BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐINH THỊ THU PHƯƠNG TIẾP CẬN TỐI ƯU VÉC TƠ VỚI MÔ HÌNH NASH-COURNOT SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐINH THỊ THU PHƯƠNG TIẾP CẬN TỐI ƯU VÉC TƠ VỚI MÔ HÌNH NASH-COURNOT SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.NGUYỄN VĂN QUÝ Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Quý, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình làm hoàn thiện luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đinh Thị Thu Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Văn Quý, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “ Tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot suy rộng ” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Đinh Thị Thu Phương Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 Kiến thức 1.1 1.2 1.3 Tập lồi hàm lồi không gian Rn 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Nón lồi 1.1.3 Hàm lồi 1.1.4 Dưới vi phân hàm lồi 15 1.1.5 Hàm lồi khả vi 19 1.1.6 Cực trị hàm lồi 22 Bài toán cân toán liên quan 26 1.2.1 Bài toán cân 26 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 27 1.2.3 Bài toán tối ưu 28 1.2.4 Bài toán tựa cân 30 Bài toán tối ưu véc tơ 31 1.3.1 Quan hệ thứ tự theo nón 31 1.3.2 Quan hệ thứ tự không gian Rn 32 i 1.3.3 Điểm Pareto (Điểm hữu hiệu) không gian Rn 33 1.3.4 Bài toán tối ưu véc tơ 35 1.3.5 Bài toán vô hướng hóa 36 Tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot suy rộng 2.1 2.2 2.3 41 Phát biểu Mô hình Nash-Cournot 41 2.1.1 Mô hình Nash-Cournot cổ điển 41 2.1.2 Mô hình Nash-Cournot suy rộng 42 Tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot suy rộng 45 2.2.1 Các giả thiết 45 2.2.2 Tiếp cận tối ưu véc tơ 47 Sử dụng kỹ thuật vô hướng hóa cho toán tối ưu véc tơ 2.4 50 Phương pháp nhánh cận giải toán vô hướng hóa ứng với Mô hình Nash-Cournot suy rộng 2.4.1 2.4.2 52 Kỹ thuật tính cận để giải toán vô hướng hóa (SQVP) 54 Quy tắc chia nhánh 62 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 ii LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mô hình cân thị trường độc quyền Nash-Cournot A.Cournot đưa vào năm 1838 nhiều tác giả giới tập trung nghiên cứu Mô hình Nash-Cournot Mô hình kinh tế học Ngày nay, Mô hình Nash-Cournot phát triển mở rộng thêm nhiều tính ứng dụng không lĩnh vực kinh tế mà nhiều lĩnh vực khác Nghiên cứu tính chất phương pháp giải với Mô hình Nash-Cournot cổ điển suy rộng chủ đề nhiều nhà toán học nước quan tâm Hiện nay, cách tiếp cận nghiên cứu Mô hình Nash-Cournot tiếp cận bất đẳng thức biến phân, tiếp cận cân tiếp cận tối ưu véc tơ Với cách tiếp cận có ưu điểm định việc đưa phương pháp giải mô tả ứng dụng Mô hình Đề tài chọn cách tiếp cận tối ưu véc tơ để nghiên cứu đưa phương pháp giải với Mô hình Nash-Cournot suy rộng đề tài có tính khoa học, tính thời tính thực tiễn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot