1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Biện luận PT mũ và logarit

7 1,5K 27
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Biện Luận Pt Mũ Và Logarit
Trường học Trường Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Thể loại Bài Tập
Thành phố Hà Nội
Định dạng
Số trang 7
Dung lượng 789,5 KB

Nội dung

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITB.. Giải và biện luận phương trình logarit: I.. Nhắc lại về hàm số logarit: 1.. Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dướ

Trang 1

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

B Giải và biện luận phương trình logarit:

I Nhắc lại về hàm số logarit:

1 Khái niệm: Hàm số logarit có dạng y = logax ( a > 0, a ≠ 1)

TXĐ: x > 0

2 Tính chất:

a > 1: hàm số y = log a xlà hàm số đồng biến

0 < a < 1: hàm số y = logaxlà hàm số nghịch biến

logaa = 1, loga1 = 0, log ( a x ) x

a = , alog a x = x

log a ( x 1 x 2 ) = log a x 1 + log a x 2

2

1

x

x

log x m m loga x ( m R , x 0 )

loga x 1loga x ( x > 0 , α ≠ 0 )

α

=

α

loga x = logab logb x ( 0 < a , b , a , b ≠ 1 , x > 0 )

log b log1 a

b

a =

II Phương trình logarit:

1 Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit.

2 Phương trình logarit đơn giản:

loga x = loga b(a > 0, a ≠ 1, b > 0)⇔x = b

a x c x a

log = ⇔ = (x > 0, a > 0, a ≠ 1)

Dạng tổng quát: logg(x) ( x ) = logg(x)h ( x ) ⇔

>

=

>

0 )x (h )x (f

1 )x (g ,0 )x (g

3 Phương pháp giải:

a Phương pháp mũ hoá ( chuyển về cùng 1 cơ số):

Ví dụ 1 Giải phương trình:log2x + log3x + log4x = log10x ( 1 )

Giải

đk: x > 0

Ta biến đổi về cùng cơ số 2:

x log log

x

log3 = 32 2 ; log4x = log42 log2x; log10x = log102 log2x

Trang 2

(1) ⇔ log2x ( 1 + log32 + log42 − log102 ) = 0 ⇔ log2x = 0 ⇔ x = 1.

Ví dụ 2 (Đề 81) Giải phương trình

3 4

1 3 4

1 2

4

1 ( x 2 ) 3 log ( 4 x ) log ( x 6 )

log

2

Giải.

4 1 2

4

1(x+ ) = log x+

log

x log )

x (

4 1 3

4

1

6 3

6

4 1 3

4

1(x+ ) = log x+

log

Đk:

>

+

>

>

+

0 6

0 4

0 2

x

x

x

<

<

−<

<

4 2

2

6 x x

(1) ⇔ 3 log x 2 3 3 log ( 4 x ) 3 log ( x 6 )

4 1 4

1 4

)]

x )(

x [(

log x

4 1 4

1 + − = − + ⇔ log 4 x 2 log [( 4 x )( x 6 )]

4 1 4

0 6 4

2

⇔ 

− +

= +

+

= +

24 2 2

4

24 2 2

4

2 2

x x ) x

(

x x ) x

(

⇔ 

=

=

− +

0 22 2

0 16 6

2 2

x x

x x

±

=

=

=

33 1 8 2 x x x

⇒ nghiệm: 

=

=

33 1

2 x x

Ví dụ 3 Giải và biện luận phương trình:

2 x x

3

2+ − + + log2− 3 x − 1 = log7−4 3[a ( x + 2 )], a > 0 (1)

Giải.

