Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.. Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức P=3sinα+ 3 cosα có giá trị lớn nhất?. Cho biết giá trị lớn nhất đó.. Cho đờ
Trang 1UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
A
=
1 Tìm x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A
2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (4,0 điểm)
Cho phơng trình x2−2mx m+ 2− − =m 6 0 ( m là tham số).
1 Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x và 1 x sao cho2
18 7
x + x = .
2 Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x và 1 x sao cho2
x + x =
Bài 3: (3,0 điểm)
1 Cho bốn số thực bất kì , , ,a b c d Chứng minh:
( 2 2) ( 2 2)
ab cd+ ≤ a +c b +d
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
2 Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức P=3sinα+ 3 cosα có giá trị lớn
nhất ? Cho biết giá trị lớn nhất đó
Bài 4: (6,0 điểm)
1 Cho đờng tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên cung lớn BC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC Gọi M là trung điểm của CD Hỏi M di chuyển trên đờng nào ? Nêu cách dựng đờng này và giới hạn của nó
2 Trong hình bên, cho biết M là trung điểm của
AC và các đờng thẳng AD, BM và CE đồng qui
tại K Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là
10 và 20 Tính diện tích tam giác ABC
Bài 5: (3,0 điểm)
1 Tìm số tự nhiên n để n+18 và n−41 là hai số chính phơng
2 Tớnh số cỏc ụ nhỏ nhất phải quột sơn trờn một bảng để cho bất kỡ vựng nào đú trờn bảng này cũng chứa ớt nhất 4 ụ đó quột sơn
Hết
Trang 2UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2007 - 2008
Môn : toán
Đáp án và thang điểm:
1 (4 điểm)
1.1
(2 đ) Để A có nghĩa, trớc hết x≥0 Đặt t = x x( ≥0)
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )
2
A
Để biểu thức A có nghĩa thì:
Khi đó, rút gọn ta đợc:
A
1,0 0,5 0,5
1.2
(2 đ) 2( 12) (2( 2)2)3 12 2( 3 2)
t t
A
− + +
Để A là số nguyên thì x nguyên và t−2 phải bằng 1± hoặc ±3
- Nếu t− = − ⇔ =2 1 t 1 ( loại vì trái điều kiện (*))
- Nếu t− = − ⇔ = − <2 3 t 1 0 (loại)
- Nếu t− = ⇔ = ⇔ =2 1 t 3 x 9 và A=2
- Nếu t− = ⇔ = ⇔ =2 3 t 5 x 25 và A=1 Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì x=9 và x=25
0,5 0,5 0,5 0,5
2.1 Để phơng trình x2−2mx m+ 2− − =m 6 0 có hai nghiệm thì:
Với điều kiện (1),
2
+
⇔ − − = ⇔ = − = (thỏa điều kiện (1) và đều khác -2 và
0,5 0,5
Trang 3Khi đó (2) ( )2 2
+ Nếu x và 1 x trái dấu thì2
2
x x < ⇔m − − =m m+ m− < ⇔ − < <m (4)
+ Vậy, để x1 + x2 =8 thì m= ±4
3.1 Ta có:
( 2 2) ( 2 2) ( )2 ( 2 2) ( 2 2)
0≤ ab cd+ ≤ a +c b +d ⇔ ab cd+ ≤ a +c b +d
a b c d abcd a b a d b c c d
d bất kì
Vậy: 0≤ ab cd+ ≤ (a2+c2) (b2+d2),∀a b c d, , , ∈R
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad bc− =0 hay c d(a 0,b 0)
0,5 0,5
0,5
3.2 áp dụng kết quả trên, ta có:
P= α + α > nên
max 2 3
α
α
1,0 0,5
4 (6,0 điểm)
4.1 + Ta có: Tam giác ACD cân tại A (gt)
nên ãBAC=2ãADC (Góc BAC là góc ngoài của tam giác ACD) + Gọi I là trung điểm của BC, ta có MI //BD (đờng trung bình của tam giác BCD), nên:
IMC BDC= = BAC= BOC=α
(α =ãBOC không đổi)
+Do đó: M chạy trên cung tròn nhìn đoạn IC dới góc 4α không đổi
0,5
0,5
1,0
Trang 4+ Dựng tia OI cắt đờng tròn (O) tại N, ta
2
NBC= BAC BDC IMC= = + Dựng tia In BN'// , dựng đờng thẳng qua
I và vuông góc với In cắt trung trực đoạn'
IC tại O1 Đờng tròn tâm O1 và đi qua C là
đờng cần dựng
+ Khi A chạy trên cung lớn BC tới trùng với A thì D trùng với D trên0
tiếp tuyến Bt của (O) và BD0 = BC , khi đó M trùng với M0 là trung
điểm của CD0 + Vậy M chỉ di chuyển trên cung lớn CM0 của đờng tròn (O1)
0,5
0,5
0,5 0,5
AKE BKE
∆
∆
ì
2
ACE
BCE
S
S
∆
∆
CKM
∆
∆
Đặt x S= ∆AKM =S∆CKM, ta có:
2
BCK
Do đó: S∆ABC =S∆AKB+S∆BCK +S∆AKC = +10 20 30 2+ + x=75
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5
5.1 Để n+18 và n−41 là hai số chính phơng
2
18
⇔ + = vàn−41=q p q2( , ∈N)
Nhng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30
Từ n+ =18 p2 =302 =900 suy ra n=882
0,5 0,5
Trang 55.2 + Dọc theo chiều ngang sát sát cạnh trên của bảng có 3 vùng ở 3 vị
trí A B C D A B C D A B C D Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô,1 1 1 1, 2 2 2 2, 3 3 3 3
ta có thêm 3 vùng Dịch chuyển xuống theo chiều dọc một ô nữa, ta có
thêm 3 vùng Do đó có 9 vùng con của bảng , mỗi vùng con
đều chứa 5 ô vuông con 1 1ì thuộc hình chữ thập đã tô màu 0,75
+ Nếu chỉ quét sơn nh hình vẽ bên thì mỗi vùng con
đều chứa 4 hoặc 5 ô 1 1ì đợc quét sơn
Vậy: Để mỗi vùng con của bảng chứa ít
nhất 4 ô 1 1ì đợc quét sơn, thì chỉ cần quét số ô nhỏ
nhất là 7 ô nh hình vẽ bên
0,75