suy rộng đưa phương pháp giải Nhiệm vụ nghiên cứu Mô tả Mô hình kinh tế Nash-Cournot cổ điển suy rộng dạng toán tối ưu véc tơ trình bày phương pháp giải toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong luận văn sử dụng kiến thức bổ trợ chủ yếu Giải tích lồi Lý thuyết tối ưu véc tơ Đối tượng áp dụng Mô hình kinh tế Nash-Cournot cổ điển Mô hình kinh tế Nash-Cournot suy rộng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu từ giáo viên hướng dẫn Tìm tòi thu thập thêm tư liệu từ giảng, sách, báo, internet, từ xếp, biên soạn lại hình thành nội dung đề tài Chương Kiến thức 1.1 1.1.1 Tập lồi hàm lồi không gian Rn Tập lồi Định nghĩa 1.1 [2] Tập D ⊂ Rn khác rỗng gọi lồi với x, y ∈ D với ≤ λ ≤ ta có: λx + (1 − λ)y ∈ D Định nghĩa 1.2 [2] Ta nói x tổ hợp lồi véc tơ x1 , , xk ∈ Rn nếu: k x= λj xj , j=1 k λj ≥ với j = 1, 2, , n λj = j=1 Mệnh đề suy trực tiếp từ định nghĩa Mệnh đề 1.1 [2] (i) Giao họ hữu hạn vô hạn tập lồi tập lồi (ii) Tích Đề-Các họ hữu hạn tập lồi tập lồi (iii) Cho A B hai tập lồi không gian Rn Khi đó, tổng đại số A B định nghĩa ký hiệu bởi: A + B := {x + y : x ∈ A, y ∈ B} (iv) Cho C tập lồi không gian Rn λ số thực Khi đó, tập: Cλ := {λx : x ∈ C} (v) Ảnh nghịch ảnh tập lồi qua ánh xạ tuyến tính tập lồi Định nghĩa 1.3 [2] Cho A tập khác rỗng không gian Rn Tập hợp tất tổ hợp lồi số hữu hạn điểm thuộc A gọi bao lồi A ký hiệu CoA Mệnh đề 1.2 [2] Cho A tập khác rỗng không gian Rn (i) CoA tập lồi (ii) CoA tập lồi nhỏ chứa A (iii) A lồi A = CoA Định nghĩa 1.4 [1] Một tập gọi tập lồi đa diện, giao số hữu hạn nửa không gian đóng Do phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính nên tập đa diện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Kết hợp với (ii) suy ra: α(I) = β(I) = F (λ, t∗ , x∗ ), hay (t∗ , x∗ ) nghiệm tối ưu Bài toán (LSQV P 1(I)) (iv) Với τ ∈ I cố định, đặt: n λi (βi τ + µi − αi )xi l(τ ) := F (λ, τ, x) := (t,x) (2.10) i=1    x1 + x2 + + xn = t;         Ax ≤ b;    với ràng buộc: ≤ xj ≤ dj , j = 1, , p;       xj ≥ 0, j = p + 1, , n;       t0 ≤ τ ≤ t1 I I Do βi > 0, xj ≥ 0, ∀i = 1, , n với (t, x) ∈ D cố định, τ2 ≥ τ1 F (λ, τ2 , x) ≥ F (λ, τ1 , x) Từ suy l(τ ) hàm không giảm I Mặt khác, theo định nghĩa thì: β(I) = l(τ ) : t0I ≤ τ ≤ t1I Kết hợp lại ta có β(I) = l(t0I ) Định lý chứng minh xong ✷ Các kết cho thấy, với đoạn I ⊂ [Tmin , Tmax ] α(I) giá trị tối ưu Bài toán (LSQV P ) hạn chế đoạn I, β(I) cận α(I) Nếu β(I) = α(I) β(I) giá trị tối ưu toán vô hướng hóa xét đoạn I 61 Để tính β(I) ta phải giải quy hoạch tuyến tính, Bài toán (LSQV P 2) với τ = t0I Hơn nữa, (tI , t0I , xI ) nghiệm tối ưu toán tính β(I) (tI , xI ) nghiệm chấp nhận Bài toán vô hướng hóa dạng song tuyến tính (LSQV P ) F (λ, tI , xI ) cận giá trị tối ưu 2.4.2 Quy tắc chia nhánh Các kết phần cho thấy, tập để phân nhánh thuật toán nhánh cận giải Bài toán vô hướng hóa (LSQV P ) ứng với biến t không gian chiều Cụ thể trường