hilbert (4.8), tức biểu diễn bất khả quy đại số SU(2) ta nhận xét biểu diễn phải xác định hai giá trị riêng (do không gian chung xác định hai số n1 n2) Ta nhận xét toán tử J3 giao hoán với J tức có giá trị riêng xác định Ta ký hiệu trị riêng m từ định nghĩa J3 (4.9) ta có: m 1 n n 2 (4.19) 47 Vậy biểu diễn bất khả quy SU(2) không gian véc tơ sở (4.8) đặc trưng j m liên hệ với n1 n2 sau: n  jm, (4.20) n  jm, Từ không gian véc tơ sở biểu diễn bất khả quy là: j ,m   a  j m  a  j m  j  m !  j  m !   (4.21) Từ (4.19) (4.18) ta thấy với giá trị j xác định m có 2j+1 giá trị sau: m  j , j 1 , ,  j 1 ,  j (4.22) Do không gian biểu diễn bất khả quy có 2j + chiều Tác dụng   toán tử a1 , a2 , a1 , a2 lên véc tơ trạng thái j , m sau:  a j ,m   a j ,m  a j ,m  a j ,m  2 j  m  j  ,m  2 j  m  j  ,m  2 j  m j  ,m  , 2 j  m j  ,m  , 2 , , (4.23)  Từ công thức (4.23) tính tác dụng toán tử a1 a1 lên véc tơ trạng thái j , m sau: a  a j ,m   j  m  j ,m  1 Do ta có phương trình: (4.24) 48 N j ,m  n j ,m (4.25)  Tương tự, tác dụng toán tử a2 a2 lên véc tơ trạng thái j , m sau: a  a j ,m   j  m  j ,m  2 (4.26) Do suy N j ,m  n j ,m 2 (4.27)  (4.28) Hơn từ biểu thức: J  N  N Chúng ta suy vi tử J , J  , J  đại số SU(2) tác dụng lên véc tơ trạng thái j , m không gian biểu diễn bất khả quy theo phương trình sau: J j ,m    j  m   j  m   j  m   j  m  J j ,m  J j ,m  m j ,m  j ,m , j ,m (4.29) , Trên trình bày cách khái quát hình thức luận dao động tử điều hòa, sử dụng hình thức luận dao động tử điều hòa để biểu diễn đại số Lie SU(2) Việc tính phân bổ thống kê theo phương pháp hàm Green trình bày phần 4.1 Phần 4.1 coi sở sử dụng phần 4.2 nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng q Rõ ràng phương trình hàm riêng trị riêng toán tử Ni là: Ni n q  ni n q , (4.30) 49 ni  0,1, 2, 4.2 Đại số lượng tử SU(2)q Để đưa biểu diễn bất khả quy đại số lượng tử SU(2)q dựa vào hình thức luận dao động tử điều hóa biến dạng q với trường hợp hai mode Khi có hệ thức giao hoán toán tử hủy a toán tử sinh a+ sau: aj    q 1 ij 1 aj  ijqNi ,  i (4.31)  j ai , aj   a , a   với i, j  1, Trong Ni toán tử số dao động tử mode i thỏa mãn hệ thức ai   N i q , (4.32) ai   N i  1q N ,a   i j  a   ,  N i a j  a j  j ij , (4.33) ij Không gian Fock với sở véc tơ trạng thái riêng chuẩn hóa toán tử số dao động tử N = N1 + N2  a  n  a n  n q  n ,n  q 1  2  n 1 !  n  ! q q (4.34) Cũng tương tự biểu diễn dao động tử đại số SU(2), biểu diễn bất khả quy đại số lượng tử SU(2)q thu từ trạng thái (4.34) với 50 n1 = j + m n2 = j – m Từ không gian với véc tơ sở biểu diễn bất khả quy j ,m  j  m , j  m  q  jm  j m a  a  q   jm   q !  jm  q ! , (4.35) j  n  n , m  n  n  2 với giá trị j xác định m có 2j + giá trị sau: m  j , j 1 , ,  j 1 ,  j  Các toán tử , (i  1, 2) tác dụng không gian sau: a j ,m q  a j ,m q a j ,m q  , (4.36) q  q q q   a j ,m j  m  j  , m  , 2 ,m  j    m 1 j  2 ,m  , j   m j  2 ,m  j    m 1 j  2    q Đại số lượng tử SU(2)q biến dạng q đại số Lie SU(2), xây dựng ba toán tử liên hợp J1 , J , J biểu diễn theo toán tử hủy sinh sau: 51 J  a a  a a , J  a a  a a , 2i J   N  N    2  1  2 (4.37) Hoặc để thuận tiện, thông thường người ta sử dụng vi tử tổ hợp vi tử trên: E  J   J1  iJ  a1 a2 , F  J   J1  iJ  a2 a1 , (4.38) H  J  N1  N Đại số lượng tử SU(2)q có dạng:  J , J    J 3, J    2 J  J  , q (4.39)  Dựa vào hệ thức giao hoán (4.31) chứng minh đại số SU(2)q đóng kín sau:  E , F    H q ,  H , F   2E,  H , F   2 F (4.40) Các đại số lượng tử SU(2)q (4.39), (4.40) có dạng đại số SU(2) thông thường trường hợp giới hạn q = Tác dụng vi tử tử J , J  , J  lên sở j , m gian biểu diễn bất khả quy (biểu diễn Jimbo) sau: q không 52 J j ,m    j  m   j  m   j , m  q J j ,m    j  m   j  m   j , m  1  q  q q q J j ,m  m j ,m q , , (4.41) q Toán tử Casimir có dạng: 2  J   C  J J J J  2  q q      (4.42) Toán tử Casimir giao hoán với vi tử J , J  , J  đại số SU(2)q Toán tử Casimir có giá trị riêng  j q ,  j  1q với 2j thuộc tập hợp số tự nhiên 53 Kết luận chương IV Trong chương nghiên cứu đại số biến dạng hai tham số SU(2) cách xây dựng hệ dao động tử điều hoà biến dạng phụ thuộc hai tham số Trong trường hợp giới hạn p = q đại số trở đại số biến dạng tham số SU(2)q Trong trường hợp đặc biệt p,q  đại số biến dạng phụ thuộc hai tham số SU(2)pq đại số SU(2) thông thường Chúng đưa hệ thức tường minh tải BRST đại số biến dạng hai tham số đại số SU(2) 54 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn “Biểu diễn dao động đại số SU(2)q” thực đạt kết sau: - Đã trình bày cách lôgic, đầy dủ hình thức luận dao động tử điều hòa: Tính toán toán tử sinh hạt hủy hạt dao động tử điều hòa tuyến tính, biểu diễn toán tử sinh Boson, hủy Boson, toán tử số hạt dạng ma trận tạo sở tính toán cho chương sau - Đã sử dụng phương pháp GIBBS phương pháp lý thuyết trường lượng tử để xây dựng thống kê Bose - Einstein xây dựng thống kê Fermi – Dirac, phương pháp lý thuyết trường lượng tử có phạm vi áp dụng rộng hơnĐã sử dụng phương pháp Phân bố thống kê dao động tử biến dạng q, dao động tử biến dạng R, sở để nghiên cứu đưa biểu diễn đại số lượng tử SU(2)q - Đã sử dụng hình thức luận dao động tử điều hòa biểu diễn đại số Lie SU(2) Việc tính phân bố thống kê theo phương pháp hàm Green nghiên cứu dao động tử điều hòa coi sở để đưa biểu diễn đại số lượng tử SU(2)q Đưa biểu diễn bất khả quy đại số lượng tử SU(2)q dựa vào hình thức luận dao động tử điều hóa biến dạng q với trường hợp hai mode Đại số lượng tử SU(2)q biến dạng q đại số Lie SU(2), xây dựng ba toán tử liên hợp J1 , J , J biểu diễn theo toán tử hủy toán tử sinh Dựa vào hệ thức giao hoán chứng minh đại số SU(2)q hệ đóng kín, cụ thể:  E , F    H q ,  H , F   2E,  H , F   2 F 55 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH Đà ĐƯỢC CÔNG BỐ Lưu Thị Kim Thanh, Mai Thị Linh Chi, Lương Khánh Toàn(2010), “Biểu diễn ma trận dao động tử điều hòa biến dạng -q”, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 10 năm 2010, 77 - 81 Tran Thai Hoa, Luu Thi Kim Thanh, Mai Thi Linh Chi, Luong