BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Khuất Văn Ninh HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi–tích phân tuyến tính Fredholm” tự làm Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 Một số kiến thức Giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian C[a,b] tính chất Một số kiến thức giải tích 1.2.1 Chuỗi lũy thừa 1.2.2 Tích phân phụ thuộc tham số tính chất 10 Một số kiến thức giải tích số 11 1.3.1 Phương pháp cầu phương 11 1.3.2 Sai phân tính chất 12 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM 14 2.1 Định lý tồn nghiệm phương trình 14 2.2 Phương pháp tính toán trực tiếp 15 2.3 Phương pháp phân tích Adomian 20 2.4 Phương pháp chuỗi 28 PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM 3.1 3.2 32 Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm 32 Các ví dụ minh họa ứng dụng Maple tính toán 34 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Mở đầu Lí chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp nhiều toán có liên quan đến việc giải phương trình vi-tích phân Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm loại phương trình xuất toán học ngành khoa học ứng dụng từ lâu nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Việc tìm nghiệm xác phương trình nói gặp nhiều khó khăn Vì người ta nghiên cứu việc giải xấp xỉ phương trình Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm giải phương pháp khác Trong đó, phương pháp giải tích cho nghiệm dạng biểu thức giải tích phương pháp số cho nghiệm thu dạng bảng số Trong trình giải, ta kết hợp sử dụng phần mềm Maple tính toán Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu vấn đề này, hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh nghiên cứu đề tài“Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm ứng dụng Maple tính toán Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm - Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có từ hệ thống lại vấn đề liên quan tới đề tài Dự kiến đóng góp Hệ thống lại số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm ứng dụng phương pháp vào giải phương trình cụ thể Áp dụng phần mềm Maple tính toán Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức Giải tích hàm Mục nhắc lại số kết giải tích hàm, trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [5] 1.1.1 Không gian metric Cho X tập tùy ý Định nghĩa 1.1.1 Một metric X ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn điều kiện sau (i) d(x, y) 0, ∀x, y ∈ X; (ii) d(x, y) = ⇔ x = y; (iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; (iv) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ∀x, y ∈ X; Một không gian metric tập hợp với metric tập hợp Các phần tử không gian metric gọi điểm không gian Số d(x, y) gọi khoảng cách điểm x y Định nghĩa 1.1.2 Một dãy điểm (xn ) , n = 1, 2, không gian metric X gọi hội tụ đến điểm a ∈ X lim d(a, xn ) = n→∞ Khi ta kí hiệu lim xn = a xn → a n → ∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm xn gọi dãy không gian metric X với ε > cho trước, tồn số no cho với n ≥ no m ≥ no ta có d(xn , xm ) < ε Nói cách khác ta có lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Dễ thấy dãy điểm hội tụ không gian metric dãy Định nghĩa 1.1.4 Một không gian metric X gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X Định nghĩa 1.1.5 Cho X, Y hai không gian metric tùy ý Ánh xạ f X → Y gọi ánh xạ co tồn số α với ≤ α < cho với x, x ∈ X ta có d(f (x), f (x )) ≤ αd(x, x, ), α gọi hệ số co f Hiển nhiên ánh xạ co ánh xạ liên tục Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X metric đầy đủ f : X → X ánh xạ co X vào Khi tồn hay  n (−1)m Cnm un−m  k−1  h m=0   K(x0 , tm )um ] = f (x ) + [K(x , t )u + K(x , t )u + 0 0 k k  hn   m=1     n   (−1)m Cnm u1+n−m  k−1   m=0 = f (x ) + h [K(x , t )u + K(x , t )u + K(x , t )u ] hn 0 k k m m m=1           n   (−1)m Cnm uk+n−m k−1   h m=0   = f (xk ) + [K(xk , t0 )u0 + K(xk , tk )uk + K(xk , tm )um ]] hn m=1 Biến đổi hai vế hệ phương trình sử dụng điều kiện ban đầu ta thu hệ phương trình đại số tuyến tính k phương trình, k ẩn số u0 , u1 , , uk Ứng dụng Maple để giải hệ phương trình tuyến tính ta tìm nghiệm gần u0 , u1 , , uk dạng bảng số sau i xi ui Nghiệm xác ∆ui = |ui − u(xi )| a u0 u(x0 ) ∆u0 = |u0 − u(x0 )| a+h u1 u(x1 ) ∆u1 = |u1 − u(x1 )| a+2h u2 u(x2 ) ∆u2 = |u2 − u(x2 )| k b uk u(xk ) ∆uk = |uk − u(xk )| Bảng 3.1: * 3.2 Các ví dụ minh họa ứng dụng Maple tính toán Phương pháp giải số minh họa ví dụ sau Ví dụ 3.2.1 Giải số phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm sau u (x) = + x + tu(t)dt, u(0) = 0 34 (3.4) Bài giải Ta chia đoạn [0.1] thành 10 phần nhau, ta t0 = 0; t1 = 0.1; ; t10 = tương ứng x0 = 0; x1 = 0.1; ; x10 = Cho x = xi phương trình có dạng u (xi ) = + xi + tu(t)dt Đặt g(t) = tu(t) Khi phương trình tương đương với u (xi ) = + xi + g(t)dt (3.5) Áp dụng công thức hình thang ta tính g(t)dt = [g0 + g10 + 2(g1 + + g9 )] 20 Với gj ≈ g(tj ) = tj u(tj ) ≈ tj uj Khi g(t)dt = [t0 u0 + t10 u10 + 2(t1 u1 + t2 u2 + + t9 u9 )] 20 Mặt khác ta có u (xi ) = ui+1 −ui h Từ đưa phương trình (3.5)về phương trình sau ui+1 − ui = + xi + [t0 u0 + t10 u10 + 2(t1 u1 + + t9 u9 )] h 20 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u1 − u0 = + + [0u0 + 1u10 + 2(0.1u1 + + 0.9u9 )] 0.1 20 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u2 − u1 = + 0.1 + [0u0 + 1u10 + 2(0.1u1 + + 0.9u9 )] 0.1 20 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u3 − u2 = + 0.2 + [0u0 + 1u10 + 2(0.1u1 + + 0.9u9 )] 0.1 20 35 (3.6) Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u4 − u3 = + 0.3 + [0u0 + 1u10 + 2(0.1u1 + + 0.9u9 )] 0.1 20 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u5 − u4 = + 0.4 + [0u0 + 1u10 + 2(0.1u1 + + 0.9u9 )] 0.1 20 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u6 − u5 = + 0.5 + [0u0 + 1u10 + 2(0.1u1 + + 0.9u9 )] 0.1 20 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u7 − u6 = + 0.6 + [0u0 + 1u10 + 2(0.1u1 + + 0.9u9 )] 0.1 20 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u8 − u7 = + 0.7 + [0u0 + 1u10 + 2(0.1u1 + + 0.9u9 )] 0.1 20 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u9 − u8 = + 0.8 + [0u0 + 1u10 + 2(0.1u1 + + 0.9u9 )] 0.1 20 Với i = thay vào phương trình (3.6) ta có u10 − u9 = + 0.9 + [0u0 + 1u10 + 2(0.1u1 + + 0.9u9 )] 0.1 20 36 Khi ta thu hệ phương trình  0.999u1 − 0.002u2 − 0.003u3 − 0.004u4 − 0.005u5 − 0.006u6 − 0.007u7        −0.008u8 − 0.009u9 − 0.005u10 = 0.1       −0.001u1 + 0.998u2 − 0.003u3 − 0.004u4 − 0.005u5 − 0.006u6 − 0.007u7        −0.008u8 − 0.009u9 − 0.005u10 = 0.11        −0, 001u1 − 1, 002u2 + 0.997u3 − 0.004u4 − 0.005u5 − 0.006u6 − 0.007u7       −0.008u8 − 0.009u9 − 0.005u10 = 0.12        −0, 001u1 − 0.002u2 − 1, 003u3 + 0.996u4 − 0.005u5 − 0.006u6 − 0.007u7        −0.008u8 − 0.009u9 − 0.005u10 = 0.13       −0, 001u1 − 0.002u2 − 0.003u3 − 1.004u4 + 0.995u5 − 0.006u6 − 0.007u7        −0.008u8 − 0.009u9 − 0.005u10 = 0.14   −0, 001u1 − 0.002u2 − 0.003u3 − 0.004u4 − 1.005u5 + 0.994u6 − 0.007u7       −0.008u8 − 0.009u9 − 0.005u10 = 0.15        −0, 001u1 − 0.002u2 − 0.003u3 − 0.004u4 − 0.005u5 − 1.006u6 + 0.993u7       −0.008u8 − 0.009u9 − 0.005u10 = 0.16        −0, 001u1 − 0.002u2 − 0.003u3 − 0.004u4 − 0.005u5 − 0.006u6 − 1.007u7        +0.992u8 − 0.009u9 − 0.005u10 = 0.17       −0, 001u1 − 0.002u2 − 0.003u3 − 0.004u4 − 0.005u5 − 0.006u6 − 0.007u7        −1.008u8 + 0.991u9 − 0.005u10 = 0.18        −0.001u1 − 0.002u2 − 0.003u3 − 0.004u4 − 0.005u5 − 0.006u6 − 0.007u7      −0.008u8 − 1.009u9 + 0.995u10 = 0.19 Từ điều kiện ban đầu ta xác định u0 = u(0) = Dùng phần mềm Maple ta giải hệ phương trình Với bước làm sau [> eqn1 = 0.999 ∗ a − 0.002 ∗ b − 0.003 ∗ c − 0.004 ∗ d − 0.005 ∗ e − 37 0.006 ∗ f − 0.007 ∗ g − 0.008 ∗ h − 0.009 ∗ t − 0.005 ∗ q = 0.1; eqn1 =0.999a − 0.002b − 0.003c − 0.004d − 0.005e − 0.006f − 0.007g − 0.008h − 0.009t − 0.005q = 0.1 [> eqn2 = −1.001 ∗ a + 0.998 ∗ b − 0.003 ∗ c − 0.004 ∗ d − 0.005 ∗ e − 0.006 ∗ f − 0.007 ∗ g − 0.008 ∗ h − 0.009 ∗ t − 0.005 ∗ q = 0.11; eqn2 = − 1.001a + 0.998b − 0.003c − 0.004d − 0.005e − 0.006f − 0.007g − 0.008h − 0.009t − 0.005q = 0.11 [> eqn3 = −0.001 ∗ a − 1.002 ∗ b + 0.997 ∗ c − 0.004 ∗ d − 0.005 ∗ e − 0.006 ∗ f − 0.007 ∗ g − 0.008 ∗ h − 0.009 ∗ t − 0.005 ∗ q = 0.12; eqn3 = − 0.001a − 1.002b + 0.997c − 0.004d − 0.005e − 0.006f − 0.007g − 0.008h − 0.009t − 0.005q = 0.12 [> eqn4 = −0.001 ∗ a − 0.002 ∗ b − 1.003 ∗ c + 0.996 ∗ d − 0.005 ∗ e − 0.006 ∗ f − 0.007 ∗ g − 0.008 ∗ h − 0.009 ∗ t − 0.005 ∗ q = 0.13; eqn4 = − 0.001a − 0.002b − 1.003c + 0.996d − 0.005e − 0.006f − 0.007g − 0.008h − 0.009t − 0.005q = 0.13 [> eqn5 = −0.001 ∗ a − 0.002 ∗ b − 0.003 ∗ c − 1.004 ∗ d + 0.995 ∗ e − 0.006 ∗ f − 0.007 ∗ g − 0.008 ∗ h − 0.009 ∗ t − 0.005 ∗ q = 0.14; eqn5 = − 0.001a − 0.002b − 0.003c − 1.004d + 0.995e − 0.006f −0.007g − 0.008h [> eqn6 = −0.001 ∗ a − 0.002 ∗ b − 0.003 ∗ c − 0.004 ∗ d − 1.005 ∗ e + 0.994 ∗ f − 0.007 ∗ g − 0.008 ∗ h − 0.009 ∗ t − 0.005 ∗ q = 0.15; eqn6 = − 0.001a − 0.002b − 0.003c − 0.004d − 1.005e + 0.994f − 0.007g − 0.008h − 0.009t − 0.005q = 0.15 38 [> eqn7 = −0.001 ∗ a − 0.002 ∗ b − 0.003 ∗ c − 0.004 ∗ d − 0.005 ∗ e − 1.006 ∗ f + 0.993 ∗ g − 0.008 ∗ h − 0.009 ∗ t − 0.005 ∗ q = 0.16; eqn7 = −0.001a − 0.002b − 0.003c − 0.004d − 0.005e − 1.006f + 0.993g − 0.008h [> eqn8 = −0.001 ∗ a − 0.002 ∗ b − 0.003 ∗ c − 0.004 ∗ d − 0.005 ∗ e − 0.006 ∗ f − 1.007 ∗ g + 0.992 ∗ h − 0.009 ∗ t − 0.005 ∗ q = 0.17; eqn8 = − 0.001a − 0.002b − 0.003c − 0.004d − 0.005e − 0.006f − 1.007g + 0.992h − 0.009t − 0.005q = 0.17 [> eqn9 = −0.001 ∗ a − 0.002 ∗ b − 0.003 ∗ c − 0.004 ∗ d − 0.005 ∗ e − 0.006 ∗ f − 0.007 ∗ g − 1.008 ∗ h + 0.991 ∗ t − 0.005 ∗ q = 0.18; eqn9 = − 0.001a − 0.002b − 0.003c − 0.004d − 0.005e − 0.006f − 0.007g − 1.008h + 0.991t − 0.005q = 0.18 [> eqn10 = −0.001 ∗ a − 0.002 ∗ b − 0.003 ∗ c − 0.004 ∗ d − 0.005 ∗ e − 0.006 ∗ f − 0.007 ∗ g − 0.008 ∗ h − 1.009 ∗ t + 0.995 ∗ q = 0.19; eqn10 = − 0.001a − 0.002b − 0.003c − 0.004d − 0.005e − 0.006f − 0.007g − 0.008h − 1.009t + 0.995q = 0.19 [> solve({eqn1, eqn2, eqn3, eqn4, eqn5, eqn6, eqn7, eqn8, eqn9, eqn10} , {a, b, c, d, e, f, g, h, t, q}); t = 1.861578947, q = 2.118421053, h = 1.614736842, g = 1.377894737, f = 1.151052632, e = 0.9342105263, d = 0.7273684211, c = 0.5305263158, a = 0.1668421053, b = 0.3436842105 Với a = u1 , b = u2 , c = u3 , d = u4 , e = u5 , f = u6 , g = u7 , h = u8 , t = u9 , q = u10 Vậy ta thu nghiệm dạng bảng số sau 39 Nghiệm xác u(x) = x2 + 27x 16 ∆ui = |ui − u(xi )| i xi ui 0 0 0.1 0.166842 0.17375 0.006908 0.2 0.343684 0.35750 0.013816 0.3 0.530526 0.55125 0.020724 0.4 0.727368 0.75500 0.027632 0.5 0.934211 0.96875 0.034539 0.6 1.151053 1.19250 0.041447 0.7 1.377895 1.42625 0.048355 0,8 1.614737 1.67000 0.055263 0.9 1.861579 1.92375 0.062171 10 2.118421 2.18750 0.069079 Bảng 3.2: * Ví dụ 3.2.2 Giải số phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm sau u (x) = 2x − + (t − x)u(t)dt, u(0) = u (0) = 0 Bài giải Ta chia đoạn [0.1] thành 10 phần nhau, ta t0 = 0; t1 = 0.1; ; t10 = tương ứng x0 = 0; x1 = 0.1; ; x10 = Cho x = xi phương trình có dạng u (xi ) = 2xi − + (t − xi )u(t)dt Đặt g(t) = (t − xi )u(t) Khi phương trình tương đương với u (xi ) = 2xi − + g(t)dt Áp dụng công thức hình thang ta tính g(t)dt = [g0 + g10 + 2(g1 + + g9 )] 20 40 (3.7) Với gj ≈ g(tj ) = (tj − xi )u(tj ) ≈ (tj − xi )uj Khi 1 [(t0 − xi )u0 + (t10 − xi )u10 20 + 2((t1 − xi )u1 + (t2 − xi )u2 + + (t9 − xi )u9 )] g(t)dt = Mặt khác ta có u (xi ) = ui+2 −2ui+1 +ui h2 Từ đưa phương trình (3.6)về phương trình sau ui+2 − 2ui+1 + ui = [(t0 − xi )u0 + (t10 − xi )u10 h2 20 + 2((t1 − xi )u1 + (t2 − xi )u2 + + (t9 − xi )u9 )] Với i = từ phương trình ta có u2 − 2u1 + u0 = [(0 − 0)u0 + (1 − 0)u10 0.12 20 + 2((0.1 − 0)u1 + (0.2 − 0)u2 + + (0.9 − 0)u9 )] Với i = từ phương trình ta có u3 − 2u2 + u1 = [(0 − 0.1)u0 + (1 − 0.1)u10 0.12 20 + 2((0.1 − 0.1)u1 + (0.2 − 0.1)u2 + + (0.9 − 0.1)u9 )] Với i = từ phương trình ta có u4 − 2u3 + u2 = [(0 − 0.2)u0 + (1 − 0.2)u10 0.12 20 + 2((0.1 − 0.2)u1 + (0.2 − 0.2)u2 + + (0.9 − 0.2)u9 )] Với i = từ phương trình ta có u5 − 2u4 + u3 = [(0 − 0.3)u0 + (1 − 0.3)u10 0.12 20 + 2((0.1 − 0.3)u1 + (0.2 − 0.3)u2 + + (0.9 − 0.3)u9 )] 41 Với i = từ phương trình ta có u6 − 2u5 + u4 = [(0 − 0.4)u0 + (1 − 0.4)u10 0.12 20 + 2((0.1 − 0.4)u1 + (0.2 − 0.4)u2 + + (0.9 − 0.4)u9 )] Với i = từ phương trình ta có u7 − 2u6 + u5 = [(0 − 0.5)u0 + (1 − 0.5)u10 0.12 20 + 2((0.1 − 0.5)u1 + (0.2 − 0.5)u2 + + (0.9 − 0.5)u9 )] Với i = từ phương trình ta có u8 − 2u7 + u6 = [(0 − 0.6)u0 + (1 − 0.6)u10 0.12 20 + 2((0.1 − 0.6)u1 + (0.2 − 0.6)u2 + + (0.9 − 0.6)u9 )] Với i = từ phương trình ta có u9 − 2u8 + u7 = [(0 − 0.7)u0 + (1 − 0.7)u10 0.12 20 + 2((0.1 − 0.7)u1 + (0.2 − 0.7)u2 + + (0.9 − 0.7)u9 )] Với i = từ phương trình ta có u10 − 2u8 + u7 = [(0 − 0.7)u0 + (1 − 0.7)u10 0.12 20 + 2((0.1 − 0.7)u1 + (0.2 − 0.7)u2 + + (0.9 − 0.7)u9 )] Từ điều kiện ban đầu ta xác định u0 = u1 −u0 0.1 =0 Suy u1 = u0 = Khi ta thu hệ phương trình đại số tuyến tính sau 42  u0 =    u1 =        u0 − 2.0001u1 + 0.9998u2 − 0.0003u3 − 0.0004u4 − 0.0005u5       −0.0006u6 − 0.0007u7 − 0.0008u8 − 0, 0009u9 − 0.0005u10 = −0.02        0, 00005u0 + u1 − 2.0001u2 + 0.9998u3 − 0.0003u4 − 0.0004u5        −0.0005u6 − 0.0006u7 − 0.0007u8 − 0.0008u9 − 0.00045u10 = −0.018       0.0001u0 + 0.0001u1 + u2 − 2.0001u3 + 0.9998u4 − 0.0003u5        −0.0004u6 − 0.0005u7 − 0.0006u8 − 0.0007u9 − 0.0004u10 = −0.016        0.00015u0 + 0, 0002u1 + 0.0001u2 + u3 − 2.0001u4 + 0.9998u5        −0.0003u6 − 0.0004u7 − 0.0005u8 − 0.0006u9 − 0.00035u10 = −0.014 0, 0002u0 + 0.0003u1 + 0, 0002u2 + 0.0001u3 + u4 − 2.0001u5       +0.9998u6 − 0.0003u7 − 0.0004u8 − 0.0005u9 − 0.0003u10 = −0.012        0.00025u0 + 0.0004u1 + 0.0003u2 + 0, 0002u3 + 0.0001u4 + u5        −2.0001u6 + 0.9998u7 − 0.0003u8 − 0.0004u9 − 0, 00025u10 = −0.01       0.0003u0 + 0.0005u1 + 0.0004u2 + 0.0003u3 + 0, 0002u4 + 0.0001u5        +u6 − 2.0001u7 + 0.9998u8 − 0.0003u9 − 0, 0002u10 = −0.008        0.00035u0 + 0.0006u1 + 0.0005u2 + 0.0004u3 + 0.0003u4 + 0.0002u5       +0.0001u6 + u7 − 2.0001u8 + 09998u9 − 0.00015u10 = −0.006        0.0004u0 + 0.0007u1 + 0.0006u2 + 0.0005u3 + 0.0004u4 + 0.0003u5      +0, 0002u6 + 0.0001u7 + u8 − 2.0001u9 + 0.9999u10 = −0.004 Dùng phần mềm maple ta giải hệ phương trình Với bước làm sau [> eqn1 = a = 0; eqn1 = a = 43 [> eqn2 = b = 0; eqn2 = b = [> eqn3 = a − 2.0001 ∗ b + 0.9998 ∗ c − 