Đk: x – 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0 2 ⇒ x > 2

Ta có: ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1 ⇒ log2− 3 x − 1 = log(2 + 3)− 1 x − 1 = − log2+ 3 x − 1

2 3

2 3

2+ x − x +

1

2 3

2 3

+

x x

2

1

3

2+ − [a ( x )]

log7−4 3 + 2 = log(2− 3)2[a(x+2)] = log [a ( x 2 )]

2

1

3

2− + = log [a ( x 2 )]

2

1

3

(1) ⇔ log ( x 2 )

2

1

3

2+ − = log [a ( x 2 )]

2

1

3

2 −

x (

a

1 ⇔ x = 4 + 2 1a

a > 0 ⇒ nghiệm: x =

a

1

4 +

Trang 3

x > 2 ⇒ x =

a

1

Bài tập áp dụng:

1) Giải phương trình:

a) log (4x 1 4)

2 + + log2(4x +1) =

8

1 2 1 log

b) logx3 + log3x = log x 3 + log3 x +

2 1 c) logx(125x).log252 x = 1

d) log (sinx − sin x )

2

3 + log (sinx2 cos2x)

3

2) Xác định m để phương trình:

) m m x x (

2

có nghiệm x 1, x 2thoả mãn: x +12 x > 1.22

Hướng dẫn:

pt ⇔ log ( x2 x m m2)

>

− +

− +

=

− +

0 2

2 4

2 2

2 2

2 2

2 2

m mx

x

m mx x m m x

x

>

− +

=

− + +

0 2

0 2 2 1

2 2

2 2

m mx x

m m x) m (

x

>

+

=

=

) ( m

mx

x

m

x

m

x

2 0 2

1

2

2

2

2

1

phương trình có 2 nghiệm x 1, x 2 nên x 1, x 2 điều kiện (2) ⇒ – 1 < 0 ≠ m <

2 1

2

1

x +x22 > 1 ⇒

<

<

<

<

2

1 5

2

0 1

m m

3) Tìm a để phương trình

) x

(

log

) ax (

log

1

5

5

+ = 2 có nghiệm duy nhất (đề 120)

Hướng dẫn:

Trang 4

pt ⇔

+

=

≠ +

>

+

>

2 5

1 1 0 1 0

) x ( log ) ax ( log

x

; x

ax

⇔ x + (2 – a)x + 1 = 0 (2)2

phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn:

<

>

0 1

0 x

ax

4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29)

b Phương pháp biến đổi hoặc đặt ẩn số phụ:

Ví dụ 1 Giải phương trình

[ ( x ) ]

log

)

x

( −1 2 4 −1 = 8( x − 1) 3

Giải.

Đk:

>

>

0 1

0 1

4

x

) x(

Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được:

[ ( x ) ] log ) x

(

2 −1 2 − = [ 3]

2 8(x 1) log − ⇔ log2[4(x−1)].log2(x−1) = 3 + 3

)

x

(

log2 −1 ⇔ [2+log2(x−1)].log2(x−1) = 3 + 3log2(x−1) (1)

Đặt t = log2(x−1) ⇒ (1) ⇔ t – t – 3 = 0.2

⇒ phương trình có nghiệm:

2

13 1

1

=

2

13 1

2

+

= t

2

13 1

1

=

13 1

+

=

x

2

13 1

2

+

=

13 1

+

+

=

x

Ví dụ 2 Giải phương trình

2.2( x − 2 ) 2 = log 22( x)

Giải.

Đk:

>

0 2

0

2

x

x

⇒ x≥2

Trang 5

Đặt 2x−1 = y; y ≥ 2 ⇒ x = log2y + 1 ⇒ Ta được hệ phương trình:

=

=

y log x

x log

y

2

2

2

2

=

=

y

x

x

y

2

2

2

2

⇔ y.2 = x.y 2 (1)x

Xét hàm số: f(z) = z.e ; f'(z) = z e + 2z e > 0 z ∀z≥2

f(z) đồng biến trên [2; + ∞ ) Từ (1) ⇔ x = y ⇒ 2x =2x

Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = 2 tại 2 điểm: x x 1 = 1; x 2 = 2

từ x≥2 ⇒ x = 2 là nghiệm

Ví dụ 3 Giải phương trình

9

2

log

x = x 2 3log 2 x – xlog23 (1)

Giải.

