Mục lục Lời nói đầu Danh mục ký hiệu Danh sách hình vẽ Chương LỊCH SỬ BÀI TOÁN STEINER 1.1 Lịch sử toán Steiner 1.1.1 Bài toán Fermat - Torricelli - Napoleon 1.1.2 Bài toán Gauss 1.1.3 Phát biểu toán Steiner cho n điểm 1.2 Một số khái niệm bổ trợ 1.2.1 Đồ thị 1.2.2 Đồ thị có hướng đồ thị vô hướng 1.2.3 Đỉnh kề 1.2.4 Cạnh liên thuộc 1.2.5 Đỉnh cô lập 1.2.6 Bậc đỉnh 1.2.7 Hành trình, đường chu trình 1.2.8 Đồ thị có trọng số trọng số 1.2.9 Đồ thị 1.2.10 Đồ thị liên thông 1.2.11 Mạng 1.2.12 Cây 1.2.13 Cây bao trùm 1.2.14 Cây bao trùm nhỏ 1.2.15 Tập lồi, bao lồi i 6 10 10 10 11 11 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 15 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH EUCLIDE 2.1 Đồ thị Euclide 2.2 Bài toán Steiner 2.3 Ý tưởng 2.3.1 Định nghĩa kí hiệu 2.3.2 Các loại 2.3.3 Các tính chất Steiner 2.4 Thuật toán 2.4.1 Bài toán Steiner trường hợp n = 2.4.2 Thuật toán tìm ngắn cho ba điểm 2.4.3 Thuật toán Melzak cho bốn điểm 2.4.4 Thuật toán Melzak 2.5 Tỉ số Steiner (the Steiner ratio) Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT 3.1 Một số khái niệm 3.2 Bài toán Steiner với ba điểm khoảng cách chữ nhật 3.3 Điều kiện cần toán Sn 3.4 Bài toán Steiner trường hợp n = 3.5 Bài toán Steiner trường hợp n = Kết luận Tài liệu tham khảo ii 16 16 16 17 17 17 21 26 26 27 29 33 36 38 38 41 43 50 54 57 59 Lời nói đầu Giả sử cần xây dựng hệ thống giao thông nối tất điểm quan trọng (bệnh viện, trường học, ) khu đô thị Vấn đề đặt ta phải thiết kế cho hệ thống giao thông có độ dài ngắn để tiết kiệm chi phí xây dựng, thuận tiện cho việc sử dụng sau Đây ví dụ toán Steiner Bài toán sử dụng để giải nhiều vấn đề thực tế xây dựng đường ống dẫn nước, mạng dây điện, mạng cáp quang internet, Bài toán đặt phải kết nối số điểm cho trước mặt phẳng Euclide, cho phép thêm số điểm để giảm thiểu tổng chiều dài (các điểm thêm vào gọi điểm Steiner ) Bài toán Steiner mở rộng với khoảng cách chữ nhật (rectilinear distance) mà cạnh mạng phép theo chiều dọc chiều ngang hay nói cách khác gồm đường thẳng song song với trục 0x, 0y Bài toán Steiner với khoảng cách chữ nhật ứng dụng trong công nghệ mạch Luận văn Về toán Steiner có mục đích trình bày số vấn đề toán Steiner gồm ba chương Chương 1: Lịch sử toán Steiner Chương trình bày đời phát triển toán Steiner, số kiến thức lý thuyết đồ thị cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu giải toán Steiner Chương 2: Bài toán Steiner với khoảng cách Euclide Chương trình bày hai thuật toán để giải toán Steiner thuật toán ba điểm thuật toán Melzak Chương 3: Bài toán Steiner với khoảng cách chữ nhật (rectilinear distance) Lời nói đầu Trình bày thuật toán giải toán Steiner với khoảng cách chữ nhật trường hợp số điểm cần kết nối nhỏ năm Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Đầu tiên tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo, cán công nhân viên Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, người giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học quý báu năm học vừa qua, để có tảng kiến thức thực luận văn này, quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Viện Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, PGS TS Tạ Duy Phượng, người tận tình bảo, giúp đỡ tạo điều kiện nhiều mặt để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới lãnh đạo Khoa Khoa học tự nhiên, Ban Giám hiệu trường Đại học Thủ Dầu Một, Sở Nội vụ tỉnh Bình Dương tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành khóa học Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên giúp đỡ suốt trình học tập Hà Nội, ngày 15 tháng 08 năm 2014 Trần Lê Thủy Danh mục ký hiệu pq pq Đoạn thẳng nối hai điểm p q |x| Giá trị tuyệt đối x AP D Góc AP D R2 Không gian Euclide hai chiều ∆abc Tam giác tạo ba đỉnh a, b, c W Tập hợp điểm Tổng số i Kết thúc chứng minh Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 Phương pháp Torricelli Phương pháp Simpson Bài toán Napoleon Mạng giao thông tối ưu nối bốn thành phố Đồ thị có hướng Đồ thị vô hướng Đồ thị có chu trình Đồ thị đồ thị Đồ thị liên thông đồ thị không liên thông Mạng có chu trình Cấu hình giống Cấu hình khác Cây suy biến Thu hẹp phân chia Điều kiện góc Ví dụ trường hợp điểm Steiner bậc Thuật toán ba điểm Chứng minh Định lý 2.4 Vị trí cấu hình ban đầu Thuật toán Melzak: Bước Thuật toán Melzak: Bước Thuật toán Melzak: Bước Thuật toán Melzak: Bước Thuật toán Melzak: Bước SMT MST cho tam giác 10 11 13 13 14 17 19 19 20 20 21 22 27 29 30 30 31 31 32 33 36 DANH SÁCH HÌNH VẼ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 Khoảng cách chữ nhật quay trục tọa độ Hình chữ nhật bao Nghiệm toán S3 P3 trùng Điều kiện cần nghiệm Sn Chứng minh Bổ đề 3.2 Chứng minh Bổ đề 3.2 Chứng minh Bổ đề 3.2 Bài toán Steiner cho trường hợp n = Ví dụ hình chữ nhật Bài toán Steiner cho trường hợp n = Bài toán Steiner cho trường hợp n = Bài toán Steiner cho trường hợp n = Mạng giao thông kết nối 532 thành phố nước 39 41 43 45 47 48 49 51 52 53 55 55 Mỹ 57 Chương LỊCH SỬ BÀI TOÁN STEINER 1.1 Lịch sử toán Steiner 1.1.1 Bài toán Fermat - Torricelli - Napoleon Vào kỷ 17, nhà toán học Pháp Pierre de Fermat (1601 - 1665) đặt toán sau đây: “Cho trước ba điểm mặt phẳng Hãy tìm điểm thứ tư cho tổng khoảng cách từ điểm tới ba điểm cho trước nhỏ nhất” F D A P C B E Hình 1.1 Phương pháp Torricelli Bài toán Fermat Evangelista Torricelli (1608 - 1647) giải phương pháp hình học vào khoảng năm 1640 Phương pháp Torricelli sau: Cho ABC Dựng tam giác đều: ABC ABD, BCE , ACF bên Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, BCE , ACF Ba đường tròn cắt điểm, ký hiệu P Điểm P điểm có tổng khoảng cách đến ba điểm A, B, C ngắn Điểm gọi điểm Torricelli ABC cho Chương LỊCH SỬ BÀI TOÁN STEINER Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 - 1667) sách “Exezcitationes geometricae” xuất năm 1647 rằng, điểm Torricelli P nhìn ba