0.0003 ∗ d − 0.0004 ∗ e − 0.0005 ∗ f − 0.0006 ∗ g − 0.0007 ∗ h − 0.0008 ∗ k − 0.0009 ∗ l − 0.0005 ∗ m = −0.002; eqn3 =a − 2.0001b + 0.9998c − 0.0003d − 0.0004e − 0.0005f − 0.0006g − 0.0007h − 0.0008k − 0.0009l − 0.0005m = −0.002 [> eqn4 = 0.00005 ∗ a + b − 2.0001 ∗ c + 0.9998 ∗ d − 0.0003 ∗ e − 0.0004 ∗ f − 0.0005 ∗ g − 0.0006 ∗ h − 0.0007 ∗ k − 0.0008 ∗ l − 0.00045 ∗ m = −0.018; eqn4 =0.00005a + b − 2.0001c + 0.9998d − 0.0003e − 0.0004f − 0.0005g − 0.0006h − 0.0007k − 0.0008l − 0.00045m = −0.018 [> eqn5 = 0.0001 ∗ a + 0.0001 ∗ b + c − 2.0001 ∗ d + 0.9998 ∗ e − 0.0003 ∗ f − 0.0004 ∗ g − 0.0005 ∗ h − 0.0006 ∗ k − 0.0007 ∗ l − 0.0004 ∗ m = −0.016; eqn5 =0.0001a + 0.0001b + c − 2.0001d + 0.9998e − 0.0003f − 0.0004g − 0.0005h − 0.0006k − 0.0007l − 0.0004m = −0.016 [> eqn6 = 0.00015 ∗ a + 0.0002 ∗ b + 0.0001 ∗ c + d − 2.0001 ∗ e + 0.9998 ∗ f − 0.0003 ∗ g − 0.0004 ∗ h − 0.0005 ∗ k − 0.0006 ∗ l − 0.00035 ∗ m = −0.014; eqn6 =0.00015a + 0.0002b + 0.0001c + d − 2.0001e + 0.9998f − 0.0003g − 0.0004h − 0.0005k − 0.0006l − 0.00035m = −0.014 [> eqn7 = 0.0002 ∗ a + 0.0003 ∗ b + 0.0002 ∗ c + 0.0001 ∗ d + e − 2.0001 ∗ f + 0.9998 ∗ g − 0.0003 ∗ h − 0.0004 ∗ k − 0.0005 ∗ l − 0.0003 ∗ m = −0.012; eqn7 =0.0002a + 0.0003b + 0.0002c + 0.0001d + e − 2.0001f + 0.9998g − 0.0003h − 0.0004k − 0.0005l − 0.0003m = −0.012 44 [> eqn8 = 0.00025 ∗ a + 0.0004 ∗ b + 0.0003 ∗ c + 0.0002 ∗ d + 0.0001 ∗ e + f − 2.0001 ∗ g + 0.9998 ∗ h − 0.0003 ∗ k − 0.0004 ∗ l − 0.00025 ∗ m = −0.01; eqn8 =0.00025a + 0.0004b + 0.0003c + 0.0002d + 0.0001e + f − 2.0001g + 0.9998h − 0.0003k − 0.0004l − 0.00025m = −0.01 [> eqn9 = 0.0003 ∗ a + 0.0005 ∗ b + 0.0004 ∗ c + 0.0003 ∗ d + 0.0002 ∗ e + 0.0001 ∗ f + g − 2.0001 ∗ h + 0.9998 ∗ k − 0.0003 ∗ l − 0.0002 ∗ m = −0.008; eqn9 =0.0003a + 0.0005b + 0.0004c + 0.0003d + 0.0002e + 0.0001f + g − 2.0001h + 0.9998k − 0.0003l − 0.0002m = −0.008 [> eqn10 = 0.00035 ∗ a + 0.0006 ∗ b + 0.0005 ∗ c + 0.0004 ∗ d + 0.0003 ∗ e + 0.0002 ∗ f + 0.0001 ∗ g + h − 2.0001 ∗ k + 0.9998 ∗ l − 0.00015 ∗ m = −0.006; eqn10 =0.00035a + 0.0006b + 0.0005c + 0.0004d + 0.0003e + 0.0002f + 0.0001g + h − 2.0001k + 0.9998l − 0.00015m = −0.006 [> eqn11 = 0.0004 ∗ a + 0.0007 ∗ b + 0.0006 ∗ c + 0.0005 ∗ d + 0.0004 ∗ e + 0.0003 ∗ f + 0.0002 ∗ g + 0.0001 ∗ h + k − 2.0001 ∗ l + 0.9999 ∗ m = −0.004; eqn11 =0.0004a + 0.0007b + 0.0006c + 0.0005d + 0.0004e + 00003f + 0.0002g + 0.0001h + k − 2.0001l + 0.9999m = −0.004 [> solve({eqn1, eqn2, eqn3, eqn4, eqn5, eqn6, eqn7, eqn8, eqn9, eqn10, eqn11} , {a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m}); a = 0, b = 0, h = −0.2640442047, k = −0.3497822921, l = −0.4416501145, m = −0.5374751738, f = −0.1196472267, g = −0.1866083503, c = −0.003337220616, e = −0.06533333190, d = −0.02583916390 Với a = u0 , b = u1 , c = u2 , d = u3 , e = u4 , f = u5 , g = u6 , h = u7 , k = u8 , l = u9 , m = u10 Ta thu bảng sau 45 Nghiệm