Đk: x>0

áp dụng công thức: alog b c = clog b a

(1) ⇔ 9log 2 x = x 2 3log 2 x – 3log 2 x ⇔ 3log 2 x = x – 1.2

Đặt t = log2x ⇒ 3 t + 1 = 4 t ⇔ t

 4

3

+

t

 4

1

= 1 (2) Xét f(t) =

t

 4

3

+

t

 4

1

là hàm nghịch biến ⇒(2) có nghiệm duy nhất t = 1 ⇒ x = 2 là nghiệm của (1)

Bài tập áp dụng:

1) Giải phương trình

a) log ( x x 2 1 )

2 − − log ( x x 2 1 )

log

b) log3( 3 x − 1 ) log ( 3 x 1 3 )

3 + − = 6 c) log4log2x + log2log4x = 2

d) logx3 + log3x = log x3 + log3 x +

2 1

2) Giải và biện luận theo a

a) logxax.logax = – 2

b) (loga2x + 2).loga2xa = logxa

a

x loga 2

3) Cho phương trình: (m – 3)log2(x 4)

2

1 − – (2m + 1)log (x 4)

2

1 − + m + 2 = 0

tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 4 < x 1 < x 2 < 6

c Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất:

Trang 6

Ví dụ 1 Giải phương trình: lg( x 2 − x − 6 ) + x = lg( x + 2 ) + 4 (1)

Giải.

Đk: x 2 − x − 6 > 0, x + 2 > 0 ⇒ x > 3

(1) ⇔ lg( x 2 − x − 6 ) – lg( x + 2 ) = 4 – x ⇔

2

6 2

+

x

x x

lg = 4 – x ⇔ lg(x – 3) = 4 – x (2)

Nhận xét: x = 4 là nghiệm của (2)

y = lg(x – 3); y' =

3

1

x > 0 là hàm đồng biến

y = 4 – x là nghịch biến

⇒ x = 4 là nghiệm duy nhất

Ví dụ 2 Giải phương trình

) x x (

3 2

2 + − − = log ( x 2 2 x 3 )

3

2+ − − (1)

Giải.

Đk:

>

>

0 3 2

0 2 2

2

2

x x

x

x

⇒ 

>

<

3

1 x x

(1) ⇔ log ( x 2 2 x 2 )

3 4

8+ − − = log ( x 2 2 x 3 )

3 4

7+ − − (2)

Đặt: a = 7 + 4 3; t = x 2 − 2 x − 3

(2) ⇔ loga+1(t+1) = logat (3)

Đặt: y = logat (3) ⇔

+

= +

=

y

y

) a(

t

a t

1

y

a = ( a + 1 ) y ⇔ y

a

a

 + 1 +

y

 + 1

1

= 1

(4)

y = 1 là nghiệm của (4)

y > 1 ⇒ VT < VP

y < 1 ⇒ VT > VP

⇒ y = 1 là nghiệm duy nhất

Ví dụ 3 Giải phương trình: 2log5( x+3 ) = x

Giải.

Đk: x > – 3

– 3 < x ≤ 0: phương trình vô nghiệm

x > 0: Đặt log5( x + 3 ) = t ⇒

=

=

+

x

t ) x(

log

t

2

3

5

=

=

+

t

t

x

x 2

5

3

⇒ 3

t

 5

1

+

t

 5

2

=1 (*)

t = 1 là nghiệm VT của (*) là hàm nghịch biến ⇒ t = 1 là nghiệm duy nhất ⇒x = 2 là nghiệm duy nhất

Trang 7

Bái tập áp dụng:

1) Tìm m để phương trình: lg 2 ( 10 x )

+ lgx = m a) có nghiệm

b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10

2) Giải phương trình: log ( x 3log x)

2 + 6 =log6 x

Ngày đăng: 31/05/2013, 00:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w