hợp đoạn [Tmin , Tmax ] Quy tắc 2.1 (Quy tắc chia đôi) Cho a < b hai số cố định Bước khởi tạo: Lấy I0 := [a, b], u0 := a, v0 := b, Γ0 := {I0 }, k := thực Bước Bước 1: Chọn đoạn Ik Γk lấy uk < ξk ≤ vk điểm tùy ý Ký hiệu tk trung điểm đoạn [uk , ξk ] Bước 2: Đặt: Ik− := [uk , tk ], Ik+ := [tk , vk ], Γk+1 := (Γk \ Ik ) ∪ {Ik− , Ik+ }, tăng k := k + quay lại Bước Bổ đề 2.1 Với đoạn [a, b] cố định cho trước, giả sử Quy tắc chia đôi 2.1 thực vô hạn lần Khi đó: (i) Quy tắc chia đôi 2.1 sinh dãy vô hạn đoạn lồng {Ikj } đoạn [a, b] thỏa mãn Ikj+1 nhận từ Ikj 62 Quy tắc chia đôi đoạn (ii) Ứng với dãy đoạn {Ikj } dãy tương ứng {ukj }, {tkj }, {ξkj } hội tụ tới điểm giới hạn t∗ Chứng minh (i) Hiển nhiên suy từ Quy tắc chia đôi (ii) Để đơn giản cho việc trình bày, ta giả sử dãy nói tới dãy {Ik }, {uk }, {tk } {ξk } Với bước lặp k(k = 1, 2, ) điểm uk < tk < ξk tk = (uk + ξk ) thuộc đoạn Ik Do dãy đoạn {Ik } lồng nên dãy điểm {uk }, {tk } {ξk } đơn điệu, bị chặn nên chúng hội tụ Cụ thể ta có: uk −→ u∗ , tk −→ t∗ , ξk −→ ξ∗ k −→ ∞ Nếu kết luận (ii) Bổ đề (2.1) không tồn u∗ < t∗ t∗ < ξ∗ Giả sử u∗ < t∗ (trường hợp t∗ < ξ∗ chứng minh tương tự) Khi đó, kết hợp với Quy tắc chia đôi 2.1, tồn số k0 cho: uk < tk0 < ξk , ∀k > k0 Tại bước lặp k := k0 + 1, theo Quy tắc chia đôi 2.1, đoạn Ik thu từ việc chia đoạn Ik0 Ik = Ik−0 Ik = Ik+0 Trước tiên ta xét trường hợp Ik = Ik−0 Theo Quy tắc chia đôi 2.1, ứng với trường hợp ξk = ξk0 +1 < tk0 mâu thuẫn 63 Trường hợp ngược lại, Ik = Ik+0 theo Quy tắc chia đôi 2.1 dẫn đến uk = uk0 +1 = tk0 lại mâu thuẫn ✷ Bổ đề chứng minh xong Để hạn chế bớt đoạn I cần phải lưu trữ trình giải toán Tại bước lặp, ta loại bớt đoạn I mà biết chắn không tồn nghiệm tối ưu (t∗ , x∗ ) toán vô hướng hóa mà t∗ ∈ I Việc làm thực nhờ vào Hệ sau Hệ 2.1 Giả sử ta biết (t, x) nghiệm chấp nhận toán vô hướng hóa (LSQV P ) Nếu I = [t0I , t1I ] ⊂ [Tmin , Tmax ] đoạn có: β(I) > F (λ, t, x), không tồn nghiệm tối ưu (t∗ , x∗ ) toán vô hướng hóa mà t∗ ∈ I Chứng minh Từ phép chứng minh Định lý 2.2 ta có hàm l(τ ) định nghĩa theo công thức (2.10) đơn điệu không giảm I β(I) = l(t0I ) Từ suy ra, với nghiệm chấp nhận (t, x) toán vô hướng hóa (LSQV P ) mà có t ∈ I thì: F (λ, t, x) ≥ l(t) ≥ l(t0I ) = β(I) > F (λ, t, x) ≥ F (λ, t∗ , x∗ ) Từ suy điều phải chứng minh 64 ✷ Sử dụng quy tắc tính cận chia nhánh giới thiệu phần trên, sau mô tả chi tiết thuật toán nhánh cận giải Bài toán vô hướng hóa (LSQV P ) Thuật toán 2.1 Bước khởi đầu: Gồm công việc sau: Công việc 1: Tính Tmax , Tmin việc giải toán quy hoạch tuyến tính (2.8) (2.9) Công việc 2: Lấy tập I0 := [Tmin , Tmax ] Công việc 3: Tính β0 := β(I0 ) việc giải Bài toán (LSQV P 2(I0 )) với τ := t0I ký hiệu (t0 , x0 ) nghiệm tối ưu đạt Gán α0 := F (λ, t0 , x0 ) Gán tập Γ0 := {I0 }, k := thực Bước Lặp lại với k = 0, 1, Bước lặp 1: 1a) Nếu αk ≤ βk , dừng thuật toán xk nghiệm tối ưu cần tìm 1b) Nếu αk > βk , chia đoạn Ik theo Quy tắc chia đôi 2.1 với điểm chia ξk trung điểm đoạn Ik ta nhận được: Ik− := [tIk0 , ξk ]; Ik+ := [ξk , tIk1 ] Bước lặp 2: Gồm công việc sau: Công việc 1: Tính β(Ik+ ) β(Ik− ) Công việc 2: Chọn (tk+1 , xk+1 ) nghiệm chấp nhận tốt toán vô hướng hóa nhận việc tính β(Ik+ ) β(Ik− ) 65 Công việc 3: Cập nhật cận tốt bước lặp sau đó: αk+1 := αk , F (λ, tk+1 , xk+1 ) = F (λ, tk+1 , xk+1 ) Công việc 4: Cập nhật lại họ đoạn bước lặp sau đó: ∆k := (Γk \ Ik ) ∪ Ik+ , Ik− , Γk+1 := {I ∈ ∆k : β(I) < αk+1 } Bước lặp 3: Gồm công việc sau: Công việc (Chọn đoạn để chia): Chọn đoạn Ik+1 ∈ Γk+1 cho: β(Ik+1 ) := {β(I) : I ∈ Γk+1 } Công việc (Cập nhật cận tốt nhất): Gán βk+1 := β(Ik+1 ) Công việc 3: Tăng k := k + quay lại Bước lặp Định lý hội tụ: Giả sử thuật toán 2.1 kéo dài vô hạn bước lặp Khi đó, dãy lặp {αk }, {βk } {xk } sinh thỏa mãn: (i) Dãy {αk } đơn điệu giảm đến F ∗ , dãy {βk } đơn điệu tăng đến F ∗ (ii) Mọi điểm tụ dãy {xk } nghiệm tối ưu Bài toán vô hướng hóa (SQV P ) Chứng minh (i) Do toán tính βk có phương án tối ưu theo nội dung Thuật toán 2.1 ta suy tính đơn điệu bị chặn dãy 66 {αk } {βk } Từ suy tồn giới hạn: lim αk = α∗ k→∞ lim βk = β∗ k→∞ (2.11) Mặt khác, từ Bổ đề 2.1, bước lặp thứ k ta đặt t0Ik := t0k t1Ik := t1k đồng thời tồn giới hạn: t0k −→ t∗ , t1k −→ t∗ , ξk −→ t∗ k −→ ∞ (2.12) Đặt: αk := F (λ, tk , xk ), (tk , xk ) nghiệm tối ưu toán tính β(Ik ) Hiển nhiên với k ta có βk ≤ αk ≤ αk và: n ≤ αk − βk = (tk − t0k ) λi βi xik ≤ βTmax (tk − t0k ) i=1 β := max {λi βi : i = 1, 2, , n} Kết hợp (2.11) − (2.13) suy ra: αk −→ β∗ k −→ ∞ Mặt khác, do: βk ≤ F ∗ ≤ αk ≤ αk với k, nên qua giới hạn ta nhận được: β∗ = F ∗ = α∗ 67 (2.13) (ii) Giả sử x∗ điểm tụ dãy {xk } Nếu cần trích dãy con, không giảm tính tổng quát ta giả sử xk −→ x∗ k −→ ∞ Bởi tính liên tục hàm F suy ra: αk = F (λ, tk , xk ) −→ F (λ, t∗ , x∗ ) Mặt khác, αk −→ F ∗ k −→ ∞, nên F (λ, t∗ , x∗ ) = F ∗ ta ✷ có điều phải chứng minh Chú ý 2.1 Trong thực tế thường tìm ε > nghiệm Bài toán vô hướng hóa (LSQV P ) Nếu vậy, với số dương ε > đủ nhỏ chọn trước, bước lặp k(k = 0, 1, ), nếu: |αk − βk | ≤ ε max{|αk |, 1}, ta dừng thuật toán xem xk ε- nghiệm tối ưu Bài toán vô hướng hóa (LSQV P ) Ví dụ minh họa 2.1 Để minh họa cho thuật toán ta xét Mô hình Cournot với ba hãng (n = 3) Hàm cầu ngược, hàm chi phí, tập chiến lược hãng ma trận ràng buộc chung A cho sau: 68     p1 (x) := 14.5 − 0.02(x1 + x2 + x3 ), h1 (x1 ) := 8.2x1 , U1 := [0.30]        p2 (x) := 16.4 − 0.04(x1 + x2 + x3 ), h2 (x2 ) := 10.7x2 , U2 := [0.40]       p3 (x) := 17.2 − 0.01(x1 + x1 + x3 ), h3 (x3 ) := 9.4x3 , U3 := [0.50]         90   1               A :=  −1 1 ; b :=  60                  −20 −1 −1 Trong ví dụ này: α = (14.5, 16.4, 17.2); β = (0.02, 0.04, 0.01); µ = (8.2, 10.7, 9.4) Cho λ := (3, 2, 5) véc tơ trọng lượng Trong trường hợp này, Bài toán (LSQV P (t)) có dạng: {F (λ, t, x) = (0.06t − 