xác u(x) = −920 x 2641 + 167 x 5282 ∆ui = |ui − u(xi )| i xi ui 0 0 0.1 -0.000032 0.000032 0.2 -0.003337 -0.001522 0.001815 0.3 -0.025839 -0.00656 0.019280 0.4 -0.065333 -0.017235 0.048098 0.5 -0119647 -0.035639 0.084008 0.6 -0.186608 -0.063826 0.122746 0.7 -0.264044 -0.103993 0.160051 0,8 -0.349782 -0.158122 0.191660 0.9 -0.441650 -0.228339 0.213311 10 -0.537475 -0.316736 0.220739 Bảng 3.3: * 46 Kết luận Dựa tài liệu tham khảo luận văn trình bày số vấn đề sau 1.Một số kiến thức không gian metric, không gian định chuẩn, không gian C[ a, b], phương pháp cầu phương, tính chất tích phân phụ thuộc tham số, chuỗi lũy thừa tính chất 2.Một số phương pháp giải tích giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm 3.Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm Đóng góp tác giả thể chỗ, tìm ví dụ minh họa cho phương pháp Do điều kiện thời gian trình độ nghiên cứu hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn 47 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005),Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001) Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2009),Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [6] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [7] Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations, Springer [8] A.F Verlan,V.C.Sizikov (1986),Integral Equations, Handbook, Naukova Dumka, Kiev 48 [...]... FREDHOLM 3.1 Phương pháp giải số phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm Xét phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm được cho bởi công thức b (n) u K (x, t) u (t) dt, u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1 (3.1) (x) = f (x) + a Ở đó u(n) (x) là đạo hàm bậc n của hàm u(x) với biến số là x và bk là cho trước Trong chương này ta nghiên cứu về phương pháp số để giải phương trình vi- tích phân tuyến tính. .. bằng cách giản ước số hạng này chúng ta sẽ thu được nghiệm chính xác Phương pháp phân tích Adomian để giải phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm sẽ được minh họa bằng những phương trình sau Ví dụ 2.3.1 Sử dụng phương pháp phân tích Adomian để tìm nghiệm của phương trình vi- tích phân Fredholm 1 u (x) = −1 + 24x + u(t)dt, u(0) = 0 0 Bài giải Tích phân cả hai vế của phương trình từ 0 tới x và... 6 Giải hệ phương trình ta thu được α1 = 98711 + 7440e 88511 α2 = 65738 + 88561e 88511 Vậy nghiệm chính xác t4 10260 + 7440e t3 242760 + 50e u(x) = ( )− ( ) + 2t2 + t + tet 24 88511 6 88511 19 2.3 Phương pháp phân tích Adomian Trong phương pháp này chúng ta thực hiện bằng cách chuyển đổi một phương trình vi- tích phân Fredholm về một phương trình tích phân Fredholm Sau đó ta giải phương trình tích phân. .. (x) (−1)i Cni f [x + (n − i)] i=0 13 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI- TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM Xét phương trình vi- tích