Hướng dẫn học sinh THCS giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất

Hướng dẫn học sinh giải toán về phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số là một trong những yêu cầu quan trọng trong dạy học Toán ở Trung học cơ sở.. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Hải Lý - giảng viên khoa Toán - Lý - Tin trường Đại học Tây Bắc đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Để hoàn thành khóa luận, tôi cũng nhận được sự giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, tài liệu và phòng Khoa học công nghệ và Quan hệ quốc tế, Thư viện và một số phòng ban, khoa trực thuộc Trường Đại học Tây Bắc

Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên lớp k52 ĐHSP Toán Lý đã động viên, đóng góp ý kiến và đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi làm khóa luận này

Vì thời gian có hạn, khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 05 năm 2015

Người thực hiện Nguyễn Thị Anh Phương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn khóa luận 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Mục đích nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4.1 Đối tượng nghiên cứu 2

4.2 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

5.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận 2

5.2 Phương pháp điều tra quan sát 2

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 2

6 Cấu trúc của khóa luận 2

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1.1 Cơ sở lí luận chung 3

1.1.1 Quan niệm về bài toán 3

1.1.2 Vị trí, chức năng của bài toán 3

1.1.3 Phương pháp chung tìm lời giải bài toán 4

1.1.4 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán 7

1.2 Biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số trong chương trình Toán học Trung học cơ sở 8

1.2.1 Biến đổi đồng nhất 8

1.2.2 Vị trí, vai trò của phép biến đổi đồng nhất trong chương trình môn Toán Trung học cơ sở 8

1.3 Thực trạng việc hướng dẫn học sinh THCS giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất 8

Chương 2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH THCS GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT 11

2.1 Bài toán về chứng minh đẳng thức 11

2.2 Bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử 17

2.3 Bài toán về rút gọn biểu thức 27

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 41

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 41

3.2 Nội dung thực nghiệm 41

3.3 Tổ chức thực nghiệm 41

3.4 Tiến hành thực nghiệm 41

3.6 Kết luận rút ra từ thực nghiệm 44

KẾT LUẬN: 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn khóa luận

Hiện nay cuộc cách mạng khoa học công nghệ đang phát triển nhảy vọt trên phạm vi toàn cầu, thúc đẩy sự thành công của quá trình công nghệp hóa, hiện đại hóa đất nước, trong đó tri thức là nền tảng, là nguồn lực con người đóng vai trò then chốt

Tại điều 2, chương 1 của luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam thông qua ngày 14 tháng 6 năm 2005 viết: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe và thẩm mĩ, có nghề nghiệp, trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa

xã hội, hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”

Hướng dẫn học sinh giải toán về phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại

số là một trong những yêu cầu quan trọng trong dạy học Toán ở Trung học cơ

sở Các bài toán giải bằng cách áp dụng phép biến đổi đồng nhất có rất nhiều cơ hội khai thác, bồi dưỡng cho học sinh tư duy lôgic và đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành năng lực trí tuệ chung cho học sinh

Chính vì vậy, việc nghiên cứu, tìm tòi, xây dựng các bài toán, phân dạng các bài toán có thể vận dụng giải được bằng phép biến đổi đồng nhất là rất cần thiết và hữu ích cho học sinh, cho giáo viên Toán ở trường Trung học cơ sở

Với những lí do trên tôi chọn khóa luận: “Hướng dẫn học sinh THCS giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất ở trường Trung học cơ sở

3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề lí luận có liên quan như:

Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số trong chương trình toán Trung học cơ sở

Nghiên cứu vị trí, vai trò của phép biến đổi đồng nhất trong chương trình Toán Trung học cơ sở

Tìm hiểu thực trạng việc hướng dẫn học sinh giải một số toán về phép biến đổi đồng nhất ở trường Trung học cơ sở

Đề xuất giải pháp sư phạm rèn luyện việc hướng dẫn học sinh Trung học

cơ sở giải toán về phép biến đổi đồng nhất

Thực nghiệm sư phạm để bước đầu đánh giá kết quả nghiên cứu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất trong chương trình Toán Trung học cơ sở

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu tài liệu liên quan đến khóa luận, đọc và hệ thống các tài liệu có liên quan đến cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu và tài liệu liên quan đến bài toán về phép biến đổi đồng nhất cho học sinh Trung học cơ sở và một số vấn đề

lí luận có liên quan

5.2 Phương pháp điều tra quan sát

Nghiên cứu, tìm hiểu việc giải toán về phép biến đổi đồng nhất cho học sinh Trung học cơ sở

5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm để bước đầu đánh giá kết quả nghiên cứu

6 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục tài liệu tham khảo đề tài bao gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Hướng dẫn học sinh Trung học cơ sở giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận chung

1.1.1 Quan niệm về bài toán

Bài toán là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn

ở người giải tại thời điểm được đưa ra

1.1.2 Vị trí, chức năng của bài toán

Ở trường Trung học cơ sở, bài tập có vai trò quan trọng trong môn Toán, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh, các bài toán ở trường Trung học cơ sở là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững kiến thức, phát triển tư duy và hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực tiễn hoạt động nhất định, bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học Chính vì vậy mà vai trò của bài tập toán được thể hiện cả trên ba phương diện

Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập Toán học ở trường

Trung học cơ sở là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động

đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán,

Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập Toán học là giá

mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Những bài tập toán học còn là phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết

Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập Toán còn là giá mang

hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động bằng những hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học Đảm bảo trình độ xuất phát Gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố và kiểm tra, … Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh… Một bài tập có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt

Để dạy học giải bài tập, ta cần chú ý những điểm sau:

- Xây dựng, chọn lọc bài toán bao gồm:

+) Bài tập tương tự với bài tập trong sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình

+) Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa kiến thức

+) Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi

- Thực hiện các bước tìm lời giải

- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy trình bốn bước của G.Pôlya

1.1.3 Phương pháp chung tìm lời giải bài toán

Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán Đó là điều ảo tưởng Ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng

dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể

và cần thiết

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Pôlya về cách giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán gồm 4 bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Trước hết, phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh” của bài toán, càng sáng sủa, rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là các chi tiết rắc rối Cần “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: Bài toán này thuộc vùng kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ giải quyết được vấn đề gì?

Sau đó, cần phân biệt cái gì đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; phát biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu nội dung bài toán; có thể dùng công thức, hình vẽ, kí hiệu để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho học sinh, khiến cho học sinh thích giải bài toán đó, và gợi sự “tò mò” muốn tìm lời giải cho đề toán

Bước 2: Tìm cách giải

Đây là bước quan trọng nếu không nói là quan trọng nhất trong việc giải bài toán Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ có thể đưa ra lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được đúng hướng hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công hơn Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt, càng nhuần nhuyễn thì càng dẫn tới thành công hơn; và càng nhiều thành công, càng giải được nhiều bài toán thì chúng càng trở thành “của mình”, thành những “kinh nghiệm sống” chứ không phải chỉ là những chỉ dẫn khô khan

Việc tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ giải với một bài toán cũ tương tự, một môi trường riêng, một bài toán tổng hay một bài toán nào

đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp Toán học, toán dựng hình, quỹ tích,…

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ càng từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được đối chiếu kết quả với một tri thức có liên quan

Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng để tìm được cách giải hợp lý nhất cho bài toán

Bước 3: Trình bày lời giải

Khi đã tìm được cách giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau Việc trình bày lời giải là văn bản

để đánh giá kết quả hoạt động của bài toán

Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách lập luận tạm thời, cảm tính Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Phải chú ý đến trình

tự các chi tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải Không có chi tiết nào

“bỗng nhiên” xuất hiện mà căn cứ vào những kiến thức đã học những chi tiết mà

ta trình bày trước đó

Trình bày các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khác với trình tự đã trình bày lời giải để sắp xếp các vệc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

và lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc

Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải:

Bao gồm một số việc như sau:

+ Kiểm tra lời giải bài toán cả về mặt định tính và mặt định lượng

+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

+ Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

* Những lưu ý khi dạy học giải bài tập toán học: Để dạy học giải bài tập toán học, ta cần lưu ý những điểm sau:

- Xây dựng, chọn lọc bài tập bao gồm:

+ Bài tập tương tự với sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình

+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa kiến thức

+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi

- Thực hiện các bước tìm tòi lời giải

- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy trình 4 bước của G.Pôlya

1.1.4 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết phải nắm vững các yêu cầu của lời giải bài toán Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt Cụ thể là:

i Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ, … thỏa mãn các yêu cầu đề ra Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức

2i Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

- Luận đề phải nhất quán

- Luận cứ phải đúng

- Luận chứng phải hợp lôgic

3i Lời giải phải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa là: Lời giải phải không được bỏ sót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia các trường hợp không được thiếu khả năng nào

4i Ngôn ngữ chính xác

Đây là một yêu cầu về giáo dục, tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

5i Trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mĩ thuật

Yêu cầu này đặt ra đối với tất cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu,…) trong lời giải

6i Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các cách giải đã tìm được

7i Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Bốn yêu cầu từ i) đến 4i) là bốn yêu cầu cơ bản; 5i) là yêu cầu về mặt trình bày; 6i) 7i) là yêu cầu đề cao

1.2 Biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số trong chương trình Toán học Trung học cơ sở

1.2.1 Biến đổi đồng nhất

Biến đổi đồng nhất có thể hiểu là phép biến đổi từ biểu thức này thành biểu thức kia sao cho giá trị của hai biểu thức này bằng nhau với mọi giá trị của các chữ có mặt trong biểu thức

1.2.2 Vị trí, vai trò của phép biến đổi đồng nhất trong chương trình môn Toán Trung học cơ sở

Trong phân phối chương trình môn Toán Trung học cơ sở của Bộ giáo dục

và đào tạo thì phép biến đổi đồng nhất không dạy tường minh, nó được trình bày xen kẽ trong hầu hết các nội dung về biểu thức đại số và chúng được tích hợp dần đối với học sinh

Hướng dẫn học sinh giải toán về phép biến đổi đồng nhất ở trường Trung học cơ sở là một trong những yêu cầu quan trọng bậc nhất trong dạy học Toán ở Trung học cơ sở Các dạng toán để hướng dẫn học sinh biến đổi đồng nhất rất đa dạng như: thực hiện phép toán, chứng minh các biểu thức bằng nhau (còn gọi là chứng minh hằng đẳng thức), rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức với một bộ giá trị của các biến, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh một biểu thức không phụ thuộc vào biến, một số bài về giải phương trình (bất phương trình, hệ phương trình) mà khi giải phải biến đổi các biểu thức có mặt trong phương trình (bất phương trình, hệ phương trình) đó

1.3 Thực trạng việc hướng dẫn học sinh THCS giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất

Để tìm hiểu thực trạng việc dạy học môn Toán ở trường THCS, chúng tôi

đã tiến hành điều tra trên hai đối tượng: Giáo viên và học sinh Tuy nhiên việc

giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh ở việc hướng dẫn và giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất còn nhiều hạn chế Qua điều tra chúng tôi thu được kết quả như sau:

Bảng 1 Bảng điều tra giáo viên trường: THCS Tân Sơn - Phú Thọ

Hệ đào tạo Chất lượng

giảng dạy

Danh hiệu dạy giỏi cấp Thạc

sĩ

Đại học

Cao đẳng

Giỏi Khá Trung

bình Tỉnh Huyện Trường

Nhận xét: Qua điều tra cho thấy đa số giáo viên trẻ tuổi mới bước vào

nghề, chưa có kinh nghiệm, chưa hình thành phương pháp và kĩ năng giải toán cho học sinh

Về trình độ đào tạo có hai giáo viên đạt trình độ đại học và hai giáo viên đạt trình độ cao đẳng

Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi, tuy số lượng còn ít và chưa nhiều giáo viên đạt danh hiệu các cấp nhưng đội ngũ giáo viên luôn trau dồi kiến thức và nghiệp vụ sư phạm, nhiệt tình trong giảng dạy

