PGS TS Tạ Mân Tạ Kim Lăng Phạm Hong H Mối quan hệ hình học sơ cấp chơng trình trung học phổ thông v hình học xạ ảnh Mở đầu Nh đà biết : Từ mét kh«ng gian afin n chiỊu An ta cã thĨ xây dựng không gian xạ ảnh n chiều Pn ( mô hình afin không gian xạ ảnh) cách thêm vào không gian afin An điểm xa vô tận ngợc lại từ không gian xạ ¶nh n chiỊu Pn ta cã thĨ x©y dùng mét không gian afin n chiều An hay không gian ơclít n chiều En ( mô hình xạ ảnh không gian afin hay mô hình xạ ảnh không gian ơclít) cách bỏ siêu phẳng Pn ( siêu phẳng đợc coi siêu phẳng vô tận) Nh vậy, không gian afin hay không gian ơclít không gian xạ ảnh có mối quan hệ mật thiết với cho nên, hình học sơ cấp chơng trình phổ thông trung học hình học xạ ảnh cúng có mối liên hệ mật thiết với Các mối quan hệ đợc thể phần đợc trình bày chi tiết sau Thể xạ ảnh số khái niệm hình học sơ cấp chơng trình toán phổ thông trung học Từ toán hay từ định lí hình học sơ cấp suy toán hay định lí hình học xạ ảnh Giải toán hay chứng minh định lí hình học sơ cấp hình học xạ ảnh Từ toán hay từ định lí hình hoc xạ ảnh suy toán hay định lí hình học sơ cấp Dùng hình học sơ cấp giải toán hình học xạ ảnh Từ toán hay từ định lí hình học sơ cấp suy toán hay định lí hình học sơ cấp Chơng Thể xạ ảnh số khái niệm hình học sơ cấp chơng trình toán học phổ thông trung học Ta kí hiệu AnP (R) = Pn (R)\W mô hình xạ ảnh không gian afin thực n chiều, W siêu phẳng vô tận EnP = AnP (R) mô hình xạ ảnh không gian Ơclít( Euclid) n chiều với tuyệt đối ( siêu mặt trái soan ảo nằm siêu phẳng vô tận W Trờng hợp n = đờng bậc hai rỗng, gọi đờng rốn E3P Trờng hợp n = cặp điểm ảo liên hợp (I, J) gọi cặp điểm xyclic cđa E2P ) Mét h×nh HA cđa AnP (R) ( Hình HE EnP ) đợc gọi sinh bëi h×nh HP cđa Pn (R) nÕu HA = HP ∩ AnP (R) = HP \W (HE = HP ∩ EnP = HP \W ) Ta kÝ hiÖu tắt EnP (R) EnP AnP (R) AnP Mỗi hình HP không nằm W sinh hình HA (HE ) không rỗng Nếu hình HP tập hợp điểm có toạ độ xạ ảnh (x0 : x1 : : xn ) thoả mÃn hệ phơng trình f1 (x0 , x1 , , xn ) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨f (x , x , , x ) = n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩f (x , x , , x ) = m (1) n hình HA(HE ) tập hợp điểm có toạ độ xạ ảnh không (X1 , X2 , , Xn ) ( phơng trình W x0 = 0) thoả mÃn hệ phơng trình: ⎧ ⎪ F1 (X1 , X2 , , Xn ) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨F (X , X , , X ) = 2 n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩F (X , X , , X ) = m (2) n Ngợc lại hình HA (hay HE ) đợc sinh nhiều hình HP khác Nếu hình HA (hay HE ) đợc xác định hệ phơng trình (2) toạ độ xạ ảnh không hình HP sinh HA ( hay HE ) cã thÓ xác định hệ phơng trình: F1 ( xx10 , xx20 , , xxn0 ) = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨F ( x1 , x2 , , xn ) = x0 x0 x0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩F ( x1 , x2 , , xn ) = m x0 x0 (3) x0 toạ độ xạ ảnh Sau thể xạ ảnh số khái niệm hình học sơ cấp chơng trình phổ thôngtrung học mô hình xạ ảnh cđa kh«ng gian A fin thùc AnP hay m« hình xạ ảnh hình học Ơclít EnP , ( n = 1, 2, 3): 1- Mỗi m- phẳng A, (αE ) cña AnP ( EnP ) sinh bëi m phẳng p Pn ngợc lại 2- Hai đờng thẳng phân biệt song song AnP đợc sinh hai đờng thẳng phân biệt Pn cắt W AnP 3- Một m - phẳng k - phẳng (1 a m a k a 2) song song víi vµ chØ chóng sinh bëi mét m - phẳng k - phẳng cắt theo (m - 1) - phẳng siêu phẳng vô tận W 4- Hai đờng thẳng A3P chéo vµ chØ chóng sinh bëi hai đờng thẳng xạ ảnh điểm chung 5- Mỗi phơng chiều AnP tơng ứng với điểm siêu phẳng vô tận W Ngợc lại điểm W xác định phơng chiều AnP Nếu điểm M thuộc W có toạ độ xạ ảnh M = ( : x1 : : xn ) th× phơng chiều ứng với điểm M đợc xác định bëi vÐc t¬ m = (x1 , x2 , , xn ) cña Rn 6- NÕu A , B, C ba điểm phân biệt thẳng hàng AnP D điểm vô tận đờng thẳng xạ ảnh A B tỉ số đơn A fin [A BC] tỉ số kép xạ ảnh [A BCD] 7- Điểm C trung điểm đoạn thẳng A B AnP đờng thẳng xạ ảnh A B cắt siêu phẳng vô tận W D cho [A BCD] = - 8- NÕu A , B, C, D bốn điểm thẳng hàng AnP cho A , B, C ph©n biƯt tõng cặp B, D, A phân biệt cặp tØ sè kÐp A fin (A BCD) b»ng tØ sè kép xạ ảnh [A BCD] 9- Điểm C điểm ( điểm ngoài) đoạn thẳng A B AnP đờng thẳng xạ ảnh A B cắt siêu phẳng vô tận W D cho [A BCD] < ([A BCD] > 0) 10- Phép biến đổi f : AnP AnP phép tịnh tiến sinh thấu xạ đặc biệt F : Pn Pn có siêu phẳng sở W, tâm thấu xạ O W f xác định phơng tịnh tiÕn 11- PhÐp biÕn ®ỉi f : AnP −→ AnP phép vị tự tâm O tỉ số k sinh thấu xạ tâm O W với siêu phẳng sở siêu phẳng vô tận W tỉ số k1 12- Mỗi siêu phẳng bậc hai xạ ảnh SP không chứa W sinh siêu mặt bậc hai A fin SA ( siêu mặt bậc hai Ơclít SE ) víi SA = SE = Sp \ W 13- Mỗi siêu mặt bậc hai SA AnP ( Siêu mặt bậc hai SE EnP ) sinh siêu mặt bậc hai xạ ảnh SP Pn , SP không chứa W 14- Hai siêu mặt bậc hai afin SA SA loại afin hai siêu mặt bậc hai xạ ảnh SP SP ( sinh chúng) loại xạ ảnh SP W, SP W hai siêu mặt loại xạ ảnh không gian P n−1 = W 15- §−êng bËc hai SA ( hay SE ) AnP (EnP ) đờng elíp đờng bậc hai xạ ảnh sinh SP đờng ôvan SP không cắt đờng thẳng vô tận W ( Hình 1) 16- Đờng bËc hai SA ( hay SE ) AnP (EnP ) đờng parabol đờng bậc hai xạ ảnh sinh SP đờng ôvan SP tiếp xúc với W ( Hình 2) 17- §−êng bËc hai SA ( hay SE ) AnP (EnP ) đờng hypebol đờng bậc hai xạ ảnh sinh SP đờng ôvan SP cắt W hai điểm phân biệt ( Hình 3) 18- Đờng bậc hai SE EnP đờng tròn đờng ôvan xạ ảnh SP sinh qua hai điểm xyclíc I, J đờng thẳng vô tận W ( Hình 4) 19- Đờng bậc hai SE EnP đờng hypebol vuông đờng ôvan xạ ảnh SP sinh cắt W hai điểm M, N cho [MNIJ] = -1 (H×nh 5) 20- Nếu aE bE EnP có hai phơng xác định hai điểm vô tận A B đờng thẳng A B cắt tuyệt đối hai điểm ảo liên hợp I, J góc aE bE đợc tính theo công thức Laghe ( Laguerre): cosϕ =| cos( ln[ABIJ]) | 2i 21- Hai đờng thẳng aE bE EnP vuông góc hai đờng thẳng xạ ảnh aP bP sinh chúng lần lợt cắt W t¹ A , B cho [A BIJ] = -1 22- Mặt bbậc hai SE EnP mặt cầu siêu mặt bậc hai xạ ảnh SP sinh SE chứa tuyệt đối 23- Điểm O tâm SA O liên hợp với điểm W SP Nói riêng SA không suy biến O tâm SA O cực W SP 24- Phơng chiều c AnP phơng tiệm cận SA c xác định ®iĨm v« tËn C cđa SP ( tøc C ∈ SP ∩ W ) 25- NÕu ph−¬ng mét chiỊu c AnP phơng tiệm cận SA đợc xác định điểm vô tận C SP siêu phẳng kính liên hợp A SA phơng c đợc sinh siêu phẳng đối cực C C SP 26- Siêu phẳng afin A siêu phẳng tiếp xúc SA điểm M A A siêu phẳng tiếp xúc SP điểm M ∈ SP 27- PhÐp biÕn ®ỉi afin fE : EnP EnP phép đối xứng thẳng góc qua siêu phẳng E EnP fE sinh phép thấu xạ đối hợp fP Pn qua 0- cặp (G, ), P siêu phẳng xạ ảnh sinh E G cùc cđa ( n - 2) - ph¼ng β = W P tuyệt đối Từ ta diễn tả đợc phép dời hình EnP phép dời hình hợp số hữu hạn phép đối xứng qua siêu phẳng Từ 11) 27) ta diễn tả phép đồng dạng EnP phép đồng dạng hợp phép dời hình phép vị tự 28- Phép biến đổi afin fE : EnP EnP phép đồng dạng đợc sinh biến đổi xạ ảnh fP Pn giữ bất động tuyệt đối 29- Trục đối xứng E parabol SE đợc thể đờng thẳng xạ ảnh P qua tiếp ®iĨm U cđa W víi SP vµ cã cùc lµ ®iĨm T cho [UTIJ] = -1 (H×nh 6) 30- Hai trơc ®èi xøng ∆1E , ∆2E cđa elÝp hay hypebol SE đợc thể hai đờng thẳng xạ ảnh 1P , 2P qua cực O W SP , liên hợp với SP lần lợt cắt W hai ®iĨm V1 vµ V2 cho [V1 V2 IJ]= -1 ( Hình 7) 31- Tiêu điểm F parabol SE E2p đợc thể giao điểm F hai tiếp tuyến xuất phát từ hai điểm xyclíc I, J đến SP P2 (R) ( Hình 8) 32- Hai tiêu điểm F1 , F2 elíp hay hypebol SE E2p đợc thể hai điểm thùc F1 , F2 giao ®iĨm cđa cặp tiếp tuyến xuất phát từ hai điểm xyclíc I, J đến SP P2 (R) ( Hình 9) 33- Đờng chuẩn E ứng với tiêu điểm F đờng côníc SE E2p đợc thể đờng đối cực P điểm F đờng ôvan SP P2 (R) (Hình 10) Chơng Từ toán hay từ định lí hình học sơ cấp suy toán hay định lí hình học xạ ảnh Giả sử ta có toán hay định lí đối tợng hình học sơ cấp ( HHSC) không