18.9)x1 + (0.08t − 11.4)1)x2 + (0.05t − 39)x3 } với ràng buộc:    x1 + x2 + x3 = t;         2x1 + x2 + x3 ≤ 90;    3x1 − x2 + x3 ≤ 60;       −x1 − x2 ≤ −20;       0 ≤ x1 ≤ 30, ≤ x2 ≤ 40, ≤ x3 ≤ 50 Chọn ε = 0.005 Bây ta sử dụng thuật toán để tìm ε-tối ưu toán 69 Bước khởi đầu: Tính Tmin cách giải quy hoạch tuyến tính: {x1 + x2 + x3 } với ràng buộc:    2x1 + x2 + x3 ≤ 90;       3x1 − x2 + x3 ≤ 60;    −x1 − x2 ≤ −20;      0 ≤ x ≤ 30, ≤ x ≤ 40, ≤ x ≤ 50 Ta thu Tmin = 20 Tính Tmax giải quy hoạch tuyến tính: max {x1 + x2 + x3 } với ràng buộc:    2x1 + x2 + x3 ≤ 90;       3x1 − x2 + x3 ≤ 60;    −x1 − x2 ≤ −20;      0 ≤ x ≤ 30, ≤ x ≤ 40, ≤ x ≤ 50 Ta thu Tmax = 90 Cho I0 := [20, 90], Γ0 := {I0 } Tính: β0 = β(I0 ) = −2292; α0 = α(I0 ) = −1893; Bước lặp 0: Bước 1: 70 Γ0 := {I0 } Chia đoạn I0 = [20, 90] được: I0− := [20, 50]; I0+ := [55, 90] Bước 2: Tính: β(I0− ) = −1614.9; α(I0− ) = −1505.5 β(I0+ ) = −2108.5; α(I0+ ) = −1991 Cho: α1 := α(I0+ ) = −1991; x1 = (10, 20, 50); ∆0 = I0− , I0+ ; Γ1 = I0+ Bước 3: Cập nhật: I1 := I0+ = [55, 90]; β1 := β(I0+ ) = −2108.5 Bước lặp 1: Bước 1: Chia đoạn [55, 90] để có được: I1− := [55, 72.5]; I1+ := [72.5, 90] Bước 2: Tính: β(I1− ) = −2039.9; α(I1− ) = −1967.5 β(I1+ ) = −2026.2; 71 α(I1+ ) = −1991 Lấy: α2 := α(I1+ ) = −1991; x2 = (10, 20, 50); ∆1 = I1− , I1+ ; Γ2 = I1− , I1+ Bước 3: Cập nhật: I2 := I1− = [55, 72.5]; β2 := β(I1− ) = −2039.9 Sang Bước lặp lại 2, Bước 1, ta chia đoạn [55, 72.5] để đoạn con: I2− := [55, 63.75]; I2+ := [63.75, 72.5] Sau tiếp tục tiến hành bước tương tự Tới Bước lặp ta thu được: α8 = −1991; x8 = (10, 20, 50)T ; β8 = −1998.6 Do: |α8 − β8 | < ε max {|α8 |, 1} , nên ta kết thúc Thuật toán Bước lặp nhận được: x∗ := x8 = (10, 20, 50), ε-nghiệm tối ưu Bài toán (SQV P ) Đó điểm hữu hiệu Mô hình Nash-Cournot tương ứng Tính toán trực tiếp, ứng với điểm hữu hiệu này, tổng lợi nhuận ba hãng 447 72 KẾT LUẬN Mô hình kinh tế Nash-Cournot vấn đề quan trọng toán học ứng dụng phạm vi ứng dụng rộng rãi Luận văn nhằm giới thiệu hai Mô hình kinh tế Mô hình kinh tế Nash-Cournot cổ điển Mô hình kinh tế Nash-Cournot suy rộng trình bày cách tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot suy rộng Cụ thể: Chương trình bày số kiến thức Giải tích lồi Lý thuyết tối ưu véc tơ như: Tập lồi, Hàm lồi, Bài toán cân toán liên quan, Bài toán tối ưu véc tơ, sử dụng chương sau Chương giới thiệu Mô hình Nash-Cournot cổ điển Mô hình Nash-Cournot suy rộng, nêu tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot, trình bày kỹ thuật vô hướng hóa cho toán tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot phương pháp nhánh cận giải toán vô hướng hóa ứng với Mô hình Nash-Cournot suy rộng Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 73 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu Nguyễn Hữu