Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • ••• NGUYỄN THỊ LANH PHƯƠNG PHÁP GRADIENT CẢI BIÊN KÉO DÀI GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIỂN PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 • LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC •• Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI, 2015 Trước trình bày nội dung luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn người tận tình hướng dẫn toong thời gian qua để LỜI CẢM ƠN hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán phòng Sau đại học Trường đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo tận tình suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thảnh luận văn cao học Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Lanh Luận văn hoàn thảnh hướng dẫn thầy GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn với cố gắng thân Trong trình thực có tham khảo số tài liệu (như nêu mục tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn kết trình tìm hiểu, tham khảo học tập thân, không trùng lặp với kết tác giả khác LỜI CAM ĐOAN Hà Nội, tháng năm 2015 Học viễn Nguyễn Thị Lanh Mục lục Danh mục kí hiệu N: tập số tự nhiên R: tập số thực C: tập số phức G, Ệ' thuộc, không thuộc phần tử tập hợp 1, C: tập rỗng, tập H: không gian Hilbert thực /2: không gian dãy bình phương khả tổng không gian Euclide n chiều M™: ortang không âm Mn Rnxm: không gian ma trận cấp n X m {xfc}: dãy phần tử X , X , X3 , ||a;||: chuẩn véctơ X (X , y ): tích vô hướng véctơ X y n, x: giao, tích Decart F : u —>■ V: ánh xạ từ u vào V B (u, r): hình cầu mở tâm u, bán kính r B (u, r): hình cầu đóng tâm u, bán kính r VI (K, F): bất đẳng thức biến phân xác định tập K ánh xạ F CP (K, F): toán bù xác định nón K ánh xạ F LCP (M, q): toán bù tuyến tính xác định ma trận M véctơ q Soỉ {K, F): tập nghiệm VI (K, F) CP (K, F) Sol (K, q): tập nghiệm LCP (M, q) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân toán điểm cân đóng vai trò quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế Khái niệm toán tử đơn điệu đưa từ đầu năm 1960 P.Hartman Stampac- chia nghiên cứu bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu cách độc lập Bất đẳng thức biến phân đơn điệu sử dụng nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng loại phương trình elliptic, parabolic nhiều toán tối ưu, lí thuyết cân Chúng trở thành công cụ hữu hiệu cho việc giải toán xử lý tính toán cho nhiều toán Cho đến nay, bất đẳng thức biến phân đơn điệu chủ đề quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Phương pháp tìm nghiệm khác đề xuất cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu: phương pháp chiếu metric, phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, phương pháp điểm gần kề, phương pháp gradient kéo dài, Phương pháp gradient cải biên kéo dài có hai phương pháp chiếu liên tiếp cho bước Nó lấy tên từ đánh giá kéo dài trường véctơ bất đẳng thức biến phân phép chiếu kéo dài, bắt nguồn từ trường