BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VN VIỆN TỐN HỌC NGUYỄN HUYỀN TRANG ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SỐ CHO TẬP GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VN VIỆN TỐN HỌC NGUYỄN HUYỀN TRANG ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SỐ CHO TẬP GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG Chuyên ngành: Hình học tơ pơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐINH SĨ TIỆP Hà Nội - 2015 Lời nói đầu Định lý Sard định lý quan trọng, sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác toán học Định lý Sard phát biểu sau: Định lý: Cho f : Rn → Rk ánh xạ khả vi vô hạn, U tập mở Rn Đặt Σ = {x ∈ U : rank (dfx ) < k}, tập điểm tới hạn f Khi K0 (f ) = f (Σ) ⊂ Rk , tập giá trị tới hạn f , có độ đo Lebesgue khơng Nếu Σ = ∅ (f (Σ) = ∅) f riêng theo định lý phân thớ Ehresmann, f phân thớ tầm thường địa phương Hơn Σ = ∅ f riêng f phân thớ tầm thường địa phương Rk \f (Σ) Gọi B (f ) tập y ∈ Rk cho f phân thớ tầm thường địa phương y, hay tập giá trị rẽ nhánh f Dễ thấy B (f ) ⊇ K0 (f ) Nếu f khơng riêng, nói chung B (f ) = K0 (f ) (Xem Ví dụ 3.24) Việc đặc trưng B (f ) câu hỏi mở cho trường hợp f đa thức Xét f : Rn → Rk ánh xạ nửa đại số, khả vi vô hạn Theo [8], B (f ) ⊂ K (f ) = K0 (f ) ∪ K∞ (f ) với K∞ (f ) tập giá trị tới hạn vô hạn f định nghĩa sau     k n   y ∈ R : ∃xl ∈ R , xl → ∞, K∞ (f ) =    f (xl ) → y, (1 + xl )ν(df (xl )) → 0 với ν hàm Rabier (xem Định nghĩa 3.2) Mục đích luận văn tìm hiểu Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng K (f )(Định lý 4.1) Định lý khẳng định tập K∞ (f ) tập "bé"(có độ đo Lebesgue 0) f phân thớ tầm thường địa phương tập đủ lớn mà cụ thể tập nửa đại số mở trù mật Rk Luận văn cấu trúc gồm bốn chương Chương trình bày kiến thức Giải tích hàm Hình học vi phân Chương trình bày khái niệm hình học nửa đại số tập nửa đại số, hàm nửa đại số trình bày Định lý Tarski-seidenberg số hệ Chương trình bày hàm Rabier, tập giá trị tới hạn suy rộng tập giá trị rẽ nhánh Trong Chương tác giả trình bày kỹ vài ví dụ minh họa cho tập Chương trình bày nội dung chứng minh cụ thể Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Đinh Sĩ Tiệp Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn khoa học mình, người tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu Đồng thời xin chân thành cảm ơn thầy cô phản biện đọc kỹ thảo luận văn dẫn cho ý kiến quý báu Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Viện Tốn học-Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, Trung tâm đào tạo sau đại học thầy tổ hình học