VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————o0o——————– VŨ THỊ HẢI YẾN TỪ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn: GS TSKH Lê Dũng Mưu Hà Nội - 2015 Mục lục Mở đầu CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Không gian Euclidean 1.1.1 Tích vô hướng 1.1.2 Chuẩn 1.1.3 Không gian định chuẩn, không gian Euclidean 1.2 Tập lồi hàm lồi 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 14 1.3 Một số tính chất ánh xạ tập lồi 17 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 20 2.1 Phát biểu toán ví dụ 20 2.1.1 Phát biểu toán 20 2.1.2 Ví dụ 21 2.2 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VIP) 23 2.3 Phương pháp chiếu để giải toán (VIP) 25 2.3.1 Phương pháp chiếu để giải toán (VIP) 26 2.3.2 Phương pháp chiếu đạo hàm để giải toán (VIP) 31 BÀI TOÁN CÂN BẰNG 37 3.1 Phát biểu toán ví dụ 37 3.1.1 Phát biểu toán 37 3.1.2 Ví dụ 38 3.2 Sự tồn nghiệm toán cân 39 3.3 Phương pháp chiếu để giải toán cân (EP) 44 3.3.1 Phương pháp chiếu để giải toán cân (EP) 44 3.3.2 Phương pháp chiếu đạo hàm (IPSM) để giải toán (EP) Kết luận 49 58 Tài liệu tham khảo 61 Mở đầu Toán học lề then chốt cho ngành khoa học có ứng dụng rộng rãi thực tiễn kinh tế Ngày có nhiều nhà kinh tế học nhà toán học tập trung nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học, đặc biệt lý thuyết tối ưu toán học tăng trưởng kinh tế Bài toán cân vấn đề quan trọng lý thuyết tối ưu nghiên cứu qua công trình Nikaido Isoda, Ky Fan, L.D Muu W Oettli, Bài toán cân có mối liên hệ với nhiều toán khác, đặc biệt toán bất đẳng thức biến phân Để giải toán cân có nhiều phương pháp khác phương pháp phát triển phương pháp chiếu Phương pháp chiếu dùng để giải toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân hiệu Luận văn: "Từ bất đẳng thức biến phân đến toán cân bằng" nhằm mục đích trình bày vấn đề toán bất đẳng thức biến phân, toán cân phương pháp chiếu để giải hai toán Qua để thấy phát triển từ toán bất đẳng thức biến phân đến toán cân Luận văn chia làm chương: Chương 1: "Các kiến thức bổ trợ" trình bày kiến thức không gian Euclidean, tập lồi, hàm lồi, số tính chất ánh xạ tập lồi sử dụng chương sau Chương 2: "Bài toán bất đẳng thức biến phân" trình bày toán bất đẳng thức biến phân, tồn nghiệm toán phương pháp chiếu để giải toán Chương 3: "Bài toán cân bằng" giới thiệu toán cân bằng, tồn nghiệm toán, phương pháp chiếu để giải toán mối liên hệ toán cân với toán bất đẳng thức biến phân Do thời gian khả hạn chế nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu tài liệu trình bày lại kết nghiên cứu theo chủ đề đặt Mặc dù có cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu xót, tác giả mong nhận góp ý thầy cô giáo, nhà nghiên cứu độc giả quan tâm đến luận