Mục lục Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích đề tài 1.3 Phạm vi đề tài 1.4 Điểm đề tài Cơ sở lí thuyết 2.1 Phương pháp cổ điển 2.1.1 Hệ thức lượng tam giác vuông 2.1.2 Định lý Ta-lét 2.1.3 Hệ thức lượng tam giác thường 2.1.3.1 Định lý cosin 2.1.3.2 Định lý sin 2.1.3.3 Công thức độ dài đường trung tuyến 2.1.3.4 Các công thức diện tích 2.1.4 Quan hệ song song không gian 2.1.5 Quan hệ vuông góc không gian 2.1.5.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 2.1.5.2 Hai mặt phẳng vuông góc 2.1.5.3 Hình chóp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng 2.1.5.4 Góc 10 2.1.5.5 Khoảng cách 10 2.1.6 2.2 Các công thức thể tích 11 Phương pháp vectơ - toạ độ 12 2.2.1 Vectơ phép toán 12 2.2.2 Hệ trục toạ độ vuông góc không gian 13 2.2.2.1 Định nghĩa 13 2.2.2.2 Toạ độ điểm vectơ 13 2.2.3 Tích vô hướng hai vectơ ứng dụng 14 2.2.4 Tích có hướng hai vectơ ứng dụng 14 2.2.4.1 Định nghĩa 14 2.2.4.2 Tính chất 15 2.2.4.3 Ứng dụng tích có hướng 15 Một số tính chất bổ sung tích có hướng 16 2.2.5 2.2.5.1 2.2.5.2 2.2.6 Tính chất phân phối tích có hướng phép cộng (trừ) vectơ 16 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 17 Phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, phương trình đường thẳng 18 Giải toán hình học không gian ba phương pháp 19 Kết luận 34 Chương Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Hình học nhánh quan trọng toán trung học phổ thông bao gồm Đại số, Giải tích, Hình học Hình học bao gồm hình học phẳng hình học không gian Hình học không gian giúp phát triển trí tưởng tượng không gian học sinh Nó góp phần phát triển tư logic, suy luận toán học đồng thời cung cấp kiến thức để sau học sinh học tiếp lên cao bậc đại học Hình học cung cấp kĩ giúp học sinh đo đạc, tính toán áp dụng vào số tình thực tế đời sống Hình học chiếm điểm đề tuyển sinh đại học Hình học không gian cổ điển (bài toán hình chóp, lăng trụ, ) chiếm điểm, phương pháp toạ độ không gian Oxyz chiếm điểm phương pháp toạ độ mặt phẳng Oxy chiếm điểm Trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông hàng năm hình học không gian chiếm điểm bao gồm điểm phần hình học không gian cổ điển điểm rơi vào phương pháp toạ độ không gian Một số tài liệu gọi hình học không gian cổ điển hình học không gian tuý hay hình học không gian tổng hợp Ở sáng kiến nghiệm gọi loại hình học hình học không gian cổ điển Phương pháp thông thường để giải toán hình học không gian cổ điển gọi phương pháp cổ điển Người ta đưa khái niệm vectơ vào chương trình hình học bậc phổ thông với mục đích đại số hoá hình học Vectơ đoạn thẳng có định hướng mà thực phép toán cộng, trừ vectơ, nhân vectơ tơ với số, nhân vô hướng vectơ với vectơ, nhân có hướng vectơ với vectơ Như đoạn thẳng có hướng đại số hoá Việc đại số hoá có ưu điểm giúp giải toán hình học nhanh mà không cần vẽ thêm nhiều đường phụ phương pháp hình học không gian cổ điển Việc đưa vào khái niệm vectơ sở để người ta xây dựng hệ trục toạ độ từ xây dựng phương pháp toạ độ mặt phẳng Oxy, không gian Oxyz Đáp án giáo dục câu hình học không gian cổ điển đề thi tốt nghiệp đại học hàng năm thường phương pháp Việc giải toán hình học không gian phương pháp cổ điển có gặp khó khăn phải vẽ thêm nhiều đường phụ, chẳng hạn toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Trên thực tế, toán hình học không gian cổ điển giải phương pháp phương pháp vectơ phương