BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Trần Thị Thu TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ CÓ RÀNG BUỘC TRÊN ĐIỀU KHIỂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Trần Thị Thu TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ CÓ RÀNG BUỘC TRÊN ĐIỀU KHIỂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn Hà Nội – 2015 Mục lục Danh mục kí hiệu chữ viết tắt Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính 1.2 Tập lồi số tính chất 1.3 Ánh xạ đa trị 1.4 Một số kiến thức lý thuyết điều khiển 14 Một vài tiêu chuẩn xét tính điều khiển hệ tuyến tính 22 2.1 Tiêu chuẩn - hệ ràng buộc điều khiển 22 2.2 Tiêu chuẩn hai - hệ tuyến tính có ràng buộc điều khiển 2.3 29 Tiêu chuẩn ba - hệ tuyến tính có ràng buộc lồi, đóng điều khiển 36 Bán kính điều khiển hệ tuyến tính ràng buộc điều khiển 45 i Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu Tài liệu tham khảo 60 ii Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu Lời cảm ơn Đầu tiên cho gửi lời cảm ơn chân thành tới GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn Thầy người dìu dắt bước đường tìm hiểu nghiên cứu lý thuyết điều khiển Thầy tận tình giúp đỡ bảo trình tìm hiểu thực luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội Viện Toán học dạy dỗ bảo cho suốt thời gian qua Đặc biệt thầy cô giáo tổ Giải tích - Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho trình học cao học thực luận văn Tôi xin cảm ơn bạn tập thể K21 Viện Toán học giúp đỡ trình soạn thảo hoàn thiện luận văn Cuối muốn cảm ơn gia đình Đây quà nhỏ muốn dành tặng người mà yêu quý - người bên tôi, động viên suốt thời gian qua Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất người! Hà Nội, ngày 28 tháng 08 năm 2015 Tác giả luận văn Trần Thị Thu Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu Danh mục kí hiệu chữ viết tắt K Trường R C Kn Không gian (viết tắt K/g) véc tơ n - chiều Kn \ {0} Tập tất điểm thuộc Kn khác L∞ ([0, T ]; Rm ) K/g hàm khả tích tuyệt đối: [0, T ] → Rm C[[0, T ]; Rm ] Không gian hàm liên tục: [0, T ] → Rm Re z, Im z Phần thực, phần ảo số phức z ∈ C x, y , x Tích vô hướng, chuẩn Kn (Kn )∗ Không gian liên hợp Kn M⊥ Phần bù trực giao M ⊂ Kn Kn×m M(n, m, K) Tập hợp tất ma trận cấp n × m M(n, K) Tập hợp tất ma trận vuông cấp n A∗ , AT Ma trận liên hợp, ma trận chuyển vị A ||A||, rank(A) Chuẩn, hạng ma trận A δ(A) Tập tất giá trị riêng A det B Định thức ma trận B ∈ M(n, K) σmin (A) Giá trị kì dị nhỏ ma trận A A−1 Ma trận nghịch đảo A ∈ M(n, K) A† Ma trận giả nghịch đảo Moore-Penrose A Ø, A¯ Tập rỗng, bao đóng A Cb (Ω) Nón chắn (nón barrier) Ω Luận văn Thạc sĩ toán học Cr (Ω) Trần Thị Thu Nón lùi xa Ω (C(Ω))+ Ω+ Nón đối ngẫu dương Ω cone C Nón sinh C co C Bao lồi C span C Bao tuyến tính C int C Phần C F : Km ⇒ Kn Toán tử đa trị F dom F Miền hữu hiệu F im F Không gian ảnh F ker F Không gian nhân F gr F Đồ thị F H=F ◦G Toán tử đa trị hợp thành F G F −1 , F ∗ Toán tử đa trị ngược, liên hợp toán tử F ||F|| Chuẩn toán tử đa trị F (A, B) Ma trận ghép ma trận A ma trận B [A|B] Ma trận có dạng (B, AB, , An−1 B) ΩCT Tập điều khiển chấp nhận RT Tập đạt từ sau thời gian T > R Tập đạt từ sau thời gian hữu hạn ST Tập đạt sau thời gian T > S Tập đạt sau thời gian hữu hạn Nhiễu rK (A, B) Bán kính điều khiển hệ (A, B) rK D,E (A, B) Bán kính điều khiển chịu nhiễu có cấu trúc Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu Lời mở đầu Lý thuyết điều khiển phát triển từ khoảng 150 năm trước thực điều khiển học bắt đầu cần mô tả phân tích cách toán học Hiện lý thuyết điều khiển tiếp tục phát triển mạnh mẽ xem lĩnh vực có tính ứng dụng cao thực tế Được hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn, mạnh dạn chọn đề tài:"Tính điều khiển hệ có ràng buộc điều khiển" làm luận văn thạc sĩ Trong luận văn này, tìm hiểu hai vấn đề quan trọng lý thuyết điều khiển Một tính điều khiển Cho hệ điều khiển tuyến tính x = Ax + Bu, A ∈ Kn×n , B ∈ Kn×m với K = R C Hệ hay cặp (A, B) ∈ Kn×(n+m) gọi điều khiển sau thời gian T cho trạng thái tùy ý ban đầu x(0) = x0 trạng thái mong muốn cuối x1 , tồn số T>0 hàm điều khiển u(t) ∈ Ω ⊂ Km cho xu (T ) = x1 Tính điều khiển hệ điều khiển tuyến tính khởi xướng từ kết ý tưởng quan trọng Kalman (1960) Hautus (1969) Đến tiêu chuẩn xét tính điều khiển hệ điều khiển phát triển mạnh mẽ thu kết phong phú sâu sắc Trong luận văn này, tìm hiểu số tiêu chuẩn điều khiển cho hệ ràng buộc Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu có ràng buộc điều khiển Hai bán kính điều khiển (tức khoảng cách từ hệ điều khiển đến tập hệ không điều khiển được) Vấn đề đời từ 1980, nhiên vấn đề thời Sự bảo toàn tính chất định tính hệ ảnh hưởng nhiễu nhỏ chẳng hạn tính điều khiển được, tính ổn định gọi bền vững Bán kính điều khiển giúp tìm câu trả lời cho toán nghiên cứu bền vững tính điều khiển Các nhà Toán học đưa nhiều công trình, báo sâu sắc nói bán kính điều khiển cho hệ tuyến tính ràng buộc điều khiển, nhiên bán kính điều khiển hệ có ràng buộc điều khiển phức tạp nên tới có báo nghiên cứu Trong luận văn này, tập trung khai thác báo GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn cộng tìm hiểu bước đầu bán kính điều khiển hệ ràng buộc điều khiển Đối với hệ có ràng buộc điều khiển, nêu ý tưởng xây dựng mà không vào chi tiết Chúng cố gắng làm rõ vấn đề thời gian nghiên cứu tới Luận văn gồm ba chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số kiến thức cần chuẩn bị phương trình vi phân tuyến tính, tập lồi tính chất, ánh xạ đa trị mà cụ thể ánh xạ đa trị tuyến tính số kiến thức lý thuyết điều khiển Có nhiều kiến thức không vào chứng minh chi tiết độc giả tham khảo sách Đại số tuyến tính, Giải tích, Phương trình vi phân, Giải tích lồi, Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu Giải tích đa trị tài liệu [1], [2], [4], [5], [6], [11], [12], [13], [14], [18] Chương "Một vài tiêu chuẩn xét tính điều khiển hệ tuyến tính" đưa vài tiêu chuẩn xét tính điều khiển hệ tuyến tính trường hợp ràng buộc có ràng buộc điều khiển Đối với tiêu chuẩn có nêu số hệ ví dụ minh họa cụ thể Chương viết dựa tài liệu [2], [3], [14], [17] Chương "Bán kính điều khiển được" tham khảo tài liệu [3], [7], [8], [9], [15], [16], [17] Trong chương nêu công thức tính bán kính điều khiển cho hệ tuyến tính ràng buộc cho trường hợp tổng quát cho trường hợp cụ thể Ngoài ra, có đưa ví dụ áp dụng cho công thức nêu hướng mở rộng công thức cho hệ tuyến tính có ràng buộc điều khiển Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu toán tử đa trị tuyến tính EWλ−1 D : Kl ⇒ Kq u → (EWλ−1 D)(u) = E(Wλ−1 (D(u))), với Wλ−1 toán tử đa trị ngược Wλ Định lý 3.2 ([16, Theorem 3.2, p 477]) Nếu K = C (D,E) rC (A, B) = sup EWλ−1 D (3.7) λ∈C Chứng minh - Trước hết ta chứng minh (D,E) rC (A, B) ≥ sup EWλ−1 D (3.8) λ∈C Vì hệ cho điều khiển toàn cục nên theo điều kiện Hautus, ta có rank(A−λI, B) = n, ∀λ ∈ C Khi đó, toán tử Wλ xác định toàn ánh Theo Tính chất 1.5 ii, ta có Wλ∗ đơn ánh hay (Wλ∗ )−1 đơn trị, ∀λ ∈ C ˜ B) ˜ không điều khiển với ∆ ∈ Cl×q Tương Giả sử cặp (A, tự ta có ∃λ0 ∈ C : rank(A − λ0 I, B) < n, hay toán tử Wλ0 + D∆E : Cn+m → Cn không toàn ánh Do (Wλ0 + D∆E)∗ không đơn ánh hay ∃0 = x0 ∗ ∈ (Cn )∗ : (Wλ0 +D∆E)∗ (x0 ∗ ) = Wλ∗0 (x0 ∗ )+(D∆E)∗ (x0 ∗ ) = hay Wλ∗0 (x0 ∗ ) + (E ∗ ∆∗ D∗ )(x0 ∗ ) = Cũng Wλ∗0 −1 đơn trị nên ta có (x0 ∗ ) = −(Wλ∗0 −1 E ∗ ∆∗ )(D∗ (x0 ∗ )) Do D∗ (x0 ∗ ) = 0, lấy toán tử 49 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu D∗ hai vế ta D∗ (x0 ∗ ) = D∗ (−(Wλ∗0 −1 E ∗ ∆∗ )D∗ (x0 ∗ )) = −(D∗ Wλ∗0 −1 E ∗ )(∆∗ (D∗ (x0 ∗ ))) Vậy nên = (D∗ Wλ∗0 −1 E ∗ )(∆∗ (D∗ (x0 ∗ ))) ≤ D∗ (x0 ∗ ) = D∗ Wλ∗0 −1 E ∗ ∆∗ D∗ (x0 ∗ ) D∗ Wλ∗0 −1 E ∗ ∆∗ ≥ (3.9) Mặt khác theo định nghĩa, ta có im Wλ−1 ⊂ Cn+m = dom E nên theo Tính chất 1.6 ii ta (EWλ−1 )∗ = (Wλ−1 )∗ E ∗ = (Wλ∗0 )−1 E ∗ Vì Wλ0 0 toàn ánh nên im D ⊂ Cn = dom(EWλ−1 ) Tương tự suy (EWλ−1 D)∗ = D∗ (EWλ−1 )∗ = D∗ (Wλ∗0 )−1 E ∗ 0 Thay tất vào (3.9) sử dụng tính chất chuẩn ta được: ∆ = ∆∗ ≥ D∗ (Wλ∗0 )−1 E ∗ = 1 ≥ −1 EWλ−1 D sup EW D λ λ∈C (3.10) Công thức (3.10) cho ∆ thuộc Cl+q thỏa mãn D∆E phá vỡ tính điều khiển hệ (3.1) nên theo định nghĩa ta có: (D,E) rC (A, B) ≥ , sup EWλ−1 D λ∈C tức (3.8) chứng minh 50 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu - Chứng minh bất đẳng thức ngược lại (D,E) rC (A, B) ≤ sup EWλ−1 D (3.11) λ∈C Nếu sup EWλ−1 D = (3.11) hiển nhiên λ∈C Nếu sup EWλ−1 D = ∀ε > : sup EWλ−1 D ≥ 2ε λ∈C λ∈C Theo định nghĩa sup, ta có: ∀ε > 0, ∃λε ∈ C : ||D∗ Wλ∗ε −1 E ∗ || = EWλ−1 D ≥ sup EWλ−1 D − ε ε λ∈C (3.12) Vì Wλ∗ε −1 đơn trị nên ||D∗ Wλ∗ε −1 E ∗ || chuẩn toán tử đơn trị nên ∃vε∗ ∈ dom(D∗ Wλ∗ε −1 E ∗ ) : vε∗ = D∗ Wλ∗ε −1 E ∗ vε∗ = D∗ Wλ∗ε −1 E ∗ = EWλ−1 D ε (3.13) Thay (3.13) vào (3.12) ta được: ≤ sup EWλ−1 D − 2ε ≤ EWλ−1 D − ε ≤ (D∗ Wλ∗ε −1 E ∗ )(vε∗ ) ε λ∈C Đặt u∗ε = −Wλ∗ε −1 (E ∗ (vε∗ )) = 0, suy Wλ∗ε (u∗ε ) = −E ∗ (vε∗ ) ta có D∗ (u∗ε ) = −(D∗ Wλ∗ε −1 E ∗ )(vε∗ ) = Theo hệ Định lý HahnBanach, ta có ∃h ∈ Cl : h = thỏa mãn (D∗ (u∗ε ))h = D∗ (u∗ε ) hvε∗ Đặt ∆ε = , suy ∆ε ∈ Cl×q ∗ ∗ D (uε ) ∆ε = D∗ (u∗ε ) = (D∗ Wλ∗ε −1 E ∗ )(vε∗ ) ≤ sup EWλ −1 D − 2ε λ∈C (3.14) 51 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu Hơn nữa, từ cách đặt ∆ε suy (∆∗ε D∗ )(u∗ε ) = vε∗ , (E ∗ ∆∗ε D∗ )(u∗ε ) = E ∗ (vε∗ ) (E ∗ ∆∗ε D∗ )(u∗ε ) + (Wλ∗ε )(u∗ε ) = ˜ B) ˜ không điều khiển Do Wλε + D∆ε E không toàn ánh hay (A, Từ từ (3.14) suy (D,E) rC (A, B) ≤ ∆ε ≤ sup EWλ−1 D − 2ε λ∈C Cho ε → ta bất đẳng thức ngược lại hay (3.13) chứng minh Từ (3.8) (3.13) ta có (3.7) chứng minh Nhận xét 3.2 i) Công thức (3.7) chứng minh cho chuẩn ma trận chuẩn Vì với chuẩn khác ta có kết tính bán kính điều khiển khác ii) Công thức (3.7) giống công thức tính bán kính ổn định hệ tuyến tính x = Ax hệ chịu nhiễu có cấu trúc dạng A˜ = A + D∆E (xem [8]) Về mặt tính toán chuẩn toán tử EWλ−1 D công thức hiển Vì phần ta đưa vài hệ để việc tính toán trở nên dễ dàng trường hợp chuẩn ma trận chuẩn phổ (tức chuẩn sinh chuẩn Euclide) Để làm điều này, ta chứng minh bổ đề sau 52 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu Bổ đề 3.1 ([16, Lemma 3.3, p 478]) Giả sử G ∈ Cn×p có rank G = n (đủ hạng theo hàng), chuẩn không gian véc tơ chuẩn Euclide toán tử tuyến tính F thỏa mãn FG (z) = Gz Khi đó, ta có d(0, (FG )−1 (y)) = G† y , FG−1 = G† , (3.15) G† giả nghịch đảo M