Mục lục Lời nói đầu Danh mục ký hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian véc tơ tôpô 1.2 Ánh xạ đa trị 12 1.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị 13 HÀM VÔ HƯỚNG HÓA PHI TUYẾN 19 2.1 Khái niệm hàm vô hướng hóa phi tuyến 2.2 Tính chất hàm vô hướng hóa phi tuyến 19 20 SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VÉC TƠ KY FAN SUY RỘNG 26 3.1 Các toán bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng không yếu 26 3.2 Sự liên tục ánh xạ nghiệm không yếu bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng 27 Một số kết khác tính liên tục 38 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 3.3 Lời nói đầu Như biết, bất đẳng thức Ky Fan [15] đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn như: toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân đa trị Do ứng dụng rộng rãi đó, mà bất đẳng thức Ky Fan thu hút ý nhiều nhà nghiên cứu Một lĩnh vực quan tâm có nhiều công trình công bố, nghiên cứu tính nửa liên tục, liên tục ánh xạ nghiệm bất đẳng thức Ky Fan Bất đẳng thức Ky Fan [15] (hay gọi toán cân [6]) toán tìm x ∈ D ⊂ X cho f (x, y) ≥ với y ∈ D, X không gian véc tơ tôpô lồi địa phương thực, D ⊂ X tập khác rỗng f : D × D → R (đường thẳng số) hàm thỏa mãn f (x, x) = với x ∈ D Điểm x gọi điểm cân Bằng cách chọn hàm f cách phù hợp (xem [3, 6, 15]), ta thấy toán chứa đựng toán trường hợp riêng: Bài toán tối ưu toán tìm x ∈ D cho g(x) ≤ g(x) với x ∈ D, g : D → R hàm số, hàm f chọn g(y)−g(x) với x, y ∈ D Bài toán bất đẳng thức biến phân toán tìm x ∈ D cho < T (x), x − y >≥ với y ∈ D, X ∗ không gian đối ngẫu X, T : D → X ∗ ánh xạ, < x∗ , x > giá trị phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ x Ở hàm f chọn < T (x), x − y > với x, y ∈ D Lời nói đầu Bài toán điểm bất động toán tìm x ∈ D cho T x = x, X không gian Hilbert, T : D → D ánh xạ đơn trị, hàm f chọn < T (x) − x, x − y > với x, y ∈ D Điểm x gọi điểm bất động ánh xạ T Bài toán cân Nash toán tìm x = (xi )i∈I ∈ D cho fi (x) ≤ fi (xi , yi ) với yi ∈ Di , fi : D → R hàm số, x = (xi )i∈I ∈ D với xi = (xj )j∈I,j=i , D = Πi∈I Di với Di , i ∈ I, tập khác rỗng X, I tập hữu hạn phần tử Hàm f chọn i∈I (fi (x i , yi ) − fi (x)) Điểm x gọi điểm cân Nash Bài toán điểm yên ngựa toán tìm điểm (x1 , x2 ) ∈ D1 × D2 cho ϕ(x1 , y2 ) ≤ ϕ(x1 , x2 ) ≤ ϕ(y1 , x2 ) với (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 , D1 , D2 ⊂ X, ϕ : D1 × D2 → R hàm số, D = D1 × D2 hàm f : D × D → R định nghĩa ϕ(y1 , x2 ) − ϕ(x1 , y2 ) với (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ D1 × D2 Điểm (x1 , x2 ) gọi điểm yên ngựa Bài toán bù toán tìm điểm x ∈ X cho x ∈ C, T x ∈ C ∗ < T x, x >= 0, C nón lồi, đóng X, C ∗ = {x∗ ∈ X ∗ | < x, x∗ >≥ ∀x ∈ C} nón cực C, T : C → X ∗ ánh xạ đơn trị với X ∗ không gian tôpô đối ngẫu X Hàm f chọn < T x, y − x > với x, y ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị toán tìm x ∈ X, ξ ∈ X ∗ cho x ∈ D, ξ ∈ T x < ξ, y − x > với y ∈ D, ∗ T : D → 2X ánh xạ đa trị với giả thiết T (x) tập compact, lồi, khác rỗng X ∗ với x ∈ D Hàm f chọn maxξ∈T x < ξ, y − x > với x, y ∈ D Lời nói đầu Luận văn xét toán bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng không yếu Đây dạng mở rộng bất đẳng thức Ky Fan phát biểu sau: Giả sử T K không gian tôpô Hausdorff, Ai : T × K ⇒ K , i = 0, 1, ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng, Y không gian véc tơ tôpô lồi địa phương, C : T × K × K ⇒ Y ánh xạ đa trị cho giá trị C nón lồi, thường (tức là, C = {0} C = X) đóng với intC = ∅, F : T × K × K ⇒ Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng Với t ∈ T , ta xét toán sau: Bài toán (P1t ) : Tìm x ∈ K cho x ∈ A0 (t, x) với η ∈ A1 (t, x), F (t, x, η) ∩ (−C(t, x, η)) = ∅ Bài toán (P2t ) : Tìm x ∈ K cho x ∈ A0 (t, x) với η ∈ A1 (t, x), F (t, x, η) ⊂ −C(t, x, η) Nội dung luận văn nghiên cứu tính liên tục ánh xạ nghiệm không yếu bất đẳng thức véc tơ Ky Fan phương pháp vô hướng hóa phi tuyến Trong trình nghiên cứu tính nửa liên tục, liên tục ánh xạ nghiệm toán cân véc tơ suy rộng phương pháp vô hướng hóa tuyến tính công cụ hiệu quả, đặc biệt tính nửa liên tục Cụ thể [10], phương pháp sử dụng cho bất đẳng thức biến phân véc tơ yếu phụ thuộc tham số không gian hữu hạn chiều, [7, 12] toán cân véc tơ yếu phụ thuộc tham số không gian véc tơ tôpô Tuy nhiên, phương pháp vô hướng hóa tuyến tính dùng [7, 10, 12] đòi hỏi giả thiết lồi theo nón điều kiện đơn điệu nghiêm