pháp toạ độ SGK hình học 12 ban có tập (bài 10 trang 91) yêu cầu giải toán hình học không gian cổ điển phương pháp toạ độ Gần có vài sáng kiến kinh nghiệm sách tham khảo việc giải toán hình học không gian cổ điển phương pháp toạ độ Việc gắn hệ trục toạ độ Oxyz vào toán hình học không gian cổ điển thuận lợi giả thiết toán có sẵn tam diện vuông, trường hợp sẵn gặp khó khăn Phương pháp vectơ khắc phục nhược điểm Với lý nêu trên, chọn tên đề tài: “Giải toán hình học không gian ba phương pháp” 1.2 Mục đích đề tài Chúng trình việc giải toán hình học không gian cổ điển ba phương pháp bao gồm: Phương pháp cổ điển, phương pháp vectơ, phương pháp toạ độ Từ độc giả chọn phương pháp phù hợp để giải toán cụ thể cách gọn 1.3 Phạm vi đề tài Đề tài giới hạn phạm vi toán hình học không gian cổ điển Cụ thể toán thuộc chương (Vectơ không gian, quan hệ vuông góc) hình học lớp 11 chương (Khối đa diện) hình học lớp 12 toán hình học không gian cổ điển đề thi tốt nghiệp đại học giáo dục Lời giải phương pháp toạ độ có dùng kiến thức chương (Phương pháp toạ độ không gian) hình học lớp 12 1.4 Điểm đề tài Sáng kiến kinh nghiệm có điểm chỗ giải toán hình học không gian cổ điển phương pháp vectơ Có câu nói “giải ba toán không giải ba cách” Một điểm đề tài trình bày nhiều phương pháp giải cho toán để bạn đọc hiểu rõ chất toán chọn cách giải gọn Chương Cơ sở lí thuyết Ở chương này, trình bày kiến thức lý thuyết làm sở cho việc giải toán cụ thể chương sau Các kiến thức kết cấp Các kiến thức chương trình hình học cấp bao gồm: quan hệ song song, quan hệ vuông góc không gian, vectơ không gian, tích vô hướng hai vectơ, tích có hướng hai vectơ, thể tích khối đa diện 2.1 2.1.1 Phương pháp cổ điển Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, ta có công thức sau: BC = AB + AC AB = BH.BC AC = CH.CB AH = BH.CH 1 = + 2 AH AB AC AH.BC = AB.AC AB = BC sin C = BC cos B = AC tan C = AC cot B 2.1.2 Định lý Ta-lét Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm đường thẳng AB, AC Khi DE song song BC AE AD = AB AC 2.1.3 Hệ thức lượng tam giác thường Cho tam giác ABC, có đường cao AH = , trung tuyến AM = ma , phân giác AD = la Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC 2.1.3.1 Định lý cosin a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = c2 + a2 − 2ca cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C 2.1.3.2 Định lý sin b c a = = = 2R sin A sin B sin C 2.1.3.3 Công thức độ dài đường trung tuyến b + c a2 − 2 c +a b2 m2b = − 2 a + b c m2c = − m2a = 2.1.3.4 Các công thức diện tích Diện tích tam giác 1 S = aha = bhb = chc 2 1 = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 abc = 4R = p(p − a)(p − b)(p − c) Trong p nửa chu vi tam giác Diện tích hình bình hành tích cạnh đáy với đường cao Diện tích hình thoi tính diện tích hình bình hành, nửa tích hai đường chéo Diện tích hình thang tích đường cao với nửa tổng hai đáy Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước Diện tích hình vuông bình phương cạnh 2.1.4 Quan hệ song song không gian • Ba mặt phẳng cắt theo giao tuyến phân biệt giao tuyến đồng quy đôi song song • Để chứng minh d //(α) ta chứng minh d không nằm (α) d song song với đường thẳng a (α) • Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh ta chứng minh mặt phẳng có hai đường cắt song song với hai đường cắt mặt phẳng 2.1.5 Quan hệ vuông góc không gian 2.1.5.