/IỆN ATRANG THƯ VIỆN ĐH NHA TRANG 3000021514 UMM AM I u li GS TSKH VÕ NHU CÂU TÍNH k Ế t c Ấ u t h e o PHƯƠNG PHÁP T ố i ƯU Sách dùng cho: - Sinh viên đại học - Sinh viên cao học - Nghiên cứu sinh - Cán giảng dạy - Kĩ sư thuộc ngành Xây dựng 3002)514 nha XUẤt b ả n xây d ự n g - 2003 L Ờ I N Ó I ĐẦU Với phát triển lí thuyết quy hoạch toán học, phuong pháp tối ưu ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học k ĩ thuật nhằm mang lại hiệu kinh tế cao Cụốn sách xin giới thiệu số toán tối ưu nghiên cứu úng dụng lí thuyết quy hoạch toán học tính toán kết cấu xây dựng Tác giả cố gắng ữình bầy nội dung thành hệ thống lí luận theo quan điểm thực dụng hy vọng phản ảnh phần nhũng thành tựu phương pháp tối ưu Nội dung sách gồm có: Chương : Trình bày phương pháp lí thuyết quy hoạch toán học Chương hai : Bài toán tối ưu tính kết cấu theo phương pháp lục Chương ba : Bài toán tối ưu tính kết cấu theo phương pháp chuyển vị Chương bốn : Bài toán tối ưu tính kết cấu giai đoạn chảy dẻo Sách đuợc làm tài liệu giảng dạy cao học Trường Đại học X ây dụng từ năm 1989 đến nay; làm tài liệu tham khảo cho sinh viên đại học, sinh viên cao học, cán giảng dạy, nghiên cứu sinh, k ỹ sư công tác ngành xây dựng, chương trình mẫu thuộc toán tối ưu, bạn đọc có th ể tham khảo tài liệu (2), (3) Do nhũng hạn chế khách quan chủ quan, nội dung sách tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc phê bình góp ý Tấc giả chân thành cảm ơn Ban biên tập Nhà Xuất X ây dựng tham gia biên tập cho xuất sách Tác giả Chương-Một MỘT S ố PHƯƠNG PHÁP C BẢN TRONG LÍ THUYET QUY HOẠCH TOÁN HỌC Trong vòng nửa kỉ nay, ngành toán học - lí thuyết quy hoạch toán học- hình thành phát triển mạnh mẽ đòi hỏi cấp bách kinh tế để thực tiêu tối ưu: nhiều nhất, nhất, nhanh nhất, rẻ nhất, tốt Với lí thuyết quy’hoạch, người kĩ sư trang bị thêm công cụ toán học có hiệu lực để giải toán tối ưu mà trước phương pháp cổ điển chưa thể giải Chương giới thiệu số phương pháp lí thuyết quy hoạch toán học Trong phạm vi sách nhỏ, có thê trình bày số vấn đề theo quan điểm thực dụng Vì vậy, đòi hỏi độc giả thùa nhận số định lí, kết nghiên cửu ứng dụng thực tế Muốn tìm hiểu sâu lí thuyết quy hoạch toán học, độc giả tham khảo thêm tài liệu [2], [5], [6], [7], § KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN T ố i ƯU Bài toán tối ưu đặt sau: Tìm Xị, x2, X cho hàm số z = f(x ,,x 2, ,xn) ( 1) đạt max (hay min) đồng thời thoả mãn điều kiện: 0i(x,,x2, ,xn) < b i h j Trong đó: X ị, x2, , X biến; b , dk, h số Một cách tổng quát, toán đua dạng rút gọn: Cực tiểu hoá (hoặc cực đại hoá) hàm ( 1’ ) gi(x,,x2, ,xn){< = >}b, i = l,2, ,m (1.3) Ta gọi hàm z hàm mục tiêu, điều kiện ( 1.2) (1.3) điều kiện ràng buộc Tập họp giá trị Xj, x2, , X thoả mãn điều kiện ràng buộc phương ấn Phương án làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị cực đại (hay cực tiểu) gọi nghiêm hay phưcmg án tối iru Miền thoả mãn cắc điều kiện ràng buộc gọi miền nghiệm Bài toán tối ưu chia làm hai loại: 1) Bài toán quy hoạch tuyến tính; 2) Bài toán quy hoạch phi tuyến Bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng: Cục tiểu hóa (hoặc cực đại hóa) hàm z = f(x,,x2, ,xn) = ¿CjXj (1.4) j=l với điều kiện gi(x1,x 2, ,xn) = £ a ijxj {< = >}b, (1.5) i = l,2, ,m Trong đó: c., aij5 b số Đê’ tiện cho việc tính toán phương pháp đơn hình (sẽ trình bày sau), thường yêu cầu toàn biến không âm, toán quy hoạch tuyến tính thường có dạng: Cực tiểu hóa (hoặc cực đại hóa) hàm: n Z = X cjxj H (1.4) với điều kiện ¿ a yXj{< = >}b; H i = l,2, ,m (1.6) Xj > ;j = l,2, ,n Trong số trường họp đặc biệt, phận biến toàn biến phải số nguyên Khi toàn biến đèu số nguyên, ta gọi toán tối ưu toán quy hoạch tuyến tính nguyên Khi phận biến số nguyên, ta gọi toán quy hoạch tuyến tính hỗn họp Trong toán quy hoạch phi tuyến, số hạng hàm mục tiêu số hạng điều kiện ràng buộc, xuất tích biến nghịch đảo biến số mũ biến lớn Chẳng hạn, toán sau toán quy hoạch phi tuyến: Cực tiếu hóa (hoặc cực đại hoá) hàm z — X | -ị -5x Xj.x2 với điều kiện: Trong tính toán kết cấu, hàm mục tiêu thường biểu thị đại lượng như: - Trọng lượng, thể tích kết cấu, giá vật liệu nhũng đại lượng cần cực tiểu hóa - Hệ số tải trọng đại lượng cần cực tiểu hóa cực đại hóa tùy theo phương pháp tính toán giai đoạn chảy dẻo Các điều kiện ràng buộc dạng đẳng thức thường điều kiện cân bằng, phương trình công khả dĩ, điều kiện biến dạng liên tục v.v Các điều kiện ràng buộc dạng bất đẳng thức thường điều kiện độ bền, độ cứng, điều kiện chảy dẻo v.v Trong thực tế, toán quy hoạch phi tuyến thường gặp nhiều toán quy hoạch tuyến tính Do đó, phần lớn mục sau dành cho phương pháp giải toán quy hoạch phi tuyến §2 PHƯƠNG PHAP ĐÔ THỊ Phương pháp đồ thị áp dụng cho toán quy hoạch biến số không lớn Giả sử có toán tối ưu: Cực đại hóa hàm mục tiêu z = 3x, + x2 (1.7) với diều kiện: x , + x2 x2 > (d) *> \ / V N *) Đê giải theo phương pháp đô thị, trước hêt, ta đưa hệ điêu kiện (1.8) vê dạng đăng thức: x ,+ x , =10 (a) 3x, + x2 = 24 (b) 2Xj = (1.9) (c) C họn trục Xị iàm trục hoành trục x2 làm trục tung (hình 1.1) Đường thẳng AB biểu thị phương trình (1.9a), đường thẳng EA biểu thị phương trình (1.9b), đường thẳng DB biếu thị phương trình (1.9c) Căn vào hệ điều kiện (1.8), miền nghiệm miền gạch chéo ODBAEO Đây miền lồi(,) Ta có vô số phương án miền nghiệm điều ta quan tâm đến tìm phương án tối ưu cần ý ứng với giá trị khấc z, phương trình (1.7) cho ta họ đường thẳng song song gọi Hình 1.1 đường mức Đường múc xa gốc tọa độ, giá trị z tức giá trị hàm mục tiêu lớn Nấu ta tịnh tiến đường mức đến điểm A (điểm giao hai đường biên EA AB) X ị = 2, x2= z = 18 Nếu tịnh tiên đường mức xa phương án nằm miền nghiệm phương án tối ưu là: max z = 18 ứng với Xj = x2 = Lí thuyết quy hoạch tuyến tính chứng minh miền nghiệm miền lồi, tồn phương án tối ưu điểm đường biên Định lý hướng mò mẫm trình tính toán §3 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Phương pháp đơn hình G