BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN ANH VĂN TÍNH DƯỚI KHẢ VI CỦA HÀM LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội - 2016 LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình song nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Anh Văn LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại Học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Anh Văn Mục lục Lời cám ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu v Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Tập lồi hàm lồi 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 10 Hàm lồi suy rộng 13 1.3.1 Hàm tựa lồi 13 1.3.2 Hàm giả lồi 22 1.3 Tính khả vi hàm lồi suy rộng 26 2.1 Tính khả vi hàm lồi 26 2.2 Tính khả vi hàm lồi suy rộng 32 2.2.1 32 Tính khả vi hàm tựa lồi iii 2.2.2 Tính khả vi hàm giả lồi Ứng dụng hàm lồi suy rộng khả vi 40 45 3.1 Bài toán tối ưu lồi suy rộng 45 3.2 Bất đẳng thức biến phân với hàm lồi suy rộng 48 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 iv BẢNG KÝ HIỆU R Tập số thực Rn Không gian Euclide n chiều trường số thực R = R ∪ {−∞, +∞} Tập số thực suy rộng f :X→R Ánh xạ từ X vào R E Không gian Banach E∗ Không gian liên hợp E E ∗∗ Không gian liên hợp thứ hai E x∗ , x ∅ x, y Giá trị x∗ x Phần tử không Tích vô hướng hai vectơ x y f¯ Chuẩn không gian Banach domf Tập hữu dụng hàm f epi(f ) Trên đồ thị hàm f ∂f (x) Dưới khả vi f x X Bao đóng X coX Bao lồi X KX Nón lồi sinh X ∇f (x) Vectơ gradient f x Hàm bao đóng f Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm lồi suy rộng nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết sâu sắc Các hàm tựa lồi, hàm giả lồi Mangasarian trình bày [8] D Aussel nghiên cứu tính chất đặc trưng hàm tựa lồi giả lồi không trơn qua tính tựa đơn điệu giả đơn điệu vi phân hàm mối quan hệ khái niệm [4], [5] A Daniilidis N Hadjisavvas nghiên cứu hàm tựa lồi chặt tựa lồi bán chặt không trơn [6] [7] Sau học kiến thức Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu cách có hệ thống sâu sắc tính chất số ứng dụng giải tích lồi nói chung hàm lồi suy rộng nói riêng, chọn nghiên cứu đề tài: “Tính khả vi hàm lồi suy rộng ứng dụng” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tính chất khả vi hàm lồi suy rộng - Một số toán ứng dụng hàm lồi suy rộng khả vi Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống tính chất hàm lồi suy rộng khả vi số toán ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Một số tính chất hàm lồi suy rộng không gian Banach - Tính khả vi hàm lồi suy rộng - Một số toán ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài theo phương pháp Giải tích Đóng góp luận văn Đề tài góp phần làm rõ chi tiết tính chất hàm lồi suy rộng ứng dụng số toán cụ thể Chương Kiến thức chuẩn bị Trong phần trình bày số khái niệm liên quan đến không gian Banach, tập lồi, hàm lồi, hàm