Tóm tắt các công thức đại số và giải tích

Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích Tóm tắt các công thức đại số và giải tích

Các công thức lượng giác

I Các hệ thức cơ bản:

1 sin2x + cos2x = 1

⇒ sin2x = 1 - cos2x = (1-cosx)(1+cosx)

⇒ cos2x = 1 - sin2x = (1-sinx)(1+sinx)

2

sin tan

cos

x x

x



;

cos cot

sin

x x

x



; tanx.cotx = 1

3

2

2

1

1 tan

cos

x

x

;

2

2

1

1 cot

sin

x

x

II Công thức nhân đôi – nhân ba:

4 sin2x = 2sinx.cosx ⇒ sinx.cosx =

1 2

sin2x

5 cos2x = cos2x - sin2x = (cosx-sinx)(cosx+sinx)

= 2cos2x - 1 = 1 - 2sin2x

2 tan tan 2

1 tan

x x

x



2 cot cot 2

x x

x





7 sin3x = 3sinx – 4sin3x = sinx (3–4sin2x)

8 cos3x = 4cos3x–3cosx =cosx(4cos2x–3)

9

3 2

3tan tan tan 3

1 3tan

x

x







10

3 2

cot 3

x

x







III Công thức hạ bậc:

11

sin

2

x 

(1– cos2x) 12

cos

2

x 

(1+ cos2x) 13

2 1 cos 2 tan

1 cos 2

x x

x







IV Công thức biểu diễn theo t = tan

x

2

2

sin

1

t x

t



2 2

1 cos

1

t x t





2 tan

1

t x t



2

1 cot

2

t x t





V Công thức quy gọn góc (góc có liên quan đặc biệt):

18 Hai cung đối nhau: sin(- x) = – sin x ; cos(- x) = cos x ; tan(-x) = – tan x

19 Hai cung bù nhau: sin( π - x) = sin x ; cos( π - x) = cos x ; tan( π - x) = – tan x

20 Hai cung phụ nhau: sin (π2−x) = cos x ; cos (π2−x) = sin x ; tan (π2−x) =

cot x

21 Hai cung hơn kém π : sin( π + x) = – sin x ; cos( π + x) = – cos x ; tan( π + x) = tan x

22 Hai cung hơn kém

π

2 : sin (π2+x) = cos x ; cos (π2+x) = – sin x ; tan (π2+x)

= – cot x

23 sin(x + k2 π ) = sin x 24 cos(x + k2 π ) = cos x

25 tan(x + k π ) = tan x 26 cot(x + k π ) = cot x

VI Công thức cộng cung:

27 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 28 sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

29 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb 30 cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

31 tan(a + b) =

1 tan tan



1 tan tan





II Công thức biến đổi tổng thành tích:

33 sina + sinb = 2sin 2 cos 2

a b a b

34 sina - sinb = 2cos 2 sin 2

a b a b

35 cosa + cosb = 2 cos 2 cos 2

a b a b

36 cosa – cosb = 2sin 2 sin 2

a b a b



37 sinx + cosx = 2 sin x 4 2 cos x 4

    38 cotx + tanx =

2

sin 2x

39 sinx - cosx = 2 sin x 4 2 cos x 4

VIII Công thức biến đổi tích thành tổng:

41 sinacosb =    

1

2 a b  a b  42 cosacosb =    

1

43 cosasinb =    

1

2 a b  a b  44 sinasinb =    

1

IX Một số công thức cần nhớ khác:

45 sin4x + cos4x =

46 sin6x + cos6x =

47 Họ nghiệm x = α+k 2 π có 1 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

48 Họ nghiệm x=α +

k 2 π

n (n≥2 , n∈N ) có n điểm biểu diễn cách đều nhau trên ĐTLG.

X Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

30 0 (

π

2

1

45 0 (

π

4 Rad)

1 2

1

60 0 (

π

1

90 0 (

π

120 0 (

2 π

1

-

1 3

135 0 (

3 π

4 Rad)

1

1

150 0 (

5 π

6 Rad)

1

√

1

Đại số tổ hợp – Xác suất

1 Số hoán vị của n phần tử là: Pn  n ! 1.2.3  n

2 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:      

!

