Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn A - đặt vấn đề 1. Lời nói đầu: Toán học là một môn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết trong các lĩnh vực của cuộc sống, từ xa xa con ngời đã biết đến toán học thông qua việc đo đạc, tính toán . Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác. Trong nhà trờng, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán có tính trừu tợng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm. Vì vậy, làm thế nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cô và cha mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học. Phơng trình là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học toán từ cấp II đến cấp III và các cấp cao hơn. Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bị cho mình những kiến thức thật vững chắc về phơng trình. Trong chơng trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đa ra cách giải phơng trình bậc nhất và bậc hai đơn giản. Đối với các em học sinh thì việc giải các phơng trình đó không gây khó khăn nhiều. Nhng khi gặp một số phơng trình bậc cao thì các em thờng lúng túng, cha tìm ngay đợc các cách giải cho bài toán. Ngay cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết phơng trình này. Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao trong ch- ơng trình toán THCS và các bài tập minh họa. 2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài. - Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đa về các ph- ơng trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc. - Các ví dụ minh hoạ. - Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao một ẩn. - Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập. 3. Đối t ợng nghiên cứu . - Học sinh ở lứa tuổi 14 - 15 ở trờng THCS vì đa số các em chăm học, thích học toán và bớc đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tơng đối ổn định. - Đối tợng khảo sát Học sinh lớp 9 trờng THCS xã Bình Lơng huyện Nh Xuân - Thanh Hoá đợc phân loại theo học lực Giỏi - Khá - Trung Bình - Yếu- Kém. Trang 1 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn 4. Ph ơng pháp nghiên cứu - Tham khảo, thu thập tài liệu. - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm. - Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học. 5. Dự kiến các kết quả đạt đ ợc của đề tài . Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trờng THCS trong việc học và giải phơng trình bậc cao một ẩn. Qua đó các em có phơng pháp giải nhất định tránh tình trạng định hớng giải cha đúng, lúng túng trong việc trình bày cách giải, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Trang 2 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn B. Nội dung đề tài I. Một số kiến thức cơ sở về ph ơng trình bậc cao I.1.Cơ sở lý luận 1> Khái niệm về ph ơng trình một ẩn : Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x. Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x gọi là ẩn Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm Mỗi biểu thức là một vế của phơng trình Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình 2> Định nghĩa hai ph ơng trình t ơng đ ơng Hai phơng trình gọi là tơng đơng nếu tập hợp các nghiệm của chúng bằng nhau. 3> Các phép biến đổi t ơng đ ơng các ph ơng trình Định nghĩa phép biến đổi tơng đơng các phơng trình: Biến đổi một phơng trình đã cho thành một phơng trình khác tơng đơng với nó, nhng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tơng đơng. a) Định lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phơng trình thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ: 3x= 27 3x + 2x = 27 + 2x Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phơng trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với ph- ơng trình đã cho Ví dụ: 5x + 7 = 16x - 3 5x - 16x = -3 -7 Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho Trang 3 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn Ví dụ: 7x 3 + 8x - 5=14 + 7x 3 8x -5 = 14 b. Định lý 2: Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ: 204181029 2 1 =+=+ xxxx I-2. Các dạng ph ơng trình 1. Ph ơng trình bậc nhất một ẩn : 1.1. Định nghĩa: Phơng trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0, đợc gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn . 1.2. Tập xác định: Tập xác định của phơng trình là R 1.3.Cách giải Phơng trình bậc nhất ax + b = 0 có nghiệm duy nhất a b x = 2.Ph ơng trình bậc hai một ẩn số : 2.1.Định nghĩa: Phơng trình bậc hai có một ẩn số là phơng trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn số, a, b, c là các hệ số đã cho, a 0. Nghiệm của phơng trình bậc hai là những giá trị mà khi thay vào vế trái của phơng trình ta đợc giá trị của vế trái bằng 0. 2.2. Cách giải - Ta dùng các phép biến đổi tơng đơng, biến đổi phơng trình đã cho về các dạng phơng trình đã biết cách giải (phơng trình bậc nhất, phơng trình dạng tích) để tìm nghiệm của phơng trình. - Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt số của phơng trình: = b 2 - 4ac gọi là biệt số của phơng trình bậc hai vì biểu thức = b 2 - 4ac quyết định nghiệm số của phơng trình bậc hai Trang 4 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn Ta thấy có các khả năng sau xảy ra : a) < 0 phơng trình bậc hai vô nghiệm b) =0 phơng trình bậc hai có nghiệm kép ( hai nghiệm trùng nhau ) a b xx 2 21 == c) >0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: a b x 2 1 + = ; a b x 2 2 = 2.3. Hệ thức Viet. Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là : S = x 1 +x 2 = - a b P = x 1 .x 2 = a c 3. Ph ơng trình bậc cao một ẩn . 3.1. Dạng tổng quát của ph ơng trình bậc cao một ẩn Phơng trình tổng quát bậc n có dạng: a n x n + a n-1 x n-1 + .+a 1 x+a 0 = 0 (a n 0) Trong đó: x là ẩn số, a n , .,a 0 : là các hệ số Đối với phơng trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìm nghiệm của nó. Ngay cả trong trờng hợp là phơng trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù có công thức nhng việc tìm nghiệm của phơng trình cũng hết sức phức tạp nằm ngoài chơng trình THCS, THPT. Ta cũng có hệ thức Viet liên quan giữa các nghiệm của phơng trình đại số bậc cao. 3.2. Định lí Viet cho ph ơng trình bậc n một ẩn : Cho phơng trình bậc n: a n x n + a n-1 x n-1 + .+a 1 x+a 0 = 0 (a n 0) Giả sử phơng trình có n nghiệm x 1 , .,x n , trong các nghiệm đợc kê ra một số lần bằng bội của nó, khi đó ta có hệ thức Viet sau: n n n a a xx 1 1 . =++ Trang 5 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn n n nn a a xxxxxx 2 14321 . =+++ k n kn iii a a xxx k )1( . 