Một số nguyên lý cơ học

Tài liệu, Luận văn, Tài liệu,Tải tài liệu, Download tài liệu, Tài liệu download, Tài liệu online, Tài liệu trực tuyến,Tài liệu miễn phí, shase tài liệu,Tài liệu shase, Tài liệu seo, Tài liệu tham khảo, Tài liệu nghiên cứu, Tài liệu học, Kiếm tài liệu, Kho tài liệu, Trang tài liệu, Website tài liệu, Blog tài liệu, Ebooks tài liệu, Sách tài liệu

Trang 1

CHƯƠNG 4 MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ HỌC

♣ Các khái niệm cơ bản (số bậc tự do của cơ hệ, lực suy rộng, )

♣ Nguyên lý công ảo ♣ Nguyên lý d’Alembert

♣ Nguyên lý d’Alembert-Lagrange ♣ Phương trình Lagrange loại 2

Người trình bày: Phạm Thành Chung

Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Trang 2

hoặchttp://groups.google.com/group/CHKT2-ME3011-CnCDT-K57S?hl=vi

Email liên hệ: phthanhchung@gmail.com

Trang 3

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5 Phương trình Lagrange loại 2

Trang 4

Liên kết và phân loại liên kết Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do

Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Công ảo Liên kết lý tưởng Lực suy rộng

Trang 5

Nội dung

Trang 6

Liên kết là các điều kiện ràng buộc chuyển độngcủa các chất điểm và cácvật rắn thuộc hệ.

Các điều kiện ràng buộc này:

thường được biểu diễn dưới dạng các phương trình hoặc các bấtphương trình

độc lập với các lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của

chuyển động

I Tiếp theo: Ba thí dụ về liên kết

Trang 7

Thí dụ 1 về liên kết

A α

Tời kéo vật nặng

Trang 9

Thí dụ 2 về liên kết

Bánh xe lăn không trượt

Trang 10

*

Bánh xe lăn không trượt

Trang 12

x y

Cơ cấu 4 khâu bản lề

Trang 13

Cơ cấu 4 khâu bản lề

=⇒ f1(ϕ1, ϕ2, ϕ3) = l1cos ϕ1+ l2cos ϕ2− l3cos ϕ3− l0 = 0

f2(ϕ1, ϕ2, ϕ3) = l1sin ϕ1+ l2sin ϕ2− l3sin ϕ3 = 0 (4)

B Dạng thường gặp của phương trình liên kết

Trang 14

fk(q1, q2, , qm) = 0 , (k = 1, 2, , r ) (5)Khi các liên kết được biểu diễn dưới dạng1 phương trình (5) thì chúngđược gọi là liên kết hình học, giữ và dừng.

Trang 15

Phân loại liên kết

Liên kết giữ và liên kết không giữ

fs(qk, ˙qk, t) > 0 : liên kết không giữ

fs(qk, ˙qk, t) = 0 : liên kết giữLiên kết hôlônôm2 (liên kết hình học) và liên kết không hôlônôm

fs(qk, ˙qk, t) = 0 : liên kết không hôlônôm

fs(qk, t) = 0 : liên kết hôlônômLiên kết dừng và liên kết không dừng3

Trang 16

Cơ hệ tự do là cơ hệ màvị trí và vận tốc của các chất điểm và các vậtrắn thuộc hệ có thể nhận các giá trị tuỳ ý.

Cơ hệ không tự do (cơ hệ chịu liên kết): (ngược lại )

Hệ hôlônôm: một cơ hệ không tự do mà chỉ chịu các liên kết hôlônôm

Hệ không hôlônôm: (ngược lại) nếu trong cơ hệ tồn tại ít nhất một liênkết không hôlônôm

Trong kỹ thuật ta thường hay gặp các cơ hệ chịu các liên kết hôlônôm(liên kết hình học), giữ và dừng

B 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Trang 17

Nội dung

Trang 18

Di chuyển khả dĩ4 của chất điểm là di chuyển vô cùng bé của chất điểm

từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết Ký hiệu

d0~r

Di chuyển ảo5 của chất điểm là di chuyển vô cùng bé tưởng tượngcủachất điểm từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kếttại thời điểm khảo sát Ký hiệu δ~r

B Thí dụ

4

Nghĩa của từ “khả dĩ”: có khả năng, coi như, xem như, có thể chấp nhận

5 Nghĩa của từ “ảo”: không có thật, tưởng tượng, “ảo ảnh”, “thế giới ảo”, “máy tính ảo”, “cái này ảo quá!”

Trang 19

Thí dụ

Xét một chất điểm P di chuyển trên sàn của một thang máy đang chuyểnđộng lên phía trên với vận tốc ~u Chất điểm chịu liên kết không dừng(phương trình sàn thang máy) Di chuyển ảo δ~r nằm trên sàn thang máy

Di chuyển thực của chất điểm P là α~u (với α > 0) Di chuyển khả dĩ củađiểm P là d~r = δ~r + α~u và d0~r = δ~r − α~u

O

r

δ r

d′rr u

Trang 20

Di chuyển khả dĩ là di chuyển vô cùng bé phù hợp với liên kết, khôngquan tâm đến lực tác dụng, còn di chuyển thực vô cùng bé vừa phùhợp với liên kết vừa bị chi phối bởi lực tác dụng.