ngặt ánh xạ đa trị Nhằm tránh bất tiện này, phương pháp vô hướng hóa phi tuyến sử dụng để nghiên cứu tính ổn định ánh xạ nghiệm toán bất đẳng thức Ky Fan suy rộng Cụ thể, [20] phương pháp áp dụng cho trường hợp nghiệm yếu Trong [21] mở rộng cho trường hợp tổng quát thu kết tính nửa liên tục, liên tục ánh xạ nghiệm Trong luận văn này, dùng phương pháp vô hướng hóa phi tuyến [21], ta có kết khác với kết tương ứng [21] Giả thiết điều kiện (ii) Định lý 3.1 Giả thiết khác với giả thiết thường dùng báo gần (xem Điều kiện H2 Định lý 4.2 [20], Điều kiện (4) Hệ 5.3 [16]) Kết luận văn Lời nói đầu thể Định lý 3.1 số Hệ Ở mục cuối đưa kết khác tính liên tục, giả thiết biểu diễn thông qua ánh xạ C + (·), có giá trị xây dựng từ nón đối ngẫu không âm giá trị C Lợi việc dùng ánh xạ cho phép xây dựng hàm vô hướng hóa phi tuyến mà không cần tới định nghĩa ban đầu (cụ thể, công thức (3.7), (3.8)) Hơn nữa, cho phép ta đưa thêm điều kiện (xem Hệ 3.12 − 3.14) Điều đáng ý trường hợp Y = R (đường thẳng thực) C(t, x, η) ≡ R+ (tập số không âm), toán (Pt1 ) xem toán [8, 18] Ví dụ 3.3 điều kiện áp dụng cho trường hợp đặc biệt để đưa đến kết tính liên tục mong muốn, phương pháp vô hướng hóa tuyến tính [8, 18] Luận văn gồm ba chương Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” trình bày số định nghĩa kết sử dụng Chương Chương Đó khái niệm tính chất không gian tôpô, không gian véc tơ tôpô, định lý, mệnh đề tính nửa liên tục, liên tục ánh xạ đa trị Chương 2: “Hàm vô hướng hóa phi tuyến” trình bày định nghĩa, tính chất hàm vô hướng hóa phi tuyến Chương 3: “Sự liên tục ánh xạ nghiệm không yếu bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng” trình bày toán bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng không yếu, đưa điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm toán liên tục Đồng thời mở rộng số kiện toán để có kết khác tính liên tục Luận văn trình bày sở báo sau (và số tài liệu liệt kê báo đó): “P.H.Sach, N.B Minh (2013), Continuity of solution mappings in some parametric non-weak vector Ky Fan inequalities, J Glob Optim Theory Appl, (57), 1401 − 1418” (xem [22]) Tác giả luận văn đưa vào ví dụ (Ví dụ 3.1, Ví dụ 3.2, Ví dụ 3.3) để minh họa cho số kết (trong Bổ đề 3.1, Hệ 3.1, Hệ 3.14) luận văn Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn GS TSKH Phạm Hữu Sách Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phạm Hữu Sách tận tình Lời nói đầu hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trình làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô Viện Toán học dạy dỗ, quan tâm tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Viện Do thời gian kiến thức nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý Thầy, Cô bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2015 Vũ Thị Ngân Danh mục ký hiệu DANH MỤC KÝ HIỆU R đường thẳng thực R+ nửa đường thẳng thực không âm R2 không gian Euclide 2-chiều R2+ tập véc tơ có thành phần không âm R2 x∈M phần tử x thuộc M y∈ /M phần tử y không thuộc M ∅ tập rỗng 2X tập tất tập X M ⊂N M tập N M ∩N giao hai tập M N M \N tập điểm thuộc M không thuộc N M ×N tích Đề-các hai tập M N M +N tổng hai tập M N λM vị tự tập M theo tỉ số λ ∈ R không gian véc tơ ∀x với x ∃x tồn x inf x∈K f (x) infimum tập {f (x) : x ∈ K} supx∈K f (x) supremum tập {f (x) : x ∈ K} intD phần tập D t.ư tương ứng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm tính chất không gian véc tơ tôpô, lý thuyết ánh xạ đa trị Ngoài có số mệnh đề, định lý quan trọng tính nửa liên tục ánh xạ đa trị sử dụng chứng minh chương 1.1 Không gian véc tơ tôpô Định nghĩa 1.1 (xem [13], trang 16) Cho tập X = ∅ Ta nói X không gian véc tơ thực X với phép toán cộng (+ : X × X −→ X) phép toán nhân vô hướng (· : R × X −→ X) thỏa mãn điều kiện sau: (1) ∀ x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z) (tính chất kết hợp), (2) ∀ x, y ∈ X : x + y = y + x (tính chất giao hoán), (3) ∃ ∈ X, ∀ x ∈ X : x + = x (phần tử không), (4) ∀ x ∈ X, ∃ x ∈ X : x + x = ta viết x = −x, (5) ∀ x, y ∈ X, ∀ λ ∈ R : λ(x + y) = λx + λy, (6) ∀ x ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R : (λ + µ)x = λx + µx, (7) ∀ x ∈ X, ∀ λ, µ ∈ R : λ(µx) = (λµ)x, (8) ∀ x ∈ X : 1.x = x (phần tử đơn vị) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa 1.2 (xem [13], trang 20) Cho tập X = ∅, gọi 2X tập tất tập X τ ⊂ 2X Cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô họ τ thỏa mãn điều