oore − P enrose G Chứng minh Vì rank G = n nên GG∗ ∈ Cn×n khả nghịch ma trận giả ngược Moore - Penrose G† = G∗ (GG∗ )−1 Đặt u := G† y với y ∈ Cn suy FG (u) = Gu = GG† y = GG∗ (GG∗ )−1 y = y hay u ∈ FG−1 (y) (3.16) Theo (1.5) ta có u ∈ FG−1 (y) ⇔ FG−1 (y) = u + FG−1 (0) Hơn nữa, FG−1 (0) := {v ∈ Cp : FG (v) = Gv = 0} nên suy u∗ v = (G† y)∗ v = y ∗ (G† )∗ v = y ∗ (GG∗ )−1 Gv = 0∀v ∈ FG−1 (0) Do u∗ ∈ (FG−1 (0))⊥ (3.17) Từ (3.16) (3.17) ta d(0, (FG )−1 (y)) = inf −1 u = G† y u∈FG (y) 53 = FG−1 (y) Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu Vì FG toàn ánh nên FG∗ đơn ánh FG ∗ −1 đơn trị nên suy FG−1 = G† Sử dụng Bổ đề 3.1 giả thiết chuẩn không gian véc tơ chuẩn Euclide ta có hệ sau Hệ 3.1 ([16, Corollary 3.5, p 478]) Giả sử D ∈ Cn×n , E ∈ C(n+m)×(n+m) ma trận không suy biến Khi (D,E) rC (A, B) = inf λ∈C σmin (D−1 Wλ E −1 ) (3.18) Khi D, E ma trận đơn vị công thức (3.18) trở thành rC (A, B) = inf λ∈C σmin (Wλ ) = sup λ∈C Wλ† (3.19) Công thức công thức tính bán kính điều khiển biết Eising, Wλ † ma trận giả ngược Moore - Penrose Wλ Chứng minh Đặt Gλ = D−1 Wλ E −1 Do (A, B) điều khiển nên rank(A − λI, B) = n, ∀λ ∈ C Do ta có rank Gλ = n, ∀λ ∈ C −1 G−1 λ = EWλ D 54 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu Mặt khác G−1 λ = ∗ −1 G = −1 G∗ λ x sup λ −1 x=0,x∈ dom G∗ λ = x G∗λ y = inf = inf G∗λ y = inf y=0 y y =1 y =1 = inf y =1 y, Gλ G∗λ y = inf x −1 x=0,x∈dom G∗ λ ∗ −1 G λ x G∗λ y, G∗λ y σmin (Gλ G∗λ ) = σmin (Gλ ) nên suy (D,E) rC (A, B) = 1 = −1 sup EWλ D sup G−1 λ λ∈C = inf λ∈C λ∈C σmin (Gλ ) = inf λ∈C σmin (D−1 Wλ E −1 ) Hệ 3.2 ([16, Corollary 3.6, p 478]) Giả sử E ∗ E ker Wλ ⊂ ker Wλ , ∀λ ∈ C Khi đó, bán kính điều khiển cặp điều khiển (A, B) nhiễu cấu trúc dạng (3.5) xác định rCD,E (A, B) = sup λ∈C EWλ† D , với Wλ† giả nghịch đảo Moore - Penrose Wλ = (A − λI, B) Chứng minh Ta có Wλ Wλ† Du = Wλ Wλ∗ (Wλ Wλ∗ )−1 Du = Du, ∀u ∈ Cl nên Wλ† Du ∈ Wλ−1 (Du) Từ (1.5) ta Wλ−1 (Du) = Wλ† Du + Wλ−1 (0) = Wλ† Du + ker Wλ 55 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu Do (EWλ−1 D)(u) = (EWλ−1 )(D(u)) = EWλ† Du+E ker Wλ tương tự từ (1.5) ta suy EWλ† Du ∈ (EWλ−1 D)(u) Với λ ∈ C, v ∈ ker Wλ có E ∗ Ev ∈ ker Wλ (EW † Du)∗ Ev = Do (EW † Du)∗ ∈ (Ev)⊥ = (EKerWλ )⊥ = (EW −1 D(0))⊥ = sup d(0, (EWλ−1 D)u) EWλ−1 D u =1 = sup EWλ† Du = EWλ† D , ∀λ ∈ C u =1 hay sup EWλ−1 D = sup EWλ† D λ∈C λ∈C Vì rCD,E (A, B) = 1 = † sup EWλ−1 D sup EWλ D λ∈C λ∈C Nhận xét 3.3 Ngoài hệ tài liệu [16], tác giả N K Son D D Thuan nêu, chứng minh chi tiết số hệ khác mở rộng (3.7) trường hợp hệ (A, B) chịu đa nhiễu cấu trúc