⇒ Di chuyển thực vô cùng bé là trường hợp riêng của di chuyển khảdĩ

Di chuyển ảo là di chuyển vô cùng bé tưởng tượng mà phù hợp vớiliên kết tại thời điểm khảo sát

⇒ Trong phương trình liên kết, thời gian t xem là cố định, δt = 0.Nếu liên kết dừng thì các di chuyển ảo sẽ trùng với các di chuyển khả

dĩ và khi đó di chuyển thực vô cùng bé là một trường hợp riêng của

di chuyển ảo

Nếu liên kết là không dừng thì di chuyển ảo là di chuyển hoàn toàn

do tưởng tượng, không thể xảy ra trong thực tế Khi đó di chuyểnthực vô cùng bé không nằm trong tập di chuyển ảo

B Phương trình ràng buộc các thành phần di chuyển ảo

Trang 21

Phương trình ràng buộc các thành phần di chuyển ảo

Một chất điểm P dịch chuyển trên một mặt Σ đang chuyển động Phươngtrình liên kết là phương trình của Σ di chuyển trong không gian ba chiềuOxyz

Trang 22

df = ∂xdx +∂ydy +∂zdz + ∂tdt = 0Trong đó các thành phần dx, dy, dz là tọa độ của di chuyển thực d~r Tại thời điểm t, xét tập các vị trí của điểm P’ rất gần với P và phù hợp vớiliên kết

Trang 23

Do toạ độ điểm P’ phải thoả mãn phương trình liên kết tại thời điểm t nên

Trang 24

∂xδx + ∂yδy +∂zδz = 0 (12)(12) là phương trình ràng buộc của di chuyển ảo δ~r

Di chuyển ảo δ~r còn được gọi là biến phân của véctơ ~r

B Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo của vật rắn

Trang 25

Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo của vật rắn

Di chuyển khả dĩ của vật rắn là những di chuyển vô cùng bé của vật rắn

từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết Ký hiệu

d0~rC, d0ϕ, ~

Di chuyển ảo của vật rắn là những di chuyển vô cùng bé tưởng tượngcủa vật rắn từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liênkếttại thời điểm đang xét Ký hiệu δ~rC, δ ~ϕ,

ϕ

C

x

δ δϕ

Trang 26

Số bậc tự do của cơ hệ là số tối đacác di chuyển ảo độc lập tuyến tính

ϕ

C

x

δ δϕ

tự do của nó (ii) Còn đối với hệ chịu liên kết không hôlônôm, số các toạ

độ suy rộng độc lập đủ để xác định vị trí của cơ hệ có thể lớn hơn số bậc

tự do của cơ hệ B 1.3 Công ảo Liên kết lý tưởng Lực suy rộng

Trang 27

Nội dung

Trang 28

Công ảo là công của các lực tác dụng lên cơ hệ sinh ra trong một dichuyển ảo của cơ hệ

δA =XδA( ~Fk) =X ~Fk.δ~rk (13)Liên kết lý tưởng là các liên kết giữ, mà công ảo của tất cả các phản lựcliên kết trong di chuyển ảo bất kỳ của cơ hệ đều bằng không

Trang 29

Ba phương pháp tính lực suy rộng

Phương pháp

Phương pháp 1: Tính theo công thức định nghĩa

Phương pháp 2: Cho cơ hệ thực hiện các di chuyển ảo đặc biệt

δqi 6= 0, δqj = 0 (j 6= i ) và tính δA = [ .] δqi ⇒ Qi = [ .]Phương pháp 3: Tính lực suy rộng của các lực có thế Qi = −∂q∂Π

i

B Thí dụ áp dụng

Trang 30

Bài toán: Một con lắc toán học khối lượng m2, dài l được nối vào contrượt A khối lượng m1 Con trượt được nối vào tường bằng lò xo với hệ sốcứng là c Cho biết con trượt A có thể trượt không ma sát trên nền nhẵn.Hãy tìm các lực suy rộng của cơ hệ.