Khanh Toan, “The Applications of Q-Deformed Statistics in Phonomenon of Bose-Einstein Condensation for the Q-Deformed Gases”, The 35th national Conference on Theoretical Physics TP Hồ Chí Minh, (2010) 35 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (2004), Vật lí thống kê, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Đỗ Trần Cát, Vật lí thống kê, Nxb KH KT Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, Nxb ĐHQG Hà Nội [4] Vũ Văn Hùng (2006), Vật lí thống kê, Nxb ĐH Sư phạm [5] Vũ Thanh Khiết (1996), Giáo trình “ Nhiệt động lực học Vật lí thống kê”, Nxb ĐHQG Hà Nội [6] Phạm Quí Tư (1986), Cơ học lượng tử, Nxb Giáo dục [7] Lưu Thị Kim Thanh (2007), “Dao động tử fermion biến dạng hai tham số p,q”, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, (1), 127 - 130 [8] Lưu Thị Kim Thanh, Phạm Thị Toản, Bùi Văn Thiện (2008), “Các thống kê lượng tử”, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, (4), 107 - 111 [9] Lưu Thị Kim Thanh, Mai Thị Linh Chi, Lương Khánh Toàn(2010), “Biểu diễn ma trận dao động tử điều hòa biến dạng -q”, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, (10), 77 - 81 Tiếng Anh [10] A.J Macfarlane, On q – analogues of the quantum harmomic oscillator and the quantum groupe SU q(2), J Phys Agen 22 (1989), 4581 [11] D.V Duc, N.H Ha, N.N.L Oanh, “Conformal anomaly of q deformed Virasoro algebra”, Preprint VITP 93 - 10, Ha Noi [12] D.V Duc, “Generalized q - deformed oscillators and their statistics”, Preprint ENSLAPP - A - 494/94, Annecy France, 1994 57 [13] H.H.Bang, “Connection of q - deformed para oscillators with para Ocscillators” Proceeding of the NCST of Viet Nam,7 No.1 (1995) [14] L.C Biedenhar, The quantum group SUq (2) and a q - analoque of the Boson operators, J Phys A: Math Gen 22 (1989), 1873 [15] N.Aizawa and H Sato, “q - deformation of the virasoro algebra with Antral extension”, Phys rics letters Bvol 256, No (1991), 185 [16] M Chaichian, R Gonzalez Felipe and C Montonen, “Statistics of q Oscillators, quons and relations to fractional Statistics”, J Phys Lett B5,187 - 193 [17] M Chaichian, P.P Kulish, quantum superalgebras, q - oscillators and application, Preprint CE RN - TH 5969/90,1990 [18] M Chaichian, P.P Kulish, quantum lie superalgebras, q – oscillators, Phys Lett B234 (1990), 72 [19] R Chakrbarti and R, Jagarnathan, On the number operators of single mode q - oscillators, J Phys A: Math.Gen 25 (1992), 6393 - 6398 [20] S Chartuvedi, V Srinivasan, “Aspects of q - oscillators quantum Mechanics”, Phys Rev A44 (1991), 8020 - 8023 [21] K.H Cho,C Rim, D.S Soh and S.U Park, “q - Deformed oscillatorsassociated with the Calogero mode and its q - coherent state”, J Phys.A: Math Gen 27 (1994), 2811 - 2822 [22] Tran Thai Hoa, Luu Thi Kim Thanh, Mai Thi Linh Chi, Luong Khanh Toan, “The Applications of Q-Deformed Statistics in Phonomenon of Bose-Einstein Condensation for the Q-Deformed Gases”, The 35th national Conference on Theoretical Physics TP Hồ Chí Minh, (2010) 35