văn Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo Viện Toán học, trung tâm Đào tạo Sau đại học Viện Toán, thầy cô giáo, cán công nhân viên Viện Toán tận tình giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian học tập Viện Toán Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS – TSKH Lê Dũng Mưu tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả VŨ THỊ HẢI YẾN Chương CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày kiến thức không gian Euclidean, tập lồi, hàm lồi số tính chất ánh xạ tập lồi sử dụng chương sau Nội dung chương lấy tài liệu [1], [2], [3] 1.1 1.1.1 Không gian Euclidean Tích vô hướng Cho X không gian vectơ, có xác định hàm hai biến x, y , gọi tích vô hướng hai vectơ x y thỏa mãn tính chất: (i) x, y = y, x , (ii) x + y, z = x, z + y, z , (iii) αx, y = α x, y , ∀α ∈ R, (iv) x, x > x = 0, x, x = x = 1.1.2 Chuẩn Cho X không gian vectơ, ứng với phần tử x ∈ X , ta có số x , gọi chuẩn thỏa mãn điều kiện: (i) x > x = 0; x = x = 0, (ii) αx = |α| x (tính chuẩn), (iii) x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác), (Với x, y ∈ X với số α) 1.1.3 Không gian định chuẩn, không gian Euclidean a Không gian định chuẩn Một không gian định chuẩn X không gian vectơ, ứng với phần tử x ∈ X , ta có số x , gọi chuẩn xác định mục 1.1.2 b Không gian Euclidean Với số nguyên không âm n, không gian n số thực tạo thành không gian vectơ n chiều R, ký hiệu Rn Một phần tử Rn viết x = (x1 , x2 , , xn ), xi (i = 1, n) ∈ R Không gian Rn không gian Euclidean Trên không gian Euclidean Rn xác định tích vô hướng hai vectơ x, y sau: n x, y = xi y i , i=1 chuẩn n x = x, x = (xi )2 , (gọi chuẩn Euclidean) i=1 Nhận xét: Với số thực α ta có: ≤ x − αy, x − αy = x, x − 2α x, y + α2 y, y Tam thức bậc hai theo α phải có ∆ ≤ tức | x, y |2 − x, x y, y ≤ hay | x, y | ≤ x y Đây bất đẳng thức Schwarz 1.2 Tập lồi hàm lồi 1.2.1 Tập lồi Định nghĩa 1.2.1 Một tập C ⊂ Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] λx + (1 − λ)y ∈ C Ví dụ 1.2.1 a Các nửa không gian đóng hay nửa không gian mở tập lồi b Các hình vuông hay hình elip tập lồi Mệnh đề 1.2.1 Tập C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức C lồi k ∀k ∈ N; ∀λ1 ; ; λk > : k k λj = 1; ∀x ; ; x ∈ C ⇒ j=1 j=1 λj xj ∈ C Ta nói C tổ hợp lồi điểm (vectơ) x1 ; ; xk k x= k λj xj , λj > 0, ∀j = 1; k, λj = j=1 j=1 Định nghĩa 1.2.2 Một tập C gọi tập a-phin chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Bao a-phin C giao tất tập a-phin chứa C Ký hiệu af f C Mệnh đề 1.2.2 C = ∅ tập a-phin có dạng C = L + a với L không gian C a ∈ C Không gian L xác định Định nghĩa 1.2.3 Không gian L Mệnh đề 1.2.2 gọi không gian song song với C Thứ nguyên (hay chiều) tập a-phin C định nghĩa thứ nguyên không gian song song với C ký hiệu dimC Thứ nguyên tập