ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-TIN HỌC ————oOo———— Tiểu luận tốt nghiệp chuyên ngành Giải Tích NGHIỆM BỘI DƯƠNG CỦA BÀI TOÁN TỰA TUYẾN TÍNH VỚI BƯỚC NHẢY PHI TUYẾN VÔ ĐỊNH Á TUYẾN TÍNH NHÓM THỰC HIỆN : ĐẶNG TRƯỜNG - TRẦN HÒA PHÚ THẦY HƯỚNG DẪN : GS DƯƠNG MINH ĐỨC THẦY PHẢN BIỆN : TS ÔNG THANH HẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 7- 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-TIN HỌC ————oOo———— Tiểu luận tốt nghiệp chuyên ngành Giải Tích NGHIỆM BỘI DƯƠNG CỦA BÀI TOÁN TỰA TUYẾN TÍNH VỚI BƯỚC NHẢY PHI TUYẾN VÔ ĐỊNH Á TUYẾN TÍNH NHÓM THỰC HIỆN : ĐẶNG TRƯỜNG - TRẦN HÒA PHÚ THẦY HƯỚNG DẪN : GS DƯƠNG MINH ĐỨC THẦY PHẢN BIỆN : TS ÔNG THANH HẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 7- 2015 Lời cám ơn Chúng xin chân thành cảm ơn tất thầy cô khoa Toán-Tin học, đặc biệt, cảm ơn thầy cô Bộ môn Giải tích tận tình dạy dỗ suốt thời gian học đại học Hơn hết, chân thành cảm ơn GS.Dương Minh Đức tận tình hướng dẫn cho nhóm TS Ông Thanh Hải động viên, khích lệ, hướng dẫn, xem góp ý trình nghiên cứu hoàn chỉnh tiểu luận tốt nghiệp này, cảm ơn bạn Dương Thị Minh Triết, Đặng Triển Thuyên, Nguyễn Đức Thọ giúp đỡ nhóm nhiều trình làm chỉnh sửa tiểu luận Đặng Trường - Trần Hòa Phú Tp HCM, tháng năm 2015 Mục lục Lời cám ơn Mục lục Giới thiệu toán Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khả vi Gateuax Khả vi Frechet 1.2 Không gian Sobolev W 1,p (Ω) W01,p (Ω) 1.3 Toán tử Nemytskii 1.4 Định lí Mountain Pass 1.5 Về hệ định lý Dunford - Pettis 18 22 23 Áp dụng giải toán p-Laplace 2.1 Giới thiệu: 2.2 Kiến thức chuẩn bị 2.3 Chứng minh định lý 24 24 25 36 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 45 Giới thiệu toán Trong tiểu luận này, kiểm chứng chi tiết chứng minh báo "Multiple positive solutions for quasilinear problems with indefinite sublinear nonlinearity" Francisco Odair de Paiva công bố Nonlinear Analysis 71 (2009) trang 1108-1115 Trong báo đó, người ta tìm nghiệm bội không tầm thường toán tựa tuyến tính − pu = h(x)uα−1 + g(x, u) u≥0 Ω u=0 ∂Ω Ω với Ω ⊂ RN miền trơn bị chặn, ≤ α < p g : Ω × R → R Caratheodory cho g(x, t) = 0, với t ≤ h thỏa h ∈ Lσα , σα := p∗ α nghĩa α + ∗ =1 σα p với p∗ = pN/(N − p) < p < N p∗ = ∞ < N ≤ p Giả sử g subcritical growth, tức |g(x, t)| ≤ c |t|q−1 + b(x), a.e in Ω, t ∈ R với q ∈ (p, p∗ ), b ∈ Lq (Ω), q = p∗ /s p < s < p∗ , c số Giả sử có hai hàm k L thuộc Lr với r > N/p < p ≤ N r = p > N , k L định nghĩa k (x) = liminf t→∞ g (x, t) |t|p−2 t L (x) = limsup t→0 pG (x, t) |t|p có phần dương không tầm thường, giới hạn theo x Ω Hơn h+ = có hàm a ∈ Lr d ∈ Lp cho |g(x, t)| ≤ a(x) |t|p−1 + d(x) Cho µ1 (k) < < µ1 (L), tồn λ > cho toán có hai nghiệm không âm không tầm thường (a) < α < p h+ Lσα (b) α = 1, h(x) ≥ h < λ, Lσα N ( p > N W01,p (Ω) → L∞ (Ω) compact theo Sobolev Spaces Robert A Adams) → v Lp1 (Ω) với p1 ≥ p p = N nên theo định lý 4.9 Brèzis, có hàm h1 ∈ L∞ (Ω), h2 ∈ Lp1 (Ω) dãy con, ký hiệu {vn } {vn } để: |vn | ≤ h1 a.e (nếu p > N ) |vn | ≤ h2 a.e (nếu p = N ) Suy |wn | ≤ a(x)h1 (x)p−1 + d(x) ∈ L1 (Ω) p > N |wn | ≤ a(x)h2 (x)p−1 + d(x) ∈ L1 (Ω) p = N (khi p ≥ r, ta chọn p1 cho p−1 a(x)h2 (x)p−1 ∈ L1 (Ω) ; p < r ta chọn p1 = p lấy chuẩn hàm 1= + r p1 a Lp (Ω), áp dụng Bất đẳng thức Holder cho p p ta có a(x)h2 (x)p−1 ∈ L1 (Ω) ) Theo Corollary 13 trang 413 Real Analysis H.L.Royden P.M Fitzpatrick (4th ed.), {|wn |} có dãy hội tụ yếu L1 (Ω) g(x, un ) g0 Lp (Ω) với p = p ≥ N Vậy ta có kết quả: p−1 un Vì → v Lp (Ω)(Vì p > p∗ ⇒ p < p∗ ) L∞ (Ω) p ≥ N g(x, un ) suy limn→∞ (v − v) = p−1 n Ω un Thật Áp dụng BĐT Holder với p p , ta có Đặt wn = | Ω g(x, un ) g(x, un ) (v − v)| ≤ n un p−1 un p−1 − v Lp Lp →0 Như từ (2) ta có limn→∞ |∇vn |p−2 ∇vn ∇(vn − v) = mà lim n→∞ Ta làm rõ lim Do {vn } Đặt v |∇v|p−2 ∇v∇(vn − v) → Ω |∇v|p−2 ∇v∇(vn − v) → n→∞ Ω W01,p (Ω) nên ∀T ∈ L(W01,p (Ω), R) ta T (vn ) → T (v) |∇v|p−2 ∇v∇u T (u) = Ω Thế dễ thấy T hàm tuyến tính từ W01,p (Ω) vào R Mặt khác, dùng BĐT Holder ta |∇v|p−2 |∇v||∇u|dx = |T (u)| ≤ Ω |∇v|p−1 |∇u| ≤ ( Ω |∇v|p )(p−1)/p ( Ω 31 |∇u|p )1/p = v Ω p−1 u Do T ∈ L(W01,p (Ω), R) T (vn ) → T (v) Vậy |∇v|p−2 ∇v∇vn → Ω |∇v|p−2 ∇v∇v Ω Hay |∇v|p−2 ∇v∇(vn − v) → lim n→∞ Ω Nhắc lại |∇vn |p−2 ∇vn ∇(vn − v) = limn→∞ Kết hợp với |∇v|p−2 ∇v∇(vn − v) → lim n→∞ ⇒ Ω (|∇vn |p−2 ∇vn − |∇v|p−2 ∇v)∇(vn − v) → Cuối → v W01,p bất đẳng thức |ξ − η|p ≤ c |ξ|p−2 ξ − |η|p−2 η (ξ − η) s/2 [|ξ|p + |η|p ] 1−s/2 với ξ, η ∈ RN , c = c (p) > s= p ≥ p < p < Bất đẳng thức trích dẫn [14] Paiva nên ta không chứng minh lại Bước 2: Chứng minh v > Đầu tiên ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3: Với điều kiện bổ đề 1,v = Chứng minh mệnh đề 3: Ta có = giả sử (x) → hầu hết nơi Ta chứng minh v=0 Phản chứng, giả sử v = Ta có Φ (un )w ≤ | |∇un |p−2 ∇un ∇w − n w ∀ w ∈ W01,p (Ω) α−1 h(x)(u+ w− n) n g(x, un )w| ≤ → 0, ∀ w ∈ W01,p (Ω) 32 n w với Chọn w = un , ta được: |∇un |p − | α h(x)(u+ n ) dx − g(x, un )un | ≤ n un Chia vế cho un p , ta được: |1 − un h(x)(vn+ )α − p−α g(x, un n un | ≤ (MĐ3.1) p un un p−1 Do BĐT Holder định lí nhúng Sobolev , ta có: | h(x)(vn+ )α | α |h| ) σα ( ∗ (vn+ )p∗ ) p σα ≤( ≤C h Lσα vn+ α ≤C h Lσα Vậy lim n→∞ un h(x)(vn+ )α dx = (MĐ3.2) p−α Nhờ tính chất |g(x, t)| ≤ a(x)|t|p−1 + d(x), a ∈ Lr , d ∈ Lp nên ta có : | | a(x)|un |p + d(x)|un | g(x, un ) u | ≤ n un p un p g(x, un ) d(x)|vn | un | ≤ a(x)|vn |p + → a.e (MĐ3.3) p un un p−1 Mặt khác theo mệnh đề 1, kết hợp định lí hội tụ bị chặn Lebesgue ta có : lim n→∞ a(x)|vn |p = (MĐ3.4) Dùng BĐT Holder kết hợp un → ∞ = ta có : | d Lp W 1,p d(x)|vn | d Lp Lp d | ≤ ≤ = p−1 p−1 p−1 un un un un Vậy lim n→∞ d(x)|vn | =0 un Từ (MĐ3.3),(MĐ3.4),(MĐ3.5) ta : lim n→∞ g(x, un )un = (MĐ3.6) un p 33 Lp p−1 → (MĐ3.5) Từ (MĐ3.1) , (MĐ3.2) (MĐ3.6) ta : |1| ≤ (vô lí) Vậy v = Mệnh đề chứng minh xong Bây ta chứng minh v > Nhắc lại (*) Với w ∈ W01,p : |∇un |p−2 un w − | với n → Chia vế (*) cho un p−1 α−1 w− h(x)(u+ n) g(x, un )w| ≤ n w dùng (1) lấy giới hạn ta có: ∀w ∈ W01,p : lim n→∞ |∇vn |p−2 ∇vn ∇w = lim n→∞ g(x, un ) w un p−1 Do → v W01,p nên |∇v|p−2 ∇v∇udx ∀ u ∈ W01,p (Ω) |∇vn |p−2 ∇vn ∇udx → Ω Ω (Xem định lí Dinca ) Ta được: |∇v|p−2 ∇v∇w = limn→∞ g(x, un ) w= un p−1 g0 w Vậy |∇v|p−2 ∇v∇w = g0 w ∀w ∈ W01,p (2.5) Do v thỏa mãn phương trình −∆v = g0 (x) trˆ en Ω (2.6) Dùng w = v − (2.5) ta có : |∇v − |p dx = g0 (x)v − dx (2.7) Bây giờ, xét Ω− = {x ∈ Ω : v(x) < 0} Khi v(x) < ta có un (x) → −∞, ta có : g(x, un ) χΩ (x) → a.e.x ∈ Ω g(x, t) = ∀t ≤ un p−1 − Do g(x, un ) χΩ → Lp un p−1 − 34 Vì g(x, un ) un p−1 ⇒ lim T ( n→∞ go Lp g(x, un ) ) = T (g0 ) ∀T ∈ L(Lp , R) un p−1 Đặt hàm zv − dx ∀z ∈ Lp T (z) = Hàm T từ Lp → R Dễ thấy hàm T tuyến tính, dùng BĐT Holder |T (z)| ≤ z Lp v− Lp Vậy T tuyến tính, liên tục từ Lp → R ⇒ lim T ( n→∞ g(x, un ) − v = un p−1 ⇒ lim n→∞ ⇒ lim n→∞ g(x, un ) ) = T (g0 ) un p−1 g0 v − g(x, un ) χΩ− v − = un p−1 g0 v − g(x, un ) χΩ− → Lp un p−1 Dùng BĐT Holder Mặt khác | g(x, un ) g(x, un ) χΩ− v − | ≤ χΩ− p−1 un un p−1 lim n→∞ Từ lim n→∞ Vậy g(x, un ) χΩ− v − = un p−1 Lp v− Lp →0 g(x, un ) χΩ− v − = un p−1 g0 v − dòng ta g0 v − = g0 (x)v − dx = Từ (2.7) ta kết luận v − = Hơn nữa, v = bất đẳng thức Harnack [20] Paiva, ta có v > Ω Bước 3: Kết luận cho phần chứng minh bổ đề Do định nghĩa k (x)(xem trích dẫn [12] Paiva), hàm g0 (x) thỏa g0 (x) ≥ k(x)v p−1 Định nghĩa ω (x) = g0 (x)/v p−1 Thì (2.6) viết lại thành 35 − pv = ω(x)v p−1 Ω Suy µ1 (ω) = Mặt khác k (x) ≤ ω (x) dẫn đến µ1 (ω) ≤ µ1 (k) < Mâu thuẫn cho thấy um bị chặn Vì um bị chặn nên giả sử {un } có dãy {unk } u W01,p (Ω) Áp 1,p dụng chứng minh bước Bổ đề {unk } → u W0 (Ω) Vậy {un } thỏa điều kiện (PS) Bổ đề 2: Cho ≤ α < p < {q, s},a, b > với a + b ≥ λ > tham số Thì maxt≥0 {tp − atq − bts − λtα } > λ đủ nhỏ Chứng minh bổ đề Đặt Q(t) = − atq − bts − ctα ∀t ≥ Ta có Q(t) ≥ Q1 (t) = − (a + b)tm − λtα ∀0 ≤ t ≤ 1, với m = min{q, s} Đặt t1 = ( p−α ) m−p < (a + b)(m − α) (vì a + b ≥ 1) Áp dụng bổ đề (3.2) báo “Local superlinearity and sublinearity for indefinite semilinear elliptic problems” D.G de Figueiredo, J.P Possez, P Ubilla, J Func Anal 199 (2003) 452-467 , ta Q1 (t1 ) > với λ đủ nhỏ Vậy với λ đủ nhỏ ta có maxt≥0 Q(t) ≥ Q(t1 ) ≥ Q1 (t1 ) > 2.3 Chứng minh định lý Chứng minh mục (a) Bước 1: Sự tồn điểm tới hạn mountain pass Từ định nghĩa L(x), cho > 0, tồn δ > thỏa mãn pG(x, t) ≤ L(x)tp + với ≤ t < δ Vì (1.3), ta có số c hàm b(x) = : G(x, t) ≤ c|t|q + b(x)|t|, p < q < p∗, ∀t ∈ R 36 Với |t| ≥ δ, tồn số c = c(δ) thỏa |t| ≤ c|t|s Do đó: G(x, t) ≤ c|t|q + cb(x)|t|s , với|t| ≥ δ Do đó, ta được: G(x, t) ≤ L(x)|t|p + |t|p + cb(x)|t|s ∀t ∈ R p p Sử dụng bất đẳng thức ta được: Φ(u) = ≥ ≥ p p |∇u|p − α |∇u|p − c( p |∇u|p dx − h+ (x)(u+ )α − α p h(x)(u+ )α dx − L(x)|u|p − α |h+ |σα ) σα ( |u|p∗ ) p∗ − |u|p − c p pµ1 (L) G(x, u)dx |∇u|p − |u|q − c pλ1 c( 1 = (1 − − ) u p µ1 (L) λ1 p − c h+ u Lσα α Lp∗ −c u q Lq −c b b(x)|u|s |∇u|p − c 1 |b|q ) q ( Lq u −c b Lq |u|q − |u|p∗ ) p∗ s Lp∗ Dùng định lý nhúng Sobolev ta có : 1 Φ(u) ≥ (1 − − ) u p µ1 (L) λ1 Vì µ1 (L) > ta chọn p − c h+ Lσα α u −c u q Lq u s đủ nhỏ cho (1 − − )>0 µ1 (L) λ1 Dùng bổ đề 2, tồn a > ρ > thỏa mãn u = ρ Φ(u) ≥ a > từ h+ Lσα đủ nhỏ Đặt ϕk hàm trị riêng ứng với µ1 (k) thỏa ϕk > α−1 Dùng bổ đề Fatou lim h(x) u+ vdx = ∀v ∈ W01,p (Ω) nên m p−1 m→∞ u Ω m liminf t→∞ Φ (tϕk ) ≤ p = ≤ p p |∇ϕk |p dx − Ω |∇ϕk |p dx − Ω |∇ϕk |p dx − Ω p liminf Ω t→∞ k(x)ϕpk dx Ω pµ1 (k) 37 G(x, tϕk ) p ϕ (**) (tϕk )p k |∇ϕk |p dx Ω = p 1− µ1 (k) ϕk p cho Φ (t0 ϕk ) < Nên Φ thỏa giả thiết định lý Mountain Pass, tồn u1 ∈ W01,p điểm tới hạn không tầm thường Φ cho Φ (u1 ) > Ta giải thích rõ có BĐT (**), đồng thời ta kiểm điều kiện để áp dụng bổ đề Fatou cho liminf Ta có G(x, nϕk )dx Φ(nϕk ) = |∇ϕk |p dx − h(x)(ϕk )α dx − p p−α n αn np Ta có BĐT lim inf (1 − an − bn ) ≤ − lim inf an − lim inf bn n→∞ n→∞ n→∞ (Giải thích : inf (1 − as − bs ) + inf as + inf bs ≤ − an − bn + an + bn = 1, s≥n s≥n s≥n lấy giới hạn vế cho n → ∞ ta có điều trên) Lấy liminf vế áp dụng BĐT ta được: lim inf n→∞ Φ(nϕk ) ≤ p n p lim inf n→∞ |∇ϕk |p dx − lim inf n→∞ Φ(nϕk ) ≤ p n p αnp−α h(x)(ϕk )α − lim inf n→∞ G(x, nϕk ) np G(x, nϕk ) np |∇ϕk |p dx − lim inf n→∞ Ta kiểm điều kiện để áp dụng định lí Fatou cho liminf Ta có | G(x, nϕk ) |=| np ⇒| nϕk g(x, t)dt |≤ np G(x, nϕk ) |≤ np 1 a(x)n p |g(x, snϕk )|nϕk ds ≤ np ϕpk sp−1 np ⇒khi n đủ lớn, tồn M > : | + nd(x)ϕk (a(x)|snϕk |p−1 + d(x))nϕk ds np d(x)ϕk ds = a(x)ϕpk + p−1 p n G(x, nϕk ) | ≤ a(x)ϕpk + M d(x)ϕk (x) p n p Theo mệnh đề nên a(x)ϕpk (x) ∈ L1 , d(x) ∈ Lp , ϕk ∈ Lp ⇒ d(x)ϕk ∈ L1 G(x, nϕk ) Tóm lại ta tìm Z(x), cho | | ≤ Z(x) ∈ L1 n đủ lớn từ ta np hoàn toàn áp dụng định lí Fatou cho liminf Bước 2: Tồn cực trị địa phương Ta cần chứng minh mệnh đề: tồn u ∈ W01,p với u < ρ cho Φ (u) < 1 Với ε > ta có có dãy sn > 0, sn → cho G(x, sn ) ≥ L(x)spn − spn ∀n, ∀x ∈ Ω p p Thật 38 pG(x, s) ) |s|p |s|≤t L(x) = lim(sup t→0 Cho > 0, tồn λ > cho : pG(x, s) < |s|p |s|≤t − < L(x) − sup ∀ x ∈ Ω, ∀t : |t| ≤ λ pG(x, s) > L(x) − |s|p |s|≤t ∀ x ∈ Ω, ∀t : |t| ≤ λ ⇒ sup ⇒ ∃s0 , |s0 | ≤ t : pG(x, s0 ) > L(x) − |s0 |p ∀x ∈ Ω, ∀t : |t| ≤ λ Bằng cách cho t nhỏ, ta có dãy {sn } → 0, sn > ∀n (sn phụ thuộc vào ) pG(x, sn ) > L(x) − spn ∀n 1 ⇒ G(x, sn ) > L(x)spn − spn ∀n p p h(x)v α dx > ta có Lấy v ∈ C01 (Ω) dương cho Ω Φ (sn v) = spn ≤ p spn p |∇v|p dx − Ω sαn |∇v| dx − α Ω p sαn α h(x)v α dx − Ω G(x, sn v)dx Ω spn h(x)v dx − p Ω α (L(x)v p − εv p ) dx Ω Ta có Φ (sn v) ≤ v p sn p p − sα−p n p h(x)v α dx − Ω p L(x)v p dx − ε p Ω v p dx< Ω Mệnh đề