21 = với 1i 1 <i 2 < .<i k n n n a a xxx 0 21 )1( . = Đảo lại: Cho trớc n số bất kỳ x 1 x 2 , .x n Đặt S 1 = x 1 + .+x n S 2 =x 1 x 2 + x 3 x 4 + .+x n-1 x n S k = k iii xxx . 21 với 1 i 1 < i 2 < . < i k <n S n =x 1 x 2 .x n Khi đó x 1 x 2 , .,x n là nghiệm của phơng trình sau: x n - S 1 x n-1 + S 2 x n-2 + . +(-1) k S n = 0 Ví dụ: Định lý Viet cho phơng trình bậc ba có dạng sau: Cho phơng trình bậc ba: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 . Khi đó: a b xxx =++ 321 a c xxxxxx =++ 433221 a d xxx = 321 - Hệ thức Viet cho phơng trình bậc bốn : ax 4 + bx 3 +cx 2 +dx +e =0 Có dạng nh sau: a b xxxx =+++ 4321 a c xxxxxxxxxxxx =+++++ 434232413121 a d xxxxxxxxxxxx =+++ 432421431321 a c xxxx = 4321 II. Một số ph ơng pháp giải một số loại ph ơng trình đại số bậc cao một ẩn : Trang 6 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn Khi gặp các phơng trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải song trong đề tài này tôi đề cập đến hai phơng pháp cơ bản để giải phơng trình đại số bậc cao. Đó là: + Phân tích đa thức thành nhân tử, đa phơng trình về dạng phơng trình tích. + Đặt ẩn phụ II.1. Sử dụng ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử . 1.Cơ sở lý luận: Ta biết rằng phơng trình: = = = 0)( 0)( 0)().( xg xf xgxf Vì vậy phơng trình bậc cao nếu ta phân tích đợc vế trái thành nhân tử thì sẽ đa phơng trình về dạng phơng trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạng ph- ơng trình quen thuộc đã biết cách giải. 2. Nội dung Trong nội dung nghiên cứu khi phân tích đa thức thành nhân tử tôi thờng h- ớng dẫn học sinh sử dụng các phơng pháp sau: a. Đặt nhân tử chung b. Dùng hằng đẳng thức c. Nhóm nhiều hạng tử d. Tách hạng tử e. Thêm bớt cùng một hạng tử đ. Phối hợp nhiều phơng pháp Ví dụ: Giải phơng trình sau: a) 7x 3 - 63 x=0 7x(x 2 -9)=0 7x (x-3)(x+3)=0 =+ = = 03 03 0 x x x = = = 3 3 0 x x x Trang 7 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm: x=0; x=3; x=-3 b) x 3 -6x 2 + 12x - 8 =0 (x-2) 3 =0 x-2=0 x=2 Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm x=2; c)x 3 - 3x 2 + 6x - 18 = 0 (x 3 - 3x 2 ) + ( 6x - 18 ) = 0 x 2 (x-3) + 6( x-3) = 0 ( x 2 + 6 )(x-3) = 0 ( 1) Vì x 2 0 x nên x 2 + 6 6 x x 2 + 6 > 0 x ( 2) Từ (1) và (2) x-3=0 x=3 Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm : x= 3 d) x 4 + 3x 2 - 28 = 0 x 4 + 7x 2 - 4x 2 - 28 =0 x 2 (x 2 -4) + 7(x 2 -4) = 0 (x 2 + 7)(x 2 - 4) =0 (x 2 +7 )(x-2)(x+2)=0 (1) Vì x 2 0 x nên x 2 + 7 7 x x 2 + 7 > 0 x ( 2) Từ (1), (2) (x-2) (x+2)=0 =+ = 02 02 x x = = 2 2 x x Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm x=2; x=-2 e) x 3 - 7x-6 =0 x 3 + 8 -7x - 6- 8=0 (x 3 + 8) -(7x+14)=0 (x+2)(x 2 -2x+4) - 7(x+2) =0 (x+2)(x 2 -2x-3)=0 = =+ 032 02 2 xx x =++ =+ 0)1(2)1)(1( 02 xxx x Trang 8 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn = =+ =+ 03 01 02 x x x = = = 3 1 2 x x x Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm x=-1; x=-2; x=3 * Ngoài các phơng pháp trên ta còn sử dụng định lí Bơzu giúp các em nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử . Định lí Bơzu đợc phát biểu nh sau : Phần d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a . - Khai thác cách nhẩm nghiệm : a n x n + a n-1 x n-1 + .+a 1 x+a 0 = 0 (1) ( a i Z ) +) Nếu a n + a n-1 + .