!

k n

n

n k



3 Số tổ hợp chập k của n phần tử là:  

!

k

n

A n

C



4

 5

1



6 Nhị thức Newton:  n 0 n 1 n 1 n 1 n 1 n n

a b C a C a b C ab  C b

7  1n 0 n 1 n 1 n 1 n n n n 1 n 1 1 0

8 2n 1 1n 0 1 n 1 n

9 0 1 1n 0 1 2  1 n n  0 2   1 3 

10 Nếu trong n t.hiện 1 phép thử có n A lần x.ra sự kiện A thì x.suất x.ra sự kiện A là:  

A A

n P n



Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân

I Dãy số:

1 Dãy số  u n gọi là đơn điệu tăng nếu u n u n 1 n N



2 Dãy số  u n gọi là đơn điệu giảm nếu u n u n 1 n N



3 Dãy số  u n bị chặn trên bởi số thực M nếu n o N: n N n n, o u n M

4 Dãy số  u n bị chặn dưới bởi số thực m nếu n o N: n N n n, o u n m

5 Dãy số  u n bị chặn nếu M R m R n, , o N: n N n n, o m u n M

II Cấp số cộng:

1 Dãy số  u n được gọi là cấp số cộng nếu u n1 u nd d const với  n N*, d là công sai

2 u n u1n 1d

3 u n k u k nd u nkd 4 u n1u n12u n

5 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:  1  1  

S  u u nnu  n n d

III Cấp số nhân:

1 Dãy số  u n được gọi là cấp số nhân nếu u n1 qu q const k   với  n N*, q là công bội

n

n

 3 u n k q u k n q u n k 4 u n1.u n1 u n2

5 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: 1

1 1

n n

q

q







Giới hạn của d.số - Giới hạn của h.số - Sự liên tục của hàm số

I Giới hạn của dãy số:

1 limu n    L  0, n o N sao cho n N n n  ,  othì u n L 

2 limu n     0, n o N sao cho n N n n  ,  o thì u n L 

3  n o N sao cho u n   v n n n o và limv n 0  limu n 0 4

1

n

u

u

5 limn  0 6 limn 0 0 7 q  1 limq n 0 8 q 1 limq n 

9 Nếu limu n M và limv n Nthì: limu nv n limu n limv n M N

limu v n n lim limu n v n M N. lim lim  0

lim

N

10 limu n  L 0, limv n   limu v n n limu n  L 0, limv n    limu v n n   limu n  L 0, limv n   limu v n n   limu n  L 0, limv n    limu v n n 

n

n

u

v

n

u

v

n

u

v

n

u

v

II Giới hạn của hàm số:

1a limx x o f( )x L  0,  0sao cho x x o ; x o 

thì f( )x  L 

1b limx x o f( )x  0,  0sao cho x x o ; x o 

thì f( )x 

2a lim ( )x 0, thì ( )x

x f L  sao cho x  f L 

           lim ( )x 0, thì ( )x

x f L  sao cho x  f L 

           

2b lim ( )x 0, , thì ( )x

3a

o

o

x x

x x









3b

o

o

x x

x x









4 f( )x g( )x  x x o ; x o

và lim ( )x 0 lim ( )x 0

5 f( )x g( )x x x o ; x o , limx x o f( )x



và limx x o g( )x

x x f x x g

6 h( )x f( )x g( )x  x x o  ; x ovà limx x o h( )x xlimx o g( )x L xlimx o f( )x L

Các tính chất từ 5 đến 11 của phần giới hạn của dãy số cũng đúng cho giới hạn của hàm số

III Sự liên tục của hàm số:

1 f( )x liên tục tại lim ( ) ( )o

o

o x x x x



2 f( )x không liên tục (gián đoạn) tạix x o  không tồn tại limx x o f( )x

 hoặc lim ( ) ( )o

x x f f

3 f( )x liên tục trên a b;   f( )x liên tục tại x oa b; 

4 f( )x liên tục trên a b;   f( )x liên tục tại x oa b; và lim ( )x ( )a , lim ( )x ( )b

x a f f x b f f

5 f( )x liên tục trên a b;  và f( )a .f( )b  0   c a b sao cho f;  ( )c  0

Các công thức đạo hàm và nguyên hàm

I Các quy tắc tính đạo hàm:

Với các hàm số u u ( )x

và v v ( )x

ta có:

1.u v ' u v' '

2 (k.u)’=k.u’ với k R 3 (uv)’=u’v+uv’

4

'

2

u u v uv



 



 

 

5 Với hàm hợp yy( )u ;u u ( )x ta có:

y x' y u u'. x'

II Các công thức đạo hàm cơ bản:

Đạo hàm của hàm sơ cấp yy( )x Đạo hàm hàm hợpyy( )u ;u u ( )x

6  x ' x 1



với  1 7  u ' '.u u 1



với  1

8

'

2



' 2

 



 

 

10  x ' 21

x



11  ' '

2

u u

u



12  e x ' e x

13  e u ' u e' u

14  a x 'a xlna

15  a u ' u a' ulna

16  

ln x

x



17  

u



18  

log

ln

a x

x a



19  

log

ln

a

u u

u a



20 sinx'cosx

21 sinu'u'cosu

22 cosx' sinx 23 cosu'u'sinu

24  

'

2

1 tan

cos

x

x



25  

' 2

' tan

cos

u u

u



26  

'

2

1 cot

sin

x

x





27  

' 2

' cot

sin

u u

u





III Các phương pháp tính nguyên hàm:

1 Phương pháp đổi biến: Nếu

' ( )u ( )x

I f u dx thì đặt '

u u  du u dx , ta được I = f du( )u

2 Phương pháp nguyên hàm từng phần: udv uv  vdu

VI Các công thức nguyên hàm cơ bản:

1

1

1

x













2 2

1

dx

C

x  x

dx

x C

x  

 8 cosx dxsinx C

4

e dx e C

cos

dx

x C

x  



x

x a

a

sin

x 



Các công thức biến đổi của hàm mũ và lôgarit

I Các công thức biến đổi của hàm mũ:

1

1

n

n

x

x





2

1

n n

m

n

x  x 4 x x m. n x m n 5 xm: xn xm n



6 ( )xy n x y n n

7

n

 



 

  8   xm n    xn m  xm n.

9 Nếu x 1 thì x x    10 Nếu 0x1 thì x x   

II Các công thức biến đổi của hàm lôgarit:

1 Với a0, a1,b0ta có: loga b b a

    2 log 1 0a  3 loga a 1 4 log n

a a n

5

loga b

a  b 6 log ( ) loga bc  a bloga c b 0;c0

7

loga b loga b loga c c

 

 

 

8 loga b n nloga b

9

1 loga n b loga b

n



10 log log n logn

11

log log

log

c a

c

b b

a



12

1 log

log

b

b

a

a

 13 log10alogalga 14 loge alna

15 Nếu a 1 thì loga bloga c b c 16 Nếu 0a1 thì loga bloga c b c

Các công thức cần nhớ về số phức

1 Số phức: z = a+bi với a b R,  , trong đó a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i 2 =1

2 Với n N ta có: i 4n 1 , i4n 1 i

 , i4n2 1

 , i4n3 i



3 Hai số phức bằng nhau: a bi c di    a=c và b=d

4 Số phức z = a+bi b.diễn trên mptđ Oxy bởi điểm M(a;b) Mô đun của z là z OM  a2b2

5 Số phức liên hợp của z = a+bi là z a bi  Ta có: z z a  2  b2

6 Phép cộng: a bi   c di   a c   b d i 

7 Phép trừ:  a bi     c di     a c     b d i  

8 Phép nhân: a bi c di      ac bd   ad bc i 

9 Phép chia:

a bi c di ac bd bc ad i

i

2

a bi c di    a bi  c di  c  d  cdi a c  d

và b2cd

11 Xét phương trình bậc hai: ax2  bx c   0 với a b c R a , ,  ;  0 Ta có:  b2 4ac

- Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2 2

b

x x

a

 

- Nếu  0thì phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 2

b x

a

  



- Nếu  0thì phương trình có 2 nghiệm phức 1,2 2

b i x

a

   