chứng minh Do điều kiện (P S) cực tiểu Φ Bρ (0) đạt cầu mở tương ứng Nó cho ta điểm tới hạn không tầm thường u2 Φ với Φ (u2 ) < u2 < ρ Chứng minh mục (b) Bước 1: Sự tồn điểm tới hạn mountain pass Với α = Φ(u) = p |∇u|p dx − 39 h(x)u − G(x, u)dx Φ(u) ≥ p |∇u|p dx − ( pµ1 (L) |u|p∗ ) p∗ − |h|p∗ ) p∗ ( |u|q − c( c 1 ε Φ(u) ≥ (1 − − ) u p µ1 (L) λ1 p −c h Lp∗ u |∇u|p − ε pλ1 |∇u|p − 1 |b|q ) q ( |u|p∗ ) p∗ −c u q Lq −c b Lq u s Lp∗ u −c u q Lq −c b u s Lq Lp∗ Dùng định lý nhúng Sobolev ta có : 1 − ) u Φ(u) ≥ (1 − p µ1 (L) λ1 Vì µ1 (L) > ta chọn p −c h Lp∗ đủ nhỏ cho (1 − − )>0 µ1 (L) λ1 Dùng bổ đề 2, tồn a > ρ > thỏa mãn u = ρ Φ(u) ≥ a > từ h Lσα đủ nhỏ (vì α = nên σα = p∗ ) Đặt ϕk hàm trị riêng ứng với µ1 (k) thỏa ϕk > α−1 h(x) u+ vdx = ∀v ∈ W01,p (Ω) nên Dùng bổ đề Fatou lim m p−1 m→∞ u Ω m liminf t→∞ Φ (tϕk ) ≤ p t p = ≤ p p |∇ϕk |p dx − Ω t→∞ Ω |∇ϕk |p dx − Ω |∇ϕk |p dx − Ω = liminf p 1− p k(x)ϕpk dx Ω pµ1 (k) µ1 (k) G(x, tϕk ) p ϕ (**) (tϕk )p k ϕk |∇ϕk |p dx Ω p cho Φ (t0 ϕk ) < Nên Φ thỏa giả thiết định lý Mountain Pass, tồn u1 ∈ W01,p điểm tới hạn không tầm thường Φ cho Φ (u1 ) > Ta giải thích rõ có BĐT (**), đồng thời ta kiểm điều kiện để áp dụng bổ đề Fatou cho liminf Ta có Φ(nϕk ) = np |∇ϕk |p dx − αnp−α h(x)(ϕk )α dx − G(x, nϕk )dx np Ta có BĐT lim inf (1 − an − bn ) ≤ − lim inf an − lim inf bn n→∞ n→∞ 40 n→∞ (Giải thích : inf (1 − as − bs ) + inf as + inf bs ≤ − an − bn + an + bn = 1, s≥n s≥n s≥n lấy giới hạn vế cho n → ∞ ta có điều trên) Lấy liminf vế áp dụng BĐT ta được: lim inf n→∞ Φ(nϕk ) ≤ p n p |∇ϕk |p dx − lim inf n→∞ lim inf n→∞ Φ(nϕk ) ≤ np p αnp−α h(x)(ϕk )α − lim inf n→∞ G(x, nϕk ) np G(x, nϕk ) np |∇ϕk |p dx − lim inf n→∞ Ta kiểm điều kiện để áp dụng định lí Fatou cho liminf Ta có G(x, nϕk ) | |=| np ⇒| nϕk g(x, t)dt |≤ np G(x, nϕk ) |≤ np 1 |g(x, snϕk )|nϕk ds ≤ np (a(x)|snϕk |p−1 + d(x))nϕk ds np a(x)np ϕpk sp−1 + nd(x)ϕk d(x)ϕk ds = a(x)ϕpk + p−1 p n p n ⇒khi n đủ lớn, tồn M > : | G(x, nϕk ) | ≤ a(x)ϕpk + M d(x)ϕk (x) p n p Theo mệnh đề nên a(x)ϕpk (x) ∈ L1 , d(x) ∈ Lp , ϕk ∈ Lp ⇒ d(x)ϕk ∈ L1 G(x, nϕk ) Tóm lại ta tìm Z(x), cho | | ≤ Z(x) ∈ L1 n đủ lớn từ ta np hoàn toàn áp dụng định lí Fatou cho liminf Bước 2: Tồn cực trị địa phương Ta cần chứng minh mệnh đề: tồn u ∈ W01,p với u < ρ cho Φ (u) < 1 Với ε > ta có có dãy sn > 0, sn → cho G(x, sn ) ≥ L(x)spn − spn ∀n, ∀x ∈ Ω p p Thật pG(x, s) ) |s|p |s|≤t L(x) = lim(sup t→0 Cho > 0, tồn λ > cho : pG(x, s) < |s|p |s|≤t − < L(x) − sup pG(x, s) > L(x) − |s|p |s|≤t ⇒ sup 41 ∀ x ∈ Ω, ∀t : |t| ≤ λ ∀ x ∈ Ω, ∀t : |t| ≤ λ ⇒ ∃s0 , |s0 | ≤ t : pG(x, s0 ) > L(x) − |s0 |p ∀x ∈ Ω, ∀t : |t| ≤ λ Bằng cách cho t nhỏ, ta có dãy {sn } → 0, sn > ∀n (sn phụ thuộc vào ) pG(x, sn ) > L(x) − spn ∀n 1 ⇒ G(x, sn ) > L(x)spn − spn ∀n p p Lấy v ∈ C01 (Ω) dương cho h(x)vdx > ta có Ω Φ (sn v) = ≤ spn p spn p |∇v|p dx − sn h(x)vdx − Ω Ω |∇v|p dx − sn Ω G(x, sn v)dx Ω h(x)vdx − Ω spn p (L(x)v p − εv p ) dx Ω Ta có Φ (sn v) ≤ v p sn p ≤ v p p p − s1−p − n p sn1−p p h(x)vdx − Ω h(x)vdx − Ω p p L(x)v p dx − ε p Ω L(x)v p dx − ε p Ω v p dx Ω v p dx< Ω Mệnh đề chứng minh Do điều kiện (P S) cực tiểu Φ Bρ (0) đạt cầu mở tương ứng Nó cho ta điểm tới hạn không tầm thường u2 Φ với Φ (u2 ) < u2 < ρ Bây lấy u điểm tới hạn Φ |∇u|p−2 ∇u∇φdx = Ω h(x) u+ α−1 g(x, u)φdx ∀φ ∈ W01,p (Ω) φdx + Ω Ω Lấy φ = u− g(x, t) = với t ≤ ta p ∇u− dx = Ω Nên u ≥ u nghiệm không âm toán (1.1) 42 Kết luận Trong luận văn làm công việc sau: Trình bày cách hệ thống, rõ ràng không gian Lp (Ω) không gian Sobolev W01,p (Ω) định lý nhúng liên tục, nhúng compact Rellich-Kondrachov vốn công cụ đắc lực việc giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình đạo hàm riêng phi tuyến mà phương trình p-Laplace luận văn ví dụ điển hình Hơn rõ toán xét, với điều kiện Ω phép nhúng W 1,p (Ω) ⊂ L∞ (Ω) (p > N ) compact Kết kết hợp với định lý Dunford-Pettis (sẽ nói rõ sau đây) để chứng minh bổ đề trang 29 luận văn Phát biểu định lý Dunford-Pettis (định lý 1.21 trang 23 luận văn), điều kiện cần để dãy bị chặn L1 (X, µ) có dãy hội tụ yếu hệ định lý (hệ 1.2 trang 23 luận văn), sử dụng chứng minh hàm Φ thỏa điều kiện Palais-Smale (bổ đề trang 29 luận văn) Cụ thể hơn, dùng hệ định g(x, un ) g0 Lp (Ω) với p = lý Dunford-Pettis, chứng minh un p−1 g(x, un ) g0 Lp (Ω) với p > p∗ p ≥ N Ngoài chứng minh un p−1 p < N (trang 30 luận văn) Trong báo mình, tác giả Fancisco Odair de Paiva nói lướt qua chỗ mà không đưa chứng minh cụ thể Chứng minh hàm Φ ∈ C W01,p (Ω) , R (mệnh đề trang 25 luận văn) Trong báo mình, tác giả Fancisco Odair de Paiva nói lướt qua chỗ mà không đưa chứng minh cụ thể Từ việc tính cụ thể đạo hàm Fréchet hàm Φ, xây dựng dạng hình học Mountain pass phiếm hàm lượng Φ Một lần báo tác giả Fancisco Odair de Paiva không nhắc đến điều Chúng kiểm chứng điều kiện để dùng định lý Fatou cho liminf (trang 38 trang 40 luận văn) Trong báo mình, cấp độ công trình khoa học cấp cao nên tác giả Fancisco Odair de Paiva không đưa chứng minh cụ thể việc kiểm chứng điều kiện để dùng định lý Fatou cho liminf Phát chỉnh sửa số lỗi sai báo tác giả Fancisco Odair de Paiva Các lỗi thiếu dư số α đẳng thức (trang 1112 dòng cuối từ đếm lên [10] phần Tài liệu tham khảo), chủ yếu việc đánh máy nhầm gây nên Ngoài nhiều chỗ nêu ngắn gọn mà chưa có chứng minh chi tiết Trong báo đăng Nonlinear Analysis TMA, chứng minh định lý 43 tác giả Fancisco Odair de Paiva dài gần trang Sau cô đọng lại chứng minh (chưa tính phần kiến thức chuẩn bị nhiều kiến thức bổ trợ có tài liệu mà nghiên cứu, mà thời gian khuôn khổ luận văn chưa cho phép trình bày cặn kẽ hết được), nhận thấy độ dài phần luận văn (chương Áp dụng giải toán p-Laplace) 17 trang 44 Tài liệu tham khảo [1] Robert A Adams, John J F Fournier: Sobolev Spaces, Second Edition, Academic