gian afin hay không gian Ơclít Bằng cách thêm điểm vô tận vào không gian ta đợc không gian xạ ảnh mà bỏ điểm vô tận ta đợc mô hình xạ ảnh không gian afin hay không gian Ơclít Khi đối tợng HHSC không gian afin hay không gian Ơclít đợc diễn đạt thành đối tợng hình học xạ ảnh ( HHX A ) nh ta đợc toán hay định lí hình học xạ ảnh Sau đây, ta làm sáng tỏ điều thông qua việc tìm toán hay định lí HHX A từ số toán hay định lí HHSC 2.1 Định lí HHSC Ba đờng trung tuyến tam giác đồng qui Nếu thêm điểm vô tận vào mặt phẳng afin ta đợc mặt phẳng xạ ảnh Khi ®ã c¸c trung ®iĨm A ’, B’, C’ cđa c¸c cạnh BC, CA , A B tam giác A BC trở thành điểm xạ ảnh cho [B, C, A , A1 ] = [C, A, B , B1 ] = [A, B, C , C1 ] = Trong A1 , B1 , C1 lần lợt điểm vô tận đờng thẳng BC, CA A B Nhng mặt phẳng xạ ảnh, điểm vô tận nằm đờng thẳng bình đẳng nh điểm khác Bởi ta có định lí xạ ảnh sau đây: Định lí HHXA Cho ba điểm không thẳng hàng A , B, C đờng thẳng d không qua chúng cắt đờng thẳng BC, CA , A B lần lợt A1 , B1 , C1 Gọi A , B, C điểm cho [B, C, A , A1 ] = [C, A, B , B1 ] = [A, B, C , C1 ] = Khi ba đờng thẳng A A , BB, CC đồng qui 2.2 Định lí HHSC Trong hình bình hành đờng chéo cắt trung điểm đờng Nếu thêm đờng thẳng vô tận W vào mặt afin hình bình hành A BCD trở thành hình bốn đỉnh toàn phần A BCD với ba điểm chéo lần lợt giao điểm O hai đờng chéo A C BD hình bình hành, lại hai điểm chéo lại P, Q giao điểm cặp xạ ảnh ( A B, CD) vµ ( A D, BC) R õ ràng, P, Q thuộc đờng thẳng vô tận W [A , C, O, E] = [B, D, O, F] = -1, ®ã E = W ∩ AC, F = W ∩ BD Bëi vËy ta có định lí sau HHX A : Định lí HHXA Trong hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo nằm đờng chéo chia điều hoà cặp giao điểm đờng chéo với cặp cạnh qua điểm chéo lại 2.3 Bài toán HHSC Trong mặt phẳng cho đờng tròn (S) tiếp tuyến d điểm T Gọi A B thuộc d đối xứng với qua T khác T Một đờng thẳng qua A cắt (S) hai điểm P, Q đờng thẳng qua B cắt (S) hai điểm U, V Đặt M = d ∩ P U, M = d ∩ QV, N = d ∩ P V, N = d ∩ QU Chứng minh T trung điểm đoạn thẳng MM NN Bổ sung vào mặt phẳng Ơclít E2 đờng thẳng vô tận W ta đợc mặt phẳng 10 Giả sử H điểm nằm a t tiếp tuyến thứ hai khác a qua H Gọi M = t ∩ W Ta cÇn chøng minh [HF, HM, HI, HJ] = -1 tøc lµ [FH, FM, FI, FJ] = -1 Theo định lí Steiner ta có ánh xạ xạ ¶nh f: f : Hg{P } −→ HgW H −→ M Do ta có ánh xạ xạ ảnh f : HgW −→ HgW M −→ H = F H ∩ W DƠ thÊy f’(B) = A V × [B, A, I, J] = −1 nªn [M, H , I, J] = −1 ⇒ [F H, F M, F I, F J] = Ngợc lại, giả sử H điểm mà tiếp tuyến t từ H cắt W M, đờng thẳng FH cắt W H cho [F H, F M, F I, F J] = −1 ⇒ [H , M, I, J] = −1 Gi¶ sö t ∩ a = H1 , H1 = F H1 ∩ W Theo phÇn thuËn ta cã [H1 , M, I, J] = −1 Suy H1 = H ⇒ H1 ≡ H V Ëy H n»m trªn đờng thẳng a 3.27 Giải toán HHSC 27 Để giải toán HHSC 27, ta giải Bài toán HHXA 27 Từ giả thiết toán ta suy (OA , Ox), (OB, Oy), (OC, Oz) cặp phần tử tơng ứng biến đổi xạ ảnh đối hợp chùm đờng thẳng tâm O Theo hệ đối ngẫu định lí Desargues ta suy điểm P = Ox BC, Q = Oy ∩ CA, R = Oz ∩ AB th¼ng hàng 45 3.28 Giải toán HHSC 28 Để giải toán HHSC 28, ta giải Bài toán HHXA 28 a) Theo định lí Desargues 2, đờng bậc hai (SP ) qua ®iĨm A , B, C, D cắt đờng thẳng W hai điểm P Q ( thực ảo ) ta có biến đổi xạ ảnh đối hợp f : W W, f (P ) = Q VËy theo gi¶ thiÕt ta cã f (P1 ) = Q1 , f (P2 ) = Q2 vµ [P1 , Q1 , I, J] = [P2 , Q2 , I, J] = −1 suy [P, Q, I, J] = Từ kết xạ ảnh ta suy kết hình học Ơclít nh sau: Các đờng bậc hai suy biến qua A , B, C, D cặp đờng thẳng vuông góc đờng bậc hai không suy biến qua bốn điểm ®−êng hypebol vu«ng ( nÕu hai ®iĨm P, Q thùc) elíp ( P, Q cặp điểm ảo liên hợp) b) theo câu a) đờng thẳng bậc hai xạ ảnh (SP ) qua A , B, C, D cắt W hai điểm phân biệt nên W không qua điểm chéo hình bốn đỉnh toàn phần A BCD Gọi O cực ®−êng th¼ng W ®èi víi ®−êng bËc hai (SP ) §Ỉt P = AD ∩ W, Q = BC ∩ W , a đờng thẳng A Q, b ®−êng th¼ng BP, b ∩ (SP ) = {B, M }, a ∩ (SP ) = {A, M } Trªn A D lÊy ®iĨm I cho [A , D, I, P] = -1; BC lấy điểm H cho [B, C, H, Q] = −1, IO ∩ b = N , Ho ∩ a = N DÔ thÊy P lµ cùc cđa IO, Q lµ cùc cđa HO (SP ) [P, N , B, M ] = [Q, N, A, M ] = −1 Khi (SP ) biÕn thiªn qua A , B, C, D ta có ánh xạ xạ ảnh sau: f1 : ch{I} −→ Hg(b) IO −→ N f2 : Hg(b) −→ Hg(b) N −→ M 46 f3 : Hg(b) −→ Hg(a) M M ( f3 phép chiếu xuyên tâm; f3 tích ánh xạ xạ ảnh sau Hg(b) −→ ch{C}, M −→ CM ; ch{C} −→ ch{D}, CM −→ DM; ch{D} −→ Hg(a), DM −→ M) f4 : Hg(a) −→ Hg(a) M −→ N f5 : Hg(a) −→ ch{H} N −→ HO V Ëy ta cã ánh xạ xạ ảnh f = f5 of4 of3 of2 of1 vµ f : ch{I} −→ ch{H} IO −→ HO Nếu f(IH) = IH P, Q cực cđa IH, suy W qua mét ®iĨm chÐo cđa hình bốn đỉnh A BCD ( vô lý) V ậy f không phép chiếu xuyên trục V ậy quỹ tích điểm O đờng thẳng bậc hai không suy biến qua I, H Đờng bậc hai qua điểm có vai trò tơng tự nh I, H bốn cạnh lại hình bốn đỉnh A BCD điểm chéo hình bốn đỉnh toàn phần Từ kết câu b) toán HHX A 28 nói ta suy kết câu b) toán HHSC 28 nh sau: Quỹ tích tâm O đờng bậc hai ®i qua ®iĨm A , B, C, D đờng côníc qua sáu trung điểm cảu đoạn thẳng A B, CD, BC, A C BD 3.29 Giải toán HHSC 29 Để giải toán HHSC 29, ta giải Bài toán HHXA 29 Gọi (SP ) đờng ôvan P2 (R) sinh (S) Bèn tiÕp tuyÕn cña (S) vÏ tõ hai điểm xyclíc I, J tạo thành hình bốn đỉnh toàn phần mà I J, F1 F2 cặp điểm đối diện Theo định lí đối ngẫu ®Þnh lÝ Desargues thø hai ta cã tiÕp tuyÕn Mt phần tử bất động qua phép đối hợp chùm đờng 47 thẳng tâm M xác định hai cặp đờng thẳng tơng ứng MF1 M F2 , MI MJ Từ ta có: [MI, M J, MF1 , M t] = [M J, M I, M F2 , Mt] = [MI, M J, Mt, MF2 ] V Ëy tõ c«ng thøc Laguerre ta suy Mt đờng phân giác góc tạo MF1 MF2 3.30 Giải toán HHSC 30 Để giải toán HHSC 30, ta giải Bài toán HHXA 30 Gọi T tiếp điểm đờng thẳng W ( xa vô tận) với (S) Khi MT song song với trục (S), áp dụng định lí đối ngẫu định lí Desargues thứ hai ta có Mt phần tử bất động phép đối hợp chùm đờng thẳng tâm M xác định hai cặp đờng thẳng tơng ứng MI vµ MJ, MF vµ MT V Ëy ta cã [MI, MJ, MT, Mt] = [MJ, MI, M F, Mt] = [MI, M J, Mt, MF ] Tõ ®ã suy điều phải chứng minh 48 Từ bi toán hay hình học xạ ảnh suy bi toán hay định lí hình học sơ cấp Sau đà bỏ siêu phẳng W không gian xạ ảnh Pn ta đợc mét kh«ng gian A fin An ( hay mét kh«ng gian Ơclit En ) Khi kiện hình học không gian xạ ảnh Pn trở thành kiện hình học An ( hay En ), đối tợng hình học xạ ảnh trở thành đối tợng HHSC Nh từ toán hay định lí hình học xạ ảnhta suy toán hay định lí HHSC Bởi ta bỏ siêu phẳng nào, nên cách ta thu đợc nhiều toán hay nhiều định lí khác HHSC Sau ví dụ minh hoạ Với toán HHX A ( từ toán HHX A đến toán HHX A 30) đà đợc nêu mục B, ta bỏ đờng thẳng W ( coi đờng thẳng vô tận mô hình xạ ảnh không gian A2 hay E2 ) ta nhận đợc toán HHSC tơng ứng ( từ toán HHSC đến toán 30 ) Định lí Desargues thứ P2 Trong không gian xạ ảnh P2 cho ®iÓm A , B, C, A ’, B’, C’ ba điểm thẳng hàng Khi hai mệnh đề sau tơng đơng: i) Ba đờng thẳng A A , BB, CC đồng quy ii) Giao điểm cặp đờng thẳng A B, A B vµ BC, B’C’ vµ CA , C’A ’ lµ ba điểm thẳng hàng a) Chọn đờng thẳng W không qua điểm đà cho giao ®iÓm P = AB ∩ A B , Q = BC ∩ B C , R = CA ∩ C A không qua giao điểm hai đờng thẳng nối cặp điểm đà cho, làm đờng thẳng vô tận mô hình xạ ảnh hình häc afin A2 = P2 \ W ta sÏ cã ®Þnh lÝ Desargues thø nhÊt P2 b) Chän ®−êng th¼ng W qua giao ®iĨm O cđa hai ®−êng thẳng A A BB làm đờng thẳng vô tận xét mặt phẳng afin A2 = P2 \ W Khi hai đờng thẳng A A vµ BB’ song song víi V Ëy ta cã định lí sau HHSC: Trong mặt phẳng cho sáu điểm A , B, C, A , B, C ba điểm thẳng hàng Khi hai mệnh đề sau tơng đơng: i) Ba đờng thẳng A A , BB, CC cặp song song ii) Giao điểm cặp đờng thẳng A B, A ’B’ vµ BC, B’C’ vµ CA , CA ba điểm thẳng hàng c) Chọn đờng thẳng W đờng thẳng CC làm đờng thẳng vô tận xét mặt phẳng afin A2 = P2 \ W Khi hai điểm C C hai phơng c c 49 ta có định lí sau hình hoc sơ cấp: Trong mặt phẳng cho hai véctơ c c không phơng bốn điểm A , B, A , B ba điểm thẳng hàng c, c không phơng với véctơ nao có gốc hai điểm bốn điểm ®ã Khi ®ã hai mƯnh ®Ị sau t−¬ng ®−¬ng: i) Hai đờng thẳng A A , BB cặp song song ii) Gäi P = AB ∩ A B ; Q giao điểm đờng thẳng qua B có phơng c đờng thẳng qua B có phơng c ; R giao đờng thẳng qua A có phơng c đờng thẳng qua A có phơng c P, Q, R thẳng hàng d) Chọn đờng thẳng W đờng thẳng A B làm đờng thẳng vô tận X ét mặt phẳng afin A2 = P2 \ W Khi hai điểm A B hai phơng a b V ậy từ định lí Desargues thứ P2 ta suy định lí hình học sơ cấp sau đây: Trong mặt phẳng cho hai véc tơ a b không phơng bốn điểm B, C, B, C ba điểm thẳng hàng véctơ a b không phơng với véctơ có gốc hai bốn điểm ®ã Khi ®ã hai mƯnh ®Ị sau t−¬ng ®−¬ng: i) Các đờng thẳng: đờng thẳng qua A có phơng a , đờng thẳng qua B có phơng b, đờng thẳng CC đồng quy ii) Gọi Q giao điểm đờng thẳng qua C có phơng b đờng thẳng BC, R giao điểm đờng thẳng qua C có phơng a đờng thẳng A C ®−êng th¼ng QR song song víi ®−êng th¼ng A ’B’ Định lí Ménélaus định lí Céva dới dạng xạ ảnh: Trong không gian xạ ảnh P2 cho ba điểm A , B, C không thẳng hàng ba điểm P, Q, R lần lợt thuộc đờng thẳng BC, CA A B không trùng với điểm A , B, C Một đờng thẳng không qua A , B, C cắt đờng thẳng BC, CA A B lần lợt A , B C Khi đó: i) ( Định lí Ménélaus) Điều kiện cần đủ để ba điểm P, Q, R thẳng hàng [B, C, A , P ].[C, A, B , Q].[A, B, C , R] = ii) (Định lí Céva) Điều kiện cần đủ ®Ĩ ba ®−êng th¼ng A P, BQ, CR ®ång quy a) Chọn đờng thẳng làm đờng thửng vô tận W xét mặt phẳng afin A2 = P2 \ W Ta biÕt r»ng: [B, C, A , P ].[C, A, B , Q].[A, B, C , R] = 50 1 [B, C, P, A ] [C, A, Q, B ] [A, B, R, C ] 1 [B, C, P ] [C, A, Q] [A, B, R] ( Vì điểm A , B, C điểm vô tận ) Do ®ã: = [B, C, A , P ].[C, A, B , Q].[A, B, C , R] = ±1 ⇔ [B, C, P ].[C, A, Q].[A, B, R] = ±1 V ậy ta có định lí Ménélaus định lí Céva HHSC nh sau: Trong mặt phẳng cho tam giác A BC ba điểm P, Q, R lần lợt nằm đờng thẳng BC, CA A B không trùng với điểm A , B, C Khi đó: i) ( Định lí Ménélaus) Ba điểm P, Q, R thẳng hàng [B, C, A , P ].[C, A, B , Q].[A, B, C , R] = ii) (Định lí Céva) Điều kiện cần đủ để ba đờng thẳng A P, BQ, CR ®ång quy b) NÕu ta lÊy ba ®iĨm P, Q, R thẳng hàng ta chọn đờng thẳng W qua ba điểm làm đờng thẳng vô tận [B, C, A , P ].[C, A, B , Q].[A, B, C , R] = [B, C, P ].[C, A, Q].[A, B, R] V Ëy ta cã định lí sau HHSC: Trong mặt phẳng cho tam giác A BC Một đờng thẳng không qua A , B, C cắt đờng thẳng BC, CA , A B lần lợt A ’, B’, C’ Khi ®ã ta cã: [B, C, A ].[C, A, B ].[A, B, C ] = c) Nếu ta lấy điểm P, Q, R cho đờng thẳng A P, BQ, CR đồng qui điểm I ta chọn đờng thẳng W qua I không qua điểm A , B, C, A , B, C làm đờng thẳng vô tận xét mặt phẳng A2 = P2 \ W , ta có định lí sau HHSC Trong mặt phẳng cho tam giác A BC điểm P, Q, R lần lợt nằm đờng thẳng BC, CA , A B cho ®−êng th¼ng A P, BQ, CR song song víi Một đờng thẳng không qua A , B, C cắt đờng thẳng BC, CA , A B lần lợt A , B, C Khi ta cã: = [B, C, A ] [C, A, B ] [A, B, C ] = −1 [B, C, P ] [C, A, Q] [A, B, R] d) Nếu ta chọn đờng thẳng PB làm đờng thẳng vô tận W xét mặt phẳng A2 = P2 \W Khi ®ã ∆ song song víi A C, [B, C, A , P ] = [B, C, A ], [C, A, B , Q] = 51 [C,A,Q] va ta có định lí HHSC sau đây: Trong mặt phẳng cho tam giác A BC mộ đờng thẳng song song với A C cắt đờng thẳng BC, A B lần lợt A C P, Q, R ba điểm lần lợt nằm đờng thẳngBC, CA A B Khi đó: i) [A, B, C ] [B, C, A ] = [C, A, Q] [A, B, R] ii) Các đờng thẳng: BQ, CR , đờng thẳng qua A song song với BC đồng qui khi: [A, B, C ] = −1 [C, A, Q] [A, B, R] Gäi I = AP ∩BQ vµ chän đờng thẳng IB làm đờng thẳng vô tận W X Ðt kh«ng I ] gian A2 = P2 \W , ®ã ∆//AC, AP//BQ, [B, C, A , P ] = [B,C,A [B,C,P ] , [C, A, B , Q] = [B, C, A ] I ] , R] = [A,B,C [A,B,R] , ta có định lí HHSC sau đây: Trong mặt phẳng cho tam giác A BC, đờng thẳng song song với A C cắt BC, BA lần lợt A C P, Q, R ba điểm lần lợt nằm BC, CA , A B cho A P // BQ, ®ã: i) Ba điểm P, Q, R thẳng hàng chØ [C,A,Q] , [A, B, C = [B, C, A ] [A, B, C ] = [B, C, P ] [C, A, Q] [A, B, R] ii) Ba đờng thẳng A P, BQ, CR cặp song song = [A, B, C ] [B, C, A ] = −1 [B, C, P ] [C, A, Q] [A, B, R] Định lí Pappus Trong P2 cho sáu ®iĨm ph©n biƯt A0 , B0 , C0 , A1 , B1 , C1 , ®ã A0 , B0 , C0 thẳng hàng A1 , B1 , C1 thẳng hàng Khi ba giao điểm A2 = B0 C1 ∩ B1 C0 , B2 = A1 C0 ∩ C1 A0 , C2 = A0 B1 ∩ A1 B0 thẳng hàng a) Gọi I giao điểm hai đờng thẳng A0 B0 A1 B1 Chọn đờng thẳng W đờng thẳng C0 C1 làm đờng thẳng vô tận mô hình xạ ảnh mặt phẳng afin A2P = P2 \W Khi hình bốn đỉnh I, A0 , B2 , A1 I, B0 , A2 , B1 trở thành hình bình hành có cạnh đối song song V ậy ta có định lí sau HHSC: Trong mặt phẳng cho hai hình bình hànhIA0 B2 A1 IB0 A2 B1 , I, A0 , B0 thẳng hàng, I, A1 , B1 thẳng hàng Khi ba ®iĨm A2 , B2 vµ C2 = A0 B1 ∩ A1 B0 thẳng hàng 52 b) Nếu ta chọn đờng thẳng qua điểm A0 , B0 , C0 làm đờng thẳng vô tận W mô hình mặt phẳng afin A2P = P2 \W A1 B2 //B1 A2 , A1 C2 //C1 A2 , B1 C2 //C V ậy từ định lí Pappus ta suy định lí HHSC sau đây: Trong mặt phẳng cho ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng, gọi A2 , B2 , C2 điểm cho A1 B2 //B1 A2 , A1 C2 //C1 A2 , B1 C2 //C1 B2 Khi ®ã ba ®iĨm A2 , B2 , C2 thẳng hàng c) Nếu ta chọn đờng thẳng A2 B2 làm đờng thẳng vô tận W mô hình mặt phẳng A2P = P2 \ W C0 B1 //B0 C1 , C0 A1 //A0 C1 V ậy ta có định lí sau HHSC: Trong mặt phẳng cho sáu điểm phân biệt A0 , B0 , C0 , A1 , B1 , C1 A0 , B0 , C0 thẳng hàng A1 , B1 , C1 thẳng hàng cho C0 B1 //B0 C1 , C0 A1 //A0 C1 Khi ®ã B0 A1 //A0 B1 d) NÕu ta chän ®−êng thẳng B0 A1 làm đờng thẳng vô tận W mô hình mặt phẳng afin A2P = P2 \ W th× C0 B2 //A0 B0 , C0 B2 //B1 C1 , ba điểm A2 , B2 , C2 thẳng hàng tơng ứng với điều kiện A2 B2 //A0 B1 V ì ta có định lí HHSC sau đây: Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biƯt A0 , C0 , B1 vµ C1 cho A0 C0 kh«ng song song víi B1 C1 Gäi A2 giao điểm đờng thẳng B1 C0 với đờng thẳng kẻ qua C1 song song với A0 B0 , B2 giao điểm đờng thẳng A0 C1 với đờng thẳng kẻ qua C0 song song víi B1 C1 Khi ®ã A2 B2 //A0 B1 Định lí Brianchon trờng hợp hình ba cạnh: Trong P2 đờng Ôvan (S) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA , A B hình ba cạnh A BC lần lợt A , B C thi ba đờng thẳng A A , BB, CC đồng qui điểm O a) Nếu ta chọn đờng thẳng BC đờng thẳng vô tận W mô hình xạ ảnh mặt phẳng A2P = P2 \ W đờng Ôvan (S) trở thµnh mét hypebol víi hai tiƯm cËn lµ A B A C Khi A B //CO, A C // BO Vậy A BOC hình bình hành với A giao hai đờng chéo A O BC, nên A trung điểm BC V ậy ta có định lí HHSC sau đây: +) Hai tiệm cận hypebol chắn tiếp tuyên đoạn thẳng mà tiếp điểm trung điểm +) Một tiếp tuyến A hypebol (S) cắt hai đờng tiệm cận B, C Gọi O giao hai đờng thẳng lần lợt qua B C song song với hai tiệm cận Khi đờng thẳng A O qua tâm hypebol b) Nếu ta chọn đờng thẳng BC làm đờng thẳng vô tận đờng ¤van (S) trë thµnh mét parabol mµ A A ’ đờng kính A BOC hình bình 53 hành Bởi ta đến kết sau HHSC: Nếu từ điểm A ta vÏ hai tiÕp tun A B’ vµ A C’ tíi parabol ( B, C hai tiếp điểm ) đờng kính parabol liên hợp với phơng xác định véctơ B C phải qua A Định lí Desargues thứ hai Trong không gian xạ ¶nh P2 (R) cã bỉ sung phÇn tư ¶o cho hình bốn đỉnh A BCD đờng thẳng không qua đỉnh Gọi P = DA ∩ ∆, Q = DB ∩ ∆, R = DC ∩ ∆, P = BC ∩ ∆, Q = CA ∩ ∆, R = AB ∩ ∆ Gi¶ sư (S) đờng Ôvan qua bốn điểm A , B, C, D cắt hai điểm U, V Khi tồn biến đổi xạ ảnh đối hợp f đờng thẳng cho f (P ) = P , f (Q) = Q , f (R) = R , f (U ) = V Trong định lí trên, ta chọn đờng thẳng vị trí mà [P, P , Q, Q ] < Khi f phép đối hợp elíptíc, nên f có hai điểm bất động ảo liên hợp I J Từ ta cã: [I, J, P, P ] = [I, J, Q, Q ] = [I, J, R, R ] = [I, J, U, V ] = −1 Ta biÕt r»ng phép biến đổi đối hợp đờng thẳnghoàn toàn xác định cho biết hai cặp điểm tơng ứng Cho nªn tØ sè kÐp trªn ta chØ cần biết hai tỉ số kép chúng đủ để suy hai tỉ số kép lại Bây ta chọn hai điểm I, J hai điểm xyclíc mô hình xạ ảnh không gian Ơclít E2P = P2 \ W ( W đờng thẳng IJ) từ định lí Desargues thứ hai ta suy định lí sau HHSC: +) NÕu mét tam gi¸c A BC cã ba đỉnh nằm hypebol (S) trực tâm D thuộc hypebol (S) (S) hypebol vuông +) Nếu tam giác A BC với ba đỉnh nằm hypebol vuông (S) có đờng cao cắt (S) điểm D ( đỉnh) D trực tâm tam giác A BC E Dùng hình học sơ cấp giải bi toán hình học xạ ảnh Theo mục (D), từ toán HHX A ta suy toán HHSC Giải đợc toán HHSC ( đợc suy ra) kiến thức HHSC diễn tả kết thu đợc sang lĩnh vực HHX A Khi ta có lời giải toán HHX A đà đa Sau số ví dụ minh hoạ 1.Chứng minh định lí HHXA ( xem phần B) Một định lí HHSC đợc rút từ định lí HHX A ®Þnh lÝ HHSC 1: ” Ba 54 trung tun cđa tam giác đồng qui Vì chứng minh định lí dễ dàng ta đà biết V ậy định lí HHX A đà đợc chứng minh Chứng minh định lí HHXA ( xem phần B) Một định lí đợc suy từ định lí HHX A định lí HHSC 2: Trong hình bình hành đờng chéo cắt trung điểm đờng Đây tính chất ®· râ cđa HHSC Nh− vËy ®Þnh lÝ HHX A đà đợc chứng minh Chứng minh định lí Desargues thứ P2 Định lí Desargues thứ P2 đợc đa phần (D2 ) Để chứng minh đợc định lí HHSC ta chuyển định lí thành định lí HHSC cách chọn đờng thẳng PQ (P = AB A B , Q = BC ∩ B C ) làm đờng thẳng vô tận W mô hình A2P = P2 \ W Khi ta có định lí HHSC tơng ứng sau đây: Trong mặt phẳng cho hai tam giác A BC A BC cho ba đỉnh sáu đỉnh A , B, C, A , B, C thẳng hàng A B // A ’B’, BC // B’C’ Khi ®ã hai mệnh đề sau tơng đơng: i) Ba đờng thẳng A A , BB, CC đồng qui song song ii) Đờng thẳng CA song song với đờng thẳng CA Ta hÃy chứng minh định lí kiến thức HHSC Điều kiện cần:(i) = (ii) +) Nếu A A , BB, CC đôi song song từ gi¶ thiÕt A B // A ’B’, BC // B’C’, dƠ rµng suy CA // C’A ’ +) NÕu A A , BB, CC đồng qui điểm O Do A A ’ // BB’, BC // B’C’ suy ra: OA OB OC OA OC = = =⇒ = =⇒ CA//C A OA OB OC OA OC §iỊu kiƯn ®đ: (ii) =⇒ (i) +) NÕu AA ∩ CC = O Do CA // C’A ’ suy ra: OA OC CA OA CA = = =⇒ = (1) OA OC CA OA CA V × A B// A ’B’, BC // B’C’, CA // C’A ’ nªn ∆ABC ∼ ∆A B C =⇒ AAB IBI = CA C I AI (2) OA AB Tõ (1) vµ (2) suy OA I = AI B I =⇒ O, B, B thẳng hàng = A A , BB, CC đồng qui +) NÕu A A ’ // CC’, ®ã tứ giác A CCA hình bình hành nên BB // CC V ậy ba đờng thẳng A A , BB, CC cặp song song Định lí đà đợc chứng minh Chứng minh định lí Ménélaus ®Þnh lÝ CÐva cđa HHXA 55 Tõ ®Þnh lÝ MÐnÐlaus định lí Céva dới dạng xạ ảnh, phần (D3 ) ta dễ dàng suy kết định lí Ménélaus định lí Céva HHSC Trong HHSC ta đà có cách chứng minh định lí Vậy định lí Ménélaus định lí Céva HHX A đợc chứng minh Chứng minh định lí Pappus Để chứng minh định lí Pappus HHSC ta hÃy chứng minh định lí HHSC đợc suy từ định lí Pappus Trong phần (D4C ) ta có định lí HHSC suy từ định lí Pappus nh sau: Trong mặt phẳng cho sáu điểm ph©n biƯt A0 , B0 , C0 , A1 , B1 , C1 ®ã A0 , B0 , C0 thẳng hàng A1 , B1 , C1 thẳng hàng cho C0 B1 //B0 C1 , C0 A1 //A0 C1 Khi ®ã B0 A1 //A0 B1 Ta hÃy chứng minh định lí HHSC a) Trờng hợp A0 B0 //A1 B1 V ì C0 B1 //B0 C1 , nên tứ giác B0 C0 B1 C1 hình bình hành, suy B0 C0 = C1 B1 Ta lại có C0 A1 //A0 C1 A0 B0 //A1 B1 nên tứ giác C0 A0 C1 A1 hình bình hành Suy C0 A0 = A1 C1 V Ëy B0 C0 +C0 A0 = C1 B1 +A1 C1 ⇔ B0 A0 = A1 B1 =⇒ B0 A1 = A0 B1 =⇒ B0 A1 //A0 B1 b) Tr−êng hỵp A0 B0 ∩ A1 B1 = I IC1 V × B0 C1 //C0 B1 nên IB IC0 = IB1 IC0 V ì C0 A1 //A0 C1 nªn IA = IA IC1 IC1 IA1 IB0 IA1 IC0 V Ëy IB IC0 IA0 = IB1 IC1 =⇒ IA0 = IB1 ( ĐPCM) Chứng minh định lí Brianchon trờng hợp hình ba cạnh Trong phần (D5 ) có đa định lí Brianchon trờng hợp hình ba cạnh số định lí HHSC đợc rút từ định lí Sau định lí định lí Hai đờng tiệm