BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Thị Vân MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THỊ VÂN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Hồ Minh Toàn Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính ma trận 1.2 Giá trị riêng vectơ riêng 1.3 Toán tử nửa xác định dương Toán tử xác định dương 1.4 Ma trận khối Hàm đơn điệu toán tử 12 2.1 Hàm toán tử 12 2.2 Hàm đơn điệu toán tử 15 2.3 Một số phép toán tập hàm đơn điệu toán tử 17 2.4 Ví dụ 19 2.5 Hàm đơn điệu toán tử không gian Hilbert vô hạn chiều 23 Một số đặc trưng hàm đơn điệu toán tử 26 3.1 Tính chất trơn 26 3.2 Đặc trưng Hansen – Pedersen 27 3.3 Biểu diễn tích phân hàm đơn điệu toán tử 40 i Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Kết luận chung 53 Tài liệu tham khảo 54 ii Ký hiệu toán học H Không gian Hilbert B (H) Không gian toán tử tuyến tính không gian Hilbert H Không gian ma trận vuông cấp n trường số Mn phức C A∗ A Toán tử liên hợp toán tử A (> 0) Toán tử nửa xác định dương (xác định dương) B(H)sa Tập toán tử Hermite không gian Hilbert H Msa n Tập ma trận Hermite cấp n σ (A) Phổ toán tử A r (A) Bán kính phổ toán tử A KerA Hạch toán tử A ImA Miền giá trị toán tử A Diag (α1 , , αn ) Ma trận đường chéo với phần tử α1 , α2 , , αn nằm đường chéo I Ma trận đơn vị (cấp n) C k (J) Lớp hàm khả vi liên tục cấp k khoảng J P Tập hàm Pick Lời mở đầu Một lớp hàm quan trọng hữu ích hàm thực lớp hàm đơn điệu toán tử Năm 1934, nhà toán học L¨owner giới thiệu lớp hàm viết chuyên đề [1] Lớp hàm phát sinh tự nhiên lí thuyết ma trận toán tử thuyết L¨owner hàm đơn điệu toán tử thuộc lớp hàm Pick Năm 1936, Kraus chứng minh tính đơn điệu toán tử có liên quan chặt chẽ với tính lồi/ lõm toán tử Cho đến nay, lĩnh vực thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Nó có ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học, vật lí, kĩ thuật điện, đặc biệt ứng dụng phân tích mạng điện, nghiên cứu vấn đề hạt Lí thuyết Kubo – Ando giới thiệu [5] giữ vai trò quan trọng lí thuyết mạng thông tin lượng tử Mặc dù có nhiều công trình nghiên cứu đề tài song nhiều vấn đề mở cần nghiên cứu Đây đề tài Toán học Việt Nam Tài liệu chuyên khảo [4] tác giả Fumio Hiai [7] tác giả Rajendra Bhatia cẩm nang đầy đủ chi tiết hàm đơn điệu toán tử Bản luận văn trình bày lại số kết chọn lọc hàm đơn điệu toán tử trích dẫn từ tài liệu Khi tìm Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân hiểu hàm đơn điệu toán tử, tác giả quan tâm đến đặc trưng Hansen – Pedersen biểu diễn tích phân hàm đơn điệu toán tử tập số thực không âm Ngoài ra, tác giả trình bày ví dụ minh họa cho đặc trưng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau Chương "Kiến thức chuẩn bị" hệ thống hóa số kiến thức sở toán tử ma trận Chương "Hàm đơn điệu toán tử" trình bày khái niệm hàm đơn điệu toán tử, số phép toán bảo toàn tính đơn điệu toán tử đưa ví dụ minh họa cho lớp hàm Ngoài ra, tác giả trình bày khái niệm hàm đơn điệu toán tử không gian Hilbert vô hạn chiều Chương "Một số đặc trưng hàm đơn điệu toán tử" phần luận văn, tác giả trình bày đặc trưng Hansen – Pedersen biểu diễn tích phân hàm đơn điệu toán tử tập số thực không âm Đồng thời, tác giả đưa số ví dụ minh họa cho đặc trưng Bản luận văn tác giả hoàn thành Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Hồ Minh Toàn, người tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình tìm hiểu hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo, cán nhân viên bạn học viên Viện Toán học tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập thực luận văn Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Dù cố gắng nhiều song trình độ thời gian hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý chân thành từ quý thầy cô để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 27 tháng 08 năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Vân Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính ma trận Cho H không gian Hilbert phức n chiều với tích vô hướng , Kí hiệu B (H) không gian toán tử tuyến tính không gian Hilbert H Mn không gian ma trận vuông cấp n trường số phức C Gọi {e1 , e2 , , en } sở trực chuẩn H Xét ánh xạ Φ : B (H) → Mn A → [aij ]ni, j=1 , aij = ei , Aej ; i, j = 1, 2, , n Ta có Φ đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn Φ (AB) = Φ (A) Φ (B) , Φ (A∗ ) = (Φ (A))∗ với A, B ∈ B (H) , toán tử A∗ toán tử liên hợp A xác định x, Ay = A∗ x, y , ∀x, y ∈ H Do vậy, ta đồng B (H) với Mn Ta gọi A = inf {K > : Ax K x , ∀x ∈ H} chuẩn toán tử A Luận văn Thạc sĩ toán học Định lý 1.1 A = sup x=0 Nguyễn Thị Vân Ax = sup Ax x x =1 Một số dạng toán tử thường gặp Định nghĩa 1.1 Toán tử A gọi toán tử co A Toán tử A gọi toán tử Hermite A∗ = A Kí hiệu B(H)sa tập toán tử Hermite không gian Hilbert H Toán tử A gọi toán tử Unita U ∗ U = I Toán tử A gọi toán tử chuẩn tắc AA∗ = A∗ A Toán tử Hermite toán tử Unita trường hợp đặc biệt toán tử chuẩn tắc 1.2 Giá trị riêng vectơ riêng Cho H không gian Hilbert n chiều toán tử A ∈ B (H) Ta nói λ ∈ C giá trị riêng toán tử A phương trình Ax = λx có nghiệm x không tầm thường Khi đó, x gọi vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ Ker (A − λI) không gian riêng ứng với giá trị riêng λ Tập giá trị riêng A gọi phổ A, kí hiệu σ (A) Bán kính phổ A: r (A) = max {|λ| : λ ∈ σ (A)} Bán kính số A: w (A) = sup | x, Ax | x =1 Mệnh đề 1.1 [4, Proposition 1.5.7, p 149] Cho A, B ∈ B (H) Ta có khẳng định sau (i) σ (AB) = σ (BA) r (AB) = r (BA) Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Với λ ∈ [−1, 1], g (x) = 1+λ 1−λ (x + 1) f (x) + (x − 1) f (x) 2 nên gλ (t) = (t + λ) f (t) lồi toán tử (−1, 1) (ii) Vì hàm gλ (t) = (t + λ) f (t) lồi toán tử (−1, 1) nên áp dụng gλ (t) Định lí 3.5, hàm hλ (t) = gλ [1] (0, λ) = đơn điệu toán tử t (−1, 1) (iii) Vì hàm g (t) = + f (t) đơn điệu toán tử nên hàm h khả t vi liên tục    f (t) t = 0, t Đặt h (t) =   f (0) t = Vì hàm h khả vi liên tục nên hàm f khả vi cấp Ta có h (t) = f (t) t − f (t) → h (0) , t → t2 Suy f (t) t − f (t) = h (0) t2 + θ t2 f (t) = f (t) + h (0) t + θ (|t|) t = h (t) + h (0) t + θ (|t|) = h (0) + 2h (0) t + θ (|t|) , |t| → h (t) − h (0) f (t) − f (0) t = lim t→0 t→0 t t2 Suy f (0) = 2h (0) = lim