lồi suy rộng không gian Banach Đây kiến thức làm tảng cho việc nghiên cứu tính khả vi hàm lồi suy rộng ứng dụng Nội dung chương tham khảo dựa tài liệu [1], [3], [4], [5], [6], [8], [10] 1.1 Không gian Banach Cho E không gian vectơ trường số R Định nghĩa 1.1 Một chuẩn, kí hiệu E ánh xạ từ E vào R thỏa mãn điều kiện: a) x ≥ với x ∈ E; b) x = x = ∅ (∅ kí hiệu phần tử không); c) λx = |λ| x với số λ ∈ R x ∈ E; d) x + y = x + y với x, y ∈ E; Số x gọi chuẩn (hay độ dài) vectơ x ∈ E Một không gian vectơ E với chuẩn xác định không gian ấy, gọi không gian định chuẩn Mệnh đề 1.1 Giả sử E không gian định chuẩn Với x, y ∈ E đặt, ρ(x, y) = x − y Khi đó, ρ metric E Định nghĩa 1.2 Cho E không gian định chuẩn với chuẩn Nếu E với khoảng cách sinh chuẩn E : ρ(x, y) = x − y , không gian metric đầy đủ E gọi không gian Banach Nếu giả thiết thêm, suốt luận văn này, không gian Banach kí hiệu E Chuẩn không gian Banach kí hiệu Định nghĩa 1.3 Cho E không gian định chuẩn với chuẩn Ta gọi ánh xạ tuyến tính x∗ : E → R phiếm hàm tuyến tính xác định E Nếu x∗ ∈ E x ∈ E giá trị x∗ x kí hiệu x∗ , x nghĩa x∗ , x = x∗ (x) Tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục E với phép cộng ánh xạ tuyến tính phép nhân ánh xạ tuyến tính với số thực lập thành không gian tuyến tính thực Ta gọi không gian không gian liên hợp E kí hiệu E ∗ Không gian liên hợp E ∗ gọi không gian liên hợp thứ hai E kí hiệu E ∗∗ Định lí 1.1 Không gian liên hợp E ∗ E với chuẩn xác định x∗ = sup { x∗ , y : y ∈ E, y = 0} ∃ε ∈ (0, ε − δ) : uv¯ ∈ Bε (x), Bε (f (x)) τ ∈ (0, 1), cho v − uv¯ ∈ Bε (v − y) f (uv¯ + τ (v − uv¯)) > α ≥ f (uv¯) Từ bất đẳng thức theo giả thiết tựa lồi hàm f ta suy f (¯ v + t(uv¯ − v¯)) ≤ f (¯ v ), ∀t ∈ [0, 1] Hơn nữa, từ việc chọn δ ε suy uv¯ − v¯ ∈ Bε (x − y) Tổng hợp bước ta có: ε > 0; ∃ δ > 0, cho ∀v ∈ Bδ (y) β ∈ Bδ (f (y)); f (v) ≤ β ∀t ∈ (0, 1) ta tìm phương w = uv − v ∈ Bε (x − y), cho f (v + t(uv − v)) − β ≤ t Điều kéo theo f ↑ (y, x − y) ≤ Trong trường hợp khả vi Dini trên, từ tính tựa lồi hàm f ta có f D+ (x, y − x) > ⇒ f (x) < f (y) f (x) ≤ f (y) ⇒ f D+ (y, x − y) ≤ Vì x∗ ∈ ∂ D+ f (x), thỏa mãn x∗ , x − y > 39 ta nhận f (y) < f (x) Vì vậy, ∂ D+ f (y, x − y) ≤ Như ta ∂ D+ f ánh xạ đa trị tựa đơn điệu Định lí 2.4 Giả sử E không gian Banach, với chuẩn ∂ - trơn hàm f : E → R ∪ {+∞} nửa liên tục Khi đó, f hàm tựa lồi ∂f tựa đơn điệu Chứng minh Ta giả thiết ∂f nằm ∂ CR f ∂ D+ f , phần “chỉ nếu” chứng minh từ mệnh đề 2.5 Để chứng minh phần “nếu”, ta giả sử ∂f tựa đơn điệu, ta phải chứng minh hàm nửa liên tục f thoả mãn tính chất Qs Giả sử x ∈ dom∂f, y ∈ domf, x = y z ∈ [x, y) cho f (z) > f (y) 2.2.2 Tính khả vi hàm giả lồi Định nghĩa 2.8 Hàm f gọi giả lồi cho x, y ∈ X, X ⊂ E ta có ∃x∗ ∈ ∂f (x) : x∗ , y − x ≥ ⇒ f (x) ≤ f (y) Trong trường hợp khả vi, hàm giả lồi thoả mãn tính chất sau : a) Mọi cực