Bảng 2 Bảng điều tra học sinh trường THCS Tân Sơn - Phú Thọ

Bảng điều tra học sinh lớp 8A, 8B, 8C trường THCS Tân Sơn - Phú Thọ

STT Lớp Giới tính Dân tộc Xếp loại học tập (môn toán)

Nam Nữ Giỏi Khá Trung bình Yếu

1 8A 27 13 17 1 24 15 0

2 8B 19 26 20 5 18 22 0

3 8C 16 25 15 2 27 12 0

Nhận xét:

Về phía học sinh, qua điều tra và quan sát tôi có một số nhận định như sau:

Đa số các em là người dân tộc, các em chưa có phương pháp học tập tốt Bên cạnh đó là hạn chế về tài liệu tham khảo, điều kiện học tập, đa số các em còn phải vừa học vừa giúp đỡ gia đình Các em chủ yếu là học sinh trung bình nên khả năng phân tích - tìm lời giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất còn hạn chế Vì vậy việc chọn vấn đề nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh THCS giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất” là cần thiết và phù hợp với thực tiễn

Chương 2 HƯỚNG DẪN HỌC SINH THCS GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT 2.1 Bài toán về chứng minh đẳng thức

Để chứng minh được một đẳng thức ta có thể thực hiện việc biến đổi biểu thức (thực hiện phép tính) ở vế này (thường là vế phức tạp hơn của đẳng thức)

để được một biểu thức ở vế kia Trong một số trường hợp để chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi đồng thời cả hai vế của đẳng thức sao cho chúng cùng bằng một biểu thức thứ ba, hoặc cũng có thể lấy biểu thức vế trái trừ biểu thức vế phải hoặc ngược lại lấy biểu thức vế phải trừ biểu thức vế trái và biến đổi có kết quả bằng 0

Ví dụ 1:

Chứng minh đẳng thức sau:

 2 2 2 2   2 2

a b c d  ac bd  ad bc

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Ta thấy rằng đây là một bài toán chứng minh đẳng thức không điều kiện cho trước Ta thấy vế trái biểu thức là tích của tổng các bình phương, vế phải là tổng và hiệu hai bình phương Nhìn qua ta thấy cả hai vế đều phức tạp nên việc chứng minh vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại vế phải bằng vế trái là điều khó khăn Như vậy ta sẽ đi biến đổi đồng thời cả hai vế sao cho chúng bằng nhau

Bước 2: Trình bày lời giải

Bước 3: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

Với bài toán này ta cũng có thể giải bằng cách lấy vế trái trừ vế phải hoặc lấy vế phải trừ vế trái và biến đổi có kết quả bằng 0

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Bài toán này là chứng minh đẳng thức mà hai vế là các phân thức, trước tiên ta phải đi tìm điều kiện xác định của các phân thức này, rồi ta nhận thấy vế trái của đẳng thức ở dạng phức tạp, còn vế phải là một biểu thức đơn giản Do

đó để giải bài toán ta sẽ đi biến đổi vế trái

Bước 2: Trình bày lời giải ĐKXĐ: x1,x3





 = Vế phải

Ta có điều phải chứng minh

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Từ việc giải bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán:

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Bài toán này ta thấy giả thiết cho a b 1 và yêu cầu chứng minh

3 3

a b  ab Như vậy ta sẽ nghĩ đến việc biến đổi vế trái sao cho xuất hiện

a b Ta sẽ thêm bớt để biến đổi a3 b3 thành hằng đẳng thức  3

ab để sử dụng được giả thiết a b 1

Bước 2: Trình bày lời giải

Ta có điều phải chứng minh

Bước 3: Kiểm tra nghiên cứu sâu lời giải

Từ việc giải bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán :

Cho a b 1 Tính a3 b33ab1?