Bổ đề 3.3 [4, Lemma 2.7.2, p 178] Cho f ∈ K Khi t (i) f (t) với t < 1, 1−t t (ii) f (t) với − < t < 0, 1+t (iii) |f (0)| 41 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân  Chứng minh (i), (ii) Cho A =  0   Khi   f (t)  f (t) [1] t  f (A) =  f (t)  f (0) t Áp dụng Định lí 3.1, f [1] (A) Suy f (t) t2 f (t) f (0) = f (t) (3.2) Xét hàm g± (t) = (t ± 1) f (t) Áp dụng Bổ đề 3.2, hàm g± (t) hàm lồi toán tử Suy g± (t) = f (t) + (t ± 1) f (t) đơn điệu tăng (−1, 1) Khi f (t) + (t − 1) f (t) −1 với t > (3.3) f (t) + (t + 1) f (t) với t < (3.4) Từ (3.2) (3.3), ta có f (t) + Giả sử f (t) (1 − t) f (t) t với 1−t (1 − t) f (t) ,0 t2 t < Do f (t) > nên f (t) t f (t) 1−t Từ (3.5), ta có f (t) + > 42 f (t) t t < (3.5) Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân t (mâu thuẫn với thuyết đặt trên) 1−t t Vậy f (t) , t < 1−t t , −1 < t < Lập luận tương tự, từ (3.2) (3.4), ta có f (t) 1+t Suy f (t) < (iii) Áp dụng Bổ đề 3.2 f (t) − f (0) t f (0) = lim t→0 t2 Suy f f Suy f (0) t −t 1 − t (0) lim = lim = 1, t t 1−t t2 t −t −1 + t (0) lim = lim = −1 t t 1+t t2 hay |f (0)| Mệnh đề 3.1 [7, Proposition V.4.2, p 132] Tập K compact topo hội tụ điểm Chứng minh Đặt Ax = {f (x) : f ∈ K} Theo Bổ đề 3.3, Ax bị chặn với x ∈ (−1, 1) Khi tập Ax compact Ax ⊇ Ax compact Do Theo Định lí Tychonoff’s, x∈(−1,1) x∈(−1,1) Ax x∈(−1,1) Ax compac tương đối Suy tồn họ {fi } ⊂ K hội tụ nên x∈(−1,1) điểm đến f (−1, 1) Dễ thấy hàm f đơn điệu toán tử f (0) = Ta chứng minh f (0) = Theo Bổ đề 3.2, hàm Vì lim + x→0 1+ fi (x) đơn điệu toán tử (−1, 1) x fi (x) = fi (0) = nên x 43 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân fi (x) x 1+ fi (x) x 1+ x 0, x < Suy f (x) x f (x) 1+ x 1+ x 0, x < Theo Định lí 3.2, hàm f khả vi liên tục (−1, 1) nên f (0) = Suy f ∈ K Do K compact Mệnh đề 3.2 [7, Proposition V.4.3, p 132] Mọi điểm cực biên K có dạng f (t) = t , α = f (0) − αt Chứng minh Giả sử f điểm cực biên K Với λ ∈ (−1, 1), đặt gλ (t) := + λ t f (t) − λ với x ∈ (−1, 1) Theo Bổ đề 3.2, hàm gλ đơn điệu toán tử (−1, 1) Ta có gλ (0) = f (0) + λf (0) − λ = λ f (t) − λ t gλ (0) = lim t→0 t f (t) − tf (0) f (t) = lim + λ lim t→0 t→0 t t2 f (0) = f (0) + λ λ = + f (0) 1+ 44 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Đặt λ f (t) − λ t hλ (t) := λ + f (0) Ta có hàm hλ đơn điệu toán tử (−1, 1) , hλ (0) = hλ (0) = 1+ nên hλ ∈ K Vì |f (0)| f= nên λ f (0) < Ta viết: λ λ + f (0) hλ + − f (0) h−λ 2 2 Vì f điểm cực biên K nên f = hλ Khi λ + f (0) f (t) = 1+ λ f (t) − λ Suy t f (t) = 1 − f (0) t t Đặt α = f (0) Ta có f (t) = − αt Định lý 3.8 [7, Theorem V.4.4, p 133] Với hàm f ∈ K, tồn độ đo xác suất µ [−1, 1] cho t dµ (λ) − λt f (t) = (3.6) −1 t , λ ∈ [−1, 1] − λt Theo Mệnh đề 3.2, tập điểm cực biên K chứa tập {hλ } Chứng minh Xét hλ (t) = Vì tập K compact lồi nên K bao lồi đóng tập điểm cực biên Khi đó, tổ hợp lồi hữu hạn phần tử họ {hλ (t)} biểu 45 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân hλ (t) dν (λ), ν độ đo xác suất [−1, 1] diễn dạng −1 với giá hữu hạn Vì f ∈ K nên f thuộc bao đóng tổ hợp Suy tồn họ {νi } độ đo xác suất có giá