tiểu địa phương hàm f cực tiểu toàn cục b) ∈ ∂f (x) ⇒ f có cực tiểu toàn cục x Mối quan hệ tính tựa lồi giả lồi không đơn giản Ví dụ 2.2.3 a) Hàm số f (x) = x3 tựa lồi không hàm giả lồi E 40 b) Hàm số ví dụ 2.2.2 không hàm giả lồi E c) Xét hàm số f (x) = x, x ≤ 0, x, x > hàm giả lồi E Định lý sau cho ta mối quan hệ tính giả lồi tính tựa lồi hàm nửa liên tục dưới, liên tục radian Định lí 2.5 Cho hàm f xác định X ⊂ E với chuẩn ∂ - trơn, nửa liên tục liên tục radian Khi đó, khẳng định sau tương đương: i ) f giả lồi; ii ) f hàm tựa lồi (0 ∈ ∂f (x)) ⇒ f đạt cực tiểu toàn cục x Chứng minh (i) ⇒ (ii) Nếu ∈ ∂f (x) f (x) ≤ f (y), ∀x ∈ X Vậy x cực tiểu toàn hàm f Mặt khác, hàm f nửa liên tục dưới, liên tục radially thỏa mãn tính chất (Q) hàm giả lồi thỏa mãn tính chất (Q) Khi theo mệnh đề 2.4, f tựa lồi (ii) ⇒ (i) Giả sử x ∈ dom∂f, x ∈ X, x∗ ∈ ∂f (x), cho x∗ , y − x ≥ Nếu ∈ ∂f (x), x cực tiểu toàn f Trong trường hợp ∈ / ∂f (x) tồn d ∈ X, cho x∗ , d > Đặt yn yn = y + 2n d 41 d Với ∀n ∈ N, điểm yn thỏa mãn yn ∈ B n1 (y), x∗ , yn − x = x∗ , yn − y + x∗ , y − x ≥ 2n d x∗ , d > Sử dụng định lý 2.1, ta nhận được, f (yn ) ≥ f (x) Và tính chất liên tục radian f ta suy f (y) ≥ f (x) Bây sử dụng quan hệ tính tựa lồi tính giả lồi đặc trưng tính tựa lồi tính tựa đơn điệu vi phân cho hai đặc trưng hàm giả lồi, liên tục radian, nửa liên tục Định lí 2.6 Giả sử E không gian Banach, với chuẩn ∂ - trơn hàm f : E → R ∪ {+∞} nửa liên tục dưới, liên tục radian Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) f giả lồi; ii) ∃x∗ ∈ ∂f (x) : x∗ , y − x ≥ ⇒ f (z) ≤ f (y), ∀z ∈ [x, y]; iii) ∂f giả đơn điệu Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử x ∈ dom ∂f, y ∈ E x∗ ∈ ∂f (x) cho x∗ , y − x ≥ Theo định lý 2.5 hàm f hàm tựa lồi Vì vậy, ∀z ∈ [x, y], f (x) ≤ f (y) (ii) ⇒ (i) Hiển nhiên (i) ⇒ (iii) Trường hợp ∂f ⊂ ∂ CR f Giả sử, ngược lại f hàm giả lồi ∂f không giả đơn điệu Điều có nghĩa ∃ x, y ∈ dom∂f, x∗ ∈ ∂f (x) y ∗ f (y) cho x∗ , y − x > 0, y ∗ , y − x ≤ Ta khẳng định rằng: ∈ / ∂f (y) Thật vậy, f ↑ (x, y − x) > ⇒ ∃ε > 0, x ∈ Bε (x), τ ∈ (0, 1) 42 cho f (x + τ (y − x )) > f (x ) Từ định lý 2.5, hàm f tựa lồi ta có f (x ) ≤ f (y) Vì f hàm giả lồi, nên bất đẳng thức kéo theo ∀α ∈ ∂f (y), α, y − x > Từ đó, suy 0∈ / ∂f (y) Bây giờ, ta ý ∃η > cho x∗ , u − x > 0, ∀u ∈ Bη (y) Khi đó, tính giả lồi hàm f ta suy f (u) ≥ f (x) Bởi y∗, u − x ≥ nên ta nhận f (x) ≥ f (y) Vì vậy, y cực tiểu địa phương f từ tính chất (P 2) ta có phần tử ∂f (y) Điều mâu thuẫn với khẳng định trên, nên ta có điều phải chứng minh (i) ⇒ (iii): Trường hợp ∂f ⊂ ∂ D+ f Giả sử x ∈ dom∂f, y ∈ E, y ∈ ∂f (x), cho thoả mãn x∗ , y − x > 43 Khi tồn τ ∈ (0, 1), cho f (x + τ (y − x)) > f (x) Bởi f hàm tựa lồi, theo định lý 2.5, ta có f (y) > f (x) Bây giờ, tính giả lồi hàm f ∀y ∗ ∈ ∂f (y), ta có y ∗ , x − y < Như vậy, ∂f hàm giả đơn điệu (i) ⇒ (iii): Sử dụng định lý 2.5, ta chứng minh f hàm giả lồi Thật vậy, ánh xạ đa trị ∂f giả đơn điệu, ∂f tựa đơn điệu Theo định lý 2.4, hàm f hàm tựa lồi Mặt khác, x không cực tiểu f tồn y ∈ E, cho f (y) < f (x) Theo mệnh đề 2.3 tìm a ∈ dom∂f, a∗ ∈ ∂f (a), cho a∗ , x − a > tính giả đơn điệu ∂f x∗ , x − a > 0, ∀x∗ ∈ ∂f (x) Vì vậy, ∈ / ∂f (x) Do đó, f thoả mãn ∈ ∂f (x) ⇒ x cực tiểu địa phương f Kết luận Chương trình bày số khái niệm, tính chất khả vi hàm lồi, hàm lồi suy rộng không gian Banach 44 Chương Ứng dụng hàm lồi suy rộng khả vi Chương trình bày số ứng dụng hàm lồi suy rộng Nội dung chương tham khảo [10] 3.1 Bài toán tối ưu lồi suy rộng Xét toán {f (x)|x ∈ X} , (P4 ) X ⊂ E tập lồi f : E → R Định lí 3.1 Giả sử f tựa lồi nửa-chặt X Khi đó, x0 nghiệm cực tiểu địa phương (P4 ) x0 nghiệm cực tiểu toán (P4 ) Chứng minh Vì x0 nghiệm địa phương nên tồn ε > cho f (x0 ) ≤ f (x) với B(x0 , ε), B(x0 , ε) hình cầu mở tâm x0 , bán kính ε Giả sử tồn x1 ∈ X, không thuộc B(x0 , ε), cho f (x1 ) < f (x0 ) Vì f tựa lồi chặt, ta có f (λx1 + (1 − λ)x0 ) < f (x0 ), ∀λ ∈ (0, 1) 45 (3.1) Nhưng, với λ < δ/ x1 − x0 ta có λx1 + (1 − λ)x0 ∈ X ∩ B(x0 , ε) f (x0 ) ≤ f (λx1 + (1 − λ)x0 ) với < λ < δ/ x1 − x0 , mâu thuẫn với (3.1) Vậy x0 nghiệm toàn cục Định lí 3.2 Giả sử f tựa lồi chặt X Khi đó, x0 nghiệm cực tiểu địa phương (P4 ) x0 nghiệm cực tiểu địa phương nghiệm cực tiểu toàn cục toán (P4 ) Chứng minh Giả sử x0 x¯ hai nghiệm cực tiểu địa phương khác (P4 ) f (x0 ) ≤ f (¯ x) Khi đó, f tựa lồi chặt X nên ta có f (λx0 + (1 − λ)¯ x < f (¯ x) với λ ∈ (0, 1) x¯ nghiệm địa phương Như có nhiều nghiệm cực tiểu địa phương f tựa lồi nửa-chặt nên nghiệm địa phương x0 toàn cục Định lí 3.3 Giả sử f tựa lồi X Khi đó, x0 nghiệm cực tiểu địa phương chặt (P4 ) x0 nghiệm cực tiểu toàn cục toán (P4 ) Chứng minh Giả sử x0 nghiệm cực tiểu địa phương chặt (P1 ), nghĩa tồn lân cận mở U x0 E cho với x ∈ U ∩ X, x = x0 ta có f (x0 ) < f (x) Giả sử x0 cực tiểu toàn cục Khi tồn x¯ ∈ X, x = x0 cho f (¯ x) ≤ f (x0 ) Vì f tựa lồi, ta có f (λ¯ x + (1 − λ)x0 ) ≤ f (x0 ), λ ∈ [0, 1] Thế nhưng, với λ đủ nhỏ ta có λ¯ x + (1 − λ)x0 ∈ U ∩ X, mâu thuẫn với điều x0 nghiệm địa phương chặt Định lí 3.4 Giả sử f giả lồi tập mở D X ⊂ D Khi đó, x0 nghiệm cực tiểu địa phương chặt (P4 ) (x − x0 ) , ∇f (x0 ) ≥ 0, ∀x ∈ X 46 Chứng minh Nếu x0 nghiệm (P1 ) hàm ϕ(λ) = f (x0 +λ (x − x0 )) đạt cực tiểu đoạn [0, 1] λ = (x − x0 ) , ∇f (x0 ) = ϕ (0) ≥ Điều ngược lại suy trực tiếp từ định nghĩa hàm giả lồi Hệ 3.1 Nếu f hàm giả lồi tập lồi mở X x0 nghiệm (P4 ) ∇f (x0 ) = Giả sử rằng, f khả vi tập mở D chứa X Kí hiệu tập nghiệm (P4 ) Sol(P4 ) Định lí 3.5 a) Nếu f tựa lồi X Sol(P4 ) tập lồi b) Nếu f giả lồi chặt tựa lồi X Sol(P4 ) chứa nhiều phần tử, nghĩa là: x0 ∈ (SolP4 ) ⇒ (Sol(P4 )) = {x0 } Nói cách khác, Sol(P4 ) = ∅ có phần tử Chứng minh a) Với