BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— NGUYỄN HỮU DƯƠNG ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ VÀI NÉT VỀ CẤU TRÚC HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— NGUYỄN HỮU DƯƠNG ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ VÀI NÉT VỀ CẤU TRÚC HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN BANACH Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Quốc Bình Hà Nội - 2015 i Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tới toàn thầy cô giáo Khoa Toán Phòng Sau Đại học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Hà Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả Nguyễn Hữu Dương ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp TS Trần Quốc Bình Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả Nguyễn Hữu Dương Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm đường kính 1.2 Tính lồi 1.3 Cấu trúc chuẩn tắc 1.4 Không gian liên hợp tính phản xạ 1.5 Tôpô yếu tôpô yếu∗ 1.6 Một số tính chất tôpô yếu tôpô yếu∗ 1.6.1 Tính chất 1.6.2 Tính chất 1.6.3 Tính chất (Định lý Alaoglu’s) 10 1.6.4 Tính chất 10 1.6.5 Tính chất (Định lý Eberlin-Smulion) 10 1.6.6 Tính chất 10 1.7 Nguyên lí điểm bất động ánh xạ co 11 1.8 Tập bất biến 11 iii iv Chương Các định lý ánh xạ không giãn 2.1 Các khái niệm 12 12 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach 15 2.3 Định lý điểm bất động ánh xạ không giãn không gian mêtric 19 2.4 Định lý điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert 25 2.5 Tính chất tập điểm bất động tập cực tiểu 27 Chương Vài nét cấu trúc hình học không gian Banach 31 3.1 Cấu trúc chuẩn tắc 31 3.2 Môđun lồi đặc trưng lồi 39 3.3 Mối quan hệ môđun lồi cấu trúc chuẩn tắc 43 3.4 Mối quan hệ cấu trúc chuẩn tắc tính trơn 46 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Mở đầu Lý chọn đề tài Khi hệ số co ánh xạ co Banach 1, tức khi: T x − T y ≤ x − y , ∀x, y ∈ C T gọi ánh xạ không giãn Nói chung, ánh xạ không giãn không thiết có điểm bất động (chẳng hạn T phép quay hình tròn đơn vị quanh tâm góc), mà có điểm bất động không (chẳng hạn T ánh xạ đơn vị) Để ánh xạ không giãn T có điểm bất động ta phải áp điều kiện lên miền C không gian X Năm 1965 xuất báo có tính chất mở đường tồn điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach lồi với C lồi đóng bị chặn (hay giảm nhẹ chút lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc không gian định chuẩn X (chú ý không gian Banach lồi có cấu trúc chuẩn tắc) Từ đến nay, lý thuyết ánh xạ không giãn song hành với nghiên cứu cấu trúc hình học không gian Banach phát triển mạnh mẽ Trong luận văn này, không nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn, cấu trúc tập điểm bất động ánh xạ không giãn mà đề cập sâu đến vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach có liên