Tính diện tích mỗi phần đó.. Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi.
Trang 1đề thi học sinh giỏi lớp 12 – bảng b bảng b
Môn: Toán
Bài 1:(2đ) Xét chiều biến thiên của hàm số: 2 1
y
Bài 2:(2đ) Parabol:
2
2
x
y chia hình tròn 2 2 8
y
x ra làm 2 phần Tính diện tích mỗi phần đó
Bài 3:(2đ) Tìm m để phơng trình x4 – ( 2m+3)x2 + m + 5 = 0 có 4 nghiệm
x1, x2, x3, x4 thoả mãn :
-2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 3
Bài 4:(2đ) Giải bất phơng trình: 3 2 4 2 9
x
Bài 5:(2đ) Giải phơng trình:
x x
x x
sin 2
1 sin
3
2 3
cos 2 2 3
cos 2
Bài 6:(2đ) Biết rằng tồn tại x để các cạnh của ABC thoả mãn: a = x2 + x + 1; b = 2x + 1;
c = x2 – 1 Hỏi ABC có đặc điểm gì?
Bài 7:(2đ) Tính
x
x Lim
2
1 3
5 3
Bài 8:(2đ) Giải hệ phơng trình:
2 log
log log
2 log log
log
2 log log
log
16 16
4
9 9
3
4 4
2
y x
z
x z
y
z y
x
Bài 9:(2đ) Cho mặt cầu (C) tâm O, bán kính R và n điểm trong không gian:
A1, A2 , An Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu (C) ngời ta dựng điểm N sao
MN 1 2 Tìm tập hợp các điểm N khi M thay đổi
Bài 10:(2đ) Biết rằng các số a,b,c,d thoả mãn:
0
2 2
2 2
d c d c
b a b a
Chứng minh: 2 2 2 2
c b d a
đáp án hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 – bảng b Bảng
B
Trang 2-2 O 2 x
Môn : Toán
Điểm
1
(2đ)
Đk:
0
0
0
0 1
0 1
0
0 1 1
0 1
0 1
2 2
2 2
2 2
x
x
x
x x
x x
x x x
R x x
x x x
x x
x x
x x
vi
Tập xác định của hàm số là R
Ta có: y’ =
x x
x x x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x
1
1 4
1 2 1 2 1
1 4
1 2 3 1 2 1
1 4
1 2 1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Hàm số luôn đồng biến trên toàn tập xác định R
0.5
0.5
0.75 0.25
2
(2đ)
Đờng tròn có bán kính: R= 8 2 2 y
Diện tích hình tròn là: S = 2 8
Gọi diện tích phần gạch chéo là S1, phần còn lại là S2 A B
Cần tính S1.Phơng trình đờng tròn: x2 + y2 = 8
8 x
Đờng tròn và Parabol cắt nhau tại 2 điểmA, B có toạ
độ là nghiệm của hệ:
2
2 0
8 2
0 2
8
2 2
2
2
y
x y
y
y y x y
x
x y
0 2
0
3 2
2
0
2 2
3 8
2 2
8
dx x dx
x x
đặt x = 2 2 sint dx 2 2 costdt cận 2
0
x thành cận 4
t
3
4 2 3
8 ) 2 cos 1 ( 8 3
8 cos
16 3
8 cos 2 2 sin 1 8 2
4
0
4
0 2 4
0
2
dt t tdt
tdt t
S
(đvdt)
3
4 6 3
4 2 8
1
0.5
0.5
0.5 0.5
3
(2đ)
Txđ của phơng trình là : R
Đặt x2 = X 0, ta có phơng trình: f(X) = X2 – ( 2m+3).X + m + 5 = 0 (*)
để phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < x4 thì phơng trình (*) có
Trang 3hai nghiệm thoả mãn: 0 < X1 < X2 Khi đó x1 X2;x2 X1;x3 X1;x4 X2 Do
đó: -2<- X2 <-1< - X1 < 0 < X1 < 1 < X2 < 3
2 X2 >1 > X1 > 0 4 > X2 > 1 > X1 > 0
0 9 7
0 5
0 3
0 ) 4 (
0 ) 0 (
0 ) 1 (
m m m
af af af
7
95
3
m m m
không tồn tại m thoả mãn bài toán
0.5 0.5 0.5
0.5
4 Giải bất phơng trình : (x-3) 2 4
x
Txđ :R
Bpt : 3 2 4 3 0
x
6 5 3 3 3
36
5 3
9 6 4
0 3 3 0 3 3
9 6 4