hợp bất đẳng thức biến phân đối xứng Trong trường hợp đó, bất đẳng thức biến phân biểu diễn điều kiện tối ưu toán tối ưu trơn đánh giá thêm trường véctơ tương ứng với giá trị kéo dài gradient hàm mục tiêu (cho nên tính từ gradient kéo dài sử dụng) Mặc dù điều chắn đòi hỏi lượng tính toán gấp đôi lần lặp, lợi ích đáng kể thuật toán thu được sử dụng cho lớp toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Để đảm bảo hội tụ phương pháp gradient cải biên kéo dài, người ta phải giả thiết trường véctơ liên tục Lipschitz ước tính số Lipschitz phải đưa cách tường minh Mục tiêu luận văn vận dụng thuật toán để giải bất đẳng thức biến phân không đơn điệu Để làm điều này, nghiên cứu phạm vi ứng dụng phương pháp gradient cải biên kéo dài, thuật toán để đề xuất sửa đổi hợp lý để có kết tốt hội tụ tốc độ hội tụ dãy lặp Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, giúp đỡ tận tình thầy GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, chọn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp gradient cải biên kéo dài giải toán bất đẳng thức biến phân” Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức Chương 2: Phương pháp gradient cải biên kéo dài Chương 3: Phương pháp gradient kéo dài Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp gradient cải biên kéo dài giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu không gian Hilbert Sự hội tụ tốc độ hội tụ dãy lặp sinh phương pháp bảo đảm Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm đọc tài liệu liên quan đến bất đẳng thức biến phân thuật toán giải Trình bày khái niệm kết có liên quan đến bất đẳng thức biến phân Giới thiệu phương pháp gradient cải biên kéo dài giải toán bất đẳng thức biến phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: phương pháp gradient cải biên kéo dài cho bất đẳng thức biến phân vấn đề liên quan Phạm vi nghiên cứu: Các báo, sách tài liệu có liên quan đến phương pháp gradient cải biên kéo dài giải toán bất đẳng thức biến phân Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích hàm, lý thuyết tối ưu để làm công cụ cho việc xây dựng thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân Dự kiến đóng góp Đưa tổng quan phương pháp giải bất đẳng thức biến phân thông qua phép chiếu biến dạng Chương Kiến thức 1.1 Bất đẳng thức biến phân toán bù Trước hết, ta nhắc lại toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho K tập khác rỗng không gian Hilbert (H, (.,.)) F : K —>■ H ánh xạ đơn trị Bất đẳng thức biến phân định nghĩa K F, kí hiệu VI (K, F), toán: Tìm véctơ u* e K cho (F{u*),u- u*) > 0, VueK (1.1) u* gọi nghiệm VI (K, F) Tập tất nghiệm kí hiệu Sol (K, F) Để nhắc lại nhiều lần, ta giả thiết K tập lồi, đóng F ánh xạ liên tục Khi K nón, nghĩa u E K TU E K với r > 0, công thức (1.1) rút gọn toán biết đến tên toán bù Định nghĩa 1.2 Bài toán bù cho nón lồi K ánh xạ F : K H Bài toán: Tìm véctơ u* € H cho u* e K, F (u*) 0, Vu € K} nón đối ngẫu K Bài toán (1.2) viết tắt CP (K, F) Nếu u e K F (u) e K* u gọi véctơ chấp nhận CP (K, F) Nếu toán CP (K, F) có véc tơ chấp nhận cho có tính chấp nhận Khi H = Rn, F ánh xạ affin, nghĩa là, F (u) = Mu + q với M e Rmxn, q G Mn K = (trong trường hợp K* = M"), CP (K, F) trở thành toán bù tuyến tính, kí hiệu LCP (M, q): lí* > 0, Mu* + q > 0, (Mu* + ợ, u*} = (1.3) bất đẳng thức M" hiểu thành phần không âm gọi ortang dương Tập nghiệm toán kí hiệu Sol (M, q) Sự liên hệ xác VI(K : F) CP{K,F) với K nón mô tả sau Mệnh đề 1.1 Nếu K nón lồi thiu* nghiệm VI (K, F) u* nghiệm CP (K, F) Chứng minh Nếu u* nghiệm VI (K, F) u* G K Trong (1.1) cho lí = 0, ta (F (u*), u*) < Hơn nữa, u = 2u* G K, từ (1.1) ta (F (u*) , w*) > Do (F (u*) , w*) = Kết hợp với (1.1) có (F (u*) ,u) > Vm g if, F (u*) G K* Vì vậy, li* nghiệm CP (K : F) Ngược lại, u* nghiệm CP (K : F) : dễ thấy u* nghiệm VI (K, F) 1.2 Toán tử đơn điệu đơn điệu tổng quát Việc giải toán (1.1) thuận lợi ánh xạ thỏa mãn số tính chất: đơn điệu, giả đơn điệu, Ta nhắc lại khái niệm sau Định nghĩa 1.3 Ánh xạ F : K c H —»• H gọi (a) Đơn điệu mạnh 37 > cho ( F (lí) — F ( v ), u — v ) > 7ỊỊií — v \ \ , Vu, V G K\ (b) Giả đơn điệu mạnh 37 > cho (F (u), V — u) > =>■ {F (v) ,v — ù) > 7II u — v\\ , 'in, V ẽ K\ (c) Đơn điệu (F (u) — F (v) ,u — v) >0, Vu,V ẽ K; (1d) Giả đơn điệu (F (u) ,v — u) > (F (v) ,v — u) > 0, Vu, V £ K; (e) Tựa đơn điệu (F (u) ,v — u) > =>■ (F (v) ,v — u) >0, Vm,V £ K Sự kéo theo (a) =>• (6) =>- (d) =>- (e) (a) =>- (c) =>- (d) =>• (e) hiển Lipschitz giả đơn điệu mạnh K Định nghĩa 1.3 (6) V I ( K : F ) có nghiệm u* dãy {wfe} sinh Thuật toán 3.1 hội tụ theo chuẩn tới u* Hơn nữa, tồn số k G N cho 7 k ữ (3.3) k — u số giả đơn điệu mạnh F Hơn k J Ị ( lim k—> oo \ t j= k t j ) (3.4) = Chứng minh Cho L > số Lipschitz F Lặp lại cách chứng minh Định lý 2.8, ta bất đẳng thức k —k u k + — w*||2 < ||wfc — w*||2 — (l — aịL ) u — 27a k u - u —u Khi a k —»• 0, 3k ữ e N cho 27a k < — ũíịL , Vk > k ữ Do vậy, với k > k ữ ta có 7C)!jfc < \ — ịotịL < Iu k + — w*||2 < \\u k — u* ||2 — 27CCfc IIu k - M*||2 - < k —k u —u + + — k u —u * 7a k [ < \\u k — M*||2 — 7aJỊwfc — u* (3.5) Cộng bất đẳng thức IIu h + — M*||2 < ||wfc — w*||2 — 7Qífc||wfc — w*||2 (3.5) từ k đến n > k, ta Iu n+1 - u*||2 < IIU ko - u*||2 - n II k * 112 7a k \\u - u k=k Do T I 7CCfc||Mfc — w*||2 < k=kn — w*||2 — ||wn+1 — u* I XI n ak I \\ n uU ~ u*\\2 - ? > 7«fc||«" < XI 70*11“* k=ko u - I I t I I Vì ||wfc+1 — w*||2 < IITi* — u* ||2 với k > k (3.5) nên ta có khẳng định sau Kk=ko K — Kq Do vậy, dãy {wfe} hội tụ theo chuẩn tới lí* Ta chứng minh (3.3) Với k > ko, từ (3.5), ta có I I u k + — w *|| < (1 — 7a ỵ ) | |i í f e — w *|| < (1 - 7a k ) (1 - 7afc_i) IIu k ~ l - u* k < n (i-7a,-)iK°-u*n2 j = k0 Suy IIu k + — u*||2 < A n (1 — 7aj) ||wfco — 16* II (3.3) chứng V j-k0 minh Từ (3.4), ta có - l k ; ; + Oij n (1 — 7ữj) < < > k —» 00 j=k ° n (1+7«j) 1+7 E öj j=k j = k0 Bây giờ, ta minh họa kết cách xét toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh vô hạn chiều Ví dụ 3.1 Cho H = ¿2 không gian Hilbert bao gồm phần tử dãy bình phương khả tổng, nghĩa 00 H = < u= (ui, U 25u i : ) : ^2 K| < +°° " • < i= > Tích chuẩn H tính sau 72 00/00\ { u , v ) = '^UịVi || u|| = I 53Mi I ¿=1 \¿=1 J với u = (ui, u , U i , ) V = (vi,v a,¡3 £ R mà /3 > a > — > Ovà định nghĩa K a = {u € H : ||w|| < a] , u (w) =(¡3— ||w||) Với a /3 đóng vai trò tham số Nhận xét Sol (K a , Fp) = {0} Toán tử liên tục Lipschitz giả đơn điệu mạnh K Hiển nhiên, với u , V e K a , ta có \\Fạ (u) - Fp ( v)| | = 11( 0- | | m | | ) m- (/ ? - IM IH I = 11/3 (u — v) — ||m|| (u — v) — (||m||—||i;||)i;|| < /3\\u — 1>|| 4- HI IIu - d|| + IIMI - llalli \\v\\ < / Ị Ịw — 1> || + a Ị Ị ií — v| | + Ị Ị ií — v| | (/3 + 2a) ||m — VII a = Điều có nghĩa là, Fp liên tục Lipschitz K a với số Lipschitz L ¡3 + 2a Giả sử u,v E K a mà (Fp (u) ,v — u) > Vì ||m|| < a < /3nên (u, V — u) > Do (F/J (w), V — 14> = (>ỡ — IMI) ( v , v - u ) > w ~ IMI) ( ( v , v - u ) , ( u , v u)) > (/3 — a ) ||w — v\\ Vì thế, F ậ giả đơn điệu mạnh K a với số := p — a Hơn nữa, Fp không đơn điệu mạnh không đơn điệu K a Điều cho thấy, chọn u = (Ạ, , , , V = (a, 0,0, ) G K a c ầ n ý ( F ( u ) - F ( v ) , U - v ) = ( Ậ - a S j < Cho w° e K a định nghĩa dãy {c»!jfc} sau VA: GN Oí k k + — Sử dụng Định lý 3.1, ta khẳng định dãy lặp {w fe} sinh (3.6) Thuật toán 3.1 hội tụ theo chuẩn tới 0, nghiệm toán VI ( K a , F p ) Như chứng minh Định lý 3.1, ta chọn k o ẽ N cho 2lOL k < — aịL , VA; > k Q (3.7) Dễ thấy bất đẳng thức (3.7) cho với + 2a kn = Ị3 — a + \/2/32 + /3a + 5a Từ (3.3) (3.6), ta có \u hII < n ( -fí ĩ ) \ j=k ,Vk>ko 3.4 Phân tích sâu Trong phần này, thấy tính giả đơn điệu mạnh F hai điều kiện (3.1) quan trọng Định lý 3.1 00 Bắt đầu với việc phân tích điều kiện Ỵ2 a k = +°° (3.1) k=0 Ví dụ 3.2 Đặt K = M F ( u ) = u Rõ ràng F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh K Sol ( K , F ) = {0} Chọn u ữ = e K định nghĩa dãy {a;*;} sau a k = 77 ( k + 1) 2> VẢ : e (3-8) 00 Vì Oiỵ < +oo, khẳng định (3.1) vi phạm Dãy lặp k=0 {wfc} trình bày (3.2) cho u k + = P K (u k - a k F (P K (u k - a k F ( u k ) ) ) ) = uk-akF(uk-akF (uk)) = u k - a k (u k - a k u k ) = (l - a k + a ị ) u k Vì u ữ = nên (3.8) trở thành ^=n(i-a J+ ^)=n(i-ỹ^ +ỹ^ ĩ ).v* e N Do đó, dãy số thực {wfc} giảm bị chặn Vậy {wfc} hội tụ Lưu ý ỴT (j + 2) H0+1) Â: + 2(fc + l) Cho k —> oo, ta lim u k = lí* với lí* > Do vậy, {wfe} không hội tụ k—¥oo 00 tới nghiệm toán V I (K, F) Vì vậy, tổng a k = +°0 không giảm công thức Định lý 3.1 k=0 Tiếp theo, ta phân tích điền kiện thứ (3.1) Ví dụ 3.3 Cho K, F, 11° giống Ví dụ 3.2 cho otỵ = với 00 k € N đây, a k = +oo {aíjfc} không hội tới Nhờ tính k=0 toán Ví dụ 3.2, ta có u k = với k € N nên {wfc} không hội tụ tới nghiệm toán V I (K , F ) Điều kiện lim Oik = k —>00 bỏ qua công thức Định lý 3.1 Cuối cùng, ta thấy giả thiết đơn điệu mạnh F Định lý 3.1 quan trọng Trong ví dụ tiếp theo, F đơn điệu (giả đơn điệu) K dãy {w fc} trình bày Thuật toán 3.1 