kiện sau: (i) ∅ ∈ τ X ∈ τ , (ii) Nếu U1 , U2 ∈ τ U1 ∩ U2 ∈ τ , (iii) Nếu Us ∈ τ với s ∈ S, S tập số bất kì, s∈S Us ∈ τ Khi đó, tập thuộc họ τ gọi tập mở Định nghĩa 1.3 (xem [13], trang 22) Cho (X, τ ) không gian tôpô x ∈ X Tập U không gian tôpô X gọi lân cận x có tập mở G cho x ∈ G ⊂ U Họ tất lân cận x ký hiệu Nτ (x) hay đơn giản N (x) Một tập B(x) ⊂ N (x) gọi sở lân cận x với U ∈ N (x) tồn V ∈ B(x) cho V ⊂ U Định nghĩa 1.4 (xem [13], trang 2) Cho I tập khác rỗng, tập khác rỗng R I × I gọi quan hệ hai I Nếu R quan hệ I cặp (x1 , x2 ) ∈ R ta ký hiệu x1 Rx2 Ta nói R thứ tự I R thỏa mãn tính chất sau: (a) (b) (c) phản xạ ∀ x ∈ I : xRx phản đối xứng ∀ x1 , x2 ∈ I : x1 Rx2 , x2 Rx1 ⇒ x1 = x2 bắc cầu ∀ x1 , x2 , x3 ∈ I : x1 Rx2 , x2 Rx3 ⇒ x1 Rx3 Quan hệ thứ tự R gọi quan hệ thứ tự toàn phần I với hai phần tử a, b ∈ I hai quan hệ aRb bRa xảy Trong trường hợp ngược lại R gọi quan hệ thứ tự phần I Định nghĩa 1.5 (xem [13], trang 22) (i) Một tập khác rỗng I định hướng thứ tự phần I với cặp α, β ∈ I, tồn γ ∈ I cho γ (ii) α γ β Một tập J tập định hướng (I, ) gọi đuôi với i ∈ I tồn j ∈ J cho j i Khi đó, (J, ) định hướng J tập đuôi I Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa 1.6 (xem [13], trang 22) Cho X tập khác rỗng bất kỳ, ánh xạ ϕ : I −→ X, (I, ) tập định hướng, gọi lưới hay dãy suy rộng X Lưới ϕ ký hiệu (xi )i∈I , xi = ϕ(i) Định nghĩa 1.7 (xem [13], trang 22) Cho (X, τ ) không gian tôpô, lưới (xi )i∈I ⊂ X hội tụ tới x ∈ X với lân cận V x, tồn iV ∈ I cho xi ∈ V với i iV Ký hiệu (xα )α∈I −→ x đơn giản xα −→ x x gọi giới hạn (xi ) Định nghĩa 1.8 (xem [13], trang 23) Lưới (yk )k∈K gọi lưới lưới (xi )i∈I tồn ánh xạ ψ : (K, ) −→ (I, ) cho yk = xψ(k) với k ∈ K với i ∈ I tồn ki ∈ K cho ψ(k) i với k ki Nếu J tập đuôi tập định hướng (I, ), (xj )j∈I lưới lưới (xi )i∈I Định nghĩa 1.9 (xem [13], trang 21) Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A ⊂ X x ∈ A, x điểm A tồn lân cận U x cho U ⊂ A Do đó, A tập mở với x ∈ A x điểm A Định nghĩa 1.10 (xem [13], trang 21) Cho không gian tôpô (X, τ ) (i) Tập A ⊂ X gọi tập đóng phần bù X \ A tập mở X (ii) Tập A ⊂ X gọi bị chặn với lân cận V cho trước tồn số α > cho A ⊂ αV Định nghĩa 1.11 (xem [13], trang 21) Cho không gian tôpô (X, τ ) tập A ⊂ X Hợp tất tập mở chứa A gọi phần A, ký hiệu intA Như vậy, intA tập mở lớn chứa A Định lý 1.1 (xem [1], trang 383) Cho X không gian tôpô M ⊂ X M compact thỏa mãn hai điều kiện (i) Mọi phủ mở M chứa phủ hữu hạn (ii) Bất kỳ họ tập đóng X mà có giao không cắt M phải chứa họ hữu hạn có giao không cắt M Định nghĩa 1.12 (xem [13], trang 23) Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian Hausdorff với hai phần tử x1 = x2 X tồn hai lân cận V1 , V2 x1 x2 cho V1 ∩ V2 = ∅ 10 Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Hệ 3.2 Giả điều kiện sau thỏa mãn: (i) f j liên tục; (ii) Tại điểm x0 ∈ S j (t0 ) thỏa mãn f j (t0 , x0 ) = 0, ta có (ii)1 f j (t0 , x0 ) < với x0 ∈ S j (t0 ) \ {x0 }; (ii)2 Mỗi điểm (t, x) gần (t0 , x0 ) với x ∈ ψ(t) \ S j (t), tồn x ∈ S j (t) cho f j (t, x) + f j (t, x ) ≥ Khi đó, S j liên tục t0 Trong phần cuối, ta tìm điều kiện dễ kiểm tra giả thiết (ii) Định lý 3.1 Hệ 3.2 cho số lớp toán đặc biệt quan trọng (Ptj ), j = 1, 2, với nón C cố định (xem Hệ 3.7, 3.8, 3.10, 3.11) Điều kiện (i) Định lý 3.1 thỏa mãn mà không cần tới tính liên tục kiện toán (Ptj ) Tuy nhiên, không dễ dàng để kiểm tra Trong Hệ 3.4 đây, nhận điều kiện dễ kiểm tra giả thiết (i) Định lý 3.1 Điều thu được, cách đặt tính chất liên tục phù hợp A1 , F, C e Kết có đươc sở hệ sau Hệ 3.3 Cùng với điều kiện (ii) Định lý 3.1, giả sử (i) A1 ánh xạ liên tục với giá trị compact; (ii) sj liên tục Khi đó, S j liên tục t0 Chứng minh Từ điều kiện (i) (ii), áp dụng Định lý 1.5 ta tính liên tục f j Từ đó, theo Định lý 3.1 ta có điều phải chứng minh Hệ 3.4 Cùng với điều kiện (ii) Định lý 3.1, giả sử (i) A1 ánh xạ liên tục với giá trị compact; (ii) F C- liên tục (tương ứng F (−C)- liên tục); (iii) C có đồ thị đóng, intC có đồ thị mở, e liên tục Khi đó, S (tương ứng S ) liên tục t0 33 Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Chứng minh Áp dụng Hệ 1.1 Hệ 1.2 với điều kiện (ii), (iii) ta có tính liên tục s1 (tương ứng s2 ) Từ đó, theo Hệ 3.3 ta có điều phải chứng minh Cho C ánh xạ hằng, tức C(t, x, η) ≡ C, (3.11) C ⊂ Y nón lồi, thường đóng với intC = ∅ Trong trường hợp này, e(t, x, η) ≡ e, với e ∈ intC Hệ 3.5 Cùng với điều kiện (ii) Định lý 3.1, giả sử C ánh xạ định nghĩa (3.11), C ⊂ Y nón lồi, thường, đóng với intC = ∅ Giả sử thêm (i) A1 ánh xạ liên tục với giá trị compact; (ii) F C-liên tục (tương ứng F (−C)- liên tục) Khi đó, S (tương ứng S ) liên tục t0 Chứng minh Điều kiện (iii) Hệ 3.3 thỏa mãn, C e ánh xạ Do đó, kết trực tiếp Hệ 3.3 Chúng ta kết thúc mục việc xét số trường hợp đặc biệt quan trọng toán (Ptj ), j = 1, Cụ thể, toán này, ta giả sử C ánh xạ định nghĩa (3.11), C ⊂ Y nón lồi, thường, đóng, intC = ∅ Ta chọn e điểm cố định intC Giả sử thêm rằng, A0 (t, x) = A1 (t, x) ≡ A(t) với (t, x) ∈ T × K, A : T ⇒ K ánh xạ đa trị liên tục, có giá trị compact khác rỗng (trong trường hợp ψ = A, ψ liên tục có giá trị compact) Tất giả thiết giả sử thỏa mãn Hệ 3.6 − 3.11 Hệ 3.6 Ta xét trường hợp đặc biệt toán (Pt1 ) sau: Tìm điểm x ∈ A(t) cho, F (t, x, η) ∩ −C = ∅ với η ∈ A(t) Ký hiệu S (t) tập nghiệm toán, t0 ∈ domS Giả sử (i) F C- liên tục có giá trị compact; (ii) Tồn hàm nửa liên tục g : T × K × K → R cho với điểm x0 ∈ S (t0 ) mà f (t0 , x0 ) = điều kiện sau thỏa mãn: 34 Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU (ii)1 g(t0 , x0 , x0 ) < với x0 ∈ S (t0 ) \ {x0 } (ii)2 Mỗi điểm (t, x) gần (t0 , x0 ) với x ∈ ψ(t) \ S (t), tồn x ∈ S (t) cho [F (t, x, x ) + F (t, x , x) + g(t, x , x)e ] ∩ −intC = ∅ (3.12) Khi đó, S liên tục t0 Chứng minh Do Hệ 3.5 ta cần chứng minh điều kiện (ii) Định lý 3.1, thỏa mãn với f (t, x) = supη∈A(t) s1 (t, x, η) Lấy g(t, x , x) = f (t, x ) + g(t, x , x), (t, x , x) ∈ T × K × K Nếu x0 ∈ S (t0 ) theo Mệnh đề 2.2 ta có s1 (t0 , x0 , η) ≤ với η ∈ A(t0 ), f (t0 , x0 ) ≤ Khi ấy, với điều kiện (ii)1 Hệ 3.6, ta có g(t0 , x0 , x0 ) < với x0 ∈ S (t0 ) \ {x0 }, tức Điều kiện (ii)1 Định lý 3.1 thỏa mãn Cho t, x , x điều kiện (ii)2 Hệ 3.6 Với điểm q ∈ F (t, x , x), q ∈ F (t, x , x), ta có q := q + q + g(t, x , x)e ∈ −intC (xem (3.12)) Khi đó, theo Mệnh đề 2.2(i) sq1 ≤ Mặt khác, ta có s1q ≤ s1q + s1q + s1γe , s1γe = γ, γ := g(t, x , x) Do đó, s1q + s1q + g(t, x , x) ≥ Do bất đẳng thức với q ∈ F (t, x , x), q ∈ F (t, x , x), ta viết inf q∈F (t,x,x ) s1q + inf q ∈F (t,x ,x) s1q + g(t, x , x) ≥ Từ Mệnh đề 2.5 ta có s1 (t, x, x ) + s1 (t, x , x) + g(t, x , x) ≥ Mặt khác f (t, x) ≥ s1 (t, x, x ) f (t, x ) ≥ s1 (t, x , x) nên f (t, x) + f (t, x ) + g(t, x , x) ≥ Vậy điều kiện (ii)2 Định lý 3.1 thỏa mãn, Hệ 3.6 chứng minh Hệ 3.7 Giả sử tất giả thiết Hệ 3.6 thỏa mãn, ngoại trừ điều kiện (ii) Giả sử thêm K tập không gian định chuẩn, điểm x0 ∈ S (t0 ) với f (t0 , x0 ) = 0, điều kiện (ii) sau đúng: Cho điểm (t, x) gần (t0 , x0 ) với x ∈ ψ(t) \ S (t), tồn x ∈ S (t) (ii) cho [F (t, x, x ) + F (t, x , x)− 35 x −x e ] ∩ −intC = ∅ (3.13) Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Khi đó, S liên tục t0 Đây trường hợp đặc biệt Hệ 3.6 với g xác định (3.5) Kết sau thu từ Hệ 3.2 cách làm mạnh thêm số điều kiện Hệ 3.8 Giả sử tất giả thiết Hệ 3.6 thỏa mãn, ngoại trừ điều kiện (ii) Giả sử thêm (ii) Tại điểm x0 ∈ S (t0 ), ta có: (ii)1 F (t0 , x0 , η) ∩ −intC = ∅ với η ∈ A(t0 ) x0 ∈ S (t0 ) \ {x0 }; (ii)2 Cho điểm (t, x) gần (t0 , x0 ) với x ∈ ψ(t) \ S (t), tồn x ∈ S (t) cho [F (t, x, x ) + F (t, x , x)] ∩ −intC = ∅ (3.14) Khi đó, S liên tục t0 Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2(i), điều kiện F (t0 , x0 , η)∩−intC = ∅ với η ∈ A(t0 ) tương đương với f (t0 , x0 ) < Do đó, điều kiện (ii)1 tương đương với điều kiện (ii)1 Hệ 3.2, với j = Cho (t, x) điều kiện (ii)2 , lập luận Hệ 3.5 ta thấy điều kiện (3.14) kéo theo điều kiện s1 (t, x, x ) + s1 (t, x , x) ≥ Và đó, điều kiện (ii)2 Hệ 3.2 thỏa mãn với j = Áp dụng Hệ 3.2 ta có S liên tục t0 Hệ 3.9 Ta xét trường hợp đặc biệt toán (Pt2 ) sau: Tìm điểm x ∈ A(t) cho, F (t, x, η) ⊂ −C với η ∈ A(t) Ký hiệu S (t) tập nghiệm toán, cho t0 ∈ domS Giả sử (i) F −(C) -liên tục có giá trị compact; (ii) Tồn hàm g : T × K × K → R nửa liên tục cho với điểm x0 ∈ S (t0 ) với f (t0 , x0 ) = ta có (ii)1 g(t0 , x0 , x0 ) < với x0 ∈ S (t0 ) \ {x0 }; (ii)2 Mỗi điểm (t, x) gần (t0 , x0 ) với x ∈ ψ(t) \ S (t), tồn x ∈ S (t) cho [F (t, x, x ) + F (t, x , x) + g(t, x , x)e ] ⊂ −intC 36 (3.15) Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Khi đó, S liên tục t0 Chứng minh Do Hệ 3.5 ta cần chứng minh điều kiện (ii) Định lý 3.1 thỏa mãn với f (t, x) = supη∈A(t) s2 (t, x, η), (t, x) ∈ T × K Lấy g(t, x , x) = f (t, x ) + g(t, x , x), (t, x , x) ∈ T × K × K Nếu x0 ∈ S (t) theo