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng • Đường thẳng d gọi vuông góc với mặt phẳng (α) d vuông góc với đường thẳng (α) • Để chứng minh d⊥(α) ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt a b (α) 2.1.5.2 Hai mặt phẳng vuông góc • Để chứng minh (P )⊥(Q) ta chứng minh (P ) có đường thẳng ∆ mà ∆⊥(Q) • Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba • Cho (P )⊥(Q) cắt theo giao tuyến (∆), đường thẳng a (P ) a⊥∆ a⊥(Q) 2.1.5.3 Hình chóp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng • Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Hình chóp có cạnh bên • Lăng trụ đứng lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy • Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác • Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy • Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật • Hình lập phương hình hộp chữ nhật có kích thước 2.1.5.4 Góc • Góc hai đường thẳng cắt góc nhỏ góc tạo • Góc hai đường thẳng chéo a b góc hai đường thẳng cắt a b O song song với a b Để đơn giản chọn O thuộc a b • Góc đường thẳng d mặt phẳng (α) góc d a a hình chiếu vuông góc d lên (α) • Góc hai mặt phẳng (P ) (Q) góc hai đường thẳng vuông góc với (P ) (Q) • Cách xác định góc hai mặt phẳng (P ) (Q) Xác định giao tuyến ∆ (P ) (Q) Trong mặt phẳng vẽ đường a b cho chúng vuông góc với ∆ đồng thời a b cắt Góc (P ) (Q) góc a b 2.1.5.5 Khoảng cách • Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) độ dài đoạn AH H hình chiếu vuông góc A lên (α) • Cho d //(α), khoảng cách d (α) khoảng cách từ điểm M tuỳ ý d đến (α) • Cho (α) //(β), khoảng cách (α) (β) khoảng cách từ điểm M tuỳ ý α đến (β) • Đường thẳng ∆ gọi đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b ∆ vuông góc cắt hai đường thẳng a b Gọi M N giao điểm ∆ với a b đoạn M N gọi đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b 10 Ngoài (*) dùng đến nhận xét quan hệ khoảng cách hai điểm A, B đến mặt phẳng (α) sau: A B K M H Cho hai điểm A, B mặt phẳng (α), giả sử đường thẳng AB cắt mặt phẳng (α) điểm M Khi tỉ sổ khoảng cách hai điểm A, B đến mặt phẳng (α) tỉ số độ dài đoạn thẳng AM BM Nghĩa là: d A, (α) AM = BM d B, (α) Chứnh minh Gọi (β) mặt phẳng chứa đường thẳng AB vuông góc với (α) Gọi H K hình chiếu vuông góc A B lên (α) Khi điểm H, K thuộc (β) AH // BK Ta có d A, (α) = AH d B, (α) = BK AH MA = từ suy Áp dụng định lý Ta-lét tam giác M AB ta có BK MB điểu cần chứng minh Phương pháp toạ độ Phương pháp toạ độ tránh việc vẽ thêm đường phụ Tuy nhiên toán này, phương pháp toạ độ gặp khó khăn chưa có sẵn tam diện vuông, hay nói cách khác chưa có sẵn ba đường thẳng vuông góc với đôi qua điểm Việc tính thể tích khối chóp SABC phương pháp cổ điển là tốt Sau lời giải tính khoảng cách SA BC phương pháp toạ độ: Gọi E điểm thuộc đoạn thẳng BC cho HE⊥AB 21 Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho gốc toạ độ O trùng với điểm H; trục Ox trùng với đường thẳng AB chiều dương chiều từ H đến B; trục Oy trùng với đường thẳng HE chiều dương từ chiều từ H đến E; trục Oz trùng với đường thẳng SH chiều dương chiều từ H đến S A C y E D H O B x Với hệ trục toạ độ √chọn thì: a 21 2a a H(0; 0; 0), S 0; 0; , A − ; 0; , B ; 0; , C 3 √ a a − ; ;0 Khoảng cách hai đường thẳng SA BC −→ −−→ −→ [AS; BC].AB d(SA, BC) −→ −−→ [AS; BC] −→ Trong đó: AS = √ 2a a 21 −−→ ; 0; , BC = 3 −→ −−→ [AS; BC] = √ −→ a a − ; ; , AB = (a; 0; 0) 2 √ √ a2 a2 21 a2 − ;− ;√ √ 21 2a2 + + = √ 36 3 √ −→ −−→ −→ a3 [AS; BC].AB = − −→ −−→ [AS; BC] = a2 Từ đó: √ a3 √ a 42 d(SA, BC) = √ = 2a √ 22 Phương pháp vectơ: Sau lời giải cho ý tính khoảng cách SA BC −→ −−→ −→ [AS; BC].AB d(SA, BC) = −→ −−→ [AS; BC] Trong −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ [AS; BC].AB = [AS; AB].BC −→ −−→ −→ −−→ = [HS − HA; AB].BC −→ −→ −−→ = [HS; AB].BC (1) −→ −→ = [HS; AB] BC cos ϕ = HS.AB sin 90◦ BC cos 30◦ √ √ a 21 a = a.a √ a = −−→ −→ −→ −→ Sở dĩ có (1) HA AB phương Chú ý ϕ góc [HS; AB] −−→ −→ −→ BC Vì [HS; AB] vectơ phương với DC nên | cos ϕ| = | cos 30◦ | −→ −−→ −→ −−→ Ta có [AS; BC] = AS BC − AS.BC Trong −→ −−→ −−→ −→ −−→ AS.BC = (AH + HS).BC −−→ −−→ −→ −−→ = AH.BC + HS.BC −−→ −−→ −−→ = AH DC − DB + −−→ −−→ = −AH.DB 2a a a2 =− =− SA2 = SH + HA2 = √ −→ −−→ 2a2 Từ [AS; BC] = √ −→ −−→ 25a2 nên suy [AS; BC] 23 = 25a2 a4 8a4 a − = 9 81 √ 2a3 √ a 42 Vậy d(SA, BC) = √ = 2a √ Nhận xét • Trong việc biến đổi vectơ, ta tìm cách quy biểu thức cần tính vectơ −→ −→ −−→ vuông góc với đôi AB, HS, DC để khai thác giả thiết phương vuông góc vectơ • Các phép toán số phương pháp vectơ phương pháp toạ độ • Như nói phương pháp vectơ thiên tính toán định tính phương pháp toạ độ Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60◦ Tính thể tích khối chóp S.BCN M khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a (ĐH 2011A) S N A C M B Tính thể tích khối chóp S.BCN M phương pháp cổ điển 24 Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với (ABC) nên giao tuyến SA hai mặt phẳng vuông góc với (ABC) BC⊥AB BC⊥SA nên BC⊥SB Hai mặt phẳng (ABC) (SBC) cắt theo giao tuyến BC Mặt khác ta có AB, AC vuông góc với BC Do góc (ABC) (SBC) góc SB AB SBA = 60◦ Mặt phẳng (SM N ) song song với BC nên (SM N ) cắt (ABC) chứa BC giao tuyến M N song song với BC Vì M trung điểm AB nên N trung điểm AC VS.BCN M = SBCN M SA Trong SBCN M = SABC − SAM N 1 = AB.BC − AM.M N 2 1 = 2a.2a − a.a 2 3a2 = √ Tam giác SAB vuông A nên SA = AB tan 60◦ = 2a √ 3a2 √ Từ VS.BCN M = 2a = a3 3 Nhận xét Tính thể tích khối chóp SBCN M phương pháp cổ điển hợp lý Tính khoảng cách hai đường chéo AB, SN: Phương pháp toạ độ: Chọn hệ trục độ Oxyz cho gốc toạ độ điểm B; trục Ox trùng với đường thẳng BC chiều dương từ B đến C; trục Oy trùng với đường thẳng BA chiều dương từ B đến A; trục Oz nằm đường thẳng vuông góc với (ABC) B chiều dương chiều với chiều từ A đến S Bạn đọc tự tính toán tiếp Phương pháp vectơ: 25 −→ −→ −→ [AB; SN ].AS d(AB, SN ) = −→ −→ [AB; SN ] Trong −→ −→ −→ −→ −→ −→ [AB; SN ].AS = [SN ; AS].AB −→ −−→ −→ −→ = [SA + AN ; AS].AB −−→ −→ −→ = [AN ; AS].AB (1) −−→ −→ = [AN ; AS] AB cos ϕ = AN.AS sin 90◦ AB cos 45◦ √ √ = a 2.2a 3.2a √ √ = 4a3 −→ −→ −−→ −→ − Sở dĩ có (1) SA AS phương Chú ý ϕ góc → n = [AN ; AS] −→ −−→ −→ − − AB Vì → n vectơ vuông góc với hai vectơ AN AS nên → n có giá nằm −→ − đường thẳng ∆ vuông góc với (SAC) Do góc → n AB ϕ 45◦ 135◦ Vì mà | cos ϕ| = | cos 45◦ | −→ −→ −→ −→ Ta có [AB; SN ] = AB SN − AB.SN Trong −→ −→ −→ −→ −−→ AB.SN = AB.(SA + AN ) −→ −−→ = + AB.AN = AB.AN cos 45◦ √ = 2a.a √ = 2a2 √ −→ −→ SN = SA2 + AN = 14a2 nên suy [AB; SN ] = 4a2 14a2 − 4a4 = √ 2a2 13 √ √ 4a3 2a 39 √ = Vậy d(AB, SN ) = 13 2a2 13 Phương pháp vectơ tỏ hữu hiệu với toán sau đây, phương pháp cổ điển phương pháp toạ độ gặp nhiều khó khăn 26 Bài Cho tứ diện SABC biết SA = a, SB = b, SC = c ASB = α, BSC = β, CSA = γ a) Tính theