B GIO DC V O TO TRNG I HC BCH KHOA H NI - PHM VN BNG MT S TNH CHT CA NGHIM PHNG TRèNH VI PHN TRONG KHễNG GIAN BANACH LUN N TIN S TON HC H Ni - 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC BCH KHOA H NI - PHM VN BNG MT S TNH CHT CA NGHIM PHNG TRèNH VI PHN TRONG KHễNG GIAN BANACH LUN N TIN S TON HC Chuyờn ngnh: Phng trỡnh vi phõn v tớch phõn Mó ngnh: 62460103 NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS NGUYN THIU HUY H Ni - 2016 MC LC MC LC i LI CAM OAN LI CM N MT S K HIU DNG TRONG LUN N M U Chng KIN THC CHUN B 1.1 13 Na nhúm liờn tc mnh v cỏc tớnh cht 13 1.1.1 Na nhúm liờn tc mnh 13 1.1.2 n nh m v nh phõn m ca na nhúm 15 1.2 Khụng gian hm Banach chp nhn c trờn na ng thng 18 1.3 Khụng gian hm Banach chp nhn c trờn ng thng 20 1.4 Nh phõn m ca h tin hoỏ 23 1.5 Phng trỡnh vi phõn na tuyn tớnh v a n nh 26 Chng NH PHN M CA NA NHểM NGHIM PHNG 29 TRèNH TRUNG TNH 2.1 Phng trỡnh trung tớnh tuyn tớnh 29 2.2 Na nhúm trung tớnh 30 2.3 Nh phõn m ca na nhúm nghim phng trỡnh trung tớnh 34 Chng NH PHN M CA NA NHểM NGHIM PHNG TRèNH TRUNG TNH VI QU KH KHễNG ễTễNễM 43 3.1 Phng trỡnh trung tớnh vi quỏ kh khụng ụtụnụm 43 3.2 Cỏc na nhúm tin húa vi toỏn t sai phõn v toỏn t tr 45 3.3 Ph v tớnh nh phõn m ca na nhúm nghim 50 i 3.4 Tớnh dng ca na nhúm nghim 59 Chng A TP TCH PHN CA PHNG TRèNH VI PHN 64 TRUNG TNH 4.1 a n nh bt bin ca phng trỡnh vi phõn trung tớnh khụng gian chp nhn c trờn na ng thng 64 4.2 Tam phõn m v a tõm n nh ca phng trỡnh trung tớnh 77 4.3 a khụng n nh ca phng trỡnh trung tớnh 86 KT LUN 111 TI LIU THAM KHO 112 DANH MC CễNG TRèNH CễNG B CA LUN N 119 ii LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca tụi, di s hng dn ca thy PGS.TS Nguyn Thiu Huy Tt c cỏc kt qu c trỡnh by lun ỏn l hon ton trung thc v cha tng c cụng b bt k cụng trỡnh no Thay mt th hng dn PGS.TS Nguyn Thiu Huy Tỏc gi Phm Vn Bng LI CM N Lun ỏn ny c thc hin di s hng dn khoa hc ca PGS.TS Nguyn Thiu Huy, ngi thy vụ cựng mu mc ó tn tỡnh giỳp tụi trờn ng khoa hc Thy ó ch bo tụi sut quỏ trỡnh nghiờn cu, giỳp tụi tip cn mt lnh vc toỏn hc y thỳ v, luụn to nhng th thỏch giỳp tụi t hc hi, tỡm tũi v sỏng to, ú l nhng gỡ tụi may mn c tip nhn t ngi thy ỏng kớnh ca mỡnh Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n thy Trong thi gian lm NCS ti Trng i hc Bỏch khoa H Ni, tụi ó nhn c nhiu tỡnh cm cng nh s giỳp t cỏc thy cụ B mụn Toỏn c bn, cỏc thy cụ Vin Toỏn ng dng v Tin hc Tụi xin c chõn thnh by t lũng bit n sõu sc n cỏc thy cụ Nhõn dp ny, tụi cng by t s cm n chõn thnh n Ban Giỏm hiu, Khoa Khoa hc c bn Trng i hc Kinh t - K thut Cụng nghip ó to iu kin thun li cho tụi hc v nghiờn cu Cui cựng, tụi xin by t lũng bit n n gia ỡnh v ton th bn bố ó luụn khuyn khớch, ng viờn tụi vng bc trờn ng toỏn hc mỡnh ó chn Tỏc gi MT S K HIU DNG TRONG LUN N N : cỏc s t nhiờn R : cỏc s thc R+ : cỏc s thc khụng õm Lp (R) := u:RR: u p |u(x)|p dx)1/p < + , p < =( R L (R) := {u : R R : u = ess sup |u(x)| < +} xR L1,loc (R) := {u : R R|u L1 () vi mi o c R} ú R ngha l bao úng l compact R t+1 M(R+ ) := f L1, loc (R+ ) : sup t0 |f ( )|d < , t t+1 vi chun f M |f ( )|d := sup t0 t E : khụng gian hm Banach chp nhn c trờn R+ ER : khụng gian hm Banach chp nhn c trờn R X : khụng gian Banach C := C([r, 0], X) khụng gian cỏc hm liờn tc trờn [r, 0], r > 0, nhn giỏ tr X vi chun u C = sup u(t) t[r,0] C0 (R , X) := {f : R X : f liờn tc v lim f (t) = 0} khụng gian hm t vi chun sup Cb (R+ , X) : khụng gian cỏc hm liờn tc, b chn, nhn giỏ tr trongX, xỏc nh trờn R+ vi chun u = sup u(t) tR+ M U Tng quan v hng nghiờn cu v lý chn ti Vo u th k 20 phng trỡnh trung tớnh c coi nh mt trng hp c bit ca phng trỡnh sai - vi phõn Vớ d : u (t) u (t 1) + u(t) = 0, u (t) u(t 1) u(t 2) = 0, u (t) 2u(t) + u (t 1) 2u(t 1) = 0, hoc nú mụ t di dng tng quỏt ca phng trỡnh vi phõn cp n v sai phõn cp m : F t, u(t), u(t r1 ), , u(t rm ), u (t), u (t r1 ), , u (t rm ), , u(n) (t), u(n) (t r1 ), , u(n) (t rm ) = vi F l hm ca (m + 1)(n + 1) bin hiu c ngun gc thut ng "tr", "trung tớnh" ta xột phng trỡnh sai - vi phõn cp a0 u (t) + a1 u (t ) + b0 u(t) + b1 u(t ) = f (t) vi > c nh Nu a0 = a1 = thỡ phng trỡnh ny gi l phng trỡnh sai phõn Nú khụng cha bt k vi phõn no Nu a0 = 0, a1 = thỡ phng trỡnh trờn gi l phng trỡnh sai - vi phõn "cú chm" hay n gin l phng trỡnh vi phõn cú tr Vỡ nú mụ t s ph thuc vo h trng thỏi quỏ kh Nu a0 = 0, a1 = thỡ phng trỡnh trờn gi l phng trỡnh sai - vi phõn "cú sm" Vỡ nú mụ t s ph thuc vo h trng thỏi tng lai Cui cựng nu a0 = 0, a1 = thỡ loi phng trỡnh sai -vi phõn ny, va "cú chm" va "cú sm" Vỡ vy trng hp ny phng trỡnh trờn gi l phng trỡnh vi phõn trung tớnh Gn õy J Wu and H Xia [24] ó xột mt mng li cỏc ng dõy truyn ti v ch mụ hỡnh ca nú tng ng vi phng trỡnh sau: F ut = a F ut + ut t x Phng trỡnh cú dng phng trỡnh o hm riờng trung tớnh hay phng trỡnh trung tớnh Trong ú hm u thuc C([r, 0], X) vi r v khụng gian Banach X ca hm trờn ng trũn n v S , tc l X = H (S ) hoc X = C(S ), hm lch s ut c xỏc nh bi ut () := u(t + ) vi [r, 0] v t Cỏc toỏn t tuyn tớnh F v b chn t C([r, 0], X) X gi l toỏn t sai phõn v toỏn t tr Hale [20, 21] ó a phng phỏp gii quyt bi toỏn trờn, ụng ó ch s tn ti v cỏc tớnh cht ca toỏn t nghim Tuy nhiờn i vi cỏc phng trỡnh vi phõn trung tớnh phỏt sinh t cỏc h thng t nhiờn, k thut, nh l h khuych tỏn, h x lý tớn hiu, h sinh thỏi qun th, Khi ú vic nghiờn cu s tn ti v n nh ca nghim tr nờn phc tp, cỏc phng phỏp c khụng cũn phự hp Bng cỏch chn khụng gian v toỏn t thớch hp, cỏc phng trỡnh ú cú th vit di dng phng trỡnh vi phõn tru tng khụng gian Banach thng gi l phng trỡnh tin húa Do ú, lun ỏn ny chỳng tụi xột phng trỡnh trung tớnh F ut = BF ut + ut vi t 0, t u (t) = (t) vi t [r, 0], (1) v phng trỡnh dng na tuyn tớnh F ut = B(t)F ut + (t, ut ), t t I, (2) ú I = R+ hoc I = R, B(t) l toỏn t tuyn tớnh (cú th khụng b chn) trờn khụng gian Banach X vi mi t c nh Vi C := C([r, 0], X); toỏn t tuyn tớnh b chn F : C X l toỏn t sai phõn, : C X l toỏn t tuyn tớnh (hoc : R+ ì C X phi tuyn liờn tc) l toỏn t tr, v ut l hm lch s c xỏc nh bi ut () := u(t + ) vi [r, 0] Vic xột phng trỡnh di dng tru tng cỏc khụng gian hm tng quỏt, cho phộp s dng nhng phng phỏp mi da trờn nhng bc phỏt trin gn õy ca Toỏn hc tỡm hiu nhng mang tớnh bn cht ca nghim phng trỡnh ú S dng cỏc phng phỏp toỏn hc hin i hin nh l lý thuyt ph ca toỏn t o hm riờng, lý thuyt na nhúm liờn tc mnh, lý thuyt cỏc khụng gian hm chp nhn c, lý thuyt a bt bin, Chỳng tụi nghiờn cu dỏng iu tim cn ca nghim (n