Mệnh đề 3.2(iv) ta có s2 (t0 , x0 , η) ≤ với η ∈ A(t0 ), f (t0 , x0 ) ≤ Cùng với điều kiện (ii)1 Hệ 3.9, ta có g(t0 , x0 , x0 ) < với x0 ∈ S (t0 ) \ {x0 }, tức điều kiện (ii)1 Định lý 3.1 thỏa mãn Cho t, x , x điều kiện (ii)2 Hệ 3.9, cho q ∈ F (t, x , x), q ∈ F (t, x , x), ta có q := q + q + g(t, x , x)e ∈ −intC (xem (3.15)) Lập luận Hệ 3.6 ta có s1q + s1q + g(t, x , x) ≥ Do s2 (t, x, x ) := s2F (t,x,x ) ≥ s2q = s1q s2 (t, x , x) := s2F (t,x ,x) ≥ s2q = s1q , nên ta có s2 (t, x, x ) + s2 (t, x , x) + g(t, x , x) ≥ Vậy (3.9) thỏa mãn với j = Ta thấy điều kiện (ii)2 Định lý 3.1 thỏa mãn Áp dụng Định lý 3.1 ta có kết luận Hệ 3.9 Hệ 3.10 Giả sử tất giả thiết Hệ 3.9 thỏa mãn, ngoại trừ điều kiện (ii) Giả thêm K tập không gian định chuẩn với x0 ∈ S (t0 ) mà f (t0 , x0 ) = điều kiện (ii) sau thỏa mãn: (ii) Với điểm (t, x) gần (t0 , x0 ) với x ∈ ψ(t) \ S (t), tồn x ∈ S (t) cho F (t, x, x ) + F (t, x , x)− x −x e ⊂ −intC Khi đó, S liên tục t0 Đây trường hợp đặc biệt Hệ 3.9, với g định nghĩa (3.5) Hệ 3.11 Giả sử tất giả thiết Hệ 3.9 thỏa mãn, ngoại trừ điều kiện (ii) Giả sử thêm (ii) Với điểm x0 ∈ S (t0 ), ta có (ii)1 (t0 , x0 , η) ⊂ −intC với η ∈ A(t0 ) x0 ∈ S (t0 ) \ {x0 }; (ii)2 Với (t, x) gần (t0 , x0 ) x ∈ ψ(t) \ S (t), tồn x ∈ S (t) cho F (t, x, x ) + F (t, x , x) ⊂ −intC 37 Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Khi đó, S liên tục t0 Chứng minh tương tự Hệ 3.8, với việc áp dụng Mệnh đề 3.2(iii) 3.3 Một số kết khác tính liên tục Ta nhắc lại rằng, Y không gian tôpô lồi địa phương Y ∗ đối ngẫu tôpô Y , Y ∗ trang bị với tôpô yếu∗ (tức là, tôpô có sở lận cận gốc gồm tất tập có dạng {f ∈ Y ∗ : |f (xi )| < ε, i = 1, n} với ε > 0, xi phần tử Y) Như phần trước, ta giả sử F có giá trị compact, khác rỗng, C ánh xạ đa trị cho giá trị C nón lồi, thường đóng với phần khác rỗng, e : T × K × K −→ Y ánh xạ đơn trị cho e(·) ∈ intC(·) Ánh xạ ψ liên tục có giá trị compact điểm cố định t0 ∈ domS j Ký hiệu C + ánh xạ đa trị từ T × K × K vào Y ∗ , có giá trị xây dựng từ nón đối ngẫu, không âm giá trị C: C + (·) = {y ∗ ∈ Y ∗ : < y ∗ , y > ≥ 0, ∀y ∈ C(·)} Ánh xạ đa trị C + từ T × K × K −→ Y ∗ định nghĩa C + (·) := {y ∗ ∈ C + (·) : < y ∗ , e(·) > = 1} Do Y ∗ trang bị với tôpô yếu∗ , theo [14] ánh xạ C + (·) có giá trị compact tôpô yếu∗ Y ∗ Trong phần này, ta ánh xạ C + công cụ hữu ích nghiên cứu tính liên tục ánh xạ S j , j = 1, Trước hết, đưa vào hàm sj : T × K × K −→ R, j = 1, định nghĩa thông qua ánh xạ C + : s1 = sup inf < y ∗ , y >, y ∗ ∈C + (·) y∈F (·) s2 = sup sup < y ∗ , y > y ∗ ∈C + (·) y∈F (·) Với (t, x) ∈ T × K, ta đặt j f (t, x) := sup sj (t, x, η), j = 1, η∈A1 (t,x) j Ta thấy định nghĩa f (t, x) có từ f j (t, x) cách thay sj (t, x, η) j sj (t, x, η) Từ Mệnh đề 2.3 2.4 ta có điều kiện đủ cho sj = sj , f j = f 38 Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU j Và tính liên tục S j biểu qua f Đẳng thức sj = sj sj xây dựng thông qua ánh xạ C + mà không cần tới định nghĩa ban đầu công thức (3.7), (3.8) Hơn nữa, việc dùng sj dẫn tới nhiều giả thiết (xem Hệ 3.12 − 3.14) xem thêm Nhận xét 3.5 Trong phần này, nghiên cứu toán (Pt1 ), ta giả sử tập giá trị ánh xạ F + C có giá trị lồi, tức F (t, x, η) + C(t, x, η) lồi với (t, x, η) ∈ T × K × K Giả thiết không thiết phải giả sử thỏa mãn toán (Pt2 ) Điều đáng ý là, giả thiết lồi khác với giả thiết lồi tương ứng dùng [7, 8, 12] Như ví dụ minh họa cho khác biệt này, ta xét trường hợp đặc biệt, F đơn trị Ta thấy giả thiết lồi tự động thỏa mãn, giả thiết lồi [7, 8, 12] thêm số đòi hỏi Định lý 3.2 Giả sử điều kiện Định lý 3.1 thỏa mãn, với f j thay j f Khi S j liên tục t0 Chứng minh Như nói phần đầu, phần ta xét toán (Pt1 ), F + C có giá trị lồi Nếu j = từ Mệnh đề 2.3 ta có s1 = s1 f = f Nếu j = Mệnh đề 2.4 ta có s2 = s2 f = f Áp dụng Định lý 3.1 ta có điều phải chứng minh Trước xây dựng Hệ 3.12, ta đưa vào hàm mj : Y ∗ × T × K × K −→ R, j = 1, định nghĩa sau: m1 (y ∗ , t, x, η) := inf < y ∗ , y >, y∈F (t,x,η) m2 (y ∗ , t, x, η) := sup < y∗, y > y∈F (t,x,η) Hệ 3.12 Giả sử điều kiện (ii) Định lý 3.1 thỏa mãn, với f j thay j f Giả sử thêm (i) A1 ánh xạ liên tục có giá trị compact; (ii) mj ánh xạ liên tục; (iii) C + liên tục Khi đó, S j liên tục t0 39 Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Chứng minh Ta có: sj (t, x, η) = mj (y ∗ , t, x, η) sup y ∗ ∈C + (t,x,η) Mặt khác, C + có giá trị compact và, (iii) liên tục Nên cộng với điều kiện (ii), j