Điển, Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, (2015) [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải, Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội, (2000) [3] Bùi Thế Tâm Trần Vũ Thiệu, Các phương pháp tối ưu hóa, Nhà xuất Giao thông vận tải, (1998) [4] Nguyễn Hải Thanh, Tối ưu hóa, Nhà xuất Đại học Bách khoa Hà Nội, (2006) [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Dinh The Luc, Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, (1988) 1-57 [6] Le Dung Muu and W Oettli, A method for minimizing a convexconcave function over a convex set, J Optimization Theory and Applications, 70 (1990) 377-384 74 [7] L D Muu and N V Quy, A global optimization method for solving convex quadratic bilevel programming problems, J of Global Optimization, 26 (2003) 199-219 [8] L D Muu, V H Nguyen and N V Quy, On Nash-Cournot oligopolistic market models with concave cost functions, J of Global Optimization, 41 (2007) 351-364 [9] Thi Thu Van Nguyen and Van Hien Nguyen, A new class of hybrid extragradient algorithms for solving quasi-equilibrium problems, J Glob Optim (2013) 373-397 [10] N V Quy, A vector optimization approach to Cournot oligopolistic market Models, International J of Optimization: Theory, Methods and Applica-tions, (2009) 341-360 [11] N V Quy, A Jointly Constrained Bilinear Progeanning Method for solving Generalized Cournot-Pareto Model, RAIDO Operation Research; Volume 49, (2015) 845-864 [12] Tran D Quoc, Phan N Anh and Le D Muu, Dual extragradient algorithm extended to equilibrium problems, J Glob Optim, (2012) 139-159 75 [...]... một bài toán tối ưu thì mọi nghiệm tối ưu địa phương đều là nghiệm tối ưu toàn cục Mệnh đề 1.16 Giả sử (1.6) là bài toán tối ưu lồi và g khả dưới vi phân trên C Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm tối ưu của Bài toán (1.6) khi và chỉ khi: 0 ∈ ∂g(x∗ ) + NC (x∗ ) Mệnh đề 1.17 Xét Bài toán tối ưu (1.6) Giả sử g là hàm lồi khả vi liên tục trên tập mở W chứa U Khi đó, Bài toán tối ưu (1.6) tương đương với Bài toán bất... tối ưu địa phương của Bài toán (1.6) nếu tồn tại lân cận V của điểm x∗ sao cho: g(x∗ ) ≤ g(x), ∀x ∈ V ∩ C (d) Điểm x∗ ∈ C là nghiệm tối ưu toàn cục của Bài toán (1.6) nếu: g(x∗ ) ≤ g(x), ∀x ∈ C (e) Nếu C là một tập lồi và g là một hàm lồi trên C thì (1.6) được gọi là bài toán tối ưu lồi 28 Hệ quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ tính chất cực trị của hàm lồi: Hệ quả 1.5 Nếu (1.6) là một bài toán tối. .. Một tập hợp S ⊂ Rn được gọi là một đơn hình có thứ nguyên bằng k (hoặc nói ngắn gọn là k−đơn hình) , nếu S là tổ hợp lồi của k + 1 véc tơ độc lập a-phin Các véc tơ này được gọi là đỉnh của đơn hình Định nghĩa 1.6 [1] Điểm x∗ được gọi là điểm cực biên của tập lồi D nếu không tồn tại hai điểm khác nhau x1 , x2 ∈ D sao cho: 1 1 x∗ = x1 + x2 2 2 Điều này tương đương với nếu x1 , x2 ∈ D thỏa mãn: 1 1 x∗ =... (1.5) Lấy ei véc tơ đơn vị thứ i(i = 1, , n) của Rn (tọa độ thứ i của ei bằng 1 và mọi tọa độ khác là 0) Áp dụng (1.5) lần lượt với d = ei với i = 1, , n, ta có x∗i ≤ f (x, ei ) Tương tự, áp dụng với d = −ei với i = 1, , k, ta có: −x∗i ≤ f (x, −ei ) Hay: x∗i ≥ −f (x, −ei ) Tóm lại: −f (x, −ei ) ≤ x∗i ≤ f (x, +ei ), ∀i = 1, , n Theo Mệnh đề (1.12), do x ∈ ri(domf ), nên f (x, y) hữu hạn với mọi y Nói... Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) với: F (x) := ∇g(x), x ∈ U Chứng minh Theo Mệnh đề (1.16), x∗ là nghiệm tối ưu của Bài toán (1.6) khi và chỉ khi: 0 ∈ ∇g(x∗ ) + NU (x∗ ), hay tương đương với: −∇g(x∗ ) ∈ NU (x∗ ) Theo định nghĩa của nón pháp tuyến ngoài suy ra: −∇g(x∗ ), x − x∗ = −F (x∗ ), x − x∗ ≤ 0, 29 tương đương với: F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ U, ✷ và suy ra x∗ là nghiệm của Bài toán (VIP)... − λ)f (y), (1.2) với mọi x, y ∈ D và với mọi λ ∈ [0, 1] Chứng minh Với λ = 0 hay λ = 1 thì (1.2) luôn đúng Nên ta chỉ xét với 0 < λ < 1 Giả sử f là hàm lồi trên D Nếu x ∈ / domf hoặc y ∈ / domf thì hiển nhiên (1.2) là đúng Bây giờ ta xét với x, y ∈ domf Do: (x, f (x)) ∈ epif ; (y, f (y)) ∈ epif, mà epif lồi nên: (λx + (1 − λ)y, λf (x) + (1 − λ)f (y)) ∈ epif Theo định nghĩa của epif suy ra (1.2) Ngược... này được ký hiệu là f (x) hoặc f (x) Giả sử f : Rn → R ∪ {+∞} chính thường và x ∈ domf Nếu f khả 19 vi tại x, thì với mọi y = 0, ta có: f (x + λy) − f (x) − 0 λ y lim λ f (x), λy = 0 Hay là: f (x, y) − f (x), y y Suy ra f (x, y) = = 0 f (x), y với mọi y Lấy y = ei (i = 1, , n) là véc tơ đơn vị thứ i của Rn , ta có: f (x), ei = (∂f | ∂xi )(x)(i = 1, , n) Vậy: n yi (∂f | ∂xi )(x) f (x, y) = i=1 Ta có... nón có đỉnh tại 0 nếu với mọi x ∈ K và với mọi λ > 0 ta đều có: λx ∈ K (b) K được gọi là nón có đỉnh tại x0 , nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0 5 (c) Nón K (đỉnh tại 0 hoặc x0 ) được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi (d) Nón K (đỉnh tại 0 hoặc x0 ) được gọi là nón lồi đóng nếu K là một tập lồi đóng Mệnh đề 1.3 [2] K là một nón lồi, có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ K và với mọi λ, µ > 0 ta... giá trị hữu hạn trên tập lồi D, thì với mọi số tự nhiên m, mọi x1 , , xm ∈ D và với mọi bộ số: m λ1 ≥ 0, , λm ≥ 0, λj = 1, j=1 ta đều có: m f( j m λj x ) ≤ j=1 λj f (xj ) (Bất đẳng thức Jensen) j=1 Định nghĩa 1.12 [1] Cho D là một hàm lồi khác rỗng trong Rn (a) Hàm f được gọi là lồi chặt trên D nếu: f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), (1.3) với mọi x, y ∈ D và với mọi λ ∈ (0, 1) (b) Hàm f : Rn... hạn các phần tử trong K Tức là, với mọi x1 , , xm ∈ K (m là một số tự nhiên bất kỳ) và với mọi λ1 , , λm > 0 thì: m λi xi ∈ K i=1 Hệ quả 1.2 [2] Giả sử A là tập bất kỳ trong Rn , K là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính dương của A Khi đó, K là nón lồi nhỏ nhất chứa A 6 Định nghĩa 1.8 [1] Cho C là một tập lồi khác rỗng trong Rn và điểm x0 ∈ C (a) Điểm x∗ ∈ Rn được gọi là véc tơ pháp tuyến ngoài (hay pháp