C định nghĩa thứ nguyên bao a-phin Tức dimC := dim(af f C) Định nghĩa 1.2.4 Một tập F ⊆ C gọi diện tập lồi C F tập lồi có tính chất ∀x, y ∈ C : tx + (1 − t)y ∈ F ; < t < ⇒ [x, y] ⊂ F Điểm cực biên điểm có thứ nguyên Tia cực biên diện nửa đường thẳng Hướng cực biên hướng tia cực biên Tập hợp tất điểm cực biên C kí hiệu V (C) tập hợp tất hướng cực biên C kí hiệu U (C) Định lý 1.2.1 (Định lý biểu diễn tập lồi) Nếu C tập lồi đóng không chứa trọn đường thẳng C = CoV (C) + ConeU (C) Tức điểm C biểu diễn tổng tổ hợp lồi điểm cực biên tổ hợp không âm hướng cực biên Định nghĩa 1.2.5 Cho hai tập C D khác rỗng, ta nói siêu phẳng aT x = α tách C D aT x ≤ α ≤ aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D Ta nói siêu phẳng aT x = α tách mạnh C D sup aT x < α < inf aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D x∈C y∈D Định lý 1.2.2 (Định lý tách 1) Cho C D tập lồi khác rỗng Rn cho C ∩ D = ∅ Khi có siêu phẳng tách C D Định lý 1.2.3 (Định lý tách 2) Cho C D tập lồi khác rỗng Rn cho C ∩ D = ∅ Giả sử có tập compact Khi hai tập tách mạnh siêu phẳng Định lý không có tập compact tập lại không đóng Thật vậy, theo Bước Thuật toán 3.1 ta có: xk+1 := arg ρf (xk , y) + y − xk y∈C ⇔xk+1 = arg ρ F (xk ), y − xk + y − xk y∈C ⇔0 ∈ ∇ ρ F (xk ), xk+1 − xk + xk+1 − xk + NC (xk+1 ) ⇔ − ∇ ρ F (xk ), xk+1 − xk + k+1 x − xk 2 ∈ NC (xk+1 ) F (xk ) + xk+1 − xk ∈ NC (xk+1 ) ρ ⇔xk − F (xk ) − xk+1 ∈ NC (xk+1 ) ρ ⇔xk+1 = pC (xk − F (xk )) ρ ⇔− Điều chứng tỏ điểm xk+1 định nghĩa theo Bước Thuật toán 3.1 hình chiếu lên tập C vectơ xk − F (xk ) ρ 2) Khi f (x, y) = F (x), y − x với F toán tử Lipschitz C với số L > f thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz Mệnh đề 3.3.9 với hệ số √ T1 , T2 ≥ thỏa mãn T1 T2 ≥ L Tương tự, f đơn điệu (giả đơn điệu) F đơn điệu (giả đơn điệu) Thật vậy, với x, y, z ∈ C ta có: f (x, y) + f (y, z) − f (x, z) = F (y) − F (x), z − y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có: F (y) − F (x), z − y ≥ − F (y) − F (x) Khi F L- Lipschitz, ta viết 48 z−y − F (y) − F (x) z − y ≥ −L y − x z−y Từ ba bất đẳng thức trên, ta có bất đẳng thức: f (x, y) + f (y, z) − f (x, z) ≥ −L y − x ≥ −T1 y − x Vậy f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − T1 y − x z−y − T2 z − y − T2 z − y hay f thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz 3.3.2 Phương pháp chiếu đạo hàm (IPSM) để giải toán (EP) Như thấy, Thuật toán 3.1 hội tụ f đơn điệu mạnh Trong mục này, ta trình bày thuật toán chiếu đạo hàm để giải toán (EP) f không đơn điệu mạnh Nội dung phần lấy tài liệu [8] Trước hết, xin đưa số khái niệm bản, tính chất cần dùng Định nghĩa 3.3.19 Cho ξ ≥ x ∈ Rn Một điểm thuộc C gọi ξ− chiếu x C px ξ− nghiệm toán y∈C x−y 2 , 1 x − px ≤ x − pC (x) + ξ , 2 pC (x) phép