quan Tài liệu chọn số báo tài liệu sách "Các vấn đề lý thuyết điểm bất động mêtric" hai tác giả Goebel K Kirk W A [4] Trong Kirk W A tác giả báo nhắc tới năm 1965 đến người có uy tín lĩnh vực điểm bất động Quyển sách ông hầu hết người làm việc lĩnh vực sử dụng Qua kết nghiên cứu trên, để góp phần giúp người đọc muốn tìm hiểu lý thuyết ánh xạ không giãn nói chung thân nói riêng hiểu sâu vấn đề Vì vậy, hướng dẫn giúp đỡ TS Trần Quốc Bình, chọn đề tài: “Ánh xạ không giãn vài nét cấu trúc hình học không gian Banach ” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nắm lý thuyết điểm bất động ánh xạ không giãn cấu trúc hình học không gian Banach Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức sở ánh xạ không giãn, lý thuyết điểm bất động, cấu trúc hình học không gian Banach sách, tài liệu có liên quan đến vấn đề nêu Từ áp dụng vào việc hệ thống trình bày luận văn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ không giãn, điểm bất động ánh xạ không giãn cấu trúc hình học không gian Banach Phạm vi nghiên cứu: Các sách tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức lý thuyết ánh xạ không giãn, lý thuyết điểm bất động Dự kiến kết nghiên cứu Luận văn tài liệu tổng quan lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết ánh xạ không giãn cấu trúc hình học không gian Banach Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm đường kính Định nghĩa 1.1 Nếu A tập không gian mêtric (M, ρ) x ∈ M diamA dist (x, A) gọi đường kính tập A khoảng cách từ x đến tập A Được xác định bởi: diamA = sup {ρ (x, y) : x, y ∈ A} dist (x, A) = inf {ρ (x, y) : y ∈ A} Định nghĩa 1.2 Mọi tập D, H X; u ∈ X: ru (D) = sup { u − v : v ∈ D} rH (D) = inf {ru (D) : u ∈ H} CH (D) = {u ∈ H : ru (D) = rH (D)} Khi đó: +Số ru (D) gọi bán kính D so với u +Số rH (D) gọi bán kính chebysher D so với H +Số CH (D) gọi tâm chebysher D so với H 37 Giả sử tập S không compact Khi tồn dãy xn ⊂ S cho w∗ xn → x mà xn không hội tụ mạnh tới x Do r (x) = lim xn − x > Vì l1 ≈ c∗0 nên với f = {fi } ∈ l1 , u = {ui } ∈ c0 ta có: ∞ f (u) = fi ui i=1 w∗ Do xn → x nên xn (u) → x (u) với u ∈ c0 , chọn u véctơ sở ta có xni → xi Do xn hội tụ theo tọa độ tới x Theo bổ đề 3.2, với y ∈ S ta có r (y) = r (x) + x − y Suy ra, x − y = r (y) − r (x) ≤ diamS − r (x) Vì vậy, sup { x − y , y ∈ S} ≤ diamS − r (x) Do r (x) > nên sup { x − y : y ∈ S} < diamS Vậy tập K có cấu trúc chuẩn tắc yếu∗ Định nghĩa 3.3 Một tập khác rỗng, bị chặn, lồi K X gọi có cấu trúc chuẩn tắc với số k ∈ (0, 1) có: r (D) ≤ k.diamD với tập lồi, đóng D K r (D) = inf sup u − v u∈D v∈D Không gian Banach gọi có cấu trúc chuẩn tắc tập khác rỗng, lồi có tính chất Định lý 3.1 Nếu không gian Banach X có cấu trúc chuẩn tắc X phản xạ Chứng minh Lấy dãy Kn0 ⊂ X dãy giảm tập lồi, đóng, bị chặn Đặt c = sup r(C) diamC với C