α∗ = {f (x)|x ∈ X}, ta có Sol(P4 ) = L(f, α∗ ) Vì f tựa lồi nên L(f, α∗ ) lồi Sol(P4 ) lồi b) Với hàm f lồi chặt lựa lồi chặt X kết suy từ định lý Hệ 3.2 Nếu f hàm giả lồi chặt tập lồi mở X ta có: Sol(P4 ) = x0 ∇f (x0 ) = Định nghĩa 3.1 Cho X ⊂ E Ta nói điểm x0 nghiệm cực tiểu toàn cục theo tia (radial) toán Sol(P4 ) với y ∈ E λ ≥ 0, x0 điểm cực tiểu toàn cục (nhỏ nhất) f tập X ∩ {x ∈ E|x = x0 + λy, λ ≥ 0} Định nghĩa 3.2 Cho X ⊂ E Ta nói điểm x0 nghiệm cực tiểu địa phương theo tia (radial) toán Sol(P4 ) với y ∈ E tồn λ0 (y) cho f (x0 ) điểm cực tiểu toàn cục (nhỏ nhất) f tập 47 X ∩ x ∈ E|x = x0 + λ(y), λ ∈ (0, λ0 (y)) Lưu ý rằng, điểm cực tiểu địa phương theo tia không thiết phải điểm cực tiểu địa phương Ví dụ tiếng G Peano: Hàm f : R2 → R, f (x, y) = (y − x2 )(y − 2x2 ), có điểm địa phương theo tia x0 − (0, 0) x0 = (0, 0) điểm cực tiểu địa phương 3.2 Bất đẳng thức biến phân với hàm lồi suy rộng Cho K tập lồi, đóng E, K = ∅, T : X → X ∗ toán tử đa trị Xét toán bất đẳng thức biến phân (VIP) phát biểu sau Tìm điểm y ∈ K, cho ∀x ∈ K : T (y), x − y ≥ Bài toán liên quan chặt chẽ với toán sau đây: Tìm điểm y ∈ K cho ∀x ∈ K : T (x), x − y ≥ Bài toán toán gọi toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu (DVIP) Định nghĩa 3.3 Một toán tử T : E → E ∗ gọi tựa đơn điệu thường ∀x1 , x2 , , xn ∈ E; ∀y ∈ co {x1 , x2 , , xn } tồn i cho ∀x∗i ∈ T (xi ) : T (xi ), xi − y ≤ 0, đó, co ký hiệu bao lồi Chọn y = x1 +x2 ta có toán tử đơn điệu thường tự đơn điệu Mệnh đề 3.1 Mọi toán tử tựa đơn điệu nửa chặt T tựa đơn điệu thường 48 Chứng minh Nếu T không đơn điệu thường n ∃x1 , x2 , , xn ∈ K; ∀y = λi xi , i=1 n λi xi = 1, λi ≥ cho i = 1, 2, , n tồn với i=1 T (xi ), xi − y Từ suy ∃ε > cho ∀y ∈ Bε (y) ta có T (xi ), xi − y > 0, ∀i = 1, 2, , n Giả thiết T hàm tựa đơn điệu bán chặt Khi T (xi ), x1 − y > 0, kéo theo tồn z ∈ (x1 , y) ∩ Bε (y) cho T (z), x1 − y > Vì nói riêng, ta có T (z), x − y > n λj T (z), z − xj = T (z), z − y > Vì vậy, với i = 1, 2, , n Do đó, j=1 ta phải có T (xi ), z − xj ≥ Định lí 3.6 Giả sử cho T : E → E ∗ toán tử tựa đơn điệu thường, miền hữu hiệu chứa tập lồi đóng K Giả sử K compact yếu tồn tập compact yếu W K y ∈ W, cho ∀x ∈ K\W T (y), x − y < Khi đó, DVIP có nghiệm 49 Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ đa trị G : K → E ∗ \ {0} G(x) = {z ∈ K : T (x), x − z ≤ 0, ∀x∗ ∈ T (x)} Với ∀x1 , x2 , , xn ∈ K, ∀y ∈ {x1 , x2 , , xn }, tính tựa đơn điệu thường kéo theo n z∈ G(xi ) i=1 Hơn nữa, với x ∈ K, G(x) đóng yếu Như K compact yếu với x ∈ K, G(x) compact yếu Mặt khác điều kiện (P5) cho ta G(x0 ) ⊆ W Vì G(x0 ) compact yếu Trong hai trường hợp trên, ta có G(x) = ∅ x∈K Rõ ràng điểm x0 G(x) nghiệm DVIP x∈K 50 KẾT LUẬN Luận văn tập trung nghiên cứu "Tính khả vi hàm lồi suy rộng ứng dụng" Cụ thể luận văn trình bày kiến thức chuẩn bị chương 1, gồm không