không tiến đến nghiệm bất đẳng thức biến phân Ví dụ 3.4 Đặt K = M F ( u ) = ( — U , U I ) T với u = ( U I , U ) T € K Rõ ràng F liên tục Lipschitz đơn điệu K Sol (K , F ) = |(0,0)T| Cho u° = {uị,uị) T điểm K\ |(0,0)T| "* = r b v * e NDãy thỏa mãn (3.1) Để thấy F không giả đơn điệu mạnh K với số > 0, chọn u = (1,0)T, V = (2,0)r ý (F (u ) ,v — u) = 0, (F ( v ) , V — u) =0 Dãy lặp {wfe} (3.2) cho u ữ — (uị,uị) T u k +1 1- ( k + 1) k+1 _ = 1- uị + k+ 11 -wñ (3.9) (fc + l) với k = , , , Từ (3.9), ta có ‘‘+,II = V« + ) + w + l ) + (* + !)* (fc + ir = y¡w u 1- 11 + (k + ) {k + iy Ồ(-5Í = \\u \ + ir 1)= fl II« II, với Đi đến giới hạn k —> 00, ta lim + lili*II k—>oo ¡1 = lim fe —^ 00 \ Ô(‘-ST j= + ' Ơ + 1) u + ) , y/2 \ / — (3.10) ( Xem đối số Ví dụ 3.2) Do {wfc} không hội tụ tới nghiệm VI (K, F) Ta chứng minh tập hợp điểm dãy {«*} đường tròn s := {u e M2 : ||w|| = ¡1 ||w°||} Với k G N, cho z k = u\ + ¿«2 số phức sinh u k Để có tính chất trên, cho thấy tập hợp điểm {zfc} đường tròn mặt phẳng phức Từ (3.9), ta có uĩ+1 + Ể ỉ+1 = “ (J ■ (ÃTĨ7 ■ kT~Ò + (*TĨ + * ■ ÕTTĨ)1) = í1 - (^Tĩf - ửĩ) u * + (~ửĩ = +1 - (^Tĩf) ì i - Ộ^Tỹ- ĨTl) K + i“‘)- ỉ Đặt = - —2 —5 ta có zk + — CLkZ/ Điều có nghĩa z k+1 h f a z \ = ị n j I ° • Với k > 1, ta viết a k dạng mũ a k — r k e i k , với v=0 J r ‘=I“*! = íỉ=airt “(r(^) e ^’ )' Do a0 z k k+ ^IIrj^ a = —i, U) k = =1 eUlkiz ° =ữ ° (n^) \z°\eUhie9i, (3.11) = ỡ €: (—7T, 7T] đối số ’ z 9* = arctan ( = -J— + o ( ị ) , \ l - ( k + l ) - J k + \k J nên lim dỵ = lim ùj k = — 00 k—^oo k—^oo Cho z = a ịi |z°| e i e tùy ý s Với 777, € N tồn Ả:m G N mà Lũkm < - e -2rmr < cưfcm_i Do Vì dk —> nên U) k — (^6 — —2m7T^ —> m —> 00 Điều có nghĩa là,+ 2rmr —>• — m —>■ 00 Do lim e U J k m i = lim e^ k m + m ĩ ' ) i = )* Từ (3.10), ta có \ u+1) u+ly / -Ị ]T rj ] = lim , ]T ( 7=1 ì m \ 7=0 ' + (o-ẽ)i _ Từ (3.II) cách chọn z, ta có lim z k m + = a ữ ịie e i = z Như ra—> 00 vậy, ta chứng minh tập hợp điểm {zfc} đường tròn s Ví dụ 3.4 cho ta thấy Thuật toán 3.1, tính giả đơn điệu mạnh bất đẳng thức biến phân không thích hợp với phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Dựa ý tưởng việc chọn độ dài bước để giải toán tối ưu không vi phân, phương pháp gradient kéo dài giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Sự hội tụ dãy lặp phạm vi ứng dụng phương pháp làm rõ định lý bốn ví dụ KẾT LUẬN Luận văn nêu toán bất đẳng thức biến phân số phương pháp giải thông thường phương pháp chiếu, phương pháp điểm gần kề, Chương trình bày chi tiết phương pháp gradient cải biên kéo dài toán liên quan hai loại tốc độ hội tụ Chương nêu phương pháp gradient kéo dài giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh không gian Hilbert TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Y Censor, A Giball, and S Reich, The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space J Optim Theory Appl 148 (2011), 318-335 [2] J.P Crouzeix, S Schaible, Generalized monotone affine maps SIAM J Matrix Anal