Press, Pure and Applied Mathematics, Volume 140, 2003 [2] Haim Brezis: Analyse Fonctionelle, Theorie et Applications, Masson A., 1987 [3] F.E Browder: Fixed point theory and nonlinear problems, Proc Symp Pure Math 39 (1983) 4986 [4] Dương Minh Đức: Giải tích hàm, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh, 2000 [5] L.C.Evan: Partial Differential Equations, American Mathematical Society (1997) [6] Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng: Giải tích hàm, 2008 [7] N.S.Papageorgiou, S.T.Kyritsi-Yiallourou: Handbook of Applied Analysis, Advances in Mechanics and Mathematics, Springer 2009 [8] I Peral: Multiplicity of Solutions for the p-Laplacian, International center for theoretical physics trieste, Second School of Nonlinear Functional Analysis and Applications to Differential Equations (1997) [9] I.V Skrypnik: Methods for analysis of nonlinear elliptic boundary value problems, Am Math Soc Transl., Ser II 139 (1994) [10] Francisco Odair de Paiva: Multiple positive solutions for quasilinear problems with indefinite sublinear nonlinearity, Nonlinear Analysis TMA 71 (2009) 1108-1115 [11] Dương Minh Đức, Nguyễn Quang Huy: Non-uniformly asymptotically linear pLaplacian problems, Nonlinear Analysis TMA 92 (2013) 183-197 [12] G Dinca, P Jebelean and J Mawhin: Variational and topological methods for Dirichlet problems with p-Laplacian, Portugaliae Mathematica Vol 58 Fasc - 2001, Nova Série [13] H L Royden, P M Fitzpatrick: Real Analysis (Fourth Edition), Pearson Education Asia Limited and China Machine Press, 2010 [14] Haim Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer 2011 45 [...]... Nonlinear Analysis TMA 71 (2009) 1108-1115 2.2 Kiến thức chuẩn bị Nghiệm yếu của bài toán (1.1) ứng với điểm tới hạn của phi n hàm Φα (u) = 1 p |∇u|p dx − Ω 1 α h(x) u+ α G(x, u)dx, u ∈ W01,p (Ω) dx − Ω Ω nếu 1 < α < p, và của phi n hàm Φ1 (u) = 1 p |∇u|p dx − Ω 1 α G(x, u)dx, u ∈ W01,p (Ω) h(x)udx − Ω Ω t g(x, s)ds Với các giả thiết trên Φα ∈ C 1 với 1 ≤ α < p Để đơn nếu α = 1, G(x, t) = 0 giản, ta sẽ ký... a.e in Ω, t ∈ R (1.3) với q ∈ (p, p∗ ), b ∈ Lq (Ω), q = p∗ /s và p < s < p∗ , c là một hằng số Gọi m(x) là một hàm số thuộc Lr , r > N/p nếu 1 < p ≤ N và r = 1 nếu p > N Xét bài toán trị riêng − p u = λm(x) |u|p−2 u trong Ω (1.4) u=0 trên ∂Ω Nếu m(x) > 0 trên một tập con có độ đo dương của Ω, bài toán (1.4) có trị riêng chính µ1 (m) > 0 (ký hiệu λ1 = µ1 (1)- trị riêng của toán tử Laplace thường) Trị... a.e trên E và với mọi n (E ⊂ X) Thì {fn } có dãy con hội tụ yếu trong L1 (X, µ) 23 Chương 2 Áp dụng giải bài toán p-Laplace 2.1 Giới thiệu: Xét bài toán: − p u = h(x)uα−1 + g(x, u) trên Ω u≥0 trên Ω (1.1) u=0 trên ∂Ω với Ω ⊂ RN là miền trơn bị chặn, 1 ≤ α < p g : Ω × R → R Caratheodory sao cho g(x, t) = 0, với mọi t ≤ 0 và h thỏa 1 α p∗ nghĩa là + ∗ =1 (1.2) h ∈ Lσα , ở đây σα := α σα p với p∗ = pN/(N... |∇u| |∇ϕ| = ≤ Ω |∇ϕ|p  Ω 1  = ϕ p (p−1)p 1,p |∇u|   Ω Điều đó chứng tỏ ψ (u) là ánh xạ tuyến tính liên tục Nói cách khác, phi m hàm ψ khả vi Gâteaux Nhận xét 1.1 Theo như trên thì toán tử −∆p từ W01,p (Ω) vào W0−1,p (Ω) được xác đinh bởi −∆p u, v = |∇u|p−2 ∇u.