B Dantzig đè vào năm 1947 Từđó đến nay, sử dụng rộng rãi xem phương pháp có hiệu lục để giải toán quy hoạch tuyến tính Thục chất phương pháp đơn hình qua việc thành lập bảng, bước cải tiến dần phương án cho cuối ta phương án tối ưu Cách tính cụ thể trình bày số trường họp khác §3.1 Truờng họp điều kiện ràng buộc mang dấu bất đẳng thức < Giả sử có điều kiện:(*) (*) Theo định nghĩa, miền X miền lồi néu ứng với hai điểm Xị,x2 e X —> X = Ả \ +(1 - Ả ) x Ị E X, < Ã < n Ẹi=] auxj ^ bi H (a) b, > Ta viết: (b) X aijxj + yi = b i Từ điều kiện (a), y > Ta gọi y biến đệm Vậy có điều kiện ràng buộc mang dấu bất đẳng thức (bảng 1.2a, hàng cuối), ta chọn cột làm cột chốt Ta gọi cột chốt cột thứp (ở p=l) Các phần tử cột p = a.,, i = 1, 2, Lần lượt tính tỉ số bv ạ,: b / a M= 10/2 = 5; b,/a21 = 24/3 = 8; b3/a31 = 8/2 = 4; Vì b,/a31 = 8/2 = = (b/a j) nên ta chọn a31= làm phần tử chốt (khoanh tròn bảng (1.2a)) Bước Xác định nghịch đảo phần tử chốt: b = l/a*, = 1/2 = 0,5 Trong bảng đơn hình (1.2b), ta thay phần tử chốt số b = 0,5 11 Giai đoạn a) Ta bắt đầu tính từ dầm AB Biểu đồ mômen dầm AB biểu thị hình (4.9d) giá trị mômen MBchưa biét Ta vào giá trị mômen M Bvà giá trị mômen nhịp (250 M / 2) để chọn giá trị mômen dẻo dầm AB M b) c) Theo (4.26) ta có: Mdl > maxỊ|MB|,|2 -M B/2|Ị (4.28) d) Ta cho MBbiến thiên theo giá trị hàng cuối bảng (4.2) Đầu tiên, giả sử gối tựa B tự Thay MB= vào bất đẳng thức (4.28), ta có: Hmh Md| > max {0,250} = 250 Căn vào giá trị hàng cuối bảng (4.2), ta chọn Mdl = 257 (tiết diện số 6) Thay MB= 100 vào bất đẳng thúc (4.28), ta có: Mdl > max {100,200} = 200 Căn vào giá trị hàng cuối bảng (4.2), ta chọn Mdl = 257 (tiết diện số 6) Đối với trường họp MB= 130, MB= 155, MB= 257, ta làm tương tự Cần ý rằng, Mg < 155, giá trị tuyệt đối lớn mômen xuất nhịp MB>155, giá trị tuyệt đối lớn mômen xuất gối tựa Với giá trị mômen dẻo Mdl chọn, ta suy từ bảng (4.2) tiết diện tương ứng trọng lượng dầm tương ứng Chẳng hạn, chọn Mdl = 257, tiết diện tương ứng tiết diện số trọng lượng dầm tính sau: (ị), = 55 = 275kN Đối với trường hợp khác, ta làm tương tự Bảng 4.3 M b (kNm) 100 130 155 175 190 257 168 max Mj 1(kNm) Mdl chọn (kN) Trọng lượng (Ị), (kN) 250 200 185 172,5 175 190 257 257 257 190 175 175 190 257 275 275 225 (210) (210) 225 275 Các số liệu tính toán ghi bảng (4.3) Các giá trị nằm dấu ngoặc ứng với giá trị trọng lượng bé dầm AB Chẳng hạn Mg = 155kNm MB = 175JNm, trọng lượng tưomg ứng dầm 210kN trọng lượng bé so với trường họp khác Giá trị M = 155kNm giá trị Mdl = 175kNm xem phưong án tối ưu cục giai đoạn Đen đây, ta kết thúc giai đoạn chuyển sang giai đoạn Giai đoạn Trong giai đoạn 2, ta kết họp dầm AB BC (hình 4.10a) Biểu đồ mômen dầm ABC biêu thị hình (4 lOb) Theo (4.27) hình (4 lOb), giá trị mômen dẻo dầm BC phải thỏa mãn điều kiện: Md2 > max {|MBỊ,|150-(M , + MC)/2|,|M C|Ị (4.29) Ta cho MBvà Mc biến thiên theo giá trị hàng cuối bảng (4.2) Đầu tiên, giả sử gối tựa C tự do, cố định giá trị Mc = cho MBbiến thiên theo giá trị nói Chẳng hạn, MB = 0, theo (4.29) ta có: Md2 > m ax {0 , , 0j = 150 Căn vào số liệu hàng cuối bảng (4.2), ta chọn Md2 = 155 Tiết diện tương ứng tiết diện số 3, trọng lượng tưcrng ứng dầm BC là: f2 = 40 = 160 kN Nhưng MB = 0, trọng lượng tưong ứng dầm AB 275kN (xem bảng 4.3) Vậy M0 = 0, Mc = 0, tổng trọng lượng hai dầm AB BC là: ệ, + f2= 160+ 275 = 435 kN M, Hk'^ỊỊỊpỊDF^í®^'*«Ull[ỊỊ||ppji^ 150- fi' Hình 4.1Ơ Đối với trường họp MB=100, M b = 130, M b = 257, ta làm tưong tự Các số liệu tính toán ứng với trường họp Mc = ghi bảng (4.4) Giá trị nằm dấu ngoặc biểu thị trọng lượng bé dầm ABC Căn vào cấc số liệu bảng (4.2), (4.3), (4.4), ta nhận thấy dầm liên tục có nhịp với gối tựa c tự (Mc = 0) phương án tói ưu là: Mdl = 190 kNm (suy từ bảng 4.3) ứng với tiết diện số 5; Md2 = 130 kNm (suy từ bảng 4.4) ứng với tiết diện số (suy từ bảng 4.2); tổng trọng lượng bé dầm 369 kNm (bảng 4.4) 169 Bảng 4.4 (Mc = 0) mb max Hu chọn Trọng lượng dầm AB Trọng lượng dầm BC Trọng lượng dầm AB+BC ♦, *2 4>1 + f2 150 155 275 160 435 100 100 100 275 128 403 130 130 130 225 144 (369) 155 155 155 210 160 370 175 175 175 210 168 398 190 190 190 225 180 405 Bây cố định Mc = 100 kNm cho MB biến thiên theo giá trị hàng cuối bảng (4.2) Sau làm tưcmg tự trên, ta số liệu ghi bảng (4.5) Bảng 4.5 (M = 100) Mb max 1m J Md2 chọn Trọng lượng Trọng lượng Trọng lượng dầm AB dầm BC dầm AB + BC ♦ f2 100 100 275 128 403 100 100 100 275 128 403 130 130 130 225 144 (369) 155 155 155 210 160 370 175 175 175 210 168 398 190 190 190 225 180 405 Giá trị nằm dấu ngoặc biểu thị tổng trọng lượng bé dầm Cứ vậy, ta tiếp tục thành lập bảng tiép theo cho trường hợp Mc = 130, Mc = 155, Căn vào số liệu cột cuối bảng trên, ta lập bảng thống kê tổng trọng lượng dầm AB BC ứng với giá trị khác MB Mc (bảng 4.6) Hàng cuối bảng (4.6) ghi giá trị trọng lượng bé dầm ứng với giá trị khác Mc Các số liệu phục vụ cho việc tính toán giai đoạn 170 Bảng 4.6 Mc = Mc = 100 Mc = 130 Mc =155 Mc =175 Mc =190 435 403 419 435 443 455 100 403 403 419 435 443 455 130 (369) (369) (369) 385 393 405 155 370 370 370 (370) (378) (390) 175 398 398 398 378 (378) (390) 190 405 405 405 405 405 405 Min (, + f2)= 2 369 369 369 370 378 390 m b= Giai đoạn Trong giai đoạn 3, ta ghép thêm dầm CD để tạo thành toàn dầm liên tục (hình 4.1 la) Biểu đồ mômen dầm liên tục biểu thị hình (4.1 Ib) a) Md b) c) 100 100 ffỉĩĩw 130 ^^tíĩíĩíĩỉỉỉÌTrK "^IIIỊỊỊỊỊỊpP^ 100 ^ líílỉìtỉK 35 l Ị p p r 185 Hình 4.11 Căn vào bất đẳng thức (4.27) hình (4.1), ta có điều kiện: Md3 > m ax ||M c | , |200-(MC + M d ) / 2| , |Md|Ị (4.30) Lần lượt cho Mc M Dbiến thiên theo giá trị hàng cuối bảng (4.2) Đầu tiên, giả sử gối D tự do, cố định giá trị MD= cho Mc biến thiên theo giá trị nói Chẳng hạn Mc = 0, từ bất đẳng thức (4.30), ta có: Mđ3 > { ,2 0 ,0}= 200 171 Căn vào số liệu hàng cuối bảng (4.2), ta chọn Md3 = 257 suy trọng lượng dầm CD: f3 = 55 = 440 kN Nhưng Mc = 0, ta suy từ hàng cuối bảng (4.6) trọng lượng bé dầm ABC 2 = 369kN Vậy Mc = 0, MD= 0, tổng trọng lượng dầm liên tục là: max { 0 ,1 ,0 } = 150 Từ bảng (4.2), ta chọn Md3 = 155 kNm (tiết diện số 3): Từ bảng (4.5), ta suy Mg = 130 Md2 = 130 (tiết diện số 2) Từ bảng (4.3) ta lại suy Mđl = 190 (tiết diện số 5) Vậy, gối tua D tự do, phương án tối ưu toàn là: tiết diện số (dầm AB); tiết diện số (dầm BC); tiết điện số (dầm CD) 2) Nếu gối tựa D bị ngàm trường họp thí dụ, trọng lượng bé dầm liên tục 625 kN (xem hàng cuối cột bảng 4.7) Từ bảng (4.7), ta suy MD= 100 kNm Mc = 100 kNm 172 Thay giá trị vào bất đẳng thức (4.30), ta có: Md3 > max {100 , 100,100} = 100 kNm Từ bảng (4.2), ta chọn Md3 = 100 kNm (tiết diện số 1) Khi Mc = 100 kNm, ta chọn Md2 = 130 (tiết diện số 2) Mdl = 190 (tiết diện số 5) (xem kết phần trên) Vậy gối tựa D bị ngàm, phương án tối ưu toàn là: tiết diện số (dầm AB); tiết diện số (dầm BC); tiết diện số (dầm CD) Biểu đồ mômen ứng với phương án tối ưu toàn dầm liên tục biểu thị hình (4.1 lc) Các phương án tối ưu dầm liên tục ứng vói trường họp nêu biểu thị hình (4.12) Tiết diện số Tiết diện số Tiết diện số g X X b) X Tiết diện số Tiết diện số Tiết diện số d u X c u d X , X Hình 4.12 a) Phương án tối ưu gói tựa D tự Trọng lượng dầm bang 689 kN b) Phương án tối ưu gối tựa D bị ngàm Trọng lượng dầm 625 kN So sánh phương án này, ta thấy phương án dầm liên tục với gối tựa D bị ngàm kinh tế Căn vào biểu đồ mômen hình (4.1 lc), ta suy cấu phá hoại dầm hình (4.13) D Hình 4.13 Trên sở bảng (4.3)-> (4.7), ta thành lập bảng tổng hợp (4.8) Bảng tương tự bảng (1.16) trình bày §7 chương Qua bảng (4.8), ta thấy rõ trình tự tính toán chuyển tiếp từ phương án tối ưu cục đến phương án tối ưu toàn trình giải toán tối ưu tính dầm liên tục theo phương pháp quy hoạch động 173 Bảng 4.8 ộ,: Trọng lượng bé n hất củ a dầm ABC f?: Trọng lượng dầm CD f3 + 2 ^: Trọng lượng bé n h ất dầm ABCD t-H (Ị), + f2:^ T rọng lượng dầm ABC mb 225 ca f2: Trọng lượng dầm BC 275 275 II (Ị)]: Trọng lượng dầm AB Mb = 100 MB= 130 s Mb = 210 M b = 175 MB= 190 210 225 Mc = Mc = 100 Mc = 130 Mc = 155 Mc = 175 Mc = 190 160 128 144 160 168 180 100 128 128 144 160 168 180 130 144 144 144 160 168 180 155 160 160 160 160 168 180 175 168 168 168 168 168 180 190 180 180 180 180 180 180 435 403 419 435 443 455 100 403 403 419 435 443 455 130 (369) (369) (369) 385 393 405 155 370 370 370 (370) (378) (390) 175 398 398 398 398 (378) (390) 190 405 405 405 405 405 405 2 Mc 369 369 369 370 378 390 Md = 0 440 320 320 320 336 366 100 320 356 288 320 336 360 130 320 288 288 320 336 360 155 320 320 320 320 336 360 175 336 336 336 336 336 360 190 360 360 360 360 360 360 809 689 689 (689) (705) (729) 100 (689) (625) (657) (689) (705) (729) 130 (689) 657 (657) (689) (705) (729) 155 690 690 690 690 706 730 175 714 714 714 714 714 738 190 750 750 750 750 750 750 689 625 657 689 705 729 m d = 100 MD= 130 MD= 155 M d = 175 MD= 190 Chú thích bảng 4.8: Các số liệu dấu ngoặc ứng với trọng