gian Banach, tập lồi hàm lồi , hàm lồi suy rộng Chương trình bày tính khả vi hàm lồi, tính khả vi hàm lồi suy rộng Chương trình bày số ứng dụng hàm lồi suy rộng khả vi Với khả thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Nhà xuất Đại học Khoa học Huế [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (2009), Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật công nghệ [3] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000),Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Aussel, J.-N Corvellec, M Lassonde (1994), Subdiferential characterization of quasiconvexity and convexity, Journal of Convex Analysis 1, No 2, 195-201 [5] D Aussel (1998) , Subdiferential properties of quasiconvex and pseudoconvex functions : a unied approach, J Optim Th Appl., Vol 97, No 1, 29-45 [6] A Daniilidis and N Hadjisavvas (1999),Characterization of Nonsmooth Semistrictly Quasiconvex and Strictly Quasiconvex Functions, J Optim Theory Appl Vol 102, 525-536 52 [7] A Daniilidis and N Hadjisavvas (1999),On the Subdifferentials of Pseudoconvex and Quasiconvex Functions and Cyclic Monotonicity, J Math Anal Appl Vol 237, 30-42 [8] O L Mangasarian (1969), Nonlinear programming, McGraw-Hill, New York [9] J Ponstein (1967), Seven kinds of convexity, S I A M Review 9,115-119 [10] G.Giorgi, A.Guerraggio, J.Thierfelder (2004), Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case Elsevier B.V, S I A M Review 9,115-119 53 [...]... hàm lồi suy rộng (bao hàm hàm tựa lồi và giả lồi) cùng với một số ví dụ minh họa 25 Chương 2 Tính dưới khả vi của hàm lồi suy rộng Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tính dưới khả vi của hàm lồi, hàm lồi suy rộng trên không gian Banach E Những nội dung trong chương này chủ yếu lấy từ [1], [2],[5], , [10] 2.1 Tính dưới khả vi của hàm lồi Trong mục này ta luôn giả thiết f : E → R là một hàm xác... thấy tính giả lồi chặt suy ra tính giả lồi Định lí 1.24 Cho f : X → R là hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊂ E Khi đó f giả lồi chặt trên X khi và chỉ khi x ∈ X, y = 0, (y, ∇f (x) = 0 ⇒ g(t) = f (x + ty), xác định với t ≥ 0, đạt cực tiểu địa phương chặt tại t = 0 Chứng minh Tương tự như chứng minh định lý 1.3.9 Định lí 1.25 Cho f : X → R là hàm khả vi liên tục hai lần trên tập lồi mở X ⊂ E Khi đó, f giả lồi. .. λ)y) ≤ f (y), ∀λ [0, 1] b) Cho f : X → R là một hàm khả vi trên tập lồi mở X ⊂ E Khi đó f tựa lồi trên X khi và chỉ khi x, y ∈ X, f (x) < f (y) ⇒ (x − y), ∇f (y) ≤ 0 16 Chứng minh Dễ thấy a) và b) là những điều kiện cần cho tính tựa lồi, hơn nữa, dưới điều kiện khả vi a) và b) là tương đương Bây giờ ta chứng minh a) là một điều kiện đủ cho tính tựa lồi của f , nghĩa là "sự kéo theo" trong a) vẫn đúng... đóng khi và chỉ khi tất cả các tập có dạng {x : f (x) ≤ α} của f là đóng 12 1.3 Hàm lồi suy rộng 1.3.1 Hàm tựa