chiếu trực giao x C tức Dễ dàng ξ− chiếu x C cho x − px , px − y ≥ −ξ, ∀y ∈ C 49 (3.3.8) Định nghĩa 3.3.20 0− đường chéo vi phân ∂2 f (x, x) hay vi phân đường chéo song hàm f x ∈ C cho ∂2 f (x, x) := {g ∈ Rn : f (x, y) ≥ f (x, x) + g, y − x , ∀y ∈ Rn } = {g ∈ Rn : f (x, y) ≥ g, y − x , ∀y ∈ Rn } (3.3.9) Mệnh đề 3.3.10 Cho {vk } {δk } dãy số thực không âm thỏa mãn +∞ vk+1 ≤ vk + δk với δk < +∞ k=1 Khi dãy {vk } hội tụ Mệnh đề 3.3.11 Cho θ, β ξ số thực không âm thỏa mãn θ2 − βθ − ξ ≤ Khi βθ ≤ β + ξ (3.3.10) Chứng minh Xét tam thức bậc hai s (θ) = θ2 − βθ − ξ , s (θ) ≤ Từ đó, ta có: θ≤ β+ β + 4ξ , θ > Nhân hai vế bất đẳng thức sau với β sử dụng bất đẳng thức 50 a2 + b2 ta có: ab ≤ βθ ≤ 2−1 β + β −1 ≤2 = 2−1 β + 4ξ β + β + 4ξ β + 2 β + β + 2ξ = β + ξ Đó điều phải chứng minh Tiếp theo, ta trình bày thuật toán phương pháp chiếu đạo hàm (IPSM) phân tích hội tụ Cho tham số ρ dãy số thực {ρk } , {βk } , {εk } , {ξk } thỏa mãn điều kiện ρk > ρ; βk > 0; εk > 0; ξk > 0; ∀k ∈ N βk = +∞; ρk βk εk < +∞; ρk (3.3.11) βk < +∞ (3.3.12) ξk < +∞ (3.3.13) Thuật toán 3.2 Bước 0: Lấy x0 ∈ C đặt k = 0, Bước 1: Cho xk ∈ C Thu g k ∈ ∂2 f (xk , xk ) βk Xác định αk = , γk γk := max ρk , g k (3.3.14) Bước 2: Tính xk+1 ∈ C cho αk g k + xk+1 − xk , x − xk+1 ≥ −ξk ∀x ∈ C Chú ý: 51 (3.3.15) (i) Điểm xk+1 ξk _ chiếu xk − αk g k C Trong thực hành ξk = xk+1 = pC (xk − αk g k ) (ii) Thuật toán dừng g k = (ở Bước 1) xk = xk+1 (ở Bước 2) Mệnh đề 3.3.12 Nếu thuật toán (IPSM) sinh dãy hữu hạn điểm cuối dãy nghiệm toán (EP) Chứng minh Ta có g k ∈ ∂2 f (xk , xk ) Nếu thuật toán dừng lại Bước ta có g k = Khi mệnh đề theo (3.3.9) Bây giờ, giả sử thuật toán kết thúc Bước 2, tức xk = xk+1 Bằng phản chứng, giả sử xk ∈ / S(f, C) Khi tồn x ∈ C cho f (xk , x) < Theo (3.3.13) ta có: > f (xk , x) ≥ g k , x − xk (3.3.16) Mặt khác, thay xk+1 xk (3.3.15) ta có: αk g k , x − xk ≥ (3.3.17) Do đó, từ (3.3.16) (3.3.17) ta thấy có mâu thuẫn αk > Do xk ∈ S(f, C) Từ trở đi, ta giả sử thuật toán (IPSM) sinh dãy vô hạn xk Chúng ta thu tính chất bổ trợ sau: Mệnh đề 3.3.13 Với k , có bất đẳng thức sau: (i) αk g k ≤ βk , (ii) βk xk+1 − xk ≤ βk2 + ξk 52 Chứng minh (i) Theo (3.3.14) ta có: αk g βk g k ≤ βk , = max {ρk , g k } k (3.3.18) (ii) Thay x = xk vào (3.3.15), sau áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schawarz ta có: xk+1 − xk ≤ αk g k , xk − xk+1 + ξk ≤αk g k xk+1 − xk + ξk (3.3.19) ≤βk xk+1 − xk + ξk Áp dụng Mệnh đề 3.3.11 với θ = xk+1 − xk ; β = βk ; ξ = ξk , với k ∈ N ta có điều phải chứng minh Ta giả sử thêm toán (EP) thỏa mãn điều kiện sau: A1 Tập nghiệm S(f, C) = ∅ A2 S(f, C) ⊂ Sd (f, C), Sd (f, C) tập nghiệm toán đối ngẫu toán (EP), tức Tìm x∗ ∈ C cho f (y, x∗ ) ≤ 0, ∀y ∈ C A3 0− đường chéo vi phân bị chặn tập C A’3 Dãy xk