cạnh ABC góc 1200 Thomas Simpson (1710 - 1761) đưa phương pháp tìm điểm Torricelli vào năm 1750 Phương pháp Simpson thực cách vẽ ba đường Simpson nối đỉnh tam giác nằm ABC với đỉnh đối diện ABC Ba đường Simpson cắt điểm, điểm điểm Torricelli F D A P C B E Hình 1.2 Phương pháp Simpson Bài toán Fermat có liên hệ trực tiếp với định lý Napoleon sau Định lý Napoleon Cho ABC Về phía ABC dựng ba tam giác BCA , ACB ABC Khi tâm ba tam giác BCA , ACB ABC tạo thành tam giác ba đường thẳng AA , BB CC đồng quy Phải đến năm 1834 nhà toán học Franz Heinen đưa lời giải trọn vẹn cho toán Fermat sau: Chương LỊCH SỬ BÀI TOÁN STEINER i) Nếu góc ABC tạo thành từ ba điểm A, B, C lớn 1200 lời giải toán Fermat điểm trùng với đỉnh góc lớn 1200 ii) Nếu góc ABC nhỏ 1200 lời giải toán Fermat giao điểm đường Simpson điểm Torricelli điểm nhìn cạnh ABC với ba góc 1200 Ông tổng khoảng cách từ điểm Torricelli đến ba đỉnh tam giác độ dài đường Simpson B C A P M F C B N A Hình 1.3 Bài toán Napoleon Bài toán Fermat mở rộng nhiều nhà toán học khác Bài toán Fermat mở rộng Cho trước tập hợp hữu hạn điểm mặt phẳng Hãy tìm điểm cho tổng khoảng cách từ điểm tới điểm cho trước nhỏ Điểm cần tìm gọi điểm Torricelli hệ n điểm cho trước Vào kỷ 19, Jacob Steiner (1796 - 1863) mở rộng toán Fermat cách cho phép thêm vào số điểm phụ không thuộc tập điểm cho 1.1.2 Bài toán Gauss Các nhà nghiên cứu lịch sử toán học phát rằng, Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) biết đến toán Steiner Năm 1836 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT Chứng minh Trước hết ta ý đỉnh (bao gồm q ) nằm cạnh hình chữ nhật R Giả sử ngược lại, tồn đỉnh am = q , am nằm R Vì w(q) = nên ta giả sử C(q) = a1 , a2 , a3 Khi đó, tồn số cạnh nối từ am tới đỉnh C(q) Không tính tổng quát, ta giả sử đỉnh a1 Gọi R1 hình chữ nhật bao quanh ba điểm am , a2 , a3 1 Theo giả sử, am nằm bên R P (R1 ) ≤ P (R) Vì ta có 2 thể thay qua đỉnh a1 , a2 , a3 , q qua đỉnh am , a2 , a3 , q1 với q1 đỉnh bổ sung Khi đó, liên thông với phần lại G số cạnh nối từ am tới a1 tạo thành G1 có tổng khoảng cách nhỏ 1 G (vì P (R1 ) < P (R)) Mâu thuẫn với giả thiết G nghiệm 2 Sn Nhận xét 3.4 Nói chung nghiệm G toán Sn không nhất, nghĩa có nhiều tập đỉnh bổ sung Q để tạo nhỏ Định lý 3.4 (xem [6], trang 259) Cho {xp } {yp } theo thứ tự tập hoành độ tung độ np - điểm cho trước Nếu (xqj , yqj ) tọa độ đỉnh qj ∈ Q tồn nghiệm G toán Sn cho xqj ∈ {xp } yqj ∈ {yp } với j = 1, 2, , k ≤ n − Nhận xét 3.5 Nếu kẻ đường thẳng song song với trục tọa độ qua tất n điểm cho trước mặt phẳng tạo thành mạng lưới mặt phẳng Khi đó, Định lý 3.4 tồn nghiệm G cho tất q - đỉnh nằm giao đường thẳng mạng lưới Gọi tập I tập giao điểm, tất đỉnh G đặt giao điểm Do đó, theo định nghĩa P ⊂ I Đồng thời, với q điểm Q có C(q) gồm p - đỉnh q ∈ I Thật vậy, trường hợp w(q) = theo Bổ đề 3.1 G qua điểm: q điểm thuộc C(q) nghiệm S3 Mặt khác theo Định lý 3.2 q ∈ I Tương tự với