topo tạo điều kiện cho tài liệu thủ tục hành để tơi hồn thành luận văn Cuối xin bày tỏ biết ơn tới gia đình, người thân bạn bè lời khích lệ động viên tơi suốt q trình học tập, để tơi vượt qua khó khăn đạt kết ngày hơm Do điều kiện thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận bảo nhiệt tình thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cám ơn! Hà Nội, năm 2015 Học viên Nguyễn Huyền Trang Bảng kí hiệu Tập số tự nhiên Tập số thực Tập số thực dương Khơng gian thực n chiều Tích đề hai tập hợp A B Tích vô hướng hai vectơ u v Bao đóng A khơng gian topo A◦ Phần A SX (x, R) Mặt cầu tâm x bán kính R khơng gian X BX (x, R) Hình cầu mở tâm x bán kính R khơng gian X gradf (a) Gradient f a R [x1 , , xn ] Không gian đa thức hệ số thực f∗ Toán tử liên hợp toán tử f Chuẩn Euclide Rn f|D Hạn chế f D N R R+ Rn B u, v A¯ Mục lục LỜI NĨI ĐẦU BẢNG KÍ HIỆU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm định lý giải tích hàm 1.2 Một số khái niệm định lý độ đo 1.3 Phân thớ 10 Hình học nửa đại số 2.1 2.2 11 Tập nửa đại số 11 2.1.1 Định nghĩa ví dụ 11 2.1.2 Đinh lý Tarski-Seidenberg hệ 14 Hàm nửa đại số 18 Hàm Rabier tập giá trị tới hạn suy rộng hàm số 25 3.1 Hàm Rabier 25 3.2 Tập giá trị tới hạn suy rộng 42 Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng 48 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong phần tác giả nhắc lại số kiến thức Giải tích hàm Hình học vi phân cần thiết để định nghĩa hàm Rabier tập giá trị tới hạn, đồng thời sử dụng chứng minh Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (Định lý 4.1) 1.1 Một số khái niệm định lý giải tích hàm Định nghĩa 1.1 Cho X khơng gian tuyến tính trường R Ta nói chuẩn X thỏa tính chất sau: 1)||x|| 0, ∀x ∈ X; ||x|| = ⇔ x = 2)||kx|| = |k|.||x||; ∀x ∈ X, k ∈ R 3)||x + y|| ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X Nếu chuẩn X, ta nói (X, ) khơng gian tuyến tính định chuẩn (cịn đọc tắt khơng gian định chuẩn) Định nghĩa 1.2 Không gian Banach không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ Cụ thể hơn, X không gian Banach X không Chương Kiến thức chuẩn bị gian định chuẩn cho dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = x − y ) có giới hạn X Cho X Y không gian banach R Tập hợp ánh xạ tuyến tính liên tục f : X → Y ký hiêu L(X, Y ) Nếu Y = R ta đặt X = L(X, R) Nhận xét 1.3 1) Với không gian định chuẩn hữu hạn chiều tốn tử tuyến tính liên tục 2) L(X, Y ) với chuẩn ||A|| = sup ||Ax||, A ∈ x∈X,||x|| = L(X, Y ) không gian Banach Định nghĩa 1.4 Cho khơng gian tuyến tính X R Hàm số f : X → R gọi tuyến tính   f (αx) = αf (x) ; ∀x ∈ X, ∀α ∈ R+  f (x + y) f (x) + f (y) ; ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.5 Ánh xạ tuyến tính f : X → R gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.6 Cho A B hai tập hợp không gian định chuẩn X Ta nói siêu phẳng H = {x ∈ X : f (x) = α ∈ R} tách A B nếu:    ∀x ∈ A, f (x) α   ∀x ∈ B, f (x) α Định lí 1.7 (Định lý Hahn–Banach dạng giải tích) Giả sử f : X → R tuyến tính ϕ : U → R phiếm hàm tuyến tính không gian U X Nếu ϕ bị chặn f U (|ϕ (x)| Chương Kiến thức chuẩn bị f (x), ∀x ∈ U ) tồn mở rộng tuyến tính ψ : X → R ϕ (ψ (x) = ϕ (x) , ∀x ∈ U ) bị chặn f X Định lí 1.8 (Định lý Hahn–Banach dạng hình học) Cho A B hai tập hợp khác rỗng, lồi, rời không gian định chuẩn X, A tập mở Khi tồn siêu phẳng tách A B Định lí 1.9 (Nguyên lý ánh xạ mở) Nếu f : X → Y tốn tử tuyến tính tồn ánh liên tục không gian Banach X Y , f ánh xạ mở Đặc biệt ∃r > : f (BX (0, 1)) ⊃ BY (0, r) 1.2 Một số khái niệm định lý độ đo Định nghĩa 1.10 Cho tập hợp X, kí hiệu 2X tập X Tập Σ ⊂ 2X gọi σ-đại số nếu: 1)Σ = ∅ 2)A ∈ Σ ⇒ X\A ∈ Σ 3)Ai ∈ Σ, i ∈ I đếm ∪ Ai ∈ Σ i∈I Định nghĩa 1.11 Hàm µ : Σ → R ∪ {+∞} gọi độ đo X nếu: 1)∀A ∈ Σ, µ(A) 2)µ(∅) = 3){Ai }i∈I , I đếm được, Ai ∩Aj = ∅, i = j ⇒ µ( ∪ Ai ) = i∈I µ(Ai ) i∈I Nếu µ độ đo X, phần tử Σ gọi µ-đo được, hay đơn giản đo Bộ (X, Σ, µ) gọi khơng gian đo Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.12 Cho (X1 , Σ1 , µ1 ) ; (X2 , Σ2 , µ2 ) khơng gian đo Hàm f : X1 → X2 gọi đo ∀A ∈ Σ2 , f −1 (A) ∈ Σ1 Định nghĩa 1.13 Cho (X, Σ, µ) không gian đo được, A ∈ Σ Một dãy hàm {fn } gọi hội tụ hầu khắp nơi tới hàm số f tập A ∃B ⊂ A, B ∈ Σ, µ(B) = cho lim fn (x) = f (x), ∀x ∈ A\B n→∞ Định lí 1.14 (Định lý lebesgue hội tụ bị chặn) Giả sử fn dãy hàm đo X thỏa mãn: 1) fn bị chặn hàm khả tích g khơng âm X |fn (x)| g(x), ∀n 1, ∀x ∈ X 2) fn hội tụ hầu khắp nơi tới f Khi f khả tích lim fn dµ = n→∞ X f dµ X Định nghĩa 1.15 Cho hình hộp B = [x1 , y1 ] × × [xn , yn ] , (xi < yi ) n (yi − xi ) Kí hiệu thể tích B V oln (B) = i=1 Định nghĩa 1.16 Cho A ∈ Rn Độ đo ngồi Lebesgue, kí hiệu V oln∗ (A), định nghĩa V oln∗ (A) = inf V oln (Bα ) α∈I với {Bα }α∈I phủ đếm A hình hộp Độ đo Lebesgue A cho độ đo Lebesgue V oln (A) = V oln∗ (A) với E ⊂ Rn V oln∗ (E) = V oln∗ (A ∩ E) + V oln∗ ((Rn \A) ∩ E) Chương Hàm Rabier tập giá trị tới hạn suy rộng hàm số 3.2 Tập giá trị tới hạn suy rộng Trong mục khả vi có nghĩa khả vi vơ hạn lần Thơng qua hàm Rabier, ta định nghĩa tập giá trị giới hạn suy rộng liên hệ với tập giá trị rẽ nhánh Định nghĩa 3.18 ([8]) Cho f : Rn → Rk ánh xạ khả vi 1) Tập giá trị tới hạn f định nghĩa sau: K0 (f ) = y ∈ Rk : ∃x ∈ f −1 (y), ν(df (x)) = 2) Tập giá trị tới hạn tiệm cận f      y ∈ Rk : ∃xl ∈ Rn , xl → ∞,  K∞ (f ) =   f (xl ) → y, (1 + xl )ν(df (xl )) → 0  3) Tập giá trị tới hạn suy rộng f K(f ) = y ∈ Rk : ∃xl ∈ Rn , f (xl ) → y, (1 + xl )ν(df (xl )) → Chú ý K(f ) = K0 (f ) ∪ K∞ (f ) Khẳng định 3.19 1) Tập K∞ (f ) nửa đại số 2) Tập K(f ) nửa đại số 3) K∞ (f ) = ∅ f ánh xạ riêng Chứng minh 1) Ta có      y ∈ Rk : ∃xl ∈ Rn , xl → ∞,  K∞ (f ) =   f (xl ) → y, (1 + xl )ν(df (xl )) → 0  42 Chương Hàm Rabier tập giá trị tới hạn suy rộng hàm số =    ∀ε > 0, ∀R > : ∃xε,R : xε,R > R,      f (xε,R ) − y < ε, |(1 + xε,R ) ν (df (xε,R ))| < ε  với ν hàm nửa đại số theo Mệnh đề 3.11 nên K∞ (f ) tập nửa đại số 2) Ta có K(f ) = y ∈ Rk : ∃xl ∈ Rn , f (xl ) → y, (1 + xl )ν(df (xl )) →     y ∈ Rk : ∀ε > 0, ∃xε : f (xε ) − y < ε,  =    |(1 + xε ) ν (df (xε ))| < ε  với ν hàm nửa đại số theo Mệnh đề 3.11 nên K(f ) tập nửa đại số 3) Lấy dãy xl ∈ Rn , xl → ∞ Vì f ánh xạ riêng tức nghịch ảnh tập compact qua f tập compact nên f (xl ) → ∞ Từ ta có K∞ (f ) = ∅ Ví dụ 3.20 Xét đa thức f (X) = f (x, y, z) = x + x2 y + x4 yz ∂f = + 2xy + 4x3 yz; ∂x ∂f ∂f = x2 + x4 z; = x4 y ∂y ∂z • Ta có K0 (f ) = ∅ Thật vậy, ν(df (X)) = ∇f (X) nên ν(df (X)) = ∂f ∂f ∂f (X) = (X) = (X) = Với x4 y = ∂x ∂y ∂z x = y = Cả hai trường hợp khơng thỏa mãn phương trình + 2xy + 4x3 yz = Do K0 (f ) = ∅ • Ta có K∞ (f ) = {0} Thật vậy, trước hết ta chứng minh ∈ K∞ (f ) 43 Chương Hàm Rabier tập giá trị tới hạn suy rộng hàm số Xét đường cong γ(s) = −s ; ; , s 1 −s −s 1 s→∞ + + = − −−−→ 0; s s s 2s 2s −s −s −2 ∂f (γ(s)) = + + = ; ∂x s s s ∂f 1 s +1 (γ(s)) = + = ; ∂y s s s4 −s −1 ∂f (γ(s)) = = ∂z s 2s f (γ(s)) = Do γ (s) ∇f (γ(s)) = + s4 s2 + s4 + 4s s2 + +1 s 4 s2 + s2 + = 6+ 2+ 4+ + s s s s5 2s3 s2 + 1 1 s→∞ + + + + −−−→ s4 4s8 s4 4s6 hay ∈ K∞ (f ) Với t = 0, trước hết ta chứng minh x → ∇f (x, y, z) → f (x, y, z) → t Ta có ∇f (x, y, z) = (1 + 2xy + 4x3 yz; x2 + x4 z; x4 y) =: 4BC (A, B, C) Do B, C → nên x khơng bị chặn A = + − x 2C → = 0, mâu thuẫn Do x bị chặn Giả sử x tiến tới giới hạn x3 a = Do C → 0, nên y → Nếu z khơng bị chặn B → ∞, z bị chặn Vậy A → = 0, mâu thuẫn Do x → Bây giả sử X ∇f (X) → Do thành phần X C → nên |y| C → 0, hay x4 y → 0, tức x2 y → Từ x + x2 y + x4 yz → t, x2 y → x → ta có x4 yz → t Do xA = x + 2x2 y + 4x4 yz → 4t = 0, mâu thuẫn Tóm lại, với t = 0, không tồn dãy Xn = 44 Chương Hàm Rabier tập giá trị tới hạn suy rộng hàm số (xn , yn , zn ) thỏa mãn Xn → ∞, Xn ∇f (Xn ) → f (xn , yn , zn ) → t Vậy K∞ (f ) = {0} Ví dụ 3.21 Xét đa thức f (X) = f (x, y) = 2x2 y − 9xy + 12y ∂f = 4xy − 9y ; ∂x ∂f = 6x2 y − 18xy + 12 ∂y • Ta có K0 (f ) = ∅ Thật vậy, ν(df (X)) = ∇f (X) nên ν(df (X)) = ∂f ∂f ∂f (X) = (X) = Ta có = 6x2 y − 18xy + 12 = ∂x ∂y ∂y 6(xy − 1)(xy − 2) = xy = xy = Với xy = 1, từ ∂f = suy 4y − 9y = hay y = mâu thuẫn với xy = Tương ∂x tự trường hợp xy = dẫn đến mâu thuẫn Do K0 (f ) = ∅ , • Ta có K∞ (f ) = {0} Thật vậy, xét đường cong γ(s) = s; s s→∞ ∂f −5 ∂f f (γ(s)) = −−−→ 0; (γ(s)) = ; (γ(s)) = s ∂x s ∂y 25 25 25 s→∞ Do γ (s) ∇f (γ(s)) = s2 + = + −−−→ 0, hay s s s s ∈ K∞ (f ) Giả sử f (x, y) → t = 0, (x, y) ∇f (x, y) → Ta có ∇f (x, y) = 4xy − 9y , 6x2 y − 18xy + 12 =: (A, B) Do |x| A → nên 4x2 y − 9xy → Do |y| B → nên 6x2 y − 18xy + 12y → Mặt khác 6x2 y − 18xy + 12y = 2x2 y − 9xy + 12y + 4x2 y − 9xy → t = 0, mâu thuẫn Vậy K∞ (f ) = {0} Định lí 3.22 ([8]) Cho V ⊂ Rk thành phần liên thơng Rk \K(f ) f −1 (V ) = ∅ f : f −1 (V ) → V phân thớ tầm 45 Chương Hàm Rabier tập giá trị tới hạn suy rộng hàm số thường địa phương Định nghĩa 3.23 Giá trị y ánh xạ f gọi giá trị không rẽ nhánh f phân thớ y gọi giá trị rẽ nhánh trường hợp ngược lại Gọi tập B(f ) tập giá trị rẽ nhánh f Khi theo Định lý 3.22, B(f ) ⊆ K(f ), nhiên nhìn chung B(f ) = K(f ) Ví dụ 3.24 Xét đa thức f (X) = f (x, y, z) = [(xy − 1)2 + y ]z ∂f = 2yz(xy − 1); ∂x ∂f = [x(xy − 1) + y] z; ∂y ∂f = y + (xy − 1)2 ∂z • Ta có K0 (f ) = ∅ Thật vậy, ν(df (X)) = ∇f (X) nên ν(df (X)) = ∂f ∂f ∂f ∂f (X) = (X) = (X) = Mà (X) = 0, ∀X ∂x ∂y ∂z ∂z nên K0 (f ) = ∅ 1 • Ta có K∞ (f ) = {0} Thật vậy, xét đường cong γ(s) = s; ; , s s 1 s→∞ f (γ(s)) = = −−−→ 0; s s s ∂f (γ(s)) = 0; ∂x 1 ∂f (γ(s)) = = ; ∂y s s s ∂f (γ(s)) = ∂z s 46 Chương Hàm Rabier tập giá trị tới hạn suy rộng hàm số Do γ (s) ∇f (γ(s)) 1 + )(0 + + ) s s s s = (s2 + ) s s 10 s→∞ = + −−−→ s s = (s2 + hay ∈ K∞ (f ) Giả sử f (x, y, z) → t = (x, y, z) ∇f (x, y, z) → Ta có ∇f (x, y, z) = 2yz(xy − 1), [x(xy − 1) + y] z, y + (xy − 1)2 =: (A, B, C) Do |z| C → nên [(xy − 1)2 + y ]z → 0, hay f (x, y, z) → 0, mâu thuẫn Vậy K∞ (f ) = {0} • Ta có B (f ) = ∅ Thật vậy, xét mặt mức At = {f = t} định nghĩa phương trình f (x, y, z) − t = Khi At = (x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = t = (x, y, z) ∈ R3 : (xy − 1)2 + y z = t = (x, y, z) ∈ R3 : z = t (xy − 1)2 + y Xét ánh xạ h : R → R3 x, y, t (xy − 1)2 + y → (x, y, 0) Ta thấy ánh xạ h|At đồng phôi At A0 Do f phân thớ tầm thường B (f ) = ∅ Từ ta thấy B (f ) = K (f ) 47 Chương Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng Chương cuối trình bày nội dung chứng minh cụ thể Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng Định lý phát biểu sau Định lí 4.1 Cho f : Rn → Rk ánh xạ nửa đại số khả vi Khi K(f ) tập nửa đại số đóng chiều nhỏ k Hơn nữa, f : Rn \f −1 (K(f )) → Rk \K(f ) phân thớ thành phần liên thông Rk \K(f ) Đặc biệt, B(f ) ⊂ K(f ) Chứng minh: Việc chứng minh định lý Sard bao gồm bước sau: A) Trước hết ta chứng minh ∃N ∈ N : ∀y ∈ K∞ (f ) , ∃xl → ∞ cho f (xl ) → y (1 + xl )1+ N ν(df (xl )) → Nói cách khác ν(df (xl )) hội tụ nhanh xl −1 B) Trong mặt cầu với bán kính r lớn, gọi Di = x ∈ Rn : κ (df (x)) = dist ∇fi (x) , (∇fj (x))j=i 48 Chương Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng Nói cách khác Di tập điểm khoảng cách Kuo κ (df (x)) đạt ∇fi (x) Ta thấy dist ∇fi (x) , (∇fj (x))j=i = ∇fi |Wb (x) với Wb mặt mức (f1 , , fˆi , , fk )−1 (b) Theo Định lý 2.18, ta phân tích Di ∩ Wb cách tương r C) Dùng ∇fi |Wb (x) x −(1+ N1 ) , chứng minh volk K∞ (f|Di ) = Trước hết ta chứng minh A) Với N ∈ N∗ , ta định nghĩa:     y ∈ Rk : ∃xl ∈ Rn , xl → ∞,   N K∞ (f ) =   f (xl ) → y, xl 1+ N ν(df (xl )) → 0  Khi A) chứng minh qua bổ đề sau: Bổ đề 4.2 Cho f : Rn → Rk hàm nửa đại số khả vi, tồn N ∈ N∗ cho N K∞ (f ) = K∞ (f ) N Chứng minh Dễ thấy K∞ (f ) ⊂ K∞ (f ), ta cần chứng minh N K∞ (f ) ⊂ K∞ (f ) Gọi in ánh xạ ngược phép chiếu in : Rn → Sn ⊂ Rn+1 (X1 , , Xn ) → (x1 , , xn+1 ) n xi = 2Xi n 1+ j=1 Xj2 −1 + j=1 n với i = 1, , n xn+1 = Xj2 1+ j=1 n n đồ thị in nửa đại số Kí hiệu {∞} = S \in (R ) 49 Xj2 Dễ thấy Chương Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng Ta đồng Rn với in (Rn ) ⊂ Sn Tương tự, ta compact hóa Rk = ik (Rk ) ⊂ Sk R ⊂ S1 Đặt σ(x) = x ν(df (x)), ∀x ∈ Rn Theo Mệnh đề 3.11 σ ánh xạ nửa đại số Xét ánh xạ: ϕ : Rn → Rk × R ⊂ Sk × S x → (f (x), σ(x)) Đặt Ω = graph(ϕ) ⊂ Sn × Sk × S1 B bao đóng tập ({∞} × K∞ (f )×{0}) Sn ×Sk ×S1 Bởi Mệnh đề 3.11 Định nghĩa K∞ (f ) ¯ B tập nửa đại số đóng Dễ thấy B ⊂ Ω\Ω, theo Bổ đề 2.21 tồn tập nửa đại số A ⊂ graph(ϕ) cho A¯ ∩ {∞} × Sk × S1 = B (4.1) Đặt Γ = π(A), với π : Rn × Rk × R → Rn phép chiếu Từ (4.1) ta thấy {∞} × {y} × {0} ∈ B tồn dãy xl ∈ Γ, xl → ∞, f (xl ) → y, σ(xl ) → Đặt θ(r) = r sup ν(df (x)), với quy ước x∈Γ, x =r θ(r) = θ ∩ S(r) = ∅ Dễ thấy hàm θ nửa đại số Với dãy xl ∈ Γ bất kỳ, xl → ∞ ta có σ(xl ) → 0, B compact Điều suy θ(r) → r → ∞, đó, theo Định lý Puiseux ([9]) Chọn N ∈ N∗ thỏa tồn α ∈ Q∗+ , c > cho θ(r) cr−α với r 1 r→∞ N mãn < α r N θ(r) −−−→ Vì K∞ (f ) ⊂ K∞ (f ) N N Ta cố định N ∈ N cho K∞ (f ) = K∞ (f ) theo Bổ đề 4.2 Theo Mệnh đề 3.15, ta thay ν khoảng cách κ Kuo Với i ∈ {1, , k}, ta định nghĩa Di = {x ∈ Rn : κ(df (x)) = dist(∇fi (x), Vi (x))} , với Vi (x) không gian vectơ sinh ∇fj (x), j = 1, , k; j = i 50 Chương Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng k Dễ thấy Di tập nửa đại số Rn Rn = ∪ Di , i=1 k K∞ (f ) = K∞ (f|Di ) i=1 với K∞ (f|Di ) =     y ∈ Rk : ∃xl ∈ Di , xl → ∞,     f (xl ) → y, xl ν(df (xl )) → 0  Bổ đề volk (K∞ (f|Di )) = 0, ∀i ∈ {1, , k}, từ ta có tập K (f ) có độ đo Bổ đề 4.3 volk (K∞ (f|Di )) = 0, ∀i ∈ {1, , k} Đặc biệt, dim K∞ (f ) < k Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp i = 1, trường hợp khác tương tự Ta viết D = D1 ; f¯ = (f2 , , fk ) Cố định B hình cầu mở Rk−1 (α, β) khoảng mở bị chặn R Khi ta phủ Rk họ đếm tập có dạng (α, β) × B, ta cần chứng minh volk (K∞ (f|D ) ∩ (α, β) × B) = (4.2) Để chứng minh đẳng thức (4.2), ta xây dựng họ tập ∆r thỏa mãn r→∞ ¯ r ⊃ K∞ (f|D ) ∩ (α, β) × B, volK (∆ ¯ r) − ∆ −−→ ˜ r = {x ∈ D : Trước tiên với r > 0, đặt Σ (α, β), f¯(x) ∈ B, x 1+ N1 x r, f1 (x) ∈ ˜ r ) ∆ = 1}, ∆r = f (Σ κ(df (x)) ¯ r ∆ r>0 ¯ = volk (∆r ) họ (∆r )r Mỗi ∆r nửa đại số, ta có volk (∆) giảm dần r → ∞, nên volk (∆) = lim volk (∆r ) r→∞ 51 Chương Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng Rõ ràng ta có K∞ (f|D ) ∩ (α, β) × B ⊂ ∆ Vậy ta cần chứng minh volk (∆) = Trước hết, sử dụng định lý Fubini ta viết mr (b)db volk (∆r ) = B với db độ đo Lebesgue Rk−1 , mr (b) = vol1 ({y1 ∈ R : (y1 , b) ∈ ∆r }) Theo định lý phân ngăn trụ, mr nửa đại số đo Hơn nữa, cố định b ∈ B hàm r → mr (b) giảm dần Đặt m(b) = lim mr (b) Bởi định lý 1.14 ta có volk (∆) = r→∞ m(b)db B Để chứng minh bổ đề ta cần khẳng định sau Khẳng định 4.4 Xét đường cong nửa đại số γ : (α, β) → Rn với lim γ (t) = +∞ Khi t→β i) γ (t) > với t gần β ii) Ta tham số hóa γ cho β = +∞, γ(r) = r Khi lim γ (r) = Đặc biệt, γ (t) bị chặn với r r→∞ Chứng minh i) Ta có, tập {t ∈ (α, β) : γ (t) = 0} khơng chứa khoảng mở có dạng (α , β) nên γ (t) > với t gần β ii) Ta chứng minh γ (t) , γ (t) > t γ (s) , γ (s) γ (s) , γ (s) ds s (t) = > với t Đặt s (t) = γ (s) γ (s) Do tồn hàm ngược t (s) : s (t (s)) = s, s (t) t (s) = hay γ (t) t (s) = γ (t) , γ (t) Đặt α (s) = γ (t (s)) ta có α (0) = α (s) , α (s) = γ (t) t (s) , α (s) 52 Chương Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng = t (s) γ (t) , γ (t) = γ (t) = α (s) Bây giả sử α (s) = r (s) θ (s) với θ (s) = 1, θ (s) , θ (s) = ta có α (s) = r (s) θ (s) + r (s) θ (s), α (s) , α (s) = r (s) θ (s) + r (s) θ (s) , r (s) θ (s) = r (s) θ (s) , r (s) θ (s) + = r (s) r (s) Mà α (s) , α (s) = α (s) = r (s) θ (s) = θ (s) r (s) = r (s), nên r (s) = ⇒ r (s) = s ⇒ α (s) = s Khẳng định 4.5 Tồn số c > cho