phân tuyến tính Fredholm được cho bởi công thức b (n) u K (x, t) u (t) dt, u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1 (2.1) (x) = f (x) + a Ở đó u(n) (x) là đạo hàm bậc n của hàm u(x) với biến số là x và bk là cho trước Giả sử K(x, t) liên tục trên D = [a, b] ×... suy ra phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u = u(x) thỏa mãn điều kiện ban đầu 2.2 Phương pháp tính toán trực tiếp Xét phương trình vi- tích phân Fredholm được cho bởi công thức(2.1) Thay thế K(x, t) = g(x).h(t) vào công thức (2.1)ta được b (n) h(t).u(t)dt, u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1 (2.2) u (x) = f (x) + g(x) a Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng tích phân xác định trong phương trình vi- tích phân. .. 30 ) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn có a1 = 1, công bội q = π5 30 ta thu được nghiệm chính xác 5x3 π 2 u(x) = cosx + 1 + 2(30 − π 5 ) Ví dụ 2.3.5 Sử dụng phương pháp phân tích Adomian cải biên giải phương trình vi- tích phân sau (iv) u π 2 (x) = −2x + sinx + cosx + xtu(t)dt − π2 u(0) = u (0) = 1, u (0) = u (0) = −1 Bài giải Tích phân cả hai vế của phương trình từ 0 tới x bốn lần... tới nghiệm chính xác Để sử dụng tốt phương pháp phân tích Adomian chúng ta kết hợp với phương pháp phân tích cải biên Phương pháp phân tích Adomian cải biên Theo phương pháp phân tích Adomian nghiệm được tìm dưới dạng chuỗi vô hạn u(x) ∞ u(x) = un (x) (2.14) n=0 Thay thế vào cả hai vế của phương trình tích phân Fredholm b u(x) = f (x) + λ K(x, t)u(t)dt a Ta có công thức truy toán uo (x) = f (x), b... tích phân ở vế phải của phương trình và khai triển Mac-Laurin của hàm sinx ta được 2n+1 x3 x5 π2 π3 n x + +(a0 +a1 + ) 3a3 +24a4 x+60a5 x + = 2+x− + + +(−1) 3! 5! 2n + 1 2 3 2 Cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bậc của x ta được −1 (−1)j a0 = 1, a1 = 0, a2 = , a2j+1 = 0, a2j = ,j ≥ 1 2 (2j)! Vậy nghiệm chính xác là u(x) = cosx 31 Chương 3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI- TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH... là một dãy cho bởi công thức 7 1 1 1 u(x) = −x + 12x2 + x(1 + + + + ) 2 2 4 8 Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn có a1 = 1, công bội q = 1 2 Ta thu được nghiệm chính xác 7 u(x) = −x + 12x2 + x.2 = 12x2 + 6x 2 Ví dụ 2.3.2 Sử dụng phương pháp phân tích Adomian để tìm nghiệm của phương trình vi- tích phân Fredholm −π u (x) = − 2cos2x + 4 π 2 u(t)dt, u(0) = 1, u (0) = 0 0 Bài giải Tích phân. .. đó vào (2.18) Khi đó ta có nghiệm chính xác Phương pháp này sẽ được minh họa bằng các ví dụ sau Ví dụ 2.4.1 Sử dụng phương pháp chuỗi lũy thừa để tìm nghiệm của phương trình vi- tích phân Fredholm 1 (x − t)u(t)dt, u(0) = 2 u (x) = 4x + −1 Bài giải Giả sử u(x) có dạng(2.18) Thay thế u(x) và u (x) ∞ an xn ) , u (x) = ( n=0 vào cả hai vế của phương trình tích phân đã cho ta được ∞ ∞ 1 n−1 nan x −1 n=1