Ví dụ 4:

Cho a b c  0 Chứng minh rằng:

a3b3c3 3abc

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Đây là bài toán chứng minh đẳng thức có điều kiện cho trước Ta thấy

vế trái là lập phương của 3 số a b c mà việc biến đổi hằng đẳng thức đó là rất ; ;khó khăn vậy nên ta sẽ biến đổi sao cho nó thành hằng đẳng thức tổng của hai

lập phương mà ta đã biết Từ giả thiết ta có: a  b c và từ đó ta đi lập phương hai vế của đẳng thức ta sẽ có điều phải chứng minh

Bước 2: Trình bày lời giải

Ta có điều phải chứng minh

Bước 3: Kiểm tra nghiên cứu sâu lời giải

Ngoài cách chứng minh trên ta cũng có thể sử dụng giả thiết để biến đổi ra được điều phải chứng minh Ta có thể biến đổi:

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Trong bài toán này, ta đặt ra câu hỏi là các hằng đẳng thức nào cho ta mối

quan hệ giữa a b c và a2 b2 c2, giữa a2 b2 c2 và a4 b4 c4? Hoặc

từ giả thiết có mối quan hệ b  c a Vậy hằng đẳng thức nào cho ta mối quan

hệ giữa b2, c2 và a2, giữa b4, c4 và a4? Như vậy để giải được bài toán này ta

biến đổi giả thiết a b c  , sau đó bình phương hai vế đẳng thức a b c   Tiếp tục bình phương và cộng 2 vế của biểu thức ta được điều phải chứng minh

Bước 2: Trình bày lời giải

Ta có: a      b c 0 a b c (1)

Bình thường 2 vế đẳng thức (1) (a)2 (bc)2 2 2 2

Ta có điều phải chứng minh

Bước 3: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

Từ việc giải bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán:

Chứng minh rằng trong số a b c luôn có hai số đối nhau ; ;

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Ta thấy bài toán yêu cầu ta chứng minh trong ba số a b c luôn có hai số ; ;

đối nhau Như vậy ta có thể hiểu yêu cầu bài toán là đi chứng minh a b hoặc

b c hoặc c a hoặc ngược lại b a ; c b ; a c Để chứng minh bài toán này ta sẽ sử dụng phương pháp lấy vế trái trừ vế phải và biến đổi sao cho kết quả bằng 0 Từ đó ta sẽ có được điều phải chứng minh

Bước 2: Trình bày lời giải

Ta có điều phải chứng minh

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Bài toán này ta thấy giả thiết cho a b c  abc và 1 1 1 2

a  b c rồi yêu

cầu ta chứng minh 12 12 12 2

a b c  Như vậy ta nghĩ ngay đến việc bình

phương hai vế biểu thức 1 1 1 2

a  b c để làm xuất hiện 12 12 12

a b c , sau đó sử

dụng giả thiết a  b c abc ta sẽ thực hiện được yêu cầu của bài toán

Bước 2: Trình bày lời giải

Như vậy ta có điều phải chứng minh

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Ta cũng có thể phát biểu bài toán này một cách khác như sau:

Cho 1 1 1 2

a  b c và 12 12 12 2

a b c  với ; ;a b c0 và a b c  0

  

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Bài toán này ta thấy vế trái là một biểu thức đơn giản hơn vế phải nên ta có thể nghĩ ngay đến việc sẽ biến vế trái bằng với vế phải Ta thấy vế trái có thể biến đổi ghép nhóm nó thành hai số hạng để sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng mà ta đã biết Cụ thể ta biến đổi  3   3

a b c  a b c sau đó

áp dụng hằng đẳng thức và ghép nhóm ta sẽ có được điều phải chứng minh

Bước 2: Trình bày lời giải

Vậy vế trái bằng vế phải Ta có điều phải chứng minh

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Từ việc giải bài toán trên, ta có thể yêu cầu học sinh chứng minh tương tự bài toán sau:

2.2 Bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử

Trong chương trình Toán Trung học cơ sở, phân tích đa thức thành nhân tử

là một trong những phần kiến thức nền tảng để giải quyết rất nhiều các bài toán

khác như: rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích những đơn thức và đa thức