3
3 4
0 3 3 4
0 3
2 2
2 2
2 2
x x x x x x x
x x x
x x x x
x x x
x
x x
x x x
x
6
5
; 6
5 3
3
3
x x
x
x
Đây là tập nghiệm của bấtt phơng trình
0.5
1.0
0.5
5
0 cos
z k k x
k x
x
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: VF =
3
3 2 sin 2
1 sin
3
2
x x
áp dụng Bđt Bunhiacôpxki cho vế trái ta đợc:
3
3 2 3
cos 2 2 3
cos 2 1
1 2 2
để phơng trình có nghiệm thì VT=VF =
3
3 2
0.5 0.5
0.5
0.5
Trang 4k z
k x
x
x x
x x
x
3 2
1 cos 2
3 sin
3
cos 2 2 3
cos 2
sin 2
1 sin
3
2
đây là họ nghiệm của phơng
trình
6 Để a, b, c là 3 cạnh của ABC: a = x2 + x + 1; b= 2x+1; c = x2 –1 thì điều kiện cần là:
1
; 1 1
2
1
; 1 1
0 1 2
3 3 1
) 1 2 ( ) 1 (
1 2 ) 1 ( ) 1 (
1 )
1 2 ( ) 1 (
2 2
2
2 2
2 2
x x
x x x
x x x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
Với điều kiện x>1, từ giả thiết của bài toán ta kiểm tra thấy:
a2 = b2 + c2 +bc Theo định lý hàm số côsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA =>
cosA=
2
1
mà 0 < A < => A =
3
2
Vậy ABC có góc A =
3
2
0.5
1.0
0.5
7
(2đ) Ta có
x x
x x
1 3
6 1 1
3
5 3
đặt
1 3
6 1
x
t thì 6t = 3x-1 3
1
6
t
x Khi x thì t
Khi đó
3 2 4
3 2 4 2
1 1 1 1 lim 1
1 lim 1
3 5 3 lim
t t
t x
t t t
x
vì
2
t e
t
t
t t
t
0.5
0.5
0.5 0.5
8
(2đ)
Đk: x > 0; y > 0; z > 0 Khi đó hệ phơng trình tơng đơng với:
2 ) ( log
2 ) ( log
2 ) ( log
2 log 2
1 log 2
1 log
2 log 2
1 log 2
1 log
2 log 2
1 log 2
1 log
4 3 2
4 4
4
3 3
3
2 2
2
xy z
xz y
yz x
y x
z
x z
y
z y
x
) 3 ( 16
) 2 ( 9
) 1 ( 4
16 9 4
2 2
2 2
2 2
xy z
xz y
yz x
xy
z
zx
y
yz
x
Nhân (1), (2), (3) vế với vế ta đợc x2y2z2 = 4.9.16 x.y.z=24
0.5
0.5
0.5 0.5
Trang 5M 1
M
1
1/2 1
3
32 24
16
; 8
27 24
9
; 3
2 24
2 2
2
9
n n
n
OA OA
MO n OA MO OA
MO OA MO
MA MA
MA MN
.
) 1 (
1 2
1
2 1
Gọi tổng: OA1OA2 OAn OK ( Điểm K hoàn toàn đợc xác định tuỳ thuộc vào
cách cho hệ điểm A1, A2, A3, , An)
Khi đó: (1) MO ON n.MO OK ON OK (n 1 ).MO KN (n 1 ).MO
) 2 ( ).
1 ( ).
1
n R n MO n
KN
Tập hợp các điểm N là mặt cầu tâm K, bán kính (n-1)R
0.5 0.5
0.5
0.5
10
(2đ)
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 điểm : y
M(a,b) và N(c,d) Từ giả thiết ta có:
2
1 ) 2
1 ( ) 2
1 (
2
1 ) 2
1 ( ) 2
1 (
2 2
2 2
d c
b a
M nằm trên đờng tròn tâm I )
2
1 , 2
1 ( bán 1 x
kính R=
2
2 , và N nằm trên đờng tròn tâm
2
1 , 2
1 ( , bán kính R=
2
2 Nối IK cắt 2 đờng
tròn tại 2 giao điểm xa nhất M1 và N1 MN M1N1 = 2 2
) , ( );
, (I R N K R
0.5
0.5
0.5
0.5
Tài liệu tham khảo:
Bài 1,7,9: Sách các bài luyện giảng môn Toán tập 3
Bài 2 : Sách tuyển chọn những bài ôn luyện môn Toán – Tập 2
Bài 3 : Sách các bài luyện giảng – tập 1
Bài 4, 6 : Sách các bài luyện giảng môn Toán - tập 2
Bài 5 : Sách phơng pháp giải toán lợng giác
Bai 8 : Sách tuyển chọn những bài ôn luyện môn Toán – Tập 1
1/2 1/2 -1
1
1
N1 -1
N
1/2
1 11
O
-1/2
1/2 K