cận hypebol chắn tiếp tuyến đoạn thẳng mà tiếp điểm trung điểm Chứng minh: Trong mặt phẳng ta chọn hệ trục toạ ®é trùc chuÈn Oxy cho 2 hypebol (H) đà cho có phơng trình dạng tắc: xa2 yb2 = Giả sử tiếp tuyến với tiếp điểm M(x0 , y0 ) cắt hai ®−êng tiÖm cËn yy0 y = ab x, y = ab x lần lợt A B Ta có có phơng trình:xx a2 b2 = 1, nên suy toạ độ A b lµ: a2 b ab2 a2 b −ab2 A=( ; ), B( ; ) bx0 − ay0 bx0 − ay0 bx0 + ay0 bx0 + ay0 56 Suy ra: a2 b a2 b 2a2 b2 x0 bx0 + ay0 + bx0 − ay0 + = a b( )= = 2x0 xA +xB = bx0 − ay0 bx0 + ay0 b2 x20 − a2 y02 a2 b2 vµ yA + yB = 2y0 V ậy M trung điểm đoạn thẳng A B (ĐPCM) Chứng minh định lí: Trong P2 cho chùm bốn đờng thẳng a, b, c, d với tâm O đờng thẳng cắt bốn đờng a, b, c, d A , B, C, D ( không qua O) tỉ số kép bốn điểm không phụ thuộc vào vị trí đờng thẳng Giả sử đờng thẳng khác với lần lợt cắt a, b, c, d A , B, C D Ta cÇn chøng minh: [A , B, C, D] = [A ’, B’, C’, D’] Gäi O = ∆ ∩ ∆ , chọn đờng thẳng OO làm đờng thẳng vô tận W xét không gian A2P = P2 \ W Khi ta có định lí HHSC sau đợc suy từ định lí HHX A trên: Cho bốn đờng thẳng phân biệt a, b, c, d đôi song song Hai đờng thẳng song song lần lợt cắt bốn đờng thẳng điểm A , A , B, B, C, C’, D, D’ th×: [A , B, C, D] = [A ’, B’, C’, D’] Tõ ®ã ta dƠ dàng suy kết định lí Giải toán HHXA 26 phần (B2 6) Để giải toán HHX A 26 phơng pháp HHSC ta chọn đờng thẳng W làm đờng thẳng vô tận hai điểm I, J hai điểm xyclíc xÐt kh«ng gian E2P = P2 \ W ta suy toán HHSC 26 (xem B26) là: Chứng minh quỹ tích chân đờng vuông góc hạ từ tiêu điểm parabol đến tiếp tuyến thay đổi parabol tiếp tuyến đỉnh parabol Chứng minh: Trong mặt phẳng ta chọn hệ toạ ®é trùc chuÈn Oxy ®Ó parabol (S) ®· cho cã phơng trình dạng tắc y = 2px Khi ®ã mét tiÕp tun ∆ bÊt k× cđa (S) cã phơng trình yy0 = p(x + x0 ) (y02 = 2px0 ) tiêu điểm F ( p2 ; 0) Dễ thấy hình chiếu F F tiếp tuyến có toạ độ (0; y20 ) V ậy F ∈ Oy, tøc F’ thc tiÕp tun t¹i O cđa (S) Ngợc lại lấy điểm F(0, Y ) nằm Oy Khi đờng thẳng qua F có phơng trình dạng: A(x 0) + B(y − Y ) = ⇔ Ax + By − BY = Giải toán HHXA: Trong không gian P2 (R) có bổ sung phần tử ảo cho đờng Ôvan (S), điểm A (S) biến đổi xạ ảnh loại elíptíc f : chA chA Giả sử a đờng thẳng qua A a = f(a) Gọi M, M lần lợt giao điểm khác A a a với (S) Chứng minh có đờng ôvan tiếp xúc với đờng thẳng MM V ì f biến đổi xạ ảnh loại elíptíc nên f có phần tử bất động ảo liên hợp i j Gọi 57 I, J hai giao điểm ảo liên hợp i j với (S) Do i, j hai phần tử bất động f nên [A I, A J, A M, A M] không đổi Vậy sè ϕ = 2i1 ln[AI, AJ, AM, AM ] lµ đại lợng không đổi Bây ta chọn đờng thẳng IJ đờng thẳng vô tận hai điểm I, J hai điểm xyclíc ta xét mô hình xạ ảnh mặt phẳng Ơclít E2P = P2 \ W toán HHX A trở thành toán HHSC sau đây: Cho đờng tròn (S) điểm A cố định nằm đờng tròn (S) Hai điểm M, M di chuyển (S) cho góc MA M = không đổi Chứng minh đờng thẳng MM tiếp xúc với đờng côníc cố định Việc giải toán HHSC đơn giản Ta thấy đờng côníc cố định nói đờng tròn tâm với đờng tròn (S) có bán kính R = Rcos ( R bán kính đờng tròn ®· cho (S)) F Tõ mét bμi to¸n hay tõ định lí HHSC suy bi toán hay định lí khác HHSC Từ toán (M) hay định lí (N) HHSC, với phơng pháp phần (B) ta suy toán (MP ) hay định lí (NP ) HHX A ; với phơng pháp phần (D), từ toán (MP ) hay định lí (NP ) HHX A ta lại suy đợc toán khác (M1 , M2 Mn ) hay định lí khác (N1 , N2 Nn ) HHSC Vậy, trình suy diễn kết hợp hai trình suy diễn (B) (D) 58 Tài liệu tham khảo Đoàn Quỳnh, V ăn Nh Cơng, Hoàng X uân Sính Đại số tuyến tính hình học Tập Hình học xạ ảnh Nhà xuất giáo dục 1989 Văn Nh Cơng Hình học xạ ảnh NX BGD 1999 Khu Quốc A nh, Phạm Bình Đô, Tạ Mân Bài tập hình học cao cấp tập II Hình học xạ ảnh NX BGD 1984 Văn Nh Cơng, Kiều Huy Luân Hình học cao cấp Hà nội 1976 Văn Nh Cơng, Tạ Mân Hình học afin hình học Ơclít Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà néi 1998 59