Các phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ, nhóm các hạng tử một cách thích hợp để làm xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung Ngoài ra, người ta còn sử dụng một vài phương pháp khác như: phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm (bớt) cùng một hạng tử thích hợp, phương pháp đặt biến phụ hay phương pháp hệ số bất định

Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Việc hướng dẫn học sinh tìm ra được phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng của học sinh thông qua quá trình hướng dẫn của người giáo viên

Sau đây là một số ví dụ sử dụng nhiều phương pháp khác nhau nhằm hướng dẫn học sinh giải bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử:

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x y  1 2y y 1

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Đối với bài toán này ta dễ dàng nhận ra được cách làm khi đã nhìn thấy nhân tử chung Như vậy chỉ cần đặt y1 làm nhân tử chung là ta đã giải quyết xong vấn đề của bài toán

Bước 2: Trình bày lời giải

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Bằng cách sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung, giải quyết các bài tập tương tự

Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 10xy x  y6y y x

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải bài toán

Bài toán này ta thấy yx  x y Từ đó ta có thể sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để giải quyết yêu cầu bài toán Đưa bài toán về phân tích

đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

Bước 2: Trình bày lời giải

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải bài toán

Đối với bài toán này ta thấy 3

8x có thể biến đổi thành  3

2x Như vậy ta

có thể sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương để thực hiện yêu cầu của bài toán

Bước 2: Trình bày lời giải

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải bài toán

Bài toán này ta thấy có 4 số hạng, như vậy ta nghĩ ngay đến việc sẽ ghép 2

số hạng vào một sau đó tìm cách đưa chúng xuất hiện nhân tử chung để giải quyết bài toán Ở bài toán này dễ dàng nhóm 2 số hạng đầu và 2 số hạng cuối để cùng xuất hiện xy làm nhân tử chung

Bước 2: Trình bày lời giải

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Ngoài cách giải trên ta có thể giải bài toán bằng cách nhóm số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba, số hạng thứ hai và số hạng thứ tư Cụ thể như sau:

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 2

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Bài toán này ta thấy xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương Như vậy nếu như ta khai triển hằng đẳng thức thì sẽ xuất hiện nhân tử chung ab

và yêu cầu của bài toán đã được thực hiện

Bước 2: Trình bày lời giải

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Bài tập tương tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Ta thấy ở bài toán này không còn đơn giản để thấy ngay nhân tử chung hay

có thể ghép ngay các số hạng lại với nhau Mà để giải được bài toán này ta phải

sử dụng phương pháp tách các hạng tử Bài toán này ta có thể tách 3   1 2 Khi đó biểu thức ban đầu trở thành 4 2

x  x   Sau đó ta ghép số hạng thứ nhất với thứ ba, thứ hai với thứ tư rồi khai triển hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung ta sẽ thu được kết quả của bài toán

Bước 2: Trình bày lời giải

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Để thực hiện được yêu cầu của bài toán trên ta có thể sử dụng rất nhiều phương pháp khác nhau để giải, ví dụ như: ta có thể tách 2 2 2

2x 3x x sau đó nhóm x4 với x2, tách 3 1 4    6 9, tách x4 3x4 2x4, đặt ẩn phụ hoặc nhẩm nghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức

Sau đây là giải bài toán bằng cách tách 4 4 4

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Ở bài toán này ta cũng có thể sử dụng phương pháp tách số hạng tự do như

ở ví dụ 6 Tuy nhiên ta cũng thể sử dụng cách tách số hạng 4  x x 5x rồi ghép x2 với x và 5x với 5 sẽ xuất hiện nhân tử chung và bài toán đã được giải quyết

Bước 2: Trình bày lời giải

Bước 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

Khi phân tích đa thức bậc hai dạng 2

ax bxc a0 thành nhân tử nếu tách hạng tử bậc nhất, ta thường làm theo cách sau:

Bước 1: Phân tích - Tìm lời giải

Đối với bài toán này ta không thể nhìn ra ngay được nhân tử chung hay tách các số hạng để ghép nhóm Ta để ý rằng: 4

4x y để tạo ra hằng đẳng thức hiệu hai bình phương