ta có kết luận từ Mệnh đề 2.1 sj liên tục Vì f liên tục, Định lý 3.1 Hệ chứng minh Trước tiếp tục, đưa điều kiện đủ tính liên tục ánh xạ C + Bổ đề 3.2 Cho X tập Rm (không gian Euclid m chiều) Y = Rl , m l số nguyên dương Nếu e(·) liên tục và, C + (·) nửa liên tục có đồ thị đóng, C + (·) liên tục Chứng minh Ta bắt đầu việc chứng minh tính nửa liên tục C + (·) Cho x0 ∈ X y0 ∈ C + (x0 ), y0 ∈ C + (x0 ) < y0 , e(x0 ) >= Lấy dãy xn −→ x0 , tính nửa liên tục C + (·), tồn yn ∈ C + (xn ) cho yn −→ y0 Vì < yn , e(xn ) > −→ < y0 , e(x0 ) > = nên ta có < yn , e(xn ) > = với n đủ lớn Đặt yn = yn / < yn , e(xn ) >, ta thấy yn ∈ C + (xn ), yn −→ y0 Khi ấy, theo Mệnh đề 1.2 ta có C + nửa liên tục (x0 , y0 ) Bây ta xem xét tính nửa liên tục C + (·) Cho x0 ∈ X, ta thấy C + (x0 ) tập compact Y ∗ = Y Vì Mệnh đề 1.5, để chứng minh tính nửa liên tục C + (·) x0 ta cần chứng minh với dãy (xn , yn ) ∈ grC + , n = 1, với xn −→ x0 , tồn dãy ynk hội tụ tới điểm y0 C + (x0 ) Thực vậy, (xn , yn ) ∈ grC + yn ∈ C + (xn ) < yn , e(xn ) > = Do y n = yn / yn ynk = Xét với n = 1, Vì Y không gian hữu hạn chiều, nên tồn dãy y nk hội tụ tới điểm y ∈ Y với ta có yn y0 = Từ < y nk , e(xnk ) > = 1/ −→ 1/ < y , e(x0 ) > Và ynk = y nk ynk ynk −→ y / < y , e(x0 ) > Đặt y0 = y / < y , e(x0 ) >, ta có < y0 , e(x0 ) > = Vì C + (·) có đồ thị đóng nên (x0 , y0 ) ∈ gr C + , tức y0 ∈ C + (x0 ) Cùng với điều kiện < y0 , e(x0 ) > = ta có y0 ∈ C + (x0 ) mong muốn Hệ 3.13 Giả sử T K tập khác rỗng không gian Euclid hữu hạn chiều, Y không gian Euclid hữu hạn chiều Giả sử điều kiện (ii) Định lý 3.1 j thỏa mãn, với f j thay f Giả sử thêm rằng: 40 Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU (i) A1 ánh xạ liên tục có giá trị compact; (ii) mj ánh xạ liên tục; (iii) e(·) liên tục, C + (·) nửa liên tục có đồ thị đóng Khi đó, S j liên tục t0 Chứng minh Đây kết Hệ 3.12 Bổ đề 3.2 Hệ 3.14 Giả sử điều kiện (ii) Định lý 3.1 thỏa mãn với f j thay j f Giả sử C ánh xạ định nghĩa (3.11), C ⊂ Y nón lồi, đóng, thường với intC = ∅ cho e ∈ intC Giả sử thêm (i) A1 ánh xạ liên tục có giá trị compact; (ii) mj ánh xạ liên tục C + × T × K × K, C + = {y ∗ ∈ C + :< y ∗ , e >= 1} Khi đó, S j liên tục t0 Chứng minh Tương tự Hệ 3.12 Nhận xét 3.5 Trong điều kiện (ii) Hệ 3.5, giả thiết tính liên tục áp dụng trực tiếp F Trong điều kiện (ii) Hệ 3.14, giả thiết tính liên tục yêu cầu thỏa mãn hàm vô hướng hóa mj F Đây khác biệt Hệ 3.5 Hệ 3.14 Ví dụ 3.3 Xét toán (Pt1 ) với T = [−4/5, −2/3] ⊂ R, K = [−1/2, 1/2] ⊂ R, Y = R, C = R+ , A0 (t, x) ≡ A1 (t, x) ≡ K = [−1/2, 1/2] Mỗi (t, x, η) ∈ T × K × K, ta định nghĩa F (t, x, η) = {s(t, x, η)} ∪ [4, 7] ⊂ R, đó, s(t, x, η) cho Ví dụ 3.1 Ta thấy, ánh xạ F + C có giá trị lồi Ta chứng minh Hệ 3.14 áp dụng, với j = Thực vậy, lấy e = ∈ intC, ta thấy C + = {1} Cho y ∗ ∈ C + = {1}, với (t, x, η) ∈ T × K × K, m1 (y ∗ , t, x, η) = inf < y∗, y > = y∈F (t,x,η) inf y∈F (t,x,η) Do đó, m1 liên tục C + × T × K × K 41 y = s(t, x, η) Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Ta có s1 (t, x, η) = sup m1 (y ∗ , t, x, η) = s(t, x, η) y ∗ ∈C + Do định nghĩa f (t, x) = sup s1 (t, x, η); η∈[−1/2,1/2] nên ta thấy hàm f hàm f , định nghĩa Ví dụ 3.1 Do đó, với t ∈ T , tập nghiệm S (t) toán (Pt1 ) Ví dụ 3.3 [0, 1/2] Từ lập luận ví dụ này, ta thấy tồn hàm g : T × K × K −→ R liên tục cho điều kiện (ii)1 (ii)2 Định lý 3.1 thỏa mãn với điểm t0 ∈ domS = T điểm x0 ∈ S (t0 ) Do đó, Hệ 3.14, ánh xạ nghiệm S ví dụ liên tục T Tiếp theo ta thấy toán (Pt1 ), xây dựng Ví dụ 3.3, hiểu toán (Pt ): Tìm điểm x ∈ K := [−1/2, 1/2] cho, với η ∈ K, F (t, x, η) ⊂ −intC , C = −R+ ⊂ Y = R Đây dạng toán nghiên cứu [8], [18] Một câu hỏi tự nhiên đặt là, kết tính liên tục toán (Pt ) thiết lập phương pháp vô hướng hóa tuyến tính [8], [18], hay không? Câu trả lời Thực vậy, trường hợp này, C + \ {0} = {λ ∈ R : λ < 0}, đó, λ ∈ C + \ {0}, Sλ (t) : = {x ∈ [−1/2, 1/2] : λF (t, x, η) ⊂ −intR+ , ∀η ∈ [−1/2, 1/2]} = {x ∈ [−1/2, 1/2] : F (t, x, η) ⊂ intR+ , ∀η ∈ [−1/2, 1/2]} = {x ∈ [−1/2, 1/2] : F (t, x, η) ∩ −R+ = ∅, ∀η ∈ [−1/2, 1/2]} = St1 = [0, 1/2] Một đòi hỏi phương pháp vô hướng hóa tuyến tính [8], [18] (xem điều kiện (iii) Định lý 3.2 [18] điều kiện (iv) Định lý 4.1 [8]) là, λ ∈ C + \ {0}, điểm (t, x) ∈ T × K với x ∈ K \ Sλ (t) = [−1/2, 0[, tồn x ∈ Sλ (t) = [0, 1/2] cho F (t, x, x ) + F (t, x , x) + B(0, |x − x|) ⊂ −C = R+ , (3.16) đó, B(0, |x −x|) ký hiệu hình cầu mở, bán kính |x −x| tâm gốc Y = R Rõ ràng, (3.16) thỏa mãn s(t, x, x ) + s(t, x , x) − |x − x| ≥ 42 Chương SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Nhưng thấy Ví dụ 3.1, điều Do đó, phương pháp vô hướng hóa tuyến tính [8], [18] áp dụng cho toán (Pt ), tức là, kết tính liên tục Ví dụ 3.3 nhận từ [8], [18] Kết luận Chương Nội dung Chương là: Trình bày kết liên tục ánh xạ nghiệm không yếu toán bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng (xem Định lý 3.1 hệ tương ứng) Trình bày số kết liên tục nghiệm với tham gia hình nón đối ngẫu với hình nón xuất phát toán ban đầu (xem Định lý 3.2 hệ quả) 43 KẾT LUẬN Dựa báo: “P H Sach, N B Minh (2013), Continuity of solution mappings in some parametric non-weak vector Ky Fan inequalities, J Optim Theory Appl., (57), 1401 − 1418.”, (xem [22]) kiến thức giải tích đa trị, luận văn trình bày số kết tính liên tục ánh xạ nghiệm không yếu toán bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng, cách sử dụng phương pháp vô hướng hóa phi tuyến Ý tưởng phương pháp thay điều kiện (3.1) (hoặc (3.2)) toán (Pt1 ) (hoặc toán (Pt2 )) điều kiện vô hướng tương đương đưa việc tìm điều kiện đủ tính liên tục ánh xạ nghiệm toán việc tìm điều kiện đặt hàm f (hoặc f ) Lợi phương pháp chỗ tránh giả thiết phương pháp vô hướng hóa tuyến tính giả thiết lồi theo nón tính đơn điệu chặt ánh xạ mục tiêu Đóng góp tác giả luận văn tìm số ví dụ để minh họa cho kết Cụ thể, Ví dụ 3.1 minh họa cho Bổ đề 3.1, Ví dụ 3.2 minh họa cho Hệ 3.1, Ví dụ 3.3 minh họa cho Hệ 3.14 44 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [4] Aubin, J.P (1979), Mathematical Methods of Game and Economic Theory, North-Holland, Amsterdam [5] Berge, C (1963), Topological Spaces, Oliver and Boyd, London [6] Blum, E., Oettli, W (1993), “From optimization and variational innequalities to equilibrium problems”, The Math Student, (64), − 23 [7] Chen, C.R., Li, S.J., Teo, K.L (2009), “Solution semicontinuity of parametric generalized vector equilibrium problems”, J Glob Optim., (45), 309 − 318 [8] Chen, B., Huang, N-J “Continuity of the solution mapping to parametric generalized vector Ky Fan inequality problem”, J Glob Optim., doi: 10.1007/s10898 − 012 − 9904 − [9] Chen, G.Y., Yang, X.Q., Yu, H (2005), “A nonlinear scalarization function and generalized quasi - vector equilibrium problems”, J Glob Optim., (32), 451 − 466 [10] Cheng, Y.H., Zhu, D.L (2005), “Global stability results for the weak vector variational inequality”, J Glob Optim., (32), 543 − 550 45 Tài liệu tham khảo [11] Dunford,N., Schwart, J., Linear Operators (1963), Interscience Publishers, New York [12] Gong, X.H (2008), “Continuity of the solution set to parametric vector equilibrium problem”,J Optim Theory Appl., (139), 35 − 46 [13] Gopfert, A., Riahi, H., Tammer, C., Zalinescu, C (2003), “Variational Methods in Partially Ordered Spaces”, Springer, New York [14] Jeyakumar, V.,Oettli, W., Natividad, M (1993), “A solvability theorem for a class of quasiconvex mappings with applications to optimization”, J Math Anal Appl., (179), 537 − 546 [15] Fan, K (1972), A minimax inequality and its application, In: Shisha, O (ed.) Inequalities III, Academic Press, New York, pp.103 − 113 [16] Khanh, P.Q., Luc, D.T (2008), “Stability of solutions in parametric variational relation problems”, Set-Valued Anal., (16), 1015 − 1035 [17] Li, S.J., Liu, H.M., Chen, C.R (2010), “Lower semicontinuity of parametric generalized weak vector equilibrium problems”, Bull Austral Math Soc, (81), 85 − 95 [18] Peng, Z.Y., Yang, X.M., Peng, J.W (2012), “On the lower semicontinuity of the solution mappings to parametric weak generalized Ky Fan inequality”, J Optim., Theory Appl., (152), 256 − 264 [19] Tuan, L.A., Lee, G.M., Sach, P.H (2010), “Upper semicontinuity in a parametric general variational problem and application”, Nonlinear Anal., (72), 1500−1513 [20] Sach, P.H (2012), “New nonlinear scalarization functions and applications”, Nonlinear Anal., (75), 2281 − 2292 [21] Sach, P.H., Tuan, L.A (2013) “New scalarizing approach to the stability analysis in parametric generalized Ky Fan inequality problems”, J Optim Theory Appl., (157), 347 − 364 46 Tài liệu tham khảo [22] Sach, P.H., Minh, N.B (2013), “Continuity of solution mappings in some parametric non - weak vector Ky Fan inequalities”, J Glob Optim Appl., (57), 1401 − 1418 47 [...]... ĐẲNG THỨC VÉC TƠ KY FAN SUY RỘNG Chương 3 trình bày các bài toán bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng không yếu phụ thuộc tham số và đưa ra các điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm của bài toán nói trên là liên tục 3.1 Các bài toán bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng không yếu Giả sử T và K là không gian tôpô Hausdorff; Ai : T ×K ⇒ K , i = 0, 1, là ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng, Y là không gian véc tơ... lập với x Trong [7, 8, 12] các nghiệm được gọi là nghiệm yếu 3.2 Sự liên tục của ánh xạ nghiệm không yếu của bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng Cở sở của việc chứng minh các kết quả chính của chúng ta là bổ đề sau Bổ đề 3.1 Giả sử T và K là không gian tôpô Hausdorff, ψ : T ⇒ K là ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng, f : T × K → R là hàm số liên tục, S : T ⇒ K là ánh xạ đa trị được định nghĩa bởi S(t)... kiện (ii) của Định lý 3.1, giả sử rằng (i) A1 là ánh xạ liên tục với giá trị compact; (ii) F là C- liên tục (tương ứng F là (−C)- liên tục) ; (iii) C có đồ thị đóng, intC có đồ thị mở, và e là liên tục Khi đó, S 1 (tương ứng S 2 ) là liên tục tại t0 33 Chương 3 SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Chứng minh Áp dụng Hệ quả 1.1 và Hệ quả 1.2 với điều kiện (ii), (iii) ta có tính liên tục của s1 (tương... lồi địa phương, C : T ×K ×K ⇒ Y là ánh xạ đa trị sao cho mỗi giá trị của C là nón lồi, chính thường và đóng với phần trong khác rỗng, F : T × K × K ⇒ Y là ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng Định nghĩa 3.1 Với mỗi t ∈ T , ta xét các bài toán bất đẳng thức véc tơ Ky Fan suy rộng không yếu với các nón thay đổi như sau: 26 Chương 3 SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Bài toán (P1t ): Tìm x ∈ K sao... 30 Chương 3 SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU Cho j = 1, 2, ký hiệu S j (t) là tập nghiệm của bài toán (Ptj ) Ta quan tâm tới tính liên tục của S j tại điểm t0 ∈ T với S j (t0 ) = ∅ Ta luôn giả sử rằng, ánh xạ đa trị F có giá trị compact, khác rỗng, C là ánh xạ đa trị sao cho mỗi giá trị của C là nón lồi, chính thường và đóng với phần trong khác rỗng Cho e : T × K × K −→ Y là ánh xạ đơn trị... (i) Ánh xạ s : X × Y −→ R (đường thẳng thực) là một hàm liên tục (ii) Ánh xạ đa trị ψ : X ⇒ Y là liên tục có giá trị compact khác rỗng Khi đó, hàm f : X −→ R xác định bởi f (x) = supx∈ψ(y) s(x, y) là liên tục Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm về C-nửa liên tục của ánh xạ đa trị Giả sử X là không gian tôpô, Y là không gian véc tơ tôpô, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng và C : X ⇒ Y là ánh xạ. .. rằng, F là nửa liên tục dưới Ví dụ 1.3 Cho ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi   {0} nếu x = 0, F (x) =  [0, 1] nếu x = 0 (1.3) Khi đó, F là nửa liên tục dưới tại x = 0 Định nghĩa 1.29 (xem [2], trang 20) Ánh xạ đa trị F được gọi là liên tục tại x0 ∈ domX nếu F đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x0 Ánh xạ đa trị F được gọi là liên tục trong X ⊂ domF nếu F liên tục tại mọi điểm... nửa liên tục trên, C có đồ thị đóng, F là (−C)- nửa liên tục dưới, G là (−C)- nửa liên tục trên và có giá trị compact thì s2 là nửa liên tục dưới 16 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ (ii) Nếu E là nửa liên tục dưới, intC có đồ thị mở, F là (−C)- nửa liên tục trên, G là (−C)- nửa liên tục dưới thì s2 là nửa liên tục trên Bổ đề 1.1 (xem [21], Bổ đề 4.1) Cho T và K là không gian tôpô Hausdorff, ψ : T ⇒ K là ánh. .. Tiếp tục áp dụng Mệnh đề 2.2(i) bằng cách thay q bởi Q ta thấy rằng r ≤ s1q Hay r ≤ 0, nhưng điều này là không thể Kết luận Chương 2 Nội dung chính của Chương 2 là: 1 Trình bày định nghĩa về hàm vô hướng hóa phi tuyến 2 Đưa ra một số tính chất quan trọng của hàm vô hướng hoá phi tuyến được sử dụng trong các chứng minh của Chương 3 25 Chương 3 SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM KHÔNG YẾU CỦA BẤT ĐẲNG THỨC... không đúng Ví dụ 1.1 Cho ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi   {0} nếu x ≤ 0, F (x) =  [0, 1] nếu x > 0 (1.1) Khi đó, F là ánh xạ có giá trị đóng tuy nhiên F không là ánh xạ đóng 1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị Cho X, Y là không gian tôpô và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng Định nghĩa 1.25 (xem [2], trang 19) Ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ domF nếu với