tập lồi bị chặn X 38 Vì X có cấu trúc chuẩn tắc nên c < Lấy k ∈ (c, 1), tập C đặt A (C) = {x ∈ C : x − y ≤ kdiamC, ∀y ∈ C} Khi A (C) = 0, lồi, đóng định nghĩa c hàm lồi, nửa liên tục Ngoài ra, A (C) ⊆ C không diamC < diamC (vô lý) Áp dụng cho dãy Kn0 , sau đặt K11 ∞ = conv A Ki0 ⊂ K10 i=1 Kn1 = conv ∞ A Ki0 ⊂ Kn0 i=n Ta có dãy Kn1 dãy giảm tập lồi, đóng, bị chặn Ta chứng minh diamKn1 ≤ k.diamKn0 Thật vậy, lấy x, y ∈ ∞ i=n A Ki0 Khi tồn n ≤ p ≤ q cho x ∈ A Kp0 , y ∈ A Kq0 Vì Kq0 ⊂ Kp0 nên x − y ≤ k.diamKp0 ≤ k.diamKn0 Do n diamKn1 A Ki0 = diam conv i=1 ⇒ diamKn1 ≤ k.diamKn0 Lặp lại trình ta thu dãy Kni có quan hệ sau: K10 ⊃ K20 ⊃ ⊃ Kn0 ⊃ ∪ ∪ ∪ K11 ⊃ K21 ⊃ ⊃ Kn1 ⊃ ∪ ∪ ∪ K1n ⊃ K2n ⊃ ⊃ Knn ⊃ 39 Ta có: diamKin ≤ k n diamKi0 ≤ k n diamK10 Do diamKin → n → ∞ Theo nguyên lý Cantor ta có ∞ n n=1 Kn = ∅ Vậy dãy giảm tập lồi, đóng, bị chặn có giao khác rỗng, từ suy không gian Banach X phản xạ 3.2 Môđun lồi đặc trưng lồi Định nghĩa 3.4 Môđun lồi không gian Banach X hàm số δX : [0; 2] → [0; 1] định nghĩa bởi: δX ( ) = inf − x+y : x ≤ 1; y ≤ 1; x − y ≥ Nhận xét 3.1 Cho D tập bị chặn, lồi không gian Banach lồi X với diamD = d > Nếu x, y ∈ D thỏa mãn x + y ≥ d m = 21 (x + y) với z ∈ D rm (D) ≤ z − m ≤ − δ d Do X có cấu trúc chuẩn tắc Định nghĩa 3.5 Đặc trưng lồi không gian Banach X số: = (X) = sup { ≥ : δ ( ) = 0} Định lý 3.2 Môđun lồi δ hàm liên tục [0; 2) tăng ngặt [ ; 2) Chứng minh Đặt δ1 ( ) = δ ( ) với ∈ (0; 2) 40 Vì δ hàm tăng ngặt nên với 1, ∈ (0; 2) ta có: |δ1 ( ) − δ2 ( )| = | δ1 ( ) − δ2 ( )| ≤ max {δ ( ) , δ ( )} | − | ≤ − Do δ1 ( ) hàm liên tục Do δ ( ) hàm liên tục nên δ ( ) = δ1 ( ) liên tục (0; 2).Theo định nghĩa δ ta có δ ( ) → → 0+ mà δ (0) = Vậy hàm δ liên tục [0; 2) Với x−y = ; 1− ∈ [ ; 2), lấy x ∈ X: x = y = (1 − ) x Ta có x + y = Vậy, δ ( ) ≤ với ∈ [ ; 2) Ta chứng minh hàm δ tăng ngặt phản chứng Giả sử tồn < [ ; 2) cho δ ( ) = δ ( ) Đặt =k 1 với k > Với x, y ∈ X thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ Đặt u = kx, v = ky Khi ta có u ≤ k, v ≤ k, u − v ≥ k = Từ suy ra: u+v ≤1−δ k = − δ ( ) Do x + y ≤ k1 (1 − δ ( )) x + y ≥ − k1 (1 − δ ( )) Suy 1− Vì δ ( ) ≥ 1, mâu thuẫn với δ ( ) ≤ [ ; 2) ≤ Vậy hàm δ tăng ngặt 41 Nhận xét 3.2 Trong trường hợp tổng quát khó để xác định môđun lồi không gian Banach Mệnh đề 3.1 1) Không gian Banach X lồi =0 2) Không gian Banach X lồi ngặt δ (2) = Chứng minh 1) Vì X lồi nên δ ( ) > với > 0, Ngược lại, = với x+y = > ta có: ≤ 1−δ( ) với x, y ∈ X thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ Vậy không gian X lồi 2) Lấy x, y ∈ X cho x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ Khi ta có x + −y = x + (−y) = Do X lồi ngặt nên tồn λ > cho x = λ (−y) Vì x = −y nên λ = Do x + y = 0, suy δ (2) = Với x, y ∈ X thỏa mãn x = 1, y = 1, x = y Giả sử x + y = Vì δ (2) = nên x−y ≤ − δ (2) = suy x = y mâu thuẫn với x = y Vậy không gian X lồi ngặt Ví dụ 3.4 Cho X C [0; 1] với chuẩn lồi ngặt µ = x xác định x µ x2 (t) dt +µ chuẩn sup thông thường x ≤ x µ ≤ (1 + µ) x với x ∈ C [0; 1] Như δX (2) = Hơn không gian hai chiều E X không gian lồi Do với E; (E) = δE ( ) > 42 với > suy X có không gian hai chiều "gần vuông" Do δX ( ) = 0; ∈ [0; 2) ; δ (2) = (X) = Từ δ (.) liên tục Định nghĩa 3.6 Một không gian Banach X gọi không vuông (X) < Định nghĩa 3.7 Một không gian Banach X gọi siêu phản xạ không gian Y biểu diễn hữu hạn X tự phản xạ Không gian Y gọi biểu diễn hữu hạn không gian X không gian hữu hạn chiều Y0 Y "hầu đẳng cự" đến không gian X, ý nghĩa với λ > tồn đẳng cấu T : Y0 → X cho: λ−1 y ≤ T y ≤ λ y ; y ∈ Y Định lý 3.3 (James, Enflo) Đối với không gian Banach X điều sau tương đương: (a) X siêu phản xạ (b) X có chuẩn tương đương không vuông (c) X có chuẩn tương đương lồi Có không gian Banach phản xạ mà không siêu phản xạ ví dụ Ví dụ 3.5 Cho x ∈ R với x = (x1 , , xn ) ∈Rn ; |x|n1 = n i=1 |xi | ∞ n n ∞ n |x|∞ n = max {|x1 | , , |x|n } Với l1 = R , |.|n , Ln = (R , |.|n ) 43 biểu diễn l2 không gian ln1 {L∞ n } sau:   n   n ∞ n = x D1 < ∞ D1 = x = {x }n=1 : x ∈ ln ; |xi |i   i=1   n   n ∞ n ∞ i ∞ = x D∞ < ∞ D∞ = x = {x }n=1 : x ∈ Ln ; x i   i=1 Mỗi không gian D1 D∞ phản xạ không gian đối ngẫu không gian Tuy nhiên δD1 ( ) = δD∞ ( ) = với ∈ [0; 2] 3.3 Mối quan hệ môđun lồi cấu trúc chuẩn tắc Định nghĩa 3.8 Hệ số cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach X định nghĩa N (X) = sup K r(K) diamK với K tập lồi, bị chặn X diamK > o Từ định nghĩa ta thấy N (X) ≤ 1, N (X) < X có cấu trúc chuẩn tắc Định lý 3.4 Nếu môđun lồi δ không gian Banach X thỏa mãn δ (1) > 0(tức (X) < 1) X có cấu trúc chuẩn tắc N (X) ≤ − δ (1) Chứng minh Gọi K tập lồi, bị chặn X với diamK > đặt d = diamK Với > tồn u, v ∈ K cho u − v ≥ d − 44 Đặt z = 12 (u + v) ∈ K, với x ∈ K ta có x − u ≤ d, x − v ≤ d Suy x − 12 (u + v) ≤ d − δ d− d r (K) ≤ rz (K) ≤ d − δ d− d Từ ta có: Cho → ta có r (K) ≤ d (1 − δ (1)) Do N (X) ≤ − δ (1) Vì δ (1) > nên N (X) < 1, X có cấu trúc chuẩn tắc Nhận xét 3.3 Không gian lồi có cấu trúc chuẩn tắc Định lý 3.5 Cho X không gian Banach, đặt X1 = (X, ) X2 = (X, ) tương đương tức tồn α, β > ≤ x ≤β x cho: α x với x ∈ X Đặt k = αβ , ta có: 1) k1 N (X1 ) ≤ N (X2 ) ≤ kN (X1 ) 2) Nếu (X1 ) < k − δ1 k < (X2 ) < Chứng minh 1) Lấy K tập lồi X Gọi ri (K) , di (K) bán kính đường kính Chebysher K theo αr1 (K) ≤ r2 (K) ≤ βr1 (K) αd1 (K) ≤ r2 (K) ≤ βd1 (K) i với i = 1, ta có: 45 Do k1 N (X1 ) ≤ N (X2 ) ≤ kN (X1 ) 2) Lây > với x, y ∈ X thỏa mãn x ta có x ≤ α−1 , y ≤ 1, y 2 ≤ 1, x − y ≤ ≤ α−1 , x − y ≥ β −1 Khi ta có: x+y ≤ − δ1 k −1 α−1 Suy x+y ≤ − δ1 k −1 k Theo định nghĩa môđun lồi δ2 ( ) cận lớn nên δ2 ( ) ≥ − − δ1 k −1 k > suy (X2 ) < Nhận