Appl 17 (1996), 992-997 90C26 (26B25) [3] F Facchinei and J-S Pang, Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vols I and II, Springer-Verlag, New York, 2003 [4] E.M Gafni, D.P Bertsekas, Two-metric projection methods for constrained optimization SIAM J Control Optim 22 (1984), 936964 [5] O Guler, On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization SIAM J Control Optim 29 (1991), 403- 419 [6] P Hartman, A Wintner, On the local behavior of non parabolic partial differential equations Amer J Math 85 (1953), 449-476 [7] S Karamardian, S Schaible, Seven kind of monotone maps J Optim Theory Appl 66 (1990), 37-46 [8] P.D Khanh, "A modified extragradient method for infinite-dimensional variational inequalities", Accepted for pulication in Acta Mathematica Vietnamica [9] P.D Khanh, "On the convergence rate of a modified extragradient method for pseudomonotone variational inequalities", Submitted to [...]... k ^ , (2.1) thay k bi k + 1 v quay li bc 1 Chỳ ý 2.1 Khụng ging nh phng phỏp gradient kộo di c in ca Korpelevich, di bc a k trong mi bc lp ca phng phỏp gradient ci biờn kộo di thay i tng bc mt s Q!jfc, k G N nm trong on [a, 6] c (o, ) Khi a = b = a, cỏc bc l c nh Phng phỏp gradient ci biờn kộo di trong danh mc ca phng phỏp gradient kộo di c in ó c nhc li trong Thut toỏn 1.1 trong phn 1.6 2.3 S hi t... cho bi toỏn bt ng thc bin phõn v mt s kt qu v s hi t ca dóy lp n nghim ca bi toỏn Chng 2 Phng phỏp gradient ci biờn kộo di 2.1 t bi toỏn Xột bi toỏn VI {K,F) c phỏt biu trong nh ngha 1.1, vi K l tp li, úng, khỏc rng ca khụng gian Hilbert H v F tha món iu kin Lipschitz (1.7) Hng s Lipschitz L > 0 Phng phỏp gradient ci biờn kộo di gii VI (K, F) c mụ t nh sau 2.2 Thut toỏn D liu: u Ê K v {a;fc}ÊL0 c [a,... Sol (K,F) khỏc rng, u G Rn l mt vộct tựy ý v {u k} l mt dóy sinh bi thut toỏn im gn k thỡ tn ti u Sol (K : F) tha món lim u k k-ỡ 00 1.6 Phng phỏp gradient kộo di Cú mt phng phỏp gii cho VI (K,F) m thc hin hai phộp chiu cho mi ln lp ú l phng phỏp gradient kộo di (vit tt l EGM) õy l phng phỏp ly 1 7 tờn t vic m rng ỏnh giỏ ca ỏnh x (v m rng phộp chiu) cho mi ln lp Li ớch ca phng phỏp ny l cú th s... (u )) c B Vỡ vy, ta cú P K (u k - a k F {u k)) = P K B (u k a k F {u k)) k vó u t+l = P K (u* - a t P K (ô* - a t F (u))) = P K , (ti* c k P K t (u k - a t F (u*))) Suy ra {wfe} l dóy sinh bi phng phỏp gradient ci biờn kộo di trong gii phng trỡnh VI (Kg, F) Vỡ Sol (Kg, F) khỏc rng v dóy {wfc} l dóy con hi t mnh theo gi thit, {wfc} hi t mnh ti u* K B theo nh lý2.1.p dng nh lý 2.3, ta kt lun u* G Sol... t ti u > 0 Do vy, nú khụng hi t ti bt kỡ phn t no ca Sol (K, F) Vớ d 2.3 dn ti iu sau Kt lun 2 Cn trờn ỳng ca b bng 2.3.3 iu Li S hi t yu di tớnh n Bõy gi, ta chng minh mt nh lý hi t yu cho phng phỏp gradient ci biờn kộo di Khụng ging nh phn chng minh trong [1, nh lý 3.1], phn chng minh l c bn hn vỡ nú khụng s dng bt kỡ lý thuyt ca toỏn t n iu Mt s ý tng ca N.N.Tam, J-C Yao v N.D Yen c s dng di õy