Đề thi & đáp án tuyển sinh 10 Chuyên Môn Toán 1

a chứng minh NMO NPO  b chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M di động trên đờng thẳng d.. c xác định vị trí điểm M trên đờng thẳng d sao cho tứ gi

Mã kí hiệu

T- ĐTS10CH1-08

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên

Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài 150 phút

(Đề này gồm 4 câu1trang)

câu1: (3điểm)

Cho biểu thức

2

P

1) Rút gọn P

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

3) Tìm x để biểu thức Q =2 x

P nhận giá trị là số nguyên

Câu 2 (2điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho đa thức x3n+1+x2n+1 chia hết cho

đa thức x2 +x +1

b) tìm số d trong phép chia A = 38 +36 +32004 cho 91

Câu 3(4điểm)

Cho đờng tròn ( O ;R) và đờng thẳng (d) cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A,B

Từ một điểm M trên đờng thẳng (d) và ở ngoài đờng tròn (O) , (d) không đi qua

O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN , MP với đờng tròn (O) (N,P là hai tiếp điểm)

a) chứng minh NMO NPO 

b) chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định khi M di động trên đờng thẳng (d)

c) xác định vị trí điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông

d) Chứng minh rằng tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP di động trên một đờng cố định khi M di động trên (d)

Câu 4(1điểm) Giả sử x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện :

x+y+z +xy+yz+zx = 6 Chứng minh rằng x2+y2+z2 3

Mã kí hiệu

T- HDTS10CH1-08

Hớng dẫn chấm tuyển sinh vàolớp10chuyên

Năm học: 2007- 2008 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài 150 phút)

(Đề này gồm 4 câu 3 trang)

Câu1(3đ) a)(1đ)

+ĐK x > 0 và x 1

0,5đ

P = ( 1)( 1)

1

= x- x +1 b)(1đ)

+biến đổi P = 1 2 3

+suy ra minP =3

4

đạt đợc khi x=1

4

c) (1đ) + Q =

1 1

x

x

Để ý rằng với x > 0 và x1 ta có

1

x x

  >1(theo BĐT Cauchy) Suy ra 0<Q<2.Vì Qnguyên nên Q=1 Suy ra x=7 3 5

2

 Thử lại đúng

0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

Câu 2(2đ) a)(1đ)

x   x x  x x  x

Do đó với mN* thì 3 3 3

x   x  x 

Từ đó x3m 1 x2  x 1

+Đặt n=3a+r (aN* ; r = 0,1,2) tacó

3n 1 2n 1 9a 3 1r 6a 2r 1

=x  3 3 2  3 2 2

Chia hết cho x2+x+1 khi và chỉ khi

x2r +x+1  x2+x+1 -Nếu r = 0 thì x2r +x+1=x+2 không chia hết cho x2+x+1

-Nếu r = 1 thì x2r +x+1= x2+x+1 chia hết cho

x2+x+1 -Nếu r = 2 thì x2r +x+1= x4+x+1=

x(x3-1)+2x+1 không chia hết cho x2+x+1 +Tóm lại với nN* , n chia cho 3 d 1 thì

x3n+1+x2n+1 chia hết cho x2 +x +1 b)(1đ)

+ ta có 36-1 =729-1=728  91

Do đó A= 38 +36 +32004

(3  3 ) (3   1) (3   1) 3    1 1

= 2 6 6   6 334 

3 (3  1) (3   1)  3  1 11  chia cho 91 d 11

0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Câu 3(4đ) a) 1(đ)

+ Ta có tứ giác MNOP nội tiếp +góc NMO và góc NPO là hai góc nội tiếp cùng chắn cung NO của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MNOP + suy ra NMO NPO b)(1đ) + gọi C là trung điểm của dây AB +suy ra CO vuông góc với CM hay C thuộc đuờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP +Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định là O và C c)(1đ) + Tứ giác MNOP là hình vuông khi và chỉ khi tam giác OMN vuông cân tại N Khi và chỉ khi OM = ON 2 Khi đó M là giao của đờng tròn tâm O bán kính R 2và đờng thẳng (d) d)(1đ) +Tâm I của đờng tròn nội tiếp Tam giác MNP là giao của ba đờng phân giác trong của Tam giác MNP +Suy ra I là trung điểm của cung NP và thuộc OM +vậy I di động trên cung lớn AB của đờng tròn tâm O bán kính R

0,25đ 0.5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Câu 4 (1điểm) + Ta có 2 1 2 x   x ; 2

1 2

y   y ; 2

1 2

(theo bất đẳng thức cô si ) +mặt khác ta lại có 2( 2 2 2

x y z  xy yz zx 

+cộng 4 bất đẳng thức trên theo từng vế ta đợc:

3( 2 2 2

x y z   x y z xy yz zx     = 6 +Suy ra 2 2 2

3

x y z 

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y = z = 1

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

A O

M

N

P

d A

B C