+a 1 + a 0 = 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm x = 1 +) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phơng trình (1) có nghiệm x = - 1 +) Nếu số hữu tỉ x = q p ( p , q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phơng trình (1) thì p là ớc của a 0 , q là ớc của a n . Ví dụ : Giải phơng trình : x 4 - 2x 3 + x 2 - 4 = 0 (*) Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phơng trình (*) nhận x =- 1là nghiệm . Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phơng trình (*) chia hết cho x + 1, do đó phơng trình (*) có thể viết đợc dới dạng : (x +1 ). ( x 3 - 3x 2 + 4x - 4 ) = 0 x + 1 = 0 (1) x 3 - 3x 2 + 4x - 4 = 0 (2) (1) x+1 = 0 x = - 1 (2) x 3 - 3x 2 + 4x - 4 = 0 T a thử các ớc của 4 và thấy x = 2 là nghiệm của (2), nên (2) phân tích đợc thành : ( x - 2) . ( x 2 -x + 2 ) = 0 x -2 = 0 x = 2 x 2 - x + 2 = 0 '< 0 : vô nghiệm Vậy phơng trình (*) có hai nghiệm là x = -1 ; x = 2 . Bài toán áp dụng: Trang 9 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn 1. Giải phơng trình: a) 3x 4 -12x 2 = 0 b) x 3 + 14x 2 - 4x - 56 =0 c) 2x 3 + 11x +9 =0 d) x 16 +x 8 -2 =0 e) 2x 4 + 5x 3 -35x 2 + 40x-12=0 2. Cho phơng trình : 2x 3 -(1+4m)x 2 + 4(m 2 -m+1)x -2m 2 + 3m -2=0 a. Xác định m để phơng trình đã cho có 3 nghiệm dơng phân biệt b. Giải phơng trình với m=1 H ớng dẫn 2a) 2x 3 -(1+4m)x 2 + 4(m 2 -m+1)x - 2m 2 +3m -2 =0 (*) 2x 3 -x 2 -4mx 2 + 2x(2m 2 -3m+2+m)-2m 2 +3m-2=0 x 2 (2x - 1) -4mx 2 + 2mx +2x(2m 2 -3m+2) -(2m 2 -3m +2)=0 x 2 (2x - 1) -2mx(2x-1) + (2m 2 -3m+2)=0 =++ = 02322 012 22 mmmxx x (1) 2x-1=0 2 1 = x (2) x 2 -2mx+2m 2 -3m+2=0 Ta thấy phơng trình (*) luôn có 1 nghiệm 2 1 = x Muốn phơng trình (*) có 3 nghiệm dơng phân biệt thì phơng trình (2) phải có 2 nghiệm dơng phân biệt khác 2 1 Đặt f(x)=x 2 -2mx +2m 2 -3m +2 thì f(x) phải thỏa mãn các điều kiện sau: > > > 0 0 0' 0) 2 1 ( P S f >+ > >++ + 0232 02 033 09168 2 2 2 mm m mm mm Trang 10 (1) (2) [...]... trình bậc hai trung gian: ay2 + by + c=0 Giải phơng trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm đợc của y vào (2) ta đợc phơng trình bậc hai rút gọn với biến x ( y 0) Giải phơng trình này ta đợc nghiệm của phơng trình trùng phơng ban đầu Trang 11 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn c.Ví dụ: * Ví dụ 1: Giải phơng trình x4 -3x2 +2 =0 (1) Giải : Đặt y=x2 (y 0) Phơng trình (1) trở... dụ 2 : Việc giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta cũng quy về giải phơng trình bậc hai ở ví dụ 3 : để giải phơng trình trùng phơng ta hạ bậc bằng cách đặt ẩn phụ để giải phơng trình bậc hai và lu ý ẩn phụ có điều kiện không âm D Hớng dẫn về nhà : - Xem lại các ví dụ và bài tập đã làm - Làm bài tập 1(a ;d) ; bài 2 ; bài 3 ; bài 4 ; bài 5b - GV hớng dẫn bài 5b Trang 31 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình... thông học sinh còn gặp một số dạng phơng trình sau: Trang 19 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn 2.4.1 Phơng trình dạng : ax2n + bxn +c = 0 ( a 0) a) Cách giải: Đặt xn = y sau đó đa về phơng trình bậc hai đối với biến y: ay2 + by + c = 0 b)Ví dụ minh hoạ: * Ví dụ 1: Giải phơng trình: x6 - 3x3 + 2 = 0 (1) Giải : Đặt x3 = y Phơng trình ( 1) trở thành y2 -3y +2 =0 y1=1 y2=2 Thay trở