trường hợp w(q) = Để chứng minh Định lý 3.4 trước hết ta chứng minh hai bổ đề 46 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT Bổ đề 3.2 (xem [6], trang 260) Cho G nghiệm Sn qj đỉnh thuộc Q cho C(qj ) chứa hai đỉnh i1 , i2 tập I Nếu qj ∈ / I nghiệm G tìm từ G cho đỉnh G đặt điểm qj đỉnh qj G nối với hai điểm i1 , i2 qj ∈ I Chứng minh Như vậy, Bồ đề 3.2 cho đỉnh bổ sung q di chuyển tới vị trí giao điểm mạng lưới (hay điểm thuộc I ) Trước hết ta thấy w(qj ) = 4, theo Định lý 3.2 hai cặp đỉnh C(qj ) nằm hai cạnh vuông góc với qj nằm giao qj ∈ I Vì vậy, ta xét trường hợp w(qj ) = 3, gọi a đỉnh thứ ba C(qj ) Nếu a ∈ I theo Định lý 3.2 Bổ đề 3.1 ta có qj ∈ I , a ∈ Q Do đó, ta đặt đỉnh q1 (Hình 3.5)) i2 qj i1 B q1 Hình 3.5 Chứng minh Bổ đề 3.2 Theo Định lý 3.1 Bổ đề 3.1 hai điểm i1 , i2 phải nằm đường thẳng nằm ngang thẳng đứng qua qj Không tính tổng quát, ta giả sử đỉnh i1 nằm đường thẳng nằm ngang qua qj Khi đó, i2 thuộc góc phần tư ứng với x ≥ xqj , y ≥ yqj Mặt khác, xét đỉnh q1 tương tự theo Định lý 3.1 Bổ đề 3.1 tồn đỉnh a1 thuộc C(q1 ) nằm đường thẳng nằm ngang qua q1 Không tính tổng quát ta giả sử a1 nằm bên phải q1 , có hai khả xảy 47 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT (i) a1 nằm bên phải i2 (ii) a1 nằm khoảng qj i2 • Trường hợp Khi đó, đường thẳng nối qj q1 di chuyển song song tới đường thẳng x = xi2 (xem Hình 3.6) i2 i1 qj qj q1 C a1 Hình 3.6 Chứng minh Bổ đề 3.2 Bằng việc di chuyển ta có G liên thông với G có chiều dài G G nghiệm Sn Khi qj ∈ I đỉnh G đặt điểm qj Đồ thị G có nhiều hơn, số đỉnh đồ thị G Nếu điểm i2 nằm đường thẳng nằm ngang qua i1 qj điểm qj trùng với i2 Nếu w(q1 ) = qj đồ thị G đỉnh đặt q1 Nếu w(q1 ) = đồ thị G có đỉnh đặt q1 q1 • Trường hợp a1 nằm khoảng qj i2 (Hình 3.6) Nếu a1 ∈ I ta dịch chuyển đường thẳng nối qj q1 theo hướng song song với tới đường thẳng x = xa1 , q1 ∈ I đỉnh G đặt qj Nếu a1 ∈ / I hiển nhiên a1 ∈ Q, ta thấy không tồn đỉnh C(a1 ) thỏa mãn y ≥ ya1 tồn đỉnh C(a1 ) 48 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT Hình 3.7 Chứng minh Bổ đề 3.2 thỏa mãn y ≥ ya1 nối đỉnh với qj , q1 , a1 nhỏ nhất, mâu thuẫn với Bổ đề 3.1 Do đó, gọi a2 ∈ C(a1 ) với a2 nằm đường thẳng y = ya1 nằm bên phải a1 , với cách làm tương tự thay a2 cho a1 Tiếp tục tìm điểm a3 nằm đường thẳng y = ya1 = ya2 , sau số bước hữu hạn ta tìm al ∈ P (nghĩa al ∈ I ) al nằm bên trái i2 (trở trường hợp 1) Bổ đề 3.3 (xem [6], trang 261) Nếu Q1 tập hợp đỉnh không thuộc I nhỏ G Q1 tập rỗng, gồm đỉnh kề với hai đỉnh I Chứng minh Giả sử Q1 = ∅, gọi k1 số đỉnh Q1 Để chứng minh ta giả sử tất đỉnh Q1 kề với nhiều đỉnh I Gọi E(Q1 ) số cạnh đồ thị với đỉnh thuộc Q1 Vì w(qi ) ≥ với qi ∈ Q1 nên k1 E(Q1 ) ≥ i=1 w(qi ) − , (3.1) tất đỉnh Q1 kề với nhiều đỉnh I cạnh tính hai lần tổng Mặt khác, hiển nhiên ta có: k1 i=1 w(qi ) − ≥ k1 49 (3.2) Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT Từ (3.1) (3.2) ta có E(Q1 ) ≥ k1 Điều