lượng bé 174 BÀI TẬP Bài 1: Cực tiểu hóa hàm z = 4x, + x2 - x3 với điều kiện ràng buộc: Xị + x2 + x3 > X , + x3 = 10 Xị + x2 + x3 < 30 X,, x2, x3 > Giải theo phương pháp đơn hình Đáp án: Xj = 0, x2 = 0, x3 = 10, x4 = 2, z = -10 Bài 2: Giải phương pháp đơn hình: Cực đại hóa hàm: z = 2xt + x2 với điều kiện ràng buộc: 5x, + x2 < 30 3x, + x2 < 20 1,5Xj + x2 < 14 X,, x2 > Bài 3: Cực đại hóa hàm: z = 0,4Xj + 0,2x2+ 0,5 x3 + 0,8 x4 với đièu kiện ràng buộc: 3x, + x2 + x3 + 8x < 24.000 3x, + 5x2 + x3 < 12.000 6x,l + 3x,2 + X < 26.500 X,, x2, x3, x4 > Đáp án: X j = 4000; x2 = 0; x4= 2500; z max = 3.600 Bài 4: Cực đại hóa hàm Z = 500X, + 300 x2 + 200x3 + 250x4 với điều kiện ràng buộc: lOx, + x2 + x3 + 2x4 < 2000 8Xj + 5x2 + l,2x3 + 5,6 x4 < 1800 5Xj + 8x + 2,5x3 + 10x4 < 2000 Đáp ấn: X ị = 135; x2 = 0; x3 = 110; x4 = 105; z max = 11575 175 Bài 5: Giải phương pháp građiên: Cực đại hóa hàm: z = 4Xị + 2x2 - x3 với điều kiện ràng buộc: X ị + x2 + x3 > x2 + x3 = 10 X | + x2 + x3 < 30 Đáp án: X1= 0; x2 = 0; x3 = 10; x4 = 2; max z = 10 Bài 6: Giải phương pháp: 1) Phương pháp tuyến tính hóa mẫu 2) Phương pháp građiên Cực đại hóa hàm z = X, + 2x2 - x\ với điều kiện ràng buộc: 3x* + 2xị < XpX, > Đáp án: x ] = 1,258; x2 = 0,7906; max Bài 7: Giải phương pháp quy hoạch hình học: Cực tiểu hóa hàm: z = x,x2 + 3yỊx~{ với điều kiện ràng buộc: xf.x2 > Xj,x2 > Đáp án: z = 6,04 Bài 8: Cho kết cấu hình (hình 1) Tính trọng lượng bé theo phương pháp chuyển vị Chuyển vị ngang chuyển vị đứng D < 4mm ứng suất < 1.106 kN/m2 Các có tiết diện Aị Thanh có tiết diện A2 Đáp ấn: Thể tích bé V = 241600mm3 Bài 9: Cho kết cấu hình Tính trọng lượng bé theo phương pháp chuyển vị Thanh có tiết diện Ar Các 2, ,4 có tiết diện A2và chiều dài = lm a) Chuyển vị đứng nút < 5mm b) Úng suất < 0,16 kN/mm2 Đáp án: a) V = 339100 mm3 b) V = 110300 mm3 176 z = 2, 213 Bài 10: Cho khung hình Tính thể tích bé Chuyển vị ngang cho phép 4mm ứng suất uốn cho phép 15 §3.4 Trường hợp cực tiểu hóa hàm mục tiêu 16 §3.5 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên 17 §3.6 Bài toầrì đối ngẫu 22 §4 Phương pháp građiên ' 26 §4.1 Trường họp hàm mục tiêu có dạng tuyến tính phi tuyến, điều kiện ràng buộc có dạng tuyến tính 28 §4.2 Trường họp hàm mục tiêu có dạng phi tuyến, điều kiện ràng buộc mang dấu < có dạng phi tuyến, điều kiện ràng buộc mang dấu đẳng thức có dạng tuyến tính 35 §5 Phương pháp tuyến tính hóa toán quy hoạch phi tuyến 39 §5.1 Phương pháp tuyến tính hóa bằngchuỗi Taylor 39 §5.2 Phương pháp tuyến tính hóa từngmẫu 42 §5.2.1 Khái niệm hàm lồi, hàm lõm 43 §5.2.2 Nội dung phương pháp tuyến tính hóa mẫu 44 §5.3 Phương pháp tách rời biến 50 §6 Phương pháp quy hoạch hình học 51 §7 Phương pháp quy hoạch động 58 Chuơng hai: Bài toán tói ưu tính kết cấu theo phương pháp lực § Dạng ma trận phương pháp lực 60 179 §1.1 Một số nguyên tắc chung 60 §1.2 Công thúc tính nội lực biến dạng 61 § 1.3 Công thức tính chuyển vị nút- Điều kiện biến dạng liên tục 62 §2 