lại... sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn E Giáo án tiết dạy chuyên đề Tiết 54 : Phơng trình quy về phơng trình bậc hai I Mục tiêu : - Học sinh biết giải một số phơng trình có thể biến đổi về dạng phơng trình bậc hai - Rèn luyện kỹ năng giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai - Phát triển t duy của học sinh II Chuẩn bị Bài soạn và một số kiến thức bổ tự cho bài giảng Học sinh : ôn cách giải phơng... (4) x4 -5x2 +4 =0 (5) Hãy giải các phơng trình bậc hai đó ? Đặt vấn đề : Các phơng trình (1), (3), (5) không phải là phơng trình bậc hai Tuy nhiên để giải đợc các phơng trình nh thế này ta có thể biến đổi đa về dạng phơng trình bậc hai bài mới B- Tổ chức cho học sinh tiếp nhận nội dung kiến thức : Trang 29 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn Ví dụ 1 : Giải phơng trình : x3 +7x2... ? Giải bằng cách nào ? Nếu học sinh không trả lời đợc, GV có thể gợi ý Ta đa về giải hai phơng trình x=0 ; x2 + Có nhận xét gì về các hạng tử của vế +7x-8=0 trái ? Vậy phơng trình đã cho có 3 + Đặt nhân tử chung của vế trái ? nghiệm : x1=0 ;x2=1 ;x3 =-8 - GV : Vế trái của phơng trình đã phân tích thành nhân tử trong đó có 1 nhân tử bậc 1 và 1nhân tử bậc hai Việc giải phơng trình đã cho quy về việc giải. .. trình bậc hai Ví dụ 2 : Giải phơng trình : 1 1 + =1 x x 1 - Cho biết dạng của phơng trình này ? - Nêu cách giải phơng trình chứa ẩn ở TXĐ : x 0 ; x 1 mẫu ? x-1 +x =x(x-1) - HS lên bảng giải x2 -3x +1=0 - HS cả lớp nhận xét, bổ sung = (-3)2 -4 =5>0 x1 = x2 = - GV nêu ví dụ 2 : 3+ 5 TXĐ 2 3 5 TXĐ 2 Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm : x1 = 3+ 5 2 ; x2 = 3 5 2 Ví dụ 3 : Giải phơng trình : x4 -5x2... trình bậc bốn đối xứng là phơng trình dạng:ax4 +bx3 +cx2 +bx +a=0 (a 0) b Cách giải : Trang 13 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn Vì x=0 không phải là nghiệm của phơng trình nên ta chia cả hai vế của phy = x+ ơng trình cho x2 rồi đặt: 1 x ( y 2) c.Ví dụ *Ví dụ 1: Giải phơng trình: 3x4 +2x3 -34x2 +2x +3=0 Giải: Phơng trình trên là phơng trình đối xứng( các hệ số có tính đối xứng )... phơng trình trùng phơng mà ta đã biết cách giải b)Ví dụ: *Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x+5)4 + (x+9)4 =82 (1) Đặt y=x+7 khi đó phơng trình ( 1) trở thành: (y-2)4 + (y+2)4 =82 2y4 + 48y2 + 32 = 82 y4 +24y2 -15=0 Đặt t=y2 với t 0 t = 1 Ta có phơng trình : t2 + 24t -25 =0 t = 25 (loại) Với t=1 ta có : y2 =1 y=1 hoặc y=-1 Trang 21 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn Nếu t=1 x+7... t =- 1 x+7= - 1 x=-8 Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm : x=-6 ; x=-8 *Ví dụ 2: Cho phơng trình sau: (x+m)4 + ( x+m+2)4 =n (1) a.Tìm điều kiện của m và n để phơng trình có nghiệm b .Giải phơng trình với m=3, n=2 Giải a .Giải phơng trình (1) (x+m)4 + ( x+m+2)4 =n ( 2) Đặt y =x+m+1 Phơng trình trở thành: (y-1)4 + (y+1)4 =n 2y4 +12y2 +2-n=0 (3) Đặt t=y2 ta đợc: 2t2 +12t +2-n=0(4) Để phơng trình (1) có . trờng THCS trong việc học và giải phơng trình bậc cao một ẩn. Qua đó các em có phơng pháp giải nhất định tránh tình trạng định hớng giải cha đúng, lúng túng. Trang 11 Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn c.Ví dụ: * Ví dụ 1 : Giải phơng trình x 4 -3x 2 +2 =0 (1) Giải : Đặt y=x 2 (y 0). Phơng trình