TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ MAI NHIỄU CỦA KHUNG GABOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ MAI NHIỄU CỦA KHUNG GABOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN QUỲNH NGA HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Quỳnh Nga, định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau Đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Mai Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:”Nhiễu khung Gabor” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Mai Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Phép biến đổi Fourier 1.1.1 Phép biến đổi Fourier không gian L1 Rd 1.1.2 Phép biến đổi Fourier không gian L2 Rd Khung sở Riesz tổng quát không gian Hilbert H 1.2.1 Khung không gian Hilbert tổng quát 1.2.2 Cơ sở Riesz không gian Hilbert 17 1.3 Nhiễu khung sở Riesz tổng quát 18 1.4 Khung Gabor 32 1.4.1 Khung Gabor L2 (R) 33 Khung Gabor không gian L2 Rd 38 Định lý Kadec 43 1.4.2 1.5 Nhiễu khung Gabor 49 2.1 Nhiễu khung Gabor L2 (R) 49 2.2 Nhiễu khung Gabor L2 (Rd ) 64 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 Mở đầu Lí chọn đề tài Khung R J Duffin A C Schaeffer [4] đưa vào năm 1952, họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau báo [3] I Daubechies, A Grossmann Y Meyer khung nhà khoa học quan tâm rộng rãi Khung sử dụng nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, nén liệu, lý thuyết mẫu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử Một khung xem sở trực chuẩn suy rộng Nếu dãy {fi } khung cho không gian Hilbert H véc tơ f ∈ H viết tổ hợp tuyến tính vô hạn phần tử fi Các hệ số không thiết khai triển nói chung không trực giao Nhờ tính thừa mà khung có nhiều ứng dụng quan trọng xử lý tín hiệu hình ảnh cho tính bền vững: chất lượng tín hiệu bị ảnh hưởng có nhiễu tiếng ồn tín hiệu khôi phục lại từ mẫu có độ xác tương đối thấp Khung Gabor L2 (R) khung có cấu trúc đặc biệt, tạo thành từ hàm g ∈ L2 (R) nhờ phép tịnh tiến điều biến, tức khung có dạng {gj,k }j,k∈Z , gj,k (t) = eijbt g (t − ka) với a, b ∈ R, a, b > Ý tưởng ban đầu thuộc Gabor [5], ông xét dãy hàm có dạng gj,k với g hàm Gauss, g(x) = e −x2 ab = 2π Giải tích Gabor theo hướng hoàn toàn từ báo [3] I Daubechies, A Grossmann Y Meyer Đây lần kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung Khung Gabor sử dụng rộng rãi lý thuyết truyền thông, lượng tử nhiều lĩnh vực khác Bài toán tính ổn định khung đặt sau: cho trước khung {fk } không gian Hilbert H Nếu dãy {gk } gần với khung {fk } theo nghĩa liệu có kéo theo {gk } khung hay không? Trong trường hợp đặc biệt khung xét khung Gabor có hai vấn đề đặt 1) Nếu {gj,k }j,k∈Z khung Gabor h ∈ L2 (R) "gần" với g có suy {hj,k }j,k∈Z khung? 