xảy tồn chu trình đồ thị với đỉnh điểm Q1 , điều vô lý Vậy giả sử sai Bây ta chứng minh Định lý 3.4 Chứng minh Gọi G1 nghiệm Sn , ta chia đỉnh G1 vào hai tập rời Q1 I1 Nếu Q1 rỗng hiển nhiên tất đỉnh G1 thuộc I1 nghĩa nằm giao đường thẳng nằm mạng lưới, định lý chứng minh Nếu Q1 khác rỗng, theo Bổ đề 3.3, tồn đỉnh Q1 kề với hai đỉnh thuộc I1 Theo Bổ đề 3.2, đỉnh di chuyển tới vị trí I1 để tạo thành đồ thị G2 Tiếp tục phân bố đỉnh G2 vào hai tập rời Q2 ; I2 Nếu Q2 rỗng định lý chứng minh Nếu Q2 khác rỗng tiếp tục áp dụng Bổ đề 3.3, thực tương tự trình trên, tập hợp điểm Q1 hữu hạn nên sau số bước ta thu Ql tập rỗng với l hữu hạn Vậy Định lý chứng minh 3.4 Bài toán Steiner trường hợp n = Trong phần ta tập trung vào kết đưa từ Định lý 3.4, nghĩa nghiệm có tất đỉnh thuộc I Bổ đề 3.4 (xem [6], trang 262) Nếu bốn điểm toán S4 đặt góc hình chữ nhật bao dS4 = dT4 = l + 2w, l w chiều dài chiều rộng R Chứng minh Nội dung Bổ đề thể Hình 3.8 Đồng thời ta thấy trường hợp số tập Q vô hạn, cách ta cho đoạn thẳng nối q1 với q2 di chuyển song song với đoạn [yp1 ; yp2 ] từ tạo vô số vị trí q1 q2 Nhận xét 3.6 Để giải toán S4 ta chứng minh bốn điểm S4 nằm vị trí mặt phẳng toán 50 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT Hình 3.8 Bài toán Steiner cho trường hợp n = quy trường hợp Bổ đề 3.4, toán Steiner với số điểm nhỏ bốn Trước hết ta thấy đỉnh bổ sung q nằm cạnh R, trừ có 2p - đỉnh nằm cạnh (theo Định lý 3.2 Bổ đề 3.1) Do đó, có cạnh s1 R qua đỉnh ta di chuyển song song với vuông góc với tới giao điểm gần Định nghĩa 3.4 Trong mặt phẳng cho bốn điểm, xếp tọa độ x y bốn điểm theo thứ tự tăng dần Sau vẽ đường thẳng song song với trục tung qua x2 , x3 đường thẳng song song với trục hoành qua y2 , y3 , đường thẳng cắt tạo thành bốn điểm thuộc tập I , gọi c1 , c2 , c3 , c4 Hình chữ nhật tạo thành với bốn đỉnh bốn điểm c1 , c2 , c3 , c4 gọi hình chữ nhật bên trong, kí hiệu R1 Ví dụ 3.2 Cho bốn điểm A, B, C, D ta xắp xếp tọa độ điểm theo thứ tự tăng dần sau {xA , xB , xD , xC }; {yD , yC , yB , yA } Từ xB xD ta kẻ đường thẳng song song với trục 0y , từ yC , yB ta kẻ đường thẳng song song với trục 0x Các đường thẳng cắt điểm c1 , c2 , c3 , c4 , hình chữ nhật c1 c2 c3 c4 gọi hình chữ nhật (xem Hình 3.9) Định nghĩa 3.5 (Dịch chuyển điểm) Trong mặt phẳng cho bốn điểm pi , i = 1, 2, 3, với hình chữ nhật bên R1 với đỉnh c1 , c2 , c3 , c4 51 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT Hình 3.9 Ví dụ hình chữ nhật Xét góc phần tư Uci nằm bên R1 (được tạo thành cạnh kéo dài R1 điểm ci ), điểm pj nằm góc phần tư Uci ta nói pj “dịch chuyển tới” ci Ví dụ: Trong Hình 3.9 điểm D “dịch chuyển tới” C3 Nhận xét 3.7 Với cách xây dựng trên, p - đỉnh đặt ci Hình chữ nhật bên R1 suy biến thành đoạn thẳng Có thể tồn không đỉnh G đặt ci Định lý 3.5 (xem [6], trang 263) Cho bốn điểm mặt phẳng, gọi l, w chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật bao R w1 chiều