xét 3.4 Định lý điều kiện đủ để không gian có cấu trúc chuẩn tắc đều, điều ngược lại định lý không Để làm rõ nhận xét ta xét ví dụ sau: √ Ví dụ 3.6 Cho X = l2 , với < λ < 2, đặt Xλ = l2 , x λ = max x −1 ∞, λ x λ Ta chứng minh Xλ có cấu trúc chuẩn tắc Ta có λ−1 x ≤ x λ ≤ x Do hai chuẩn tương đương Vì X không gian Hilbert nên ta xác định môđun lồi X, √ người ta chứng minh N (X) = 2 δ( ) = 1− Ta có: 1− Gọi δλ môđun lồi Xλ Với k = λ ta có: δλ ( ) ≥ − λ 1− 4λ2 √ √ Vì − λ − 4λ2 > với > λ2 − nên (Xλ ) ≤ λ2 − √ √ Lấy x = λ2 − 1, 1, 0, , y = − λ2 − 1, 1, 0, 46 Ta có x λ = 1, y λ = 1, x − y √ δλ λ2 − = √ Vậy (Xλ ) = λ2 − λ √ = λ2 − 1, x + y λ = Do √ Theo định lý 3.5 ta có N (Xλ ) ≤ λN (X) = λ 2 Vì λ < nên N (Xλ ) < 1, Xλ có cấu trúc chuẩn tắc Mặt khác λ 1− √ 4λ2 (Xλ ) √ < 25 < < Từ suy (Xλ ) < λ Vậy, với √ ≤ λ ≤ (Xλ ) ≥ nhiên Xλ có cấu trúc chuẩn tắc 3.4 Mối quan hệ cấu trúc chuẩn tắc tính trơn Định nghĩa 3.9 Không gian Banach X gọi trơn với x ∈ X với x = 1, tồn x∗ ∈ X∗ cho x∗ = x∗ (x) = Định nghĩa 3.10 Một không gian Banach X gọi trơn với x, y ∈ X; x = 0; ϕx ∈ X∗ giới hạn lim t−1 [ x + ty − x ] = ϕx (y) t→0 tồn tập {(x, y) : x = y = 1} Do X trơn với > 0, tồn δ > cho |t| < δ với x, y ∈ X x = y = ta có: | x + ty − x − ϕx (y)| < |t| Nhận xét 3.5 Như mở rộng tính trơn không gian Banach cách đưa môđun trơn 47 Định nghĩa 3.11 Môđun trơn không gian Banach X hàm: ρX : [0; ∞) → [0; ∞) định nghĩa bởi: ρX (T ) = sup [ x+Ty + x−Ty ]−1: x = y =1 Nhận xét 3.6 Có thể thấy không gian Banach X trơn khi: ρX (T ) T →0 T ρX (0) = lim = Định lý 3.6 (Lindenstrauss-Tzafriri) Với không gian Banach X: (a) ρX∗ (T ) = sup (b) ρ,X∗ = lim T →0 T ρX∗ (T ) T − δX ( ) : ≤ ≤ với T > = (X) (c) X lồi X∗ trơn Chứng minh Với T > 0; x, y ∈ X x∗ , y ∗ ∈ X∗ ta có: 2ρX∗ (T ) = sup { x∗ + T y ∗ + x∗ − T y ∗ − : x∗ = y ∗ = 1} = sup {x∗ (x) + T y ∗ (x) + x∗ (y) − T y ∗ (y) − : x = y = 1} = sup { x + y + T x − y − : x = y = 1} = sup { x + y + T − : x − y = ; ≤ ≤ 2} = sup {T − 2δX ( ) : ≤ ≤ 2} Khẳng định (a) (b) chứng minh dựa vào điều 48 Định lý 3.7 Nếu không gian Banach X có tính chất ρ,X (0) < X siêu phản xạ có cấu trúc chuẩn tắc Chứng minh Từ tính siêu lồi không gian ta có đối ngẫu mà < Nếu X không siêu phản xạ với c < 1; tồn x1 , x2 hình cầu đơn vị X x∗1 , x∗2 hình cầu đơn vị X∗ cho: x∗1 (x1 ) = x∗1 (x2 ) = x∗2 (x2 ) = 0; x∗2 (x1 ) = Do với T > 0: ( x2 + T x1 + x2 − T x1 ) − ≥ [x∗1 (x2 + T x1 ) + x∗2 (x2 − T x1 )] − T − =c 1+ ρX (T ) ≥ Khi c < tùy ý ; ρX (T ) ≥ T2 Bây giả sử X cấu trúc chuẩn tắc nghĩa tồn dãy {xn } hình cầu đơn vị X mà w − lim xn = 0; lim xn = 1; n→∞ n→∞ diam {x1 , x2 , } ≤ Xét dãy {x∗n } phiếm hàm có chuẩn x∗n (xn ) = xn Khi X phản xạ; ta giả sử {x∗n } hội tụ yếu đến số x∗ ∈ X Chọn i để x∗ (xi ) < ; xn > − với n > sau cho j > i đủ lớn ta có: x∗j − x∗ (xi ) < |x∗i (xj )| < 49 Do x∗j (xi ) < ta có với T ∈ (0; 1): ( xi − xj + T xi + xi − xj − T xi ) − |x∗i ((1 + T ) xi − xj )| + x∗j (xj − (1 − T ) xi ) ≥ > ((1 + T ) (1 − ) − + − − (1 − T ) ) − T = −2 ρx (T ) ≥ Do > tùy ý; ρX ≥ T từ ρ,X (0) > −1 trái với giả thiết ρ,X (0) < 21 50 Kết luận Luận văn trình bày khái niệm ánh xạ không giãn Một số định lý điểm bất động ánh xạ không giãn không gian: Banach, Mêtric, Hilbert Đặc biệt ba định lý Kirk, Browder, Gohde không gian Banach Trong định lý Browder Gohde có kết trùng nhau; định lý Kirk mở rộng phần hai định lý Dùng kết định lý Kirk để chứng minh hai định lý Browder-Gohde Luận văn hệ thống số nét cấu trúc hình học không gian Banach như: cấu trúc chuẩn tắc, môđun lồi, tính trơn, Mối quan hệ cấu trúc chuẩn tắc môđun lồi, mối quan hệ cấu trúc chuẩn tắc tính trơn Hà Nội, tháng 8, năm 2015 Tác giả Nguyễn Hữu Dương 51 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] Browder F.E (1965),“Nonexpansive nonlinear operator in a Banach space”, Proc Nat Acad Sci , (54), 1041-1044 [3] Edelstein M (1966), “A remark on theorem of M A Krasmoselskii”, Amer Math Monthly, (13), 509-510 [4] Goebel K and Kirk W A (1990), Toppic in metric fixed point theory, Cambridge University Press [5] Gohde D (1965), “Zum Prinzipder kontraktiven Abbildung”, Math Nach, (30), 251-258 [6] Kirk W A (1965),“A fixed point theorem for mappings wich not increase distances”, Amer Math Monthly, (72), 1041-1044 [7] Lim T C (1980), “Asymptopic centers and nonexpasive mappings in some conjugate”, Pacific J.Math, (90), 135-143 [...]... đó T là ánh xạ không giãn ổn định 31 Chương 3 Vài nét về cấu trúc hình học của không gian Banach 3.1 Cấu trúc chuẩn tắc Định nghĩa 3.1 Tập lồi K trong không gian định chuẩn X được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn H của nó với diamH > 0 đều chứa một điểm x ∈ H sao cho: sup { x − z : z ∈ H} < diamH Ví dụ 3.1 Mọi tập hợp compact trong không gian Banach đều có cấu trúc chuẩn... d2 Vậy (X, A (X)) có cấu trúc chuẩn tắc đều Từ Mệnh đề 2.1 và Bổ đề 2.5 ta có: Hệ quả 2.2 Cho X là không gian mêtric siêu lồi, bị chặn Khi đó mỗi ánh xạ không giãn T : X → X có điểm bất động 2.4 Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Định lý 2.6 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H; ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn Các mệnh đề... Nhận xét 2.2 Bất kì tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach đều là tập hầu như có tính chất điểm bất động đối với họ các ánh xạ không giãn 2.2 Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach Định lý 2.2 (Kirk) Cho K là một tập lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T : K → K là ánh xạ không giãn Khi đó T có điểm bất động trong K... chặn trong không gian Hilbert H Ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn Khi đó, T có một điểm bất động trong C 2.5 Tính chất của tập điểm bất động và tập cực tiểu Định nghĩa 2.5 Một tập K khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X gọi là có tính chất bất động đới với ánh xạ không giãn, nếu với mỗi ánh xạ không giãn T : K → K đều có điểm bất động Định nghĩa 2.6 Một không gian Banach X được... động của ánh xạ co Định lý 1.2 Cho không gian Banach H, nếu ánh xạ f : H → H là ánh xạ co thì ánh xạ f : H → H có duy nhất điểm bất động x0 ∈ H, nghĩa là f (x0 ) = x0 1.8 Tập bất biến Định nghĩa 1.15 Một tập con D khác rỗng, lồi, đóng của K gọi là tập bất biến đối với ánh xạ T : K → K nếu T (D) ⊂ D 12 Chương 2 Các định lý cơ bản về ánh xạ không giãn 2.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 2.1 Ánh xạ T... xỉ" của T 2.3 Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian mêtric Định nghĩa 2.3 Cho X là không gian mêtric và C là họ các tập con của X Cặp (X, C) được gọi là cấu trúc lồi mêtric nếu: a) Cả X và ∅ thuộc C b) Giao của một họ các phần tử trong C là thuộc C c) C chứa các hình cầu đóng trong X Một tập con trong X được gọi là chấp nhận được nếu nó là giao của một họ các hình. .. Nếu (X, C) có cấu trúc lồi mêtric chuẩn tắc đều thì (X, C) có cấu trúc compact đếm được 24 Hệ quả 2.1 Cho X là không gian mêtric đầy đủ, bị chặn và cặp (X, C) có cấu trúc chuẩn tắc đều Khi đó mỗi ánh xạ không giãn T : X → X có điểm bất động Sau đây ta ứng dụng kết quả trên cho lớp không gian mêtric siêu lồi Bổ đề 2.5 Cho (X, d) là không gian mêtric siêu lồi Khi đó: 1) (X, d) là không gian mêtric đầy... [0; 1] : 0 và đặt:   min {2f (2t) , 2} :0 ≤ t ≤ 1 2 (T f ) (t) =  max {2f (2t − 1) − 2, 0} : 1 ≤ t ≤ 1 2 Khi đó K là tập lồi, compact yếu, T là ánh xạ đẳng cự trong K (tức là T f − T g = f − g ) nhưng không có điểm bất động Vì L1 [0; 1] là không gian Banach không phản xạ nên một câu hỏi nữa lại xuất hiện Một ánh xạ không giãn trong một tập lồi, đóng, bị chặn của một không gian Banach phản xạ có nhất... ≤, và do đó là cực tiểu và T -bất biến 14 Bổ đề 2.1 Nếu K là khác rỗng, lồi, đóng và là tập cực tiểu và T -bất biến thì: K = convT (K) Chứng minh Rõ ràng convT (K) là lồi, đóng và T -bất biến Bởi tính cực tiểu của K nó không thể là tập con thực sự của K K = convT (K) Bổ đề 2.2 Nếu K là tập lồi, đóng của không gian lồi ngặt X và T : K → K là ánh xạ không giãn thì tập các điểm bất động của T là đóng và. .. nghĩa 1.10 Không gian liên hợp X∗ của X; X∗ = L(X, R) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X: x∗ (x) = x, x∗ ; x ∈ X, x∗ ∈ X∗ 9 Định nghĩa 1.11 Không gian X∗∗ = L (X∗ , R) gọi là không gian liên hợp thứ hai của X Ánh xạ x → x∗∗ gọi là ánh xạ chính tắc hay phép nhúng chính tắc của X trong X∗∗ Định nghĩa 1.12 Nếu phép nhúng chính tắc x → x∗∗ là toàn ánh thì X gọi là phản xạ: X = X∗∗