2) Nếu {gj,k }j,k∈Z khung Gabor điểm {(µj,k , λj,k )}j,k∈Z "gần" với {ka, jb}j,k∈Z gµj,k ,λj,k j,k∈Z có khung không? Với mong muốn hiểu biết sâu sắc tính ổn định khung Gabor đồng ý hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga, định chọn đề tài nghiên cứu "Nhiễu khung Gabor" làm đề tài cho luận văn Thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày nhiễu khung Gabor L2 (R) L2 Rd Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khung sở Riesz tổng quát không gian Hilbert, nhiễu khung sở Riesz tổng quát, khung Gabor, Định lý Kadec, nhiễu khung Gabor L2 (R) L2 Rd 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Khung Gabor nhiễu khung Gabor Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích hàm, giải tích Fourier Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất khung Gabor nhiễu khung Gabor Đóng góp luận văn Trình bày cách tổng quan nhiễu khung Gabor Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm kết chuẩn bị cho chương sau Nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1]-[5], [9] 1.1 Phép biến đổi Fourier Ta sử dụng kí hiệu sau luận văn   p d L R := f : Rd → C|f đo  |f (x)|p dx < ∞   ,  Rd ≤ p < ∞ Lp Rd không gian Banach với chuẩn  f Lp (Rd )  p1 |f (x)|p dx = Rd L∞ Rd := f : Rd → C|f đo ∃C, |f (x)| ≤ C h.k.n L∞ Rd không gian Banach với chuẩn f L∞ (Rd ) : = esssup |f (x)| x∈Rd = inf {C| |f (x)| ≤ C h.k.n } 1.1.1 Phép biến đổi Fourier không gian L1 Rd Định nghĩa 1.1.1 Phép biến đổi Fourier hàm f ∈ L1 Rd cho công thức fˆ (ω) = (Ff ) (ω) := e−i x, ω f (x) dx, Rd d x, ω = xk ωk , x = (x1 , x2 , , xd ), ω = (ω1 , ω2 , , ωd ) k=1 Một số tính chất fˆ (ω) với f ∈ L1 Rd cho hai định lý sau Định lý 1.1.1 Cho f ∈ L1 Rd Khi i) fˆ ∈ L∞ Rd , fˆ ∞ d ≤ f L1 (Rd ) ; L (R ) d ii) fˆ liên tục R ; iii) fˆ (ω) → ω → ±∞ Định lý 1.1.2 Nếu f, g ∈ L1 Rd β, γ ∈ C, a, b, ω ∈ Rd , α ∈ Zd+ i) F {βf + γg} = β F {f } + γ F {g} ii) F {Ta f } (ω) = e−i a,ω fˆ (ω) iii) F (Eb f ) (ω) = fˆ (ω − b) iv) (Dα f )∧ (ω) = (iω)α fˆ (ω) Ta f (t) := f (t − a) , Eb f (t) := ei b,t f (t) ∂ αd ∂ α1 Ở ta sử dụng ký hiệu ω α = dj ωjαj , Dα = ∂xα1 ∂xαd d α = (α1 , α2 , , αd ) ω = (ω1 , ω2 , , ωd ) 1.1.2 Phép biến đổi Fourier không gian L2 Rd Định lý 1.1.3 Cho f ∈ L1 Rd ∩ L2 Rd Khi phép biến đổi Fourier f fˆ ∈ L2 Rd thỏa mãn đồng thức Parseval fˆ d = L (R ) (2π) d f L2 (Rd ) Cho σ, η hai số dương cho R := 8ηH g + 8σH (˜ g ) + 64σηH g˜ < A Khi với dãy {(µj,k , λj,k )}j,k∈Z ⊂ R2 mà |µj,k − ka| < η, |λj,k − jb| ≤ σ, ∀j, k ∈ Z hệ Gabor Eµj,k Tλj,k g j,k∈Z A 1− khung với cận khung là: R A , B 1+ R B Các điều kiện Định lý 2.1.7 ngụ ý tồn hình cầu mở B (0, ε) R2 có tâm gốc O bán kính ε cho với lựa chọn điểm (µj,k , λj,k ) với (µj,k , λj,k ) ∈ (ka, jb) + B (0, ε) , ∀j, k ∈ Z dẫn đến Eλj,k Tµj,k g j,k∈Z khung Đặc biệt tất điểm (ka, jb) nhiễu cách 2.2 Nhiễu khung Gabor L2(Rd) Định lý 2.2.1 Cho g, h ∈ L2 Rd {gj,k }j,k∈Z khung Gabor (cơ sở Riesz Gabor) với cận A B L2 (Rd ) Nếu g x + 2lπb−1 − ka − h x + 2lπb−1 − ka M = esssup k,l∈Zd < ˜b (2π)d {hj,k }j,k∈Z khung Gabor (cơ sở Riesz Gabor) với cận A − B + M A 2 , M = (2π)d ˜b−1 M Chứng minh Từ bất đẳng thức H¨older, | f, gj,k − hj,k |2 j,k∈Zd 64 M A A 2 f (x) g (x − ka) − h (x − ka) e = −i jb,x dx j,k = (2π)d ˜b−1 f x + 2nπb−1 (g (x + 2πnb−1 − ka) | [−πb−1 ,πb−1 ] k n − h (x + 2πnb−1 − ka))|2 dx = (2π)d ˜b−1 f (x) g x + 2πlb−1 − ka − h x + 2πlb−1 − ka k,l f (x + 2πlb−1 ) g (x − ka) − h (x − ka) ≤ (2π)d ˜b−1 dx |f (x) (g x + 2πlb−1 − ka − h(x + 2πlb−1 ( k,l − ka))|2 dx) 2 f x + 2πlb−1 (g (x − ka) − h (x − ka)) dx = (2π)d ˜b−1 |f (x) (g x + 2πlb−1 − ka k,l − h(x + 2πlb−1 − ka))|2 dx ≤ (2π)d ˜b−1 esssup g x + 2πlb−1 − ka − h x + 2πlb−1 − ka f k,l = (2π)d ˜b−1 M f Từ Hệ 1.3.1, ta suy điều phải chứng minh Định lý 2.2.2 Cho g, h ∈ L2 Rd {gj,k }j,k∈Zd khung Gabor (cơ sở Riesz Gabor) với cận A B L2 (Rd ) Nếu ˆ ξ + 2πla−1 + jb gˆ ξ + 2πla−1 + jb − h M = esssup Do cos (πL) − sin (πL) > − α91−d , tức là, B1 (L) < α.91−d 2π , m0 ∈ N, g ∈ L2 Rd , {gj,k }j,k∈Zd Định lý 2.2.8 Cho ab = m0 khung Gabor (cơ sở Riesz Gabor) với cận khung A, B L2 (Rd ), A suppg ⊂ In0 ,a = [0, a]+n0 a, n0 ∈ N Nếu < α < (2π)d ˜b−1 , |j − βj | ≤ B −1 −1 − α91−d (q) √ L < , π cos , gj,k khung Ga− 4 bor (cơ sở Riesz Gabor) với cận A − M = B.Bd (L) ˜b (2π)d M A 2 B − M A 2 A Chứng minh Từ Bổ đề 2.2.1, Bd (L) < α < (2π)d ˜b−1 Định lý 1.5.1 B d d ta In,a = [0, 2π] + 2nπ cho [−π, π] + 2nπ , n ∈ Zd Chứng minh tương Bổ đề 1.5.1 Bổ đề 1.5.2 B1 (L) trước 73 2πb−1 , nghĩa [0, a] ⊂ [0, 2πb−1 ] Với k ∈ Zd , đặt Ik,a = m0 In0 ,a + ka, tồn nk ∈ Zd cho Ik,a ⊂ Ink ,b = [0, 2πb−1 ] + 2πb−1 nk Do a = Từ Hệ 1.5.1 Định lý 1.4.5 ta có (q) f, gj,k − gj,k j,k∈Zd f (x) g (x − ka) e−i x,jb − e−i x,βj b = dx Ik,a j,k∈Zd f (x) g (x − ka) e−i x,jb − e−i x,βj b = j,k∈Zd dx Ink ,b (2π)2d ˜b−2 = f (x) g (x − ka), ei x,jb − ei x,βj b k∈Zd j∈Zd ≤ (2π)2d ˜b−2 Bd (L) f (x) g (x − ka) k∈Zd 2 L2 (Ink ,b ) L2 (Ink ,b ) f (x) g (x − ka) dx = Bd (L) k∈ZdIn k ,b f (x) g (x − ka) dx = Bd (L) k∈Zd R ≤ Bd (L) < α˜bB d ˜b d (2π) f B f 2 (2π) 2π d A˜b−1 α˜bB < A Do α < nên B (2π)d Từ Hệ 1.3.1, suy điều phải chứng minh Định lý 2.2.9 Cho g ∈ L2 Rd , {gj,k } khung Gabor (cơ sở Riesz 74 Gabor) với cận A B L2 (Rd ) Nếu M = 2.(2π)d˜b−1 esssup g x + 2πlb−1 − ka − g x + 2πlb−1 − λk a k,l |(j − βj ) b|2 +2 j (p,q) gj,k |g (x − λk a)|2 dx < A, |x|2 k khung Gabor (cơ sở Riesz Gabor) với cận M A A 1− B + M A 2 Chứng minh Sử dụng kĩ thuật trên, ví dụ Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.7 ta có (p,q) f, gj,k − gj,k j,k∈Zd ≤ ( f (x) e−i jb,x g (x − ka) − g (x − λk a) dx j,k f (x) g (x − λk a) e−i jb,x − e−i βj b,x + dx )2 ≤ 2( f (x) e −i jb,x g (x − ka) − ϕ (x − λk a) dx j,k f (x) g (x − λk a) e + −i jb,x −i βj b,x −e dx ) j,k = (I1 + I2 ) , −i jb,x I1 = f (x) e g (x − ka) − g (x − λk a) dx j,k = (2π)d ˜b−1 f x + 2πnb−1 (g (x + 2πnb−1 ) | k n − g (x + 2πnb−1 − λk a))|2 