rộng hình chữ nhật bên R1 Nếu p - đỉnh dịch chuyển tới bốn đỉnh phân biệt c1 , c2 , c3 , c4 hình chữ nhật R1 đó: dS4 = l + w + w1 chúng không dịch chuyển tới tất bốn đỉnh thuộc ci dS4 = l+w Chứng minh • Trường hợp Các p - đỉnh dịch chuyển tới bốn đỉnh phân biệt c1 , c2 , c3 , c4 hình chữ nhật R1 Trường hợp thể Hình 3.8a 52 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT Vì p1 dịch chuyển tới c1 , p3 dịch chuyển tới c2 , p4 dịch chuyển tới c3 , p2 dịch chuyển tới c4 Do đó, độ dài nghiệm G S4 tổng độ dài khoảng dịch chuyển độ dài nghiệm toán S4 với bốn điểm c1 , c2 , c3 , c4 đặt dS4 Theo Bổ đề 3.4, dS4 = l1 + 2w1 l1 , w1 chiều dài chiều rộng hình chữ nhật R1 Vì dS4 = l + w + w1 • Trường hợp Các p - đỉnh không dịch chuyển tới tất bốn đỉnh phân biệt, trường hợp thể Hình 3.8b Ta xét trường hợp p1 , p2 dịch chuyển tới c4 , p3 , p4 dịch chuyển tới c2 Do đó, độ dài nghiệm G S4 tổng độ dài khoảng dịch chuyển độ dài đường ngắn nối c4 , c2 Vì dS4 = l + w Hình 3.10 Bài toán Steiner cho trường hợp n = Nhận xét 3.8 Trong trường hợp tổng quát, ta có dSn ≥ P (R) Hệ 3.1 Nếu dS4 = l + w nghiệm S4 nhất, dS4 > l + w tồn vô số nghiệm Chứng minh Nếu dS4 > l + w bốn điểm pi cho trước S4 dịch chuyển tới bốn đỉnh hình chữ nhật R1 Do đó, nghiệm G toán S4 ban đầu bao gồm nghiệm toán S4 với bốn điểm đỉnh hình chữ nhật R1 Theo Bổ đề 3.4, toán S4 với bốn 53 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT điểm đỉnh hình chữ nhật R1 có vô số cách cho tập điểm bổ sung Q, nên có vô số nghiệm Vì toán S4 ban đầu có vô số nghiệm Nếu dS4 = l + w bốn điểm pi cho trước S4 dịch chuyển tới bốn đỉnh hình chữ nhật R1 Do đó, nghiệm G toán S4 ban đầu bao gồm nghiệm toán Sn với n < với điểm đỉnh hình chữ nhật R1 đường dịch chuyển Vì vậy, dS4 = l + w nghiệm S4 3.5 Bài toán Steiner trường hợp n = Nhận xét 3.9 Bài toán Steiner với năm điểm giải theo hướng toán bốn điểm Trong trường hợp này, ta kẻ đường thẳng song song với trục tung qua x2 , x3 , x4 đường thẳng song song với trục hoành qua y2 , y3 , y4 Các đường thẳng cắt tạo chín điểm ci , i = 1, , Khi hình chữ nhật bên R1 hình chữ nhật lớn tạo thành từ chín điểm, p - đỉnh dịch chuyển tới điểm ci định nghĩa đơn giản trên, nhiên khái niệm góc phần tư trường hợp bao gồm điểm ci nằm đỉnh R1 (Hình 3.11a) Vì vậy, từ dịch chuyển p - đỉnh ta rút gọn toán Steiner với năm điểm trường hợp có hai p - đỉnh nằm cạnh hình chữ nhật bao R Định lý 3.6 (xem [6], trang 264) Cho năm điểm mặt phẳng với hai điểm nằm hình chữ nhật bao R Nếu bốn năm điểm đặt đỉnh hình chữ nhật dS5 = dS4 = l + 2w ≤ dT5 với nghiệm toán S4 với bốn đỉnh nằm đỉnh hình chữ nhật bao Nếu tất năm điểm nằm cạnh hình chữ nhật R dS5 = dT5 ≤ l + 2w Chứng minh • Trường hợp Không tính tổng quát, ta giả sử bốn điểm p1 , p2 , p3 , p4 nằm đỉnh hình chữ nhật R Khi ta có hình chữ nhật R1 hình chữ nhật với 54 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT bốn đỉnh c1 , c2 , c3 , c4 , c4 