A

B l

m1

m2F(t) c

Trang 31

Một thí dụ tính lực suy rộng

A

B l

m1

m2

F(t) c

Trang 32

B

l

F(t) c

Trang 36

Phương pháp7

Phương pháp 1: Tính theo công thức định nghĩa

Phương pháp 2: Cho cơ hệ thực hiện các di chuyển ảo đặc biệt

δqi 6= 0, δqj = 0 (j 6= i ) và tính δA = [ .] δqi ⇒ Qi = [ .]Phương pháp 3: Tính lực suy rộng của các lực có thế Qi = −∂q∂Π

i

7

(nhắc lại nội dung này)

Trang 37

- Cho hệ thực hiện một di chuyển ảo δxA = 0, δϕ 6= 0 ta có

δA = −m2gl sin ϕδϕ ⇒ Qϕ= −m2gl sin ϕ

8 Phương pháp 2: “Cho cơ hệ thực hiện các di chuyển ảo đặc biệt

δq i 6= 0, δq j = 0 (j 6= i ) và tính δA = [ .] δq i ⇒ Q i = [ .]”

Trang 38

Lời giải: (thêm)

Đề xuất phương pháp kết hợp 2 & 3:

Trang 41

Các bài toán liên quan tính lực suy rộng

Các bài toán về thiết lập phương trình vi phân chuyển động sử dụngphương trình Lagrange loại 2

Chương 16 Bài tập Cơ học kỹ thuật.9

Thí dụ: Bài 16-7, 9,

B §2 Nguyên lý công ảo

9 Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Quang Hoàng, Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Minh Phương: Bài tập Cơ học kỹ thuật NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.

Trang 42

Khái niệm cơ hệ cân bằng

Nguyên lý công ảo

Các phương trình cân bằng của hệ hôlônôm

Thí dụ áp dụng

Trang 43

Nội dung

Trang 44

Một chất điểm ở vị trí cân bằng đối với một hệ quy chiếu đã chọnnếu như nó đứng yên đối với hệ quy chiếu đó ~a ≡ 0, ~v ≡ 0.

Một hệ n chất điểm ở vị trí cân bằng đối với một hệ quy chiếu đãchọn nếu như từng chất điểm của hệ ở cân bằng đối với hệ quy chiếuđó

Một vật rắn ở vị trí cân bằng đối với một hệ quy chiếu đã chọnnếu như nó đứng yên đối với hệ quy chiếu đó

~C ≡ 0, ~C(0) = 0, ~ε ≡ 0, ~ω(0) = 0Một hệ p vật rắn ở vị trí cân bằng đối với một hệ quy chiếu đãchọn, nếu như từng vật rắn thuộc hệ ở cân bằng đối với hệ quy chiếuđó

Trang 45

Nội dung

Trang 46

Nội dung:

Cơ hệ (gồm n chất điểm và p vật rắn) chịu các liên kết giữ và dừng ở cânbằng tại một vị trí đang xét ⇐⇒ Tổng công của tất cả các lực hoạt độngđều triệt tiêu trong mọi di chuyển ảo bất kỳ của cơ hệ từ vị trí đang xét

X

δAk =X ~Fka.δ~rk = 0

B Chứng minh

Trang 47

Nội dung:

X

δAk =X ~Fka.δ~rk = 0Chứng minh: (để đơn giản chỉ trường hợp cơ hệ gồm n chất điểm đượcchứng minh)

Chứng minh điều kiện cần: Xét một chất điểm Pk thuộc cơ hệ cân bằngchịu tác dụng của lực hoạt động ~Fka và lực liên kết lý tưởng ~Fkc

Trang 48

Nội dung:

X

δAk =X ~Fka.δ~rk = 0Chứng minh:

Chứng minh điều kiện đủ (dùng phương pháp phản chứng): Cơ hệ đang ởtrạng thái cân bằng ~vk(0) = 0, các lực hoạt động thoả mãnPF~a

k.δ~rk = 0.Giả sử cơ hệ không cân bằng nữa và bắt đầu chuyển động,

dT = d0A =PF~a

k.d~rk Do T (0) = 12P mkvk2(0) = 0 nên dT > 0 Suy ra

X ~Fa

Do cơ hệ chịu các liên kết dừng nên di chuyển thực d~rk thuộc vào tập các

di chuyển ảo Hệ thức (16) mâu thuẫn với giả thiết Như thế điều giả sử

về cơ hệ không cân bằng nữa là sai Vậy cơ hệ vẫn tiếp tục cân bằng

Trang 49

Nội dung

Trang 50

Điều kiện cân bằng của cơ hệ (theo nguyên lý công ảo)

Trang 51

Nội dung

Trang 52

Cho cơ cấu culít10 trong mặt phẳng nằm ngang và chịu tác dụng của cáclực ~P và ~Q như vẽ Cho biết OC = R, OK = l Tìm điều kiện cân bằngcủa cơ cấu.

A

B O

C

K ϕ

Trang 53

K ϕ

Trang 54

Cho ~P, ~Q, OC = R, OK = l Tìm điều kiện cân bằng của cơ cấu.