nh, khụng n nh, nh phõn, ) i vi phng trỡnh (1) v (2) Vi phng trỡnh trung tớnh tuyn tớnh (1) mt s kt qu nn múng ban u v s tn ti, n nh m ca nghim, ó t c bi N.T Huy v mt s tỏc gi khỏc (xem [33, 40, 43, 46, 53]) Trong lun ỏn ny, chỳng tụi s phỏt trin cỏc kt qu v tớnh nh phõn, khụng n nh, n nh tuyn tớnh húa i vi cỏc phng trỡnh trờn nhn c cỏc kt qu tng quỏt hn v ng dng vo cỏc mụ hỡnh c th Vi phng trỡnh trung tớnh na tuyn tớnh (2) chỳng tụi nghiờn cu v s tn ti a tớch phõn i vi nghim ca phng trỡnh ny Trong trng hp phng trỡnh vi phõn hm cú tr (tc l trng hp c bit ca phng trỡnh trờn F ut = u(t)) ó cú nhiu cụng trỡnh liờn quan n s tn ti a bt bin i vi cỏc nghim ca phng trỡnh cú tr (xem [3, 25, 42, 48] ) vi iu kin h (B(t))t0 sinh h tin húa cú nh phõn m hoc tam phõn m, toỏn t tr phi tuyn l liờn tc Lipschitz Trng hp phng trỡnh vi phõn hm trung tớnh tr nờn phc hn ta ly vi phõn hm F ut thay vỡ u(t), hn na cụng thc bin thiờn hng s c ỏp dng cho F ut Do ú, ta cn n mt s iu kin trờn F thu c u t F ut Mt s kt qu v s tn ti ca a bt bin cỏc trng hp ụtụnụm (tc l B(t) = B Vỡ g liờn tc Lipschitz nờn ta cú g (P ()u )(0) P ()u() + g P ()(u + w ) (0) g P ()u (0) N ker g (P ()u ) (I P ())u C + P ()w C k N ker N (1 + H) w C g (P ()u ) (I P ())u C + k N ker g (P ()u ) (I P ())u C + N (1 + H)er |w| k Do ú, |T w| 1 N g (P ()u ) (I P ())u C N ker + N (1 + H)er |w| + ker |w| (4.52) (1 k) Suy ra, T w C, Tip theo, ta chng minh T l mt ỏnh x co Tht vt, ly w, v thuc C, Khi ú, vi = g P ()(u + w ) (0), à0 = g P ()(u + v ) (0) ta cú e(t) (T w)(t) (T v)(t) 1 N à0 + N (1 + H)e(t) e2r e|t | f (, w ) f (, v ) d ì 1 N à0 + N (1 + H)e2r e(t) e|t | ( ) w v ì C d 1 105 N à0 + ker |w v| Mt khỏc, ta cú à0 = g P ()(u + w ) (0) g P ()(u + v ) (0) N ker P ()w P ()v C k r N ke N (1 + H) w v C k N ker N (1 + H)er |w v| k Vỡ vy, k |T w T v| er N er (1 + H) + |w v| = l|w v| k Vỡ l < 1, nờn T l ỏnh x co trờn khụng gian Banach C, , ú phng trỡnh T w = w cú nht nghim w C, T (4.52) ta cú |w| N g (P ()u ) (I P ())u (1 l)(1 ) C Ta ó chng minh c s tn ti ca u = u + w l nghim ca phng trỡnh (4.30) tho ut Ut vi t v ut ut C = wt C er e(t) |w| N er (t) e (P ()u ) (I P ())u (1 l)(1 ) N er = e(t) u u C (1 l)(1 ) vi mi t nh lý c chng minh Ta minh kt qu trờn bi vớ d sau 106 C Vớ d 4.3.8 Xột phng trỡnh trung tớnh sau w(x, t 1) w(x, t) w(x, t 1) w(x, t) k = a(t) k + (w(x, t) t t x2 x2 |t| kw(x, t 1)) + b te ln(1 + |w(x, t + )|)d vi x , t s; t, s R (4.53) w(0, t) = w(, t) = vi t s ws (x, ) := w(x, s + ) = (x, ) vi mi x [0, ], [1, 0], ú k v l cỏc hng s thc vi |k| < 1, > v = n2 vi mi n N; hm liờn tc Hm a(ã) L1,loc (R) tha in kin a(t) > hu khp t R vi cỏc hng s c nh , Ta chn khụng gian Hilbert X := L2 [0, ] v xột toỏn t B : X X xỏc nh bi B(f ) = f + f vi xỏc nh D(B) = H02 [0, ] := {f W 2,2 [0, ] : f (0) = f () = 0} Trờn C := C([1, 0], X) chỳng ta nh ngha toỏn t sai phõn F v toỏn t tr nh sau F : C X, F (f ) := f (0) kf (1) : R ì C X, |t| ln(1 + |(())(x)|)d, t R, x [0, ] (4.54) (t, ) : = b te Lu ý ly giỏ tr X = L2 [0, ] nờn cú th d dng chng minh rng l -Lipschitz bng cỏch s dng bt ng thc Minkowski t B(t) := a(t)B, u(t) := w(ã, t), t R, v () := (ã, ), [1, 0], ú phng trỡnh (4.53) c vit di dng t F ut (ã) = B(t)F ut (ã) + (t, ut (ã, )), us = C 107 t s, T nh ngha ca B ta thy B l toỏn t sinh ca na nhúm gii tớch (T (t))t>0 , vi (B) = {1 + , + , } Vỡ = n2 , n N nờn ta cú (B) iR = p dng nh lý nh X Ph cho na nhúm gii tớch ta nhn c (T (t)) = et(B) = {et(1) , et(4) , } v (T (t)) {z C : |z| = 1} = vi mi t > Do ú, c nh t0 > 0, ph ca toỏn t T (t0 ) c tỏch thnh hai ri , , ú {z C : |z| < 1}, {z C : |z| > 1} Tip theo, ta chn P = P (t0 ) l phộp chiu Riesz tng ng n ph , v Q = I P Rừ rng, P v Q giao hoỏn vi T (t), t Kớ hiu TQ (t) := T (t)Q l hn ch ca T (t) trờn ImQ Theo lý thuyt na nhúm, trng hp ny, na nhúm (T (t))t0 c gi l nh phõn m v hn ch TQ (t) kh nghch Hn na, cú cỏc hng s dng N, cho T (t)|P X N et TQ (t) = TQ (t) Ne t (4.55) vi mi t Rừ rng, h (B(t))tR = (a(t)B)tR sinh h tin húa (U (t, s))ts c xỏc nh bi: t U (t, s) = T a( )d vi mi t s s T c lng nh phõn ca (T (t))t0 (4.55), d dng thy rng (U (t, s))ts cú nh phõn m vi phộp chiu P v cỏc hng s N, := bi cỏc c lng sau: t )a( )d |P X N e(ts) U (t, s)|P X = T ( s t U (s, t)| = (U (t, s)|ker P ) a( )d )| N e(ts) = TQ ( s vi mi t s Tip theo, ta quan tõm n toỏn t tr : R ì C X xỏc nh (4.54) v kim tra l -Lipschitz vi (t) = |b|te|t| , t R, 108 thuc E = Lp (R), p Tht vy, iu kin (i) nh ngha 4.3.1 l hin nhiờn kim tra iu kin (ii) nh ngha, s dng bt ng thc Minkowskii ta cú ln(1 + h) h vi mi h Khi ú, (t, ) (t, ) = |b| te|t| ln 0 |b| te|t| 0 + |(1 ())(x)| dx ln2 + |(2 ())(x)| = |b| te|t| ln2 0 + |(1 ())(x)| d + |(2 ())(x)| 2 dx d |(1 ())(x)| |(2 ())(x)| dx 1+ + |(2 ())(x)| |b| te|t| |(1 ())(x) (2 ())(x)|2 dx = |b| te|t| d d () () d |b| te|t| sup () () [1,0] Do ú, l -Lipschitz Trong khụng gian Lp (R), cỏc hng s N1 , N2 nh ngha 1.3.2 c chn N1 = N2 = Ta cú t+1 (t) = ( )d t Vỡ vy 2|b|r Theo nh lý 4.3.6, nu |b| e (1 )(1 e ) 4N (1 + H)(1 + N e ) thỡ tn ti a khụng n nh U i vi cỏc nghim tt ca phng trỡnh (4.53), v a ny cú tớnh hỳt theo kt qu ca nh lý 4.3.7 Kt lun Chng Trong chng ny chỳng tụi ó t c kt qu sau: 109 Ch s tn ti a bt bin n nh vi iu kin (U (t, s))ts0 cú nh phõn m, l -Lipschitz Ch s tn ti a tõm vi iu kin (U (t, s))ts0 cú tam phõn m, l -Lipschitz Ch s tn ti a khụng n nh vi iu kin (U (t, s))ts cú nh phõn m, l -Lipschitz a khụng n nh cú tớnh cht hỳt cp m cỏc qu o nghim ca phng trỡnh trung tớnh Ni dung ca chng ny da vo bi bỏo [3] v [4], Danh mc cụng trỡnh ó cụng b ca lun ỏn 110 KT LUN Lun ỏn nghiờn cu tớnh nh phõn m ca nghim phng trỡnh trung tớnh vi nhiu tuyn tớnh v s tn ti ca a tớch phõn, dỏng iu tim cn nghim ca phng trỡnh trung tớnh vi nhiu phi tuyn Nhng kt qu chớnh lun ỏn t c l: Thit lp iu kin na nhúm nghim phng trỡnh trung tớnh tuyn tớnh ụtụnụm v phng trỡnh trung tớnh vi quỏ kh khụng ụtụnụm cú nh phõn m, chng minh tớnh dng ca na nhúm nghim Thit lp iu kin cho s tn ti ca a n nh, a tõm, a khụng n nh ca phng trỡnh trung tớnh Chng minh c tớnh hỳt ca a khụng n nh i vi mi qu o nghim ca phng trỡnh trung tớnh Lun ỏn cú th tip tc theo mt s ch sau: Nghiờn cu s tn ti, n nh nghim tun hon cho phng trỡnh trung tớnh Nghiờn cu s tn ti ca a tớch phõn thuc lp E cho phng trỡnh trung tớnh 111 TI LIU THAM KHO [1] A Pazy (1983), Semigroup of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin [2] A Yagi (2009), Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer Verlag [3] B Aulbach and N.V Minh (1996), Nonlinear semigroups and the existence and stability of semilinear nonautonomous evolution equations, Abstract and Applied Analysis, 1, 351 - 380 [4] B.C Goodwin (1963), Temporal Organization in Cells, Academic Press, New York [5] B.C Goodwin (1965), Oscillatory behavior of enzymatic control processes, Advances in Enzyme Regulation, 13, 425 - 439 [6] B.M Levitan and V.V Zhikov (1978), Almost Periodic Functions and Differential Equations, Moscow Univ Publ House, English tranl by Cambrige University Press, 1982 [7] C Chicone and Y Latushkin (1999), Evolution Semigroups in Dynamical Systems and Differential Equations, American Mathematical Society [8] C.T Anh, L.V Hieu and N.T Huy (2013), Inertial manifolds for a class of non-autonomous semilinear parabolic equations with finite delay, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 33, 483 - 503 [9] F Jacob and J Monod (1961), On the regulation of gene activity, Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology, 26, 389 - 401 112 [10] G Fragnelli and G Nickel (2003), Partial functional differential equations with nonau- tonomous past in Lp -phase spaces, Differential Integral Equations, 16, 327 - 348 [11] G Fragnelli and D Mugnai (2008), Nonlinear delay equations with nonautonomous past, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 21, 1159 - 1183 [12] G Greiner and M Schwarz (1991), Weak spectral mapping theorems for functional differential equations, Journal of Differential Equations, 94, 205 - 256 [13] H.H Schaefer (1980), Topological Vector Spaces, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin [14] H Petzeltovỏ and O.J Staffans (1997), Spectral Decomposition and Invariant Manifolds for Some Functional Partial Differential Equations, Journal of Differential Equations, 138, 301 - 327 [15] H.R Thieme (1998), Positive perturbations of operator semigroups: growth bounds, essential compactness, and asynchronous exponential growth, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 4, 753 - 764 [16] J.D Murray (2002), Mathematical Biology I: An Introduction , SpringerVerlag, Berlin [17] J.D Murray (2003), Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Springer-Verlag, Berlin [18] J Hadamard (1991), Sur linteration et les solutions asymptotiques des equations differentielles, Bulletin de la Sociộtộ Mathộmatique de France, 29, 224 - 228 113 [19] J Hale and S.M Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin [20] J Hale (1994), Partial neutral-functional differential equations, Revue Roumaine de Mathộmatique Pures et Appliquộes, 39, 339 - 344 [21] J Hale (1994), Coupled oscillators on a circle Dynamical phase transitions, Resenhas, 4, 441 - 457 [22] J.J Massera and J.J Schăaffer (1966), Linear Differential Equations and Function Spaces, Academic Press, New York [23] J van Neerven (1996), The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operator Operator Theory, Advances and Applications, 88, Birkhăauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin [24] J Wu and H Xia (1996), Self-sustained oscillations in a ring array of lossless transmission lines, Journal of Differential Equations, 124, 247 278 [25] J Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer Verlag [26] Ju L Daleckii and M.G Krein (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, Translations of Mathematical Monographs, Volume 43, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island [27] K.J Engel (1999), Spectral theory and generator property of one-sided coupled operator matrices, Semigroup Forum, 58, 267 - 295 [28] K.J Engel and R Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics 194, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg 114 [29] M.A Kaashoek and S.M Verduyn Lunel (1994), An integrability condition on the resolvent for hyperbolicity of the semigroup, Journal of Differential Equations, 112, 374 - 406 [30] M Adimy and K Ezzinbi (1998), A class of linear partial neutral functional differential equations with non-dense domain, Journal of Differential Equations, 147, 285 - 332 [31] M Schwarz (1989), Lineare Funktionaldifferentialgleichungen und ihre Lăosunghalbgrupen, PhD Thesis, Tă ubingen [32] N.T Huy (2003), Functional Partial Differential Equations and Evolution Semigroups, PhD Dissertation, University of Tă ubingen, Tă ubingen, Germany [33] N.T Huy (2004), Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 289, 301 - 316 [34] N.T Huy (2004), Exponentially dichotomous operators and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line, Integral Equations and Operator Theory, 48, 497 - 510 [35] N.T Huy (2004), Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 289, 301 - 316 [36] N.T Huy (2006), Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line, Journal of Functional Analysis, 235, 330 - 354 [37] N.T Huy (2009), Stable manifolds for semi-linear evolution equations and admissibility of function spaces on a half-line, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 354, 372 - 386 115 [38] N.T Huy (2009), Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations, Journal of Differential Equations, 246, 1820 - 1844 [39] N.T Huy and T.V Duoc (2010), Robustness of dichotomy of evolution equations under ddmissible perturbations on a half-line, International Journal of Evolution Equations, 3, 57 - 72 [40] N.T Huy (2012), Inertial Manifolds for Semi-linear Parabolic Equations in Admissible Spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 386, 894 - 909 [41] N.T Huy and R Nagel (2012), Exponentially Dichotomous Generators of Evolution Bisemigroups on Admissible Function Spaces, Houston Journal of Mathematics, 2, 549 - 569 [42] N.T Huy and T.V Duoc (2012), Integral manifolds and their attraction property for evolution equations in admissible function spaces, Taiwanese Journal of Mathematics, 16, 963 - 985 [43] N.T Huy (2013), Admissibly inertial manifolds for a class of semi-linear evolution equations, Journal of Differential Equations, 254, 2638 - 2660 [44] N.T Huy and T.V Duoc (2014), Integral manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on a half-line, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 411, 816 - 828 [45] N.T Huy and T.V Duoc (2015), Unstable manifolds for partial functional differential equations in admissible spaces on the whole line, Vietnam Journal of Mathematics, 43, 37 - 55 [46] N.V