dãy bị chặn A4 Cho x∗ ∈ S(f, C) x ∈ C Nếu f (x, x∗ ) = f (x∗ , x) = x ∈ S(f, C) A5 f (., y) nửa liên tục với y ∈ C Khi đó, ta có kết sau: 53 Mệnh đề 3.3.14 Nếu A1 thỏa mãn, với x∗ ∈ S(f, C) với k ∈ N ta có: xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + 2αk f (xk , x∗ ) + δk , (3.3.20) δk = 2βk2 + 4ξk Chứng minh Bằng phép biến đổi đại số đơn giản, ta có: xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ ≤ xk − x∗ − xk+1 − xk 2 + xk − xk+1 , x∗ − xk+1 + xk − xk+1 , x∗ − xk+1 (3.3.21) Theo (3.3.21) (3.3.15) với x = x∗ ta có: xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + αk g k , x∗ − xk+1 + 2ξk = xk − x∗ + αk g k , x∗ − xk + αk g k , x∗ − xk+1 + 2ξk (3.3.22) Dựa vào bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Mệnh đề 3.3.13(i) ta có: xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + 2αk g k , x∗ − xk + 2βk xk − xk+1 + 2ξk (3.3.23) Theo (3.3.23) Mệnh đề 3.3.13(ii) ta có: xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + 2αk g k , x∗ − xk + 2βk2 + 4ξk Mặt khác, từ g k ∈ ∂2 f (xk , xk ), ta có: 54 (3.3.24) g k , x∗ − xk ≤ f (xk , x∗ ) Do từ αk > ta có: 2αk g k , x∗ − xk ≤ 2αk f (xk , x∗ ) (3.3.25) Kết suy từ (3.3.24) (3.3.25) Định lý 3.3.9 Nếu điều kiện A1 A2 thỏa mãn i, xk − x∗ hội tụ với x∗ ∈ S(f, C), ii, xk bị chặn Chứng minh i, Cho x∗ ∈ S(f, C) k ∈ N Theo A2 ta có f (xk , x∗ ) ≤ 0, kết hợp với Mệnh đề 3.3.13 ta có: xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ + δk , (3.3.26) δk = 2βk2 + 4ξk Do đó, theo (3.3.12), (3.3.13), (3.3.14) ta có: +∞ δk < +∞ (3.3.27) k=0 Do từ (3.3.26), (3.3.27) Mệnh đề 3.3.8 ta có kết xk − x∗ dãy hội tụ ii, Kết suy từ phần (i) Định lý 3.3.10 Giả sử điều kiện A1 A2 thỏa mãn Khi đó, điều kiện A3 A’3 đúng, ta có: lim sup f (xk , x∗ ) = 0, ∀x∗ ∈ S(f, C) k→+∞ 55 Chứng minh Cho x∗ ∈ S(f, C) Theo Mệnh đề 3.3.13 điều kiện A2 ta có kết quả: ≤2αk −f (xk , x∗ ) ≤ xk − x∗ − xk+1 − x∗ + δk (3.3.28) Do m αk −f (xk , x∗ ) ≤2 k=0 m ≤ x −x ∗ − x m+1 ∗ −x + δk (3.3.29) k=0 m ≤ x0 − x∗ δk + k=0 Với m → +∞ ta có: +∞ αk −f (xk , x∗ ) ≤2 k=0 +∞ ∗ ≤ x −x + δk (3.3.30) k=0 Kết hợp với (3.3.27) suy +∞ αk −f (xk , x∗ ) < +∞ 0≤ k=0 Mặt khác, theo A’3 A3 ta có gk bị chặn Thật vậy, theo Định lý 3.3.9 ta có xk bị chặn Do A3 Theo (3.3.11) (3.3.14) ta có tồn tai L ≥ ρ cho g k ≤ L với k ∈ N Do 56 (3.3.31) γk = max 1; ρ−1 gk k ρk ≤ Lρ , ∀k ∈ N Từ ta có: βk ρ.βk ≥ , ∀k ∈ N γk L.