hữu hạn [−1, 1] cho họ fi (t) = hλ (t)dνi (λ) hội tụ đến f (t) −1 Do không gian độ đo xác suất compact yếu * nên νi hội tụ yếu đến µ với µ độ đo xác suất [−1, 1] Với t ∈ (−1, 1), hàm hλ (t) liên tục với λ ∈ [−1, 1] Ta có f (t) = lim fi (t) = lim i hλ (t) dνi (λ) i −1 = t dµ (λ) − λt hλ (t) dµ (λ) = −1 −1 Giả sử tồn hai độ đo xác suất µ1 , µ2 biểu diễn (3.6) Ta có t = − λt hội tụ tuyệt |λ| ∞ ∞ n n λn tn+1 tλ t = n=0 n=0 1, t cố định |t| Suy ∞ tn+1 n=0 λn dµ1 (λ) = f (t) = −1 ∞ tn+1 n=0 λn dµ2 (λ) với |t| < −1 Áp dụng nguyên lí đồng thức chuỗi lũy thừa, ta có 46 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân 1 λn dµ1 (λ) = −1 λn dµ1 (λ), n = 0, 1, 2, −1 Suy µ1 = µ2 Hệ 3.2 [7, Corollary V.4.5, p 134] Cho hàm f đơn điệu toán tử khác số (−1, 1) Khi đó, tồn độ đo xác suất µ [−1, 1] cho t dµ (λ) − λt f (t) = f (0) + f (0) (3.7) −1 Chứng minh Vì hàm f đơn điệu toán tử nên f (0) > f (t) − f (0) ∈ K Theo Định lí 3.9, tồn độ đo xác suất µ Ta có f (0) [−1, 1] cho f (t) − f (0) = f (0) t dµ (λ) − λt −1 Định lý 3.9 [4, Theorem 2.7.11, p 182 – 183] (Biểu diễn tích phân hàm đơn điệu toán tử [0, ∞)) Cho f hàm liên tục không âm [0, ∞) Hàm f đơn điệu toán tử tồn độ đo Borel hữu hạn dương µ [0, ∞] cho t (1 + λ) dµ (λ) , t ∈ [0, ∞) , t+λ f (t) = [0,∞] t (1 + λ) t (1 + λ) = λ = = t λ = ∞ t+λ t+λ 47 (3.8) Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân f (t) t→∞ t Nếu a := µ {0} = f (0) , b := µ {∞} = lim t (1 + λ) dµ (λ) , t ∈ [0, ∞) t+λ f (t) = a + bt + (3.9) (0,∞) λ (1 + λ) t (1 + λ) = 1+λ− t+λ t+λ đơn điệu toán tử [0, ∞) nên hàm f (t) đơn điệu toán tử [0, ∞) Chứng minh (⇐) Với λ ∈ [0, ∞) , hàm (⇒) Giả sử hàm f đơn điệu toán tử [0, ∞) Xét t = h (x) = 1+x = −1 + : (−1, 1) → (0, ∞) 1−x 1−x Khi g (x) = f (h (x)) hàm đơn điệu toán tử (−1, 1) Theo Hệ 3.2, tồn độ đo xác suất η [−1, 1] cho x dη (λ), x ∈ (−1, 1) − λx g (x) = g (0) + g (0) [−1,1] Ta có x dη (λ) − λx f (0) = g (−1) = g (0) + g (0) lim + x→−1 [−1,1] −1 dη (λ) 1+λ = g (0) + g (0) [−1,1] đặc biệt η {−1} = nên g (x) − g (−1) = g (0) (−1,1] Với x = h−1 (t) = x+1 dη (λ) (1 − λx) (1 + λ) t−1 ξ−1 , λ = h−1 (ξ) = xét độ đo µ t+1 ζ +1 (0, ∞] µ := η ◦ h−1 , dη (λ) := 48 g (0) dη (λ) 1+λ Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân Ta có t (1 + ξ) dµ (ξ) , t ∈ [0, ∞) t+ξ f (t) − f (0) = (0,∞] Suy t (1 + ξ) dµ (ξ), t ∈ [0, ∞) t+ξ f (t) = [0,∞] Nhận xét 3.1 (Biểu diễn tích phân hàm đơn điệu toán tử (a, b) , −∞ a 0} Hàm f : C+ → C gọi hàm Pick f giải tích C+ f (C+ ) ⊆ {z ∈ C : Im z 0} Kí hiệu P tập hàm Pick P (a, b) tập hàm Pick mà có thác triển giải tích (a, b) vào C− = {z ∈ C : Im z < 0} L¨owner thiết lập tương đương hàm đơn điệu toán tử với hàm Pick P (a, b): "Cho f hàm thực (a, b) Hàm f đơn điệu toán tử (a, b) f ∈ P (a, b)" ([4, Xem Theorem 2.7.7, p 181]) Theo [4, Theorem 2.6.3, p 176]: "Hàm f ∈ P (a, b) f có biểu diễn + λt dµ (λ), λ−t f (t) = a + bt + R\(a,b) 49 (3.10) Luận văn Thạc sĩ toán học a ∈ R, b Nguyễn Thị Vân µ độ đo Borel hữu hạn dương R\ (a, b)" Như vậy, hàm thực f đơn điệu toán tử (a, b) hàm f có biểu diễn (3.10) Hệ 3.3 [4, Corollarry 2.7.9, p 