∇v với mọi u, v ∈ W01,p (Ω) (1.13) Ω Hơn nữa, do −∆p = Jϕ với ϕ(t) = tp−1 nên −∆p là demicontinuous và thuộc lớp (S+ ) Hai kết quả về nhúng... trong Lq1 Định lý 1.19 Cho Ω mở bị chặn trong Rn với ∂Ω là C 1 Giả sử f : Ω × R → R là Carathéodory và thỏa: |f (x, s)| ≤ C|s|q−1 + b với mọi x ∈ Ω, s ∈ R (1.16) p Trong đó C ≥ 0, b là hằng số , q ∈ 1, NN−p Khi ấy, Nf∗ là toán tử compact từ W01,p (Ω) vào W −1,p (Ω) được xác định bởi, f (x, u)v với mọi u, v ∈ W01,p (Ω) Nf∗ (u), v = Ω 20 (1.17) Chứng minh Từ Tính chất 1.3 với r = q − 1 và q1 = q với 1q... − ε u∈h([0,1]) mâu thuẫn với (5) Vậy c là giá trị tới hạn của I 1.5 Về một hệ quả của định lý Dunford - Pettis Với không gian đo (X, M, µ), tổng quát mà nói, không gian Banach L1 (X, µ) có thể không phản xạ, trong trường hợp này, theo định lý Eberlein - Smulian, tồn tại một dãy bị chặn trong L1 (X, µ) không có dãy con hội tụ yếu Vì thế thật quan trọng và cần thiết khi xác định được điều kiện cần để... Ω0 bị chặn, CB0 Ωk0 → Lq Ωk0 với 1 ≤ q ≤ ∞ Các kết quả này dẫn đến với Ω là miền trơn bị chặn, chứa trong RN , phép nhúng W (Ω) ⊂ L∞ (Ω) (p > N ) là compact 1,p 1.3 Toán tử Nemytskii Cho Ω mở bị chặn trong RN Ánh xạ f : Ω × R → R là Carathéodory, nghĩa là nếu các điều sau đây được thỏa mãn: (i) Với mỗi s ∈ R thì ánh xạ x → f (x, s) là đo được trong Ω (ii) a.e x ∈ Ω thì ánh xạ s → f (x, s) là liên tục... trong Ω} Tính chất 1.2 Nếu f : Ω × R → R là Carathéodory và u ∈ M Khi ấy hàm Nf u : Ω × R → R được định nghĩa (Nf u) (x) = f (x, u(x)), ∀x ∈ Ω là đo được trong Ω Từ Tính chất 1.2 cho ta điều, Nf : M → M 18 Tính chất 1.3 Giả sử f là ánh xạ Carathédory và có thêm tính chất sau: |f (x, s)| ≤ C|s|r + b(x), với mọi x ∈ Ω, s ∈ R, trong đó C ≥ 0 là hằng số, r > 0 và b ∈ Lq1 (Ω), 1 Khi đó, ta có các khẳng định. .. một dãy con của dãy {vn } hội tụ trong W −1,p (Ω) Cho nên, Nf∗ (A) compact trong W −1,p (Ω) với mọi A là tập con bị chặn trong W01,p (Ω) Điều này có nghĩa Nf∗ là toán tử compact từ W01,p (Ω) vào W −1,p (Ω) 21 1.4 Định lí Mountain Pass Giá trị tới hạn: Cho E là một không gian Banach thực Một hàm số I đi từ E vào R gọi là phi n hàm Một điểm tới hạn u của I là điểm mà tại đó I (u) = 0, chính xác hơn là... 0 với mọi v ∈ E Giá trị của I tại u gọi là giá trị tới hạn của I Điều kiện Palais - Smale (PS): Ta nói một phi n hàm Φ : X → R, Φ ∈ C 1 là thỏa điều kiện (PS) nếu mọi dãy {un } trong X thỏa điều kiện |Φ(un )| ≤ C và Φ (un ) → 0 trong X ∗ có dãy con {unk } hội tụ mạnh Định lý 1.20 (Định lí Mountain Pass) Cho X là một không gian Banach thực, I ∈ C 1 (X, R), I thỏa (PS) Giả sử I(0) = 0 và (I1) có các