Minh, F Răabiger and R Schnaubelt (1998), Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line, Integral Equations Operator Theory, 32, 332 - 353 116 [47] N.V Minh and N.T Huy (2001), Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 261, 28 - 44 [48] N.V Minh and J Wu (2004), Invariant manifolds of partial functional differential equations, Journal of Differential Equations, 198, 381 - 421 [49] O Diekmann, S.A van Gils and S.M Verduyn Lunel and H.O Walther (1995), Delay Equations, Springer- Verlag, New York-Heidelberg-Berlin [50] R Benkhalti, K Ezzinbi and S Fatajou (2010), Stable and unstable manifolds for nonlinear partial neutral functional differential equations, Differential and Integral Equations, 23, 601 - 799 [51] R Nagel (ed.) (1986), One-parameter Semigroups of Positive Operators, Lecture Notes in Mathematics, vol 1184, Springer-Verlag, Berlin [52] R Nagel and G Nickel (2002), Well-posedness for non-autonomous abstract Cauchy problems, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 50, 279 - 293 [53] R Nagel and N.T Huy (2003), Linear neutral partial differential equations: a semigroup approach, International Journal of Mathematics and Mathematical Science, 23, 1433 - 1446 [54] R Schnaubelt (2002), Well-posedness and asymptotic behaviour of nonautonomous linear evolution equations, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 50, 311 - 338, Birkhăauser, Basel [55] S Brendle and R Nagel (2002), Partial functional differential equations with non-autonomous past, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 8, - 24 117 [56] Y Katznelson (1976), An Introduction to Hamonic Analysis, Dover Publications, Inc New York 118 DANH MC CễNG TRèNH CễNG B CA LUN N Nguyen Thieu Huy and Pham Van Bang (2012), Hyperbolicity of Solution Semigroups for Linear Neutral Differential Equations, Semigroup Forum, 84, 216 - 228 (ISI) Nguyen Thieu Huy and Pham Van Bang (2014), Dichotomy and positivity of neutral equations with nonautonomous past, Applicable Analysis and Discrete Mathematics, 8, 224 - 242 (ISI) Nguyen Thieu Huy and Pham Van Bang (2015), Invariant stable manifolds for partial neutral functional differential equations in admissible spaces on a half-line, Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, 20, 9, 2993-3011 (ISI) Nguyen Thieu Huy and Pham Van Bang, Unstable manifolds for partial neutral differential equations and admissibility of function spaces, Acta Mathematica Vietnamica (Online First) 119 [...]... cứu của Luận án: Nghiên cứu tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm các phương trình trung tính trong không gian Banach, tính ổn định của phương trình trung tính tuyến tính và phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm, tính dương của nửa nhóm nghiệm Xây dựng đa tạp bất biến ổn định, đa tạp tâm, đa tạp không ổn định đối với nghiệm của phương trình trung tính nửa tuyến tính • Đối tượng và phạm vi. .. sự ổn định, nhị phân mũ và một số tính chất định tính của nghiệm các phương trình trung tính trong không gian 8 Banach vốn là mô hình của các quá trình tiến hóa trong kỹ thuật và công nghệ Vi c nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân mang lại bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình vi phân (với nhiễu phi tuyến) xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác... gọn vi c nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét Vi c nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình trung tính trên mang đến những hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của các quá trình biến đổi vật chất có trễ theo thời gian xảy ra trong. .. tiệm cận nghiệm của phương trình (1.3) và các tính chất của toán tử vi phân d dt − A(t) xác định trên không gian Cb (R+ , Rn ) Kết quả này là sự khởi đầu cho nhiều công trình về lý thuyết định tính của phương trình vi phân Trong sách chuyên khảo của Massera và Sch¨affer [22], Daleckii và Krein [26] đã chỉ ra tính nhị phân mũ của nghiệm bởi điều kiện toàn ánh của toán tử vi phân d dt − A(t) trong trường... t0 Chương 2 NHỊ PHÂN MŨ CỦA NỬA NHÓM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả về tính nhị phân mũ của nửa nhóm nghiệm phương trình trung tính 2.1 Phương trình trung tính tuyến tính Trong chương này ta nghiên cứu tính nhị phân mũ của nghiệm phương trình trung tính có dạng   ∂ F ut = BF ut + Φut u (t) 0 = ϕ(t) với t ∈ [−r, 0] ∂t với t ≥ 0, (2.1) Trong đó, B là toán... y ∈ W là nghiệm của phương trình y = Ay + z và thoả mãn x ≤ y 22 1.4 Nhị phân mũ của họ tiến hoá Một trong những mối quan tâm hàng đầu về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dx = A(t)x, dt t ∈ [0, ∞), x ∈ X (1.3) trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trên không gian Banach X với mỗi t cố định, là tìm điều kiện để nghiệm của phương trình ổn định hoặc có nhị phân mũ Trong trường... kiến thức chuẩn bị Chúng tôi trình bày khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nửa nhóm Sau đó, chúng tôi trình bày không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [37, 42]), nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính (xem [36, 37, 39]) • Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu tính nhị phân mũ của nghiệm phương trình trung tính có dạng   ∂ F ut ∂t u... khái niệm và một số tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh, không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ (xem [38]) Bằng một số những thay đổi nhỏ, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng thực (xem [42]) Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính 1.1 Nửa nhóm... tuyến tính • Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính Tính chất nghiệm của phương trình nói trên khi thời gian đủ lớn 3 Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp lý thuyết nửa nhóm để xây dựng các toán tử sinh và giải thức của chúng, và biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân thông qua nửa nhóm liên tục mạnh sinh ra... tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây (xem [8, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43]) Tuy nhiên sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình trung tính phi tuyến đến nay vẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu Từ những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là "Một số tính 7 chất của nghiệm phương trình vi phân trong không gian Banach" 2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên