ĐỀ THI HSG BẬC THPT(có Đ.ÁN) 08-09 TỈNH VĨNH LONG

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

VĨNH LONG Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

-

-KỲ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Năm học 2008 – 2009 Môn thi : TOÁN

Thời gian làm bài : 180 phút

Bài 1 ( 4 điểm ) : Tìm các hàm số f ( x ) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện :

f x y   f x f y , x, y R    ( 1 )

Bài 2 ( 4 điểm ) : Cho dãy số u xác định bởi :n

n 1 n 2 n

2

 







Tìm số hạng tổng quát của dãy số u và tính n nlim un

 

Bài 3 ( 3 điểm ) : Chứng minh rằng : Nếu n là số tự nhiên chẵn và a là số thực lớn hơn 3 thì phương trình

n 1 x n 2 3 n 2 x  n 1 an 2 0

vô nghiệm

Bài 4 ( 3 điểm ) : Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi , 5 học sinh khá và 8 học sinh trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ , mỗi tổ 8 học sinh sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá

Bài 5 ( 3 điểm ) : Cho tam giác ABC vuông tại C có AE và BF là hai đường trung tuyến Đặt AE =

m , BF = n Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng :

2

2 2

Bài 5 ( 3 điểm ) : Bốn đường thẳng d ,d ,d ,d đôi một song song và không có ba đường thẳng nào1 2 3 4

nằm trên cùng một mặt phẳng Một mặt phẳng ( P ) cắt chúng theo thứ tự tại A , B ,C , D Một mặt phẳng ( P / ) cắt chúng theo thứ tự tại A , B ,C , D Chứng minh rằng hai khối tứ diện D/ / / / / ABC và DA B C có thể tích bằng nhau / / /

HẾT

-KỲ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Năm học 2008 – 2009

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN

Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của ( 1 ) theo biến x và y , ta được

f x y/  f x , x, y R/    ( 2 )

f x y/  f y , x, y R/    ( 3 )

1.5

( 2 ) – ( 3 ) : /  / 

f x f y , x, y R 

 

 

/

1.5

Thay f x  ax b vào ( 1 ) ta được b = 0

n 1

2







2un 1 unun 1

 2 u n 1  un  un un 1 

1

2

1.5

Xét dãy số v xác định bởi n vn un u , n 1, 2,3, n 1  ta có :

n 1 n

1

2

 

Do đó v là một cấp số nhân với n 1

1

v 1 , q

2

1.0

un un  un 1   un 1  un 2  u1 u0u0

n

1

v 1

1 2



 

  

1.0

5 lim u

3

a là số thực lớn hơn 3 , ta có :

 

n 2 /

n 2 n 2

x 0 y a



 



 



CT

Suy ra : y > 0 ,  x R

Do đó phương trình n 1 x n 2  3 n 2 x  n 1  an 2  0

Ta chọn 8 học sinh thỏa yêu cầu đề bài vào tổ 1 , 8 học sinh còn lại tạo

thành tổ 2

Chọn 1 HS giỏi , 2 HS khá , 5 HS trung bình có : 1 2 5

3 5 8

C C C cách

Chọn 1 HS giỏi , 3 HS khá , 4 HS trung bình có : 1 3 4

3 5 8

C C C cách

Chọn 2 HS giỏi , 2 HS khá , 4 HS trung bình có : 2 2 4

3 5 8

C C C cách

Chọn 2 HS giỏi , 3 HS khá , 3 HS trung bình có : 2 3 3

3 5 8

C C C cách

2.0

3 5 8 3 5 8 3 5 8 3 5 8

Đặt BC = a , AC = b , AB = c , ta có

2

2 2 2 a

4

2

2 2 2 b

4

Suy ra :

2

2 2 5c

4

 ( 1 )

0.75

ABC



 

0.75

Ta có : a b 2 a2b2

2 2

0.75

Mặt khác :

Suy ra :

2

2 c r 16

 ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có :

0.75

6 3.0

Gọi O = AC BD ,O/ A C/ /B D/ /

Do DD / // OO / nên

 

 

/ /

OO

/ / / /

/ / / /

OO

/ /

D ABC O ABC

DD

OO

/ / D.A B C O.A B C

DD

OO



1.0

d B , ACC A

O ABC B.O AC O AC

1

O.A B C B OA C OA C

1

1.0

Đặt d = ( AA / , CC / ) thì / / /

/

O AC OA C

1

2

Từ ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) suy ra điều phải chứng minh

1.0