182] (i) Mọi hàm đơn điệu toán tử R có dạng f (t) = at+b với a 0, b ∈ R (ii) Mọi hàm lồi toán tử R có dạng f (t) = at2 + bt + c với a 0; b, c ∈ R Chứng minh (i) Hàm f đơn điệu toán tử (−∞, +∞) hàm f có biểu diễn (3.10) hay f (t) = at + b với b 0, a ∈ R (ii) Vì f hàm lồi toán tử (−∞, +∞) nên theo Định lí 3.5, hàm f (t) − f (0) f [1] (0, t) = đơn điệu toán tử (−∞, +∞) Khi t f (t) − f (0) = at + b, a t Suy f (t) = at2 + bt + c, c = f (0) Ví dụ 3.3.1 f (x) = xp , < p < 1, x ∈ (0, +∞) có biểu diễn tích phân ∞ p sin pπ xp = cos π + π 1 − λp dλ λ +1 λ+x (3.11) Chứng minh Ta có ∞ tp−1 π dt = 1+t sin pπ 50 (3.12) Luận văn Thạc sĩ toán học Thay t = Nguyễn Thị Vân λ , x > vào (3.12), ta có biểu diễn x ∞ sin pπ xp = π xλp−1 dλ λ+x (3.13) Vì x = + λ+x λ +1 λ2 λ − λ +1 λ+x Suy ∞ xp = sin pπ π  p−1 ∞ λ sin pπ  dλ+ λ +1 π  λ2  p λ − λ dλ, +1 λ+x với x ∈ (0, ∞) p (3.12) Ta có p −1 ∞ ∞ π λ λp−1 2.λdλ = dλ p = + λ2 + λ2 sin π 0 Suy biểu diễn (3.11) Đặt t = λ2 , thay p Trong biểu diễn (3.13), đặt dλ = π 1+λ dµ (λ), ta có biểu diễn sin pπ λp−1 tích phân (3.9) ∞ x (1 + λ) dµ (λ) x+λ xp = Ví dụ 3.3.2 Hàm f (x) = log (1 + x) , x > Ta có ∞ 1 − dλ 1+λ x+λ logx = Suy 51 (3.14) Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân ∞ 1 − dλ λ+1 x+λ+1 log (1 + x) = ∞ 1 − dλ λ x+λ = ∞ x dλ λ (x + λ) = Đặt dλ = λ (λ + 1) dµ (λ), ta có biểu diễn tích phân ∞ x (λ + 1) dµ (λ) x+λ log (1 + x) = 52 Kết luận chung Luận văn đạt kết sau Khái quát hóa kiến thức chung toán tử ma trận, trình bày khái niệm hàm đơn điệu toán tử số ví dụ minh họa cho lớp hàm Trình bày số đặc trưng tiêu biểu hàm đơn điệu toán tử Thứ nhất, đặc trưng Hansen – Pedersen thể mối quan hệ hàm đơn điệu toán tử hàm lồi toán tử Thứ hai, biểu diễn tích phân hàm đơn điệu toán tử tập số thực không âm Ngoài ra, luận văn đưa ví dụ cụ thể nhằm minh họa cho đặc trưng 53 Tài liệu tham khảo ¨ ¨ [1] C Lowner, Uber monotone matrix funktionen, Math Z., 38 (1934), 177 – 216 [2] F Hansen, G K Pedersen, Jensen’ s inequality for operators and L¨ owner’ s theorem, Math Ann., 258 (1982), 229 – 241 [3] F Hansen, G Ji, J Tomiyama, Graps between classes of matrix monotone functions, Bul London Math Soc., 36 (2004), 53 – 58 [4] F Hiai, Matrix Analysis: Matrix Monotone Functions, Matrix Means and Majorization, Interdiscip Inform Sci., 16 (2010), no 2, 139 – 248 [5] F Kubo, T Ando, Means of positive linear operators, Math Ann., 246 (1980), 205 – 224 [6] H Osaka, S Silvestrov, J Tomiyama, Monotone operator functions, gaps and power moment problem, Math Scand., 100 (2007), no 1, 161 – 183 [7] R Bhatia, Matrix Analysis, Springer, 1996 54 Luận văn Thạc sĩ toán học Nguyễn Thị Vân [8] R Bhatia, Notes on Functional Analysis, Indian Statistical Institute, New Delhi, 2009 [9] R Bhatia, Positive Definite Matrices, Princeton University Press, 2007 [10] W F Donoghue, Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation, Springer - Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1974 [11] Y Ameur, S Kaijser, S Silvestrov, Interpolation class and matrix monotone function, J Operator Theory, 52 (2007), 409 – 427 55