Hàm mục tiêu 63 §3 Bài toán tối ưu tính giàn tĩnh định 65 §4 Phương pháp tuyến tính hoá tùng mẫu áp dụngcho toán tối ưu tính giàn tĩnh định 73 §5 Bài toán tối ưu tính giàn siêu tĩnh 78 §6 Bài toán tối ưu tính khung 85 §6.1 Một số đặc điểm khung 85 §6.2 Bài toán tối ưu 86 §7 Một số điều cần ý giải toán tối ưu theophương pháp lực 96 Chương ba: Bài toán tổi ưu tính kết cấu theo phương pháp chuyển vị § Bài toán tối ưu áp dụng cho hệ giàn §1.1 Phương phấp chuyển vị dạng ma trận 98 98 §1.2 Bài toán tối ưu tính hệ giàn 103 §1.3 Xử lí trường hợp biến âm 104 § 1.4 Thí dụ tính toán 105 §2 Bài toán tối ưu áp dụng cho hệ khung 119 §2.1 Ma trận độ cứng 119 §2 Ma trận biến đổi chuyển vị 121 §2.3 Ma trận độ cứng tổng thể 124 §2.4 Bài toán tối ưu tính khung theo phương pháp chuyển vị 126 §2.5 Xử lí trường hợp biến âm 128 §2.6 Thí dụ tính toán 129 §3 Phương pháp tuyến tính hóa mẫu áp dụng cho toán tối ưu giải theo phương pháp chuyển vị 139 §3.1 Tách rời biến 139 §3.2 Phương pháp tuyến tính hóa mẫu 141 §4 Bài toán quy hoạch nguyên 145 Chương bón: Bài toán tói ưu tính kết cấu giai đoạn chảy dẻo §1 Khái niệm 148 §2 Bài toán tối ưu dựa giả thuyết cứng- dẻo 149 §2.1 Một số giả thiết 180 149 §2.2 Tiết diện tới hạn cấu phá hoại 150 §2.3 Bài toán tối ưu xác định hệ số tải trọng 151 §3 Bài toán tối ưu xác định trọng lượng bé kết cấu 159 §3.1 Cách giải thứ 159 §3.2 Cách giải thứ hai 162 §4 Phương pháp quy hoạch động áp dụng cho toán tối ưu tính dầm liên tục 165 §4.1 Khái niệm 165 §4.2 Thí dụ tính toán 167 Bài tập 175 Tài liêu tham khảo 178 181 TINHKETCAU THEO PHƯƠNG PHÁP T ố i u Chịu ttách nhiệm xuất BÙI HỮU HẠNH Biên tập TRẦN CƯỜNG Chế VIỆT HƯNG Sửa in MINH TưẤN Bìa NGUYỄN HỮU TÙNG In 1000 khổ 19x27cm, Xưởng in Nhà xuất Xây dưng Giấy chấp nhận đăng ký kế hoạch xuất số 66/XB-QLXB-59 ngày 17-01-2003 In xong nộp lưu chiểu tháng 7-2003 [...]... nghim Ta s di chuyn theo hng cú li nht l hng vộct graiờn vuụng gúc vi ng mc z vỡ trờn hng ú, giỏ tr ca hm mc tiờu^ng nhanh nht Theo hng ú, ta di chuyn n im b nm trờn ng biờn ca min nghim Neu t im b, ta li tip tc di chuyn theo hng vộct graiờn thỡ giỏ tr ca hm mc tiờu s tng nhanh nht, nhng im mi li vt ra ngoi min nghim Do ú, ta phi i hng di chuyn Trờn hỡnh (1.3a) ta di chuyn men theo cỏc dng biờn l tt... lm tng t nh trờn Chng hn, trờn hỡnh (1.3b), ta xut phỏt t im a, di chuyn n im b nm trờn ng biờn theo hng vộct graiờn ca hm mc tiờu T im b, men theo ng biờn di chuyn n im c ri t im c di chuyn n im d Khi cỏc iu kin rng buc cú dng phi tuyn (hỡnh 1,3c), ta cng xut phỏt t mt im bt k a nm trong min nghim, men theo hng vộct graiờn ca hm mc tiờu di chuyn n im b nm trờn ng biờn Vỡ cỏc iu kin rng buc õy cú... tr X v X va tớnh trờn 29 Khi mt im mi cú kh nng vt ra ngoi min nghim, ta khụng th tip tc di chuyn theo hng vect graiờn ca hm mc tiờu, m phi di chuyn theo mt hng vect khỏc, chng hn vect n v {r} Gi s X1l mt im nm trờn ng biờn ng vi iu kin rng buc ti hn th i Ta kớ hiu im ú l X Nu t im X , ta di chuyn theo hng vect {r}, s gia ca hm mc tiờu s l Vf(x ).