ρk Kết theo (3.3.31) (3.3.32) kéo theo αk = +∞ k=0 βk −f (xk , x∗ ) < +∞ ρk (3.3.32) (3.3.33) Do theo (3.3.33) (3.3.12) ta điều phải chứng minh Định lý 3.3.11 Giả sử A1; A2; A3 A’3; A4 A5 thỏa mãn Khi đó, dãy xk hội tụ nghiệm toán (EP) Chứng minh Cho x∗ ∈ S(f, C) Theo Định lý 3.3.10 tồn dãy xkj xk cho lim sup f (xk , x∗ ) = lim f (xkj , x∗ ), ∀x∗ ∈ S(f, C) j→+∞ k→+∞ Theo Định lý 3.3.10 ta có xkj (3.3.34) bị chặn Khi có x ∈ C cho lim xkj = x j→+∞ Theo giả thiết A5 với Định lý 3.3.10 ta có: f (x, x∗ ) ≥ lim sup f (xkj , x∗ ) j→+∞ = lim f (xkj , x∗ ) j→+∞ = lim sup f (xk , x∗ ) j→+∞ =0 Từ A2 ta có f (x, x∗ ) ≤ Do 57 (3.3.35) f (x, x∗ ) = Vì vậy, theo A4 x ∈ S(f, C) Lại theo Định lý 3.3.10 ta có dãy xk − x hội tụ với (3.3.35) ta có: lim xk = x, x ∈ S(f, C) k→+∞ Kết luận chương Trên đây, giới thiệu toán cân bằng, tồn nghiệm toán hai phương pháp chiếu để giải toán Qua thấy toán cân (EP) phương pháp chiếu để giải toán phát triển tự nhiên từ toán phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân 58 Kết luận Luận văn tìm hiểu toán bất đẳng thức biến phân, toán cân mối liên hệ hai toán Qua để thấy phát triển toán cân từ toán bất đẳng thức biến phân Những nội dung trình bày luận văn bao gồm: +) Những kiến thức không gian Euclidean, tập lồi, hàm lồi, số tính chất ánh xạ tập lồi sử dụng chương sau +) Bài toán bất đẳng thức biến phân, tồn nghiệm toán phương pháp chiếu để giải toán +) Bài toán cân bằng, tồn nghiệm toán, phương pháp chiếu để giải toán toán bất đẳng thức biến phân trường hợp riêng toán cân Đóng góp luận văn tìm ví dụ 2.3.7 chứng minh nhận xét sau Thuật toán 3.1 Trong thời gian làm luận văn này, tác giả hiểu biết thêm toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân mối quan hệ chúng Tác giả mong muốn có hiểu biết sâu rộng toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, ứng dụng toán 59 thực tiễn để thấy rõ toán học có vai trò quan trọng thực tiễn Những hiểu biết giúp cho tác giả nhiều công tác giảng dạy 60 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền - Lê Dũng Mưu - Nguyễn Hữu Điển, (2015), Nhập môn Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Phan Huy Khải – Đỗ Văn Lưu, Giải tích lồi, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Hoàng Tụy, (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội Tiếng Anh [4] F Facchinei – J S Pang, (2003), Finite Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Volume II, Springer [5] Konnov I V, (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer [6] G M Lee, N N Tâm and N D Yen (2005),Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities, Springer [7] L.D, Muu, T.D Quoc, (2009), "Regularization Algorithms for Solvin Monotone Ky Fan Inequalities with Application to a Nash - Cournot 61 Equilibrium Model", Journal Optimization Theory and Application, 142, 185 - 204 [8] P Santos and S Scheimberg,(2011,) "An Inexact Subgradient Algorithm for Equilibrium Problems",Computational Applied Mathematics, 30, 91 107 [9] D Quoc Tran, M Le Dung, Van Hien Nguyen, (2008), "Extragradient Algorithms Extended to Equilibrium Problems", Optimization, 57, 749 776 62