dx 75 ≤ (2π)d ˜b−1 |f (x) (g x + 2πlb−1 − ka k,l − g x + 2πlb−1 − λk a )|2 dx ≤ (2π)d ˜b−1 esssup |g x + 2πlb−1 − ka k,l − g x + 2πlb−1 − λk a |2 f f (x) g (x − λk a) e I2 = −i jb,x −i βj b,x −e dx j,k |(j − βj ) b|2 ≤ j |x|2 |g (x − λk a)|2 dx f k Từ đó, theo Hệ 1.3.1, ta suy điều phải chứng minh 76 Kết luận Luận văn hệ thống hóa cung cấp thêm chi tiết kết nhiễu khung Gabor trường hợp biến nhiều biến Cụ thể luận văn trình bày kiến thức chuẩn bị chương gồm phép biến đổi Fourier, khái niệm khung sở Riesz không gian Hilbert tính chất chúng, kết nhiễu khung sở Riesz tổng quát, đặc biệt sâu vào nghiên cứu khung có cấu trúc đặc biệt khung Gabor Định lý Kadec Chương trình bày kết nhiễu khung Gabor bao gồm nhiễu của hàm sinh nhiễu tham số tịnh tiến trường hợp biến nhiều biến Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Mai 77 Tài liệu tham khảo [1] J Benedetto and D Walnut (1993), "Gabor frames for L2 and related spaces", Wavelets mathematics and applications, CRC Press, Boca Raton, 97-162 [2] O Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser, Boston [3] I Daubechies, A Grossmann and Y Meyer (1986), “Painless nonorthogonal expansions”, J Math Phys Vol 72, 1271 – 1283 [4] R J Duffin and A C Schaeffer (1950), “A class of nonharmonic Fourier series”, Trans Amer Math Soc., Vol.72, 314 – 366 [5] S J Favier and R A Zalik (1995)," On the stability of frames and Riesz bases", Appl Comp Harm Anal , Vol 2, 160 - 173 [6] D Gabor (1946), “Theory of communication”, J IEE, Vol 93, No 3, 429-457 [7] Z Jing (1999), “On the stability of wavelet and Gabor frames (Riesz bases)”, J Fourier Anal Appl., Vol 5, No 1, 106 – 125 [8] W Sun and X Zhou (2001), “On the stability of Gabor frames”, Adv Appl Math., Vol 26, 181 – 191 [9] R Young (1980), An introduction to nonharmonic Fourier series, Academic Press, New York 78 [...]... là một khung với toán tử khung S với các cận khung A, B Khi đó ta có các khẳng định sau i)S bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương ii) S −1 fk ∞ k=1 là khung với các cận B −1 , A−1 Nếu A, B là các cận tối −1 −1 ưu của {fk }∞ là tối ưu của S −1 fk k=1 thì các cận B , A khung của S −1 fk ∞ k=1 ∞ k=1 Toán tử là S −1 Khung S −1 fk được gọi là khung đối ngẫu của {fk } Khai triển khung dưới... Do một khung {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel nên toán tử ∞ 2 T : l (N) → H, T {ck }∞ k=1 = ck fk k=1 bị chặn bởi Định lý 1.2.1 T được gọi là toán tử tổng hợp Gọi T ∗ : H → l2 (N) là toán tử liên hợp của T Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có T ∗ f, ej = f, T ej = f, fj ∗ Từ đó T ∗ f = { f, fj }∞ j=1 T được gọi là toán tử phân tích Hợp thành của T và T ∗ được gọi là toán tử khung. .. khung như sau Định nghĩa 1.2.2 Một dãy {fi }∞ i=1 trong H là một khung nếu tồn tại hai hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho ∞ A f 2 | f, fi |2 ≤ B f ≤ 2 , ∀f ∈ H i=1 Các số A, B được gọi là các cận của khung Chúng không là duy nhất Cận khung dưới tối ưu là supremum trên tất cả các cận khung dưới và cận khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên Chú ý rằng các cận khung tối ưu là các cận khung. .. là một khung của V khi và chỉ khi span {fj }m j=1 = V Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần thiết để là cơ sở Đặc biệt, nếu {fj }kj=1 là một khung của V và {gj }m j=1 là một tập hữu hạn tùy ý các vec tơ trong V thì {fj }kj=1 {gj }m j=1 cũng là một khung của V √ 3 1 Ví dụ 1.2.1 Lấy H = R2 ,e1 = (0, 1) ,e2 = , 2 2 3 {e1 , e2 , e3 } là một khung chặt với cận khung. .. sử f ∈ H Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Bổ đề 1.2.3 ta có ∞ −1 ∞ −1 f = SS f = f, S −1 fi fi , ∀f ∈ H S f, fi fi = i=1 i=1 Do {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel và f, S −1 fk ∞ k=1 ∈ l2 (N), theo Hệ quả 1.2.3, chuỗi hội tụ không điều kiện Định lý sau cho ta đặc trưng của khung thông qua toán tử liên hợp của nó Định lý 1.2.3 Một dãy {fk }∞ k=1 trong H là khung của H khi và chỉ khi ∞ T : {ck... 1.2.3, toán tử tổng hợp T là tuyến tính liên tục, toàn ánh ∞ ci fi = 0 kéo theo ci = 0, ∀i nói lên T là đơn ánh Điều kiện i=1 Vậy T là song ánh thỏa mãn fi = T ei , ∀i Do đó {fi }∞ i=1 là cơ sở Riesz Mệnh đề được chứng minh Định lý 1.2.4 Một cơ sở Riesz {fk }∞ k=1 của H là một khung của H với các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung Cơ sở đối ngẫu Riesz là S −1 fk 1.3 ∞ k=1 Nhiễu của các khung. .. ngẫu của {fk } Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu {fk } là một khung của H thì mọi phần tử trong H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung Do đó ta có thể xem như một dạng cơ sở suy rộng Định lý 1.2.2 Giả sử {fk }∞ k=1 là một khung với toán tử khung là S Khi đó ∞ f, S −1 fk fk , ∀f ∈ H, f= k=1 chuỗi hội tụ không... }∞ i=1 ci gi = 0 ta suy ra ci = 0, ∀i Do đó từ i=1 1.4 Khung Gabor Trong mục này chúng ta xét một lớp khung có cấu trúc đặc biệt trong L2 (R) và L2 Rd , được tạo thành từ một hàm g ∈ L2 (R) và L2 Rd nhờ các phép tịnh tiến và điều biến Trước tiên chúng ta nghiên cứu khung Gabor trong L2 (R) Nội dung của Mục 1.4.1 được tham khảo trong [2] 32 Khung Gabor trong L2 (R) 1.4.1 Ta ký hiệu   2 L (R) = f :... một công cụ linh hoạt hơn Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần thiết Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung cần đến cho chương 2... + λ) B + µ µ =B 1+λ+ √ B 2 Bây giờ ta chứng minh {gk }∞ k=1 là một cận khung dưới ∗ Vì {fk }∞ k=1 là khung, toán tử khung S = T.T là khả nghịch theo Bổ đề 1.2.3 và ta có thể định nghĩa một toán tử T + : H → l2 (N) , T + f := T ∗ (T T ∗ )−1 f = 20 f, (T T ∗ )−1 fk ∞ k=1 (1.5) ∞ f, (T T ∗ )−1 fk Chú ý rằng k=1 là khung đối ngẫu của {fk }∞ k=1 do đó theo Bổ đề 1.2.3 ta có T +f 2 ≤ ∞ ∞ ck fk và Do k=1