dạng (A, B) ˜ B) ˜ = (A, B) + (A, n i=1 Di ∆i Ei Ví dụ 3.1 Tính bán  kính điều khiển  được hệ x = Ax + Bu, với 1 ,B =   x ∈ C2 , u ∈ C, A =  0 hệ chịu nhiễu dạng A, B) ˜ B) ˜ := (A, B) + D∆E (A, 56 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu     1  với D =   , E =  0 1    suy rank[A|B] = Do theo Ta có [A|B] = (B, AB) =  tiêu chuẩn hệ (A, B) điều khiển Áp dụng (3.7) ta có rCD,E (A, B) = sup EWλ−1 D λ∈C   p     Ta có (EWλ−1 D)u = E(Wλ−1 (D(u))), u ∈ C Mà Wλ−1 (D(u)) = q    r nên         p p p           −λ 1   D(u) = Wλ q  = (A − λI, B) q  = q      λ   r r r     u λp + q + r  =   = u p − λq Do λp + q = r  = p − λq = u  u + (1 + λ)q  , q ∈ C (EWλ−1 D)u =  u(1 + λ) + (λ − 1)q ˜ C2 với Dễ thấy EW −1 Du đường thẳng ∆ λ ˜ : ∆    x1 = u + (1 + λ)q,   x2 = u(1 + λ) + (λ2 − 1)q ta xét chuẩn không gian ||.||1 57 Luận văn Thạc sĩ toán học Nếu λ = −1    Trần Thị Thu x1 = u, x2 =   u ˜ có dạng  , u ∈ C Khi đó, ∆ Ta có   ˜ = inf ||a||1 = inf |u| d(0, ∆) ˜ a∈∆ u∈C ˜ = EWλ−1 D = sup d(0, ∆) |u|=1 ˜ có dạng x2 − (λ − 1)x1 = 2v Khi ta suy Nếu λ = −1 ∆ 2|v| ≤ |x2 | + |1 − λ||x1 | ≤ max{1, |1 − λ|}(|x1 | + |x2 |)   x1 = max{1, |1 − λ|}||   ||1 x2 Điều dẫn đến   x1 2|v| ||   ||1 ≥ max{1, |1 − λ|} x2 Do ˜ = EWλ−1 D = sup d(0, ∆) |v|=1 max{1, |1 − λ|} Từ hai trường hợp ta    1 −1 EWλ D =    max{1, |1 − λ|} 58 λ = −1, λ = −1 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu (D,E) Áp dụng Định lý (3.2) ta có rC (A, B) = bán kính điều khiển hệ cho Nhận xét 3.4 Tiếp nối ý tưởng phần trên, bán kính điều khiển hệ tuyến tính có ràng buộc điều khiển nhà toán học nghiên cứu Khi hệ có ràng buộc điều khiển chịu nhiễu chịu nhiễu ràng buộc Ω chịu nhiễu cặp (A, B) việc nghiên cứu bán kính điều khiển tương đối phức tạp nên tới thời điểm nhà Toán học xét ràng buộc Ω nón i) Đối với hệ tuyến tính có ràng buộc chịu nhiễu [15], tác giả N K Son D D Thuan xây dựng công thức tính bán kính điều khiển dựa cách đo độ nhiễu nón ii) Đối với hệ tuyến tính có ràng buộc Ω chịu nhiễu cặp (A, B) cách xây dựng dựa hai báo [15] [16] Kĩ thuật sử dụng ánh xạ đa trị đánh giá chuẩn phù hợp thay sử dụng toán tử đa trị tuyến tính tác giả sử dụng trình lồi loại ánh xạ đa trị khác tính toán Tuy nhiên đến thời điểm tác giả dừng lại với trường hợp ràng buộc Ω nón, lồi đóng 59 Kết luận Luận văn khái quát cách hệ thống lý thuyết điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính không gian hữu hạn chiều thông qua ba chương Các chương dựa tài liệu tham khảo trích dẫn Vì tiếp cận với lý thuyết điều khiển Toán học với mục đích tìm hiểu lý thuyết