A

B O

C

K ϕ

Trang 55

K ϕ

Trang 56

A

B O

C

K ϕ

Trang 57

Thí dụ 2

Cho hệ dầm liên tục chịu tác dụng của các lực và có kích thước như hình

vẽ Hãy xác định các phản lực liên kết tại A, B, C

B I

Chọn phương pháp: Áp dụng nguyên lý di chuyển ảo

Nguyên tắc chung: Giải phóng từng liên kết (hoặc toàn bộ các liên kết),thay liên kết bằng phản lực liên kết, biến lực liên kết lý tưởng cần tìmthành lực hoạt động Cho hệ thực hiện những di chuyển ảo thích hợp đểtính từng thành phần phản lực liên kết cần tìm

Trang 58

Lời giải: Hệ khảo sát là dầm ghép ADC Các lực hoạt động là ~P1 và ~P2.Xác định phản lực tại B: Giải phóng liên kết ở B, đặt phản lực liên kết,lực hoạt động có thêm ~NB.

B

B N

Trang 60

Cho hệ thực hiện một di chuyển ảo như hình vẽ Sử dụng nguyên lý công

Trang 61

Nội dung

Nguyên lý d’Alembert đối với chất điểm

Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn

Nguyên lý d’Alembert đối với cơ hệ

Trang 62

Trang 63

Lực quán tính của chất điểm

Xét 1 chất điểm P trong hệ quy chiếu

quán tính Oxyz như hình vẽ

⇒ F + (−m~~ a) = 0 (20)

Vế trái của (20) có cùng thứ nguyên

là lực Quy ước xem (−m~a) là một

r

ar

Định nghĩa: Lực quán tính d’Alembert của chất điểm là một đại lượngvéctơ cùng phương ngược chiều với gia tốc của chất điểm và có trị sốbằng tích số của khối lượng chất điểm với trị số gia tốc của nó

~

Trang 64

Nội dung: Ở mỗi thời điểm hệ lực gồm những lực tác dụng lên chất điểm

và lực quán tính của nó là một hệ lực thoả mãn các điều kiện cân bằngtĩnh học

Chú ý:

Trong hệ quy chiếu quán tính, lực quán tính của chất điểm là lực ảo

Nó chỉ là lực quy ước để đưa bài toán động lực học về bài toán tĩnhhọc

Trong nguyên lý d’Alembert, ta nói rằng có một hệ lực cân bằng, chứkhông nói rằng chất điểm cân bằng dưới tác dụng của hệ lực đó.Khi xác định lực quán tính bằng phương pháp vẽ và phương pháp giảitích:

~

Fqt ngược chiều với ~a, trị số Fqt = ma

Fxqt = −max = −m¨x , Fyqt = −may = −m ¨y , Fzqt = −maz = −m ¨z

Trang 65

Nội dung

Trang 66

Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn về khối

tâm C của nó ta được một véctơ chính

rr

ardm C

C

rr

ur

Trang 67

Quan hệ giữa ~ R0qt, ~ MCqt và động lượng ~ p, mômen động lượng ~lC của vật rắn

rr

ardm C

C

rr

ur

Trang 68

động”, “lượng” à “khối lượng”, động lượng của

chất điểm ~p = m~v , của phân tố d ~p = ~v dm,

rr

ardm C

C

rr

ur

Trang 69

lượng” à mômen của động lượng, của chất

điểm ~lC = m~C(m~v ), của phân tố d~lC =

rr

ardm C

C

rr

ur

Trang 70

ardm C

C

rr

ur

Trang 71

~

u × ~adm = − ~MCqt

Trang 72

Véctơ chính của hệ lực quán tính của vật rắn không phụ thuộc vào dạngchuyển độngvà được xác định bởi

Véctơ mômen chính đối với khối tâm C của hệ lực quán tính của vật rắn

phụ thuộc vào dạng chuyển động cụ thể và được xác định bởi

Trang 73

Tấm phẳng chuyển động phẳng Theo công thức liên hệ giữa ~MCqt và ~lC tacó

MCzqt = −d lCz

dt = −

d

dt(JCzωz) = −JCzεz (29)Trong đó Cz là trục vuông góc với tấm phẳng và đi qua khối tâm C củanó

⇒ Thu gọn hệ lực quán tính của tấm phẳng chuyển động phẳng về khốitâm C của nó ta được một lực và một ngẫu lực

~

Rqt0 = −m~aC, MCqt = −JCzεz (30)Tham khảo Bảng 15-1 Bài tập CHKT.12

12 Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Quang Hoàng, Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Minh Phương: Bài tập Cơ học kỹ thuật NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.

Định dạng
Số trang	119
Dung lượng	1,27 MB