với r đủ lớn cr− N mr (b) ˜ r ∩f¯−1 (b)∩S(r), với b ∈ B, r > Chứng minh Xét họ nửa đại số Σr,b = Σ ˜ r,b = Σ ˜ r ∩ f¯−1 (b) = Ta viết Σ ˜ r,b )) Σs,b Chú ý mr (b) = vol1 (f1 (Σ s r Từ Định lý 2.18 ta suy tồn họ hữu hạn Li ⊂ Rn ×R×Rk−1 , i ∈ I tập nửa đại số thỏa mãn Σr,b = i∈I Whitney với số M (một vài điều kiện x 1+ N1 κ(df (x)) Lir,b Lir,b Mỗi Lir,b có tính chất rỗng) Chú ý 1, x ∈ f¯−1 (b) = Wb suy ∇f1|Wb (x) x −(1+ N1 ) (4.3) Xét đường cong γ : (a, b) → Lir,b tham số hóa theo độ dài cung, γ (t) = Ta có 53 Chương Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng b b |f (γ (b)) − f (γ (a))| = ∇f (γ (t)) , γ (t) dt f (γ (t)) dt = a a b ∇f (γ (t)) a b = γ (t) γ (t) dt −(1+ N1 ) b dt = a r−(1+ N ) dt a = r −( 1+ N1 ) (b − a) 2M r.r−(1+ N ) 1 2M r− N Khi f1 (Lir,b ) khoảng có độ dài d(r), với d(r) = sup |f (γ (b)) − f (γ (a))| 2M r− N (4.4) γ∈Lir,b Cố định b ∈ B, i ∈ I giả sử Lir,b = với r đủ lớn Áp dụng Bổ đề 2.20, ta nhận đường cong nửa đại số γ : [r, +∞) → Rn thỏa mãn γ(ζ) ∈ Liζ,b Đặc biệt γ(ζ) ∈ f¯−1 (b) = Wb γ(ζ) = ζ Bởi Khẳng định 4.4 ta giả sử |γ (ζ)| 2, Vì ước lượng độ dài f1 ◦ γ([r, +∞)), cụ thể là, (4.3) ta có +∞ +∞ |(f1 ◦ γ) (ζ)|dζ r ζ −(1+ N ) dζ = 2N r− N (4.5) r Liζ,b ) chứa khoảng có Do từ (4.4) (4.5) ta có f1 ( ζ r chiều dài (4M + 2N )r − N1 ˜ r,b ) chứa #I khoảng có chiều Vì f1 (Σ dài Đặt c = (#I)(4M + 2N ), ta có cr− N mr (b) Theo Khẳng định 4.5, m(b) = 0, nên volk (∆) = 0, Bổ đề 4.3 chứng minh 54 Như ta thấy ánh xạ ϕ = (f, σ) nửa đại số K(f ) tập nửa đại số Rk Từ Bổ đề 4.3, Định lý phân ngăn trụ 2.23, Định lý Sard thơng thường ta có dim K(f ) < k Việc f phân thớ hệ Định lý 3.22 Điều kết thúc chứng minh Định lý 4.1 55 Tài liệu tham khảo [1] R Benedetti, J Risler, Real algerbraic and semi-algebraic sets, Hermann,1990 [2] J Bochnak, M Coste, M F Roy, Real algebraic geometry, E.M.G., Springer, Vol 36, 1998 [3] M Coste, An introduction to semialgebraic geometry, (2002) [4] T C Kuo, Characterizations of V -sufficiency of jets, Topology 11 (1972), 115–131 [5] K Kurdyka, P Orro, S Simon, Semialgebraic Sard theorem for generalized critical values, J.Differential Geometry 56 (2000), 67-92 [6] K Kurdyka, On a subanalytic stratification satisfying a Whitney property with exponent 1, Real algebraic geometry, Proc., Rennes 1991, L.N.M 1524 (1992), 316–322 [7] J W Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, 24, 1997 [8] P J Rabier, Ehresmann fibrations and palais-smale conditions for morphisms of finsler manifolds, Ann of math 146 (1997), 647-691 [9] R J Walker, Algebraic curves, Princeton, 1950, 201p 56