nên dù cố gắng hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn chưa thu kết cho luận văn Trong thời gian tới cố gắng hoàn thiện chưa làm theo hướng: • Mở rộng kết [16], [17] để tìm công thức tính bán kính điều khiển cho hệ có ràng buộc điều khiển Cụ thể Ω không nón mà lồi, đóng công thức tính bán kính điều khiển • Mở rộng kết xét tính điều khiển sang không gian vô hạn chiều 60 Tài liệu tham khảo [A] - Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2009), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển Toán học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đỗ Đức Thuận (2012), Một số toán tính bền vững hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu, Luận án tiến sĩ Toán học, Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [B] - Tài liệu Tiếng Anh [5] J P Aubin, H Frankowska (1990), Set - Valued Analysis, Birkh¨auser, Boston - Basel - Berlin [6] R Cross (1998), Multivalued Linear Operators, Marcel Dekker New York 61 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu [7] R Eising (1984), "Between controllable and uncontrollable", System & Control Letters, 5, pp 263 - 264 [8] D Hinrichsen, A J Prichard (1986), "Stability radius for stuctured perturbation and the algebraic Riccati equation", System & Control Letters, 8, pp 105 - 113 [9] M Karow, D Kressner (2009), "On the structured distance to uncontrollability", Systems & Control Letters, 58, pp 128 - 132 [10] M G Krein, M A Rutman (1948), "Linear operator leaving invariant a cone in Banach space", Uspehi Mat Nauk, 3, pp 95 [11] R T Rockafellar (1997), Convex Analysis, Princeton University Press [12] W Rudin (1991), Functional Analysis, McGraw - Hill [13] H Sch¨ attler, U Ledzewicz (2012), Geometric Optimal Control: Theory, Methods and Example, Springer [14] N K Son (1985), "Global controllability of linear autonomous system: A geometric consideration", System & Control Letters, 6, pp 207 - 212 [15] N K Son, D D Thuan (2008), "Controllability radius of linear systems with perturbed control sets", Vietnam J Math 36(2), pp 239–251 [16] N K Son, D D Thuan (2010), "The structured distance to uncontrollability under multi-perturbations: an approach using 62 Luận văn Thạc sĩ toán học Trần Thị Thu multi-valued linear operators", Systems & Control Letters, 59, pp 476 - 483 [17] N.K Son, D D Thuan, "Controllability radii of linear system with contrained controls under structured perturbations", submitted to SICON [18] J Zabczyk (1992), Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkh¨auser, Boston-Basel-Berlin 63