{r} Ti im X cú kh nng mt s bin trit tiờu, chng hn... chuyn theo hng vect graiờn ca hm mc tiờu im mi xỏc nh t phcmg trỡnh (1.48) trong ú giỏ tr X ly bng giỏ tr nh nht trong 2 giỏ tr .J v Xr Xx xỏc nh theo iu kin (1.51) e xỏc nh X2, ta gii phng trỡnh: gi (x1) = b (1.61) Trong ú, ch s i ng vi iu kin rng buc ti hn loi 1 th i, Xj l mt im mi Zoutendijk ra mt phng phỏp xỏc nh vect {r}, va bo m im mi nm trong min nghim, va bo m tng nhanh giỏ tr hm mc tiờu Theo. .. .28) Theo nh ngha ca Gomory t(a) = a - FN(a) t(a) > 0 (1.30) Trong ú: t(a)- phn phõn s ca a; FN(a)- phn nguyờn ca s a FN(a) phi l s nguyờn ln nht tha món iu kin FN(a) < a Thớ d: FN(5) = 5, FN(0,3) = 0; FN(3/2) = 1; FN(-5) = -5; FN(-0,3) = -1; FN(-4/3) = -2 Bc 3 B sung iu kin rng buc (1.29) vo bng n hỡnh cui cựng ó c thnh lp trong bc 1 Xem bng ú l bng n hỡnh u tiờn thnh lp cỏc bng n hỡnh tip theo Nu... ti mi im trong min nghiờm e giỏ tr ca hm mc tiờu tng nhanh nht t im X ta men theo hng vộct griờn ca hm mc tiờu Phng ỏn mi tt hn s l: x , = x 0 + /ld 0 (1.48) Trong ú: - mt hng s dng gi l di ca bc; {d()}- vộct chuyn v ca vộct graiờn ng vi hm mc tiờu ti im X Vộct graiờn ca hm mc tiờu cú dng Vf(x) = ừf_ d dx, dx2 d 1.49) Theo nh ngha trờn õy, vộct ct |d } V f ( x ) = 28 d d ừf ừx, dx2 "" xn (1.50)... vai trũ n c bn v cỏc bin y,, y2, y3, y4 úng vai trũ n t do Mi quan h tng ng gia cỏc bin trong 2 bi toỏn biu th theo s sau õy: bin t do bin c bn vV Bi toỏn i ngu: Bi toỏn gc : y y2 z2 Z1 N- y3 y4 , y5 y 6' z4 X, x2 z3 V bin c bn V (1.45) J bin t do Sau khi hoỏn v hng v ct, ta hoỏn v cỏc bin theo s (1.45) Cui cựng, ta c cỏc bng n hỡnh (1.12c), (1.12d), (1.12e) ca bi toỏn gc Chỳng ln lt tng ng vi cỏc... cú li song cha phi l tt nht Vỡ vy, sau khi xỏc nh vect {r }, ta li tip tc chn di bc X theo cỏc h thc (1.51) (1.52) Bng cỏch trờn õy, ta ci tin dn cỏc phong ỏn Quỏ trỡnh tớnh toỏn s kt thỳc khi no giỏ tr V f(x ).{r} bin thnh õm Khi cỏc iu kin rng buc cú dng tuyn tớnh, ta chn vect {r} sao cho hng di chuyn l hng men theo cỏc ng biờn ca min nghim Thớ d 1.8 Cc i húa hm z = 2x( + x2 (a) ' vi iu kin: 5x,... Nh vy l sau khi xỏc nh di bc ta di chuyn t im a n im b im mi ny nm trờn ng biờn ng vi iu kin rng buc ti hn th nht en õy, ta tip tc di chuyn theo hng vect {r } Ta cú: 32 Vf(xv) {r} = V f(x,) {r}= [2 1] {r, r2} = 2r, + r2 (a) Ta xỏc nh cỏc thnh phn ca vect {r } theo cỏc h thc (1.54b) ng vi iốu kin túi hn th nht (i= 1): [a']{r} = [5 l] { r , r2} = 5r, + r2 (b) Thay cỏc biu thc (a) v (b) vo bi ton (1.54)... vo h phng trỡnh (1.20) v phng trỡnh (1.2la) thnh lp bng n hỡnh (1.5a) Tip theo kh cỏc bin gi to y i v y2 nh ó lm trong Đ3.2 Phn cũn li tin hnh nh trong Đ3.1 Bng n hỡnh cui cựng (1.5d) cho phng ỏn ti u: max z = 100 ng vi X = 20, x2= 10, x3 = 0, x4 = 22 Đ3.4 Trng hp cc tiu húa hm mc tiờu Trong phn trc, cỏc bi toỏn ti u ó c gii theo phng phỏp n hỡnh vi iu kin cc i húa hm mc tiờu Khi cn cc tiu húa hm mc