lồi Định nghĩa 1.27 Cho X ⊂ E là tập lồi Hàm f : X → R gọi là hàm tựa lồi nếu: ∀x, y ∈ X, f (λx + (1 − λ)y) ≤ max {f (x), f (y)} , ∀λ ∈ [0, 1] hay tương đương với ∀x, y ∈ X, f (x) ≤ f (y) ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y), ∀λ ∈ [0, 1] Nhận xét 1.1 Mọi hàm lồi f : X → R đều là hàm tựa lồi Thật vậy,... thiết của định lý Thật thế, λ+(1− λ)y ở giữa x0 và y, theo ¯ ¯ ¯ λ λ λ 0 ¯ ¯ λx + (1 − λ)y = x + (1 − )y, ∈ [0, 1] λ0 λ0 λ0 và f (x0 ) = f (y), lưu ý đến tính lồi của các tập mức của f , ta sẽ có ¯ + (1 − λ)y) ¯ f (λx = f (x0 ) = f (y) Như vậy f tựa lồi Vì điều kiện của định lý cũng đúng cho −f , ta có −f cũng tựa lồi Vậy, f tựa tuyến tính Khi f khả vi, ta có Định lí 1.18 Cho f khả vi trên tập lồi mở... khi và chỉ khi x ∈ X, y = 0, (y, ∇f (x) = 0 ⇒ hoặc y, ∇2 f (x)y > 0 hoặc y, ∇2 f (x)y = 0 và g(t) = f (x + ty), xác định với t ≥ 0, đạt cực tiểu địa phương chặt tại t = 0 Định nghĩa 1.35 Cho f : X → R xác định trên tập lồi mở X ⊂ E Nếu f và −f đều giả lồi thì ta nói f là hàm giả tuyến tính Kết luận Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản của tập lồi, hàm lồi và hàm lồi. .. thuộc vào x và y Định nghĩa 1.33 Cho f : X → R là khả vi trên tập mở X ⊂ E Ta nói f giả lồi trên X nếu ∀x, y ∈ X, (x − y), ∇f (y) ≥ 0 ⇒ f (x) ≥ f (y), hoặc, một cách tương đương ∀x, y ∈ X, f (x) < f (y) ⇒ (x − y), ∇f (y) < 0 Hàm f được gọi là giả lõm nếu −f là hàm giả lồi Ví dụ 1.3.3 Hàm f : R → R, f (x) = x3 −x giả lồi trên R, nhưng không lồi Định lí 1.21 Cho f : X → R là hàm khả vi trên tập lồi mở... Định nghĩa 2.2 ([1], tr36) Phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại y ∈ E, nếu f (x) − f (y) ≥ x∗ , x − y (∀x ∈ E) Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là hàm affin ϕ(x) = f (y) + x∗ , x − y ; x ∈ E, có đồ thị là siêu phẳng nằm dưới epif và tựa vào epif tại điểm (x∗ , f(y)) 27 Định nghĩa 2.3 Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại y được gọi là dưới vi phân của f tại y, kí hiệu là ∂f (y),... kí hiệu là coX Giả sử X ⊂ E Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa X được gọi là bao lồi đóng của tập X và kí hiệu là coX Định lí 1.3 coX trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của X Hệ quả 1.1 Tập X lồi khi và chỉ khi X chứa tất cả các tổ hợp lồi của X 6 Mệnh đề 1.6 ([3], tr7) Giả sử X ⊂ E lồi Khi đó, 1) Phần trong intX và bao đóng X của X là các tập lồi; 2) Nếu x ∈ intX, y ∈ X, thì {x, y} = {λx + (1 −... nói hàm f : X → R là tựa tuyến tính trên tập lồi X ⊂ E nếu f và −f đều là tựa lồi trên X, nghĩa là với bất kì x, y ∈ X, λ ∈ (0, 1) ta có min {f (x), f (y)} ≤ f (λx + (1 − λ)y) ≤ max {f (x), f (y)} Dễ dàng thấy rằng, f : X → R là tựa tuyến tính trên tập lồi X ⊂ E khi và chỉ khi các tập mức dưới L(f, α) và các tập mức trên U (f, α) := {x ∈ X|f (x) ≥ α} lồi với mọi x ∈ R Từ đây suy ra rằng, nếu f tựa lồi