trùng với p1 c2 trùng với p5 Vì vậy, dS5 tổng dS4 với bốn đỉnh nằm đỉnh hình chữ nhật R1 khoảng cách dịch chuyển, p2 dịch chuyển tới c1 , p4 dịch chuyển tới c2 Áp dụng Bổ đề 3.4, ta có dS5 = dS4 = l + 2w ≤ dT5 (Hình 3.12b) Hình 3.11 Bài toán Steiner cho trường hợp n = Hình 3.12 Bài toán Steiner cho trường hợp n = 55 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT • Trường hợp Chứng minh tương tự trường hợp 1, ta dS5 ≤ l + 2w Đồng thời, năm điểm nằm cạnh hình nhật R nên dS5 = dT5 (Hình 3.12) Nhận xét 3.10 Như qua Định lý 3.6 cho ta cách giải toán S5 hai trường hợp đặc biệt Trong trường hợp tổng quát, điểm nằm vị trí mặt phẳng ta sử dụng phép dịch chuyển điểm để đưa hai trường hợp 56 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau toán Steiner - Trình bày lịch sử đời, trình nghiên cứu phát triển Bài toán Steiner - Trình bày thuật toán Melzak giải toán Steiner - Trình bày thuật toán giải toán Steiner với khoảng cách chữ nhật Hình 3.13 Mạng giao thông kết nối 532 thành phố nước Mỹ Bài toán Steiner ứng dụng để giải nhiều vấn đề thực 57 Chương BÀI TOÁN STEINER VỚI KHOẢNG CÁCH CHỮ NHẬT tiễn Một ứng dụng tiêu biểu toán Steiner kết nối 532 thành phố nước Mỹ thiết kế thuật toán GeoSteiner (Hình 3.13) Đây thuật toán giáo sư Martin Zachariasen đại học Copenhagen xây dựng Chương trình GeoSteiner cho phép thiết kế mạng giao thông nối 3000 điểm nhờ máy tính Hiện thuật toán coi thuật toán xác tốt để giải toán Steiner 58 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tuấn Anh, Nguyễn Trường Xuân, Nguyễn Văn Ngọc, Nguyễn Quang Khánh, Nguyễn Hoàng Long, Lý thuyết đồ thị ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2012 [2] Vũ Đình Hòa Bài toán Steiner, http://vie.math.ac.vn/ mathclub/vdhoa.pdf [3] Ngô Đắc Tân, Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [4] Marcus Brazil, Ronald L Graham, Doreen A Thomas, Martin Zachariasen On the History of the Euclidean Steiner Tree Problem [5] D Du and F Hwang, The Steiner Ratio Conjecture of Gilbert and Pollack is True, Proceedings of the Nation Academy of Sciences, USA, 87 (December 1990), 9464 – 9466 [6] M Hanan, On Steiner’s Problem with Rectilinear Distance, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol 14, 1966 [7] Michael Herring, The Euclidean Steiner Tree Problem, Denison University, April 28, 2004 [8] A.O Ivanov, A.A Tuzhilin, Non-trivial example of a boundary set in Generalized Steiner problem constructed with the help of Computer Geometry and Visualization, Moscow State University, Moscow, Russia [9] Z A Melzak, On the problem of Steiner, Canad Math Bull, 1961 59 Tài liệu tham khảo [10] Pollak H O., Some Remaks on The Steiner Problem, J Comb Theor Ser A 24 (1978) [11] Germander Soothill, The Euclidean Steiner Problem, 2010, http : //www.maths.dur.ac.uk/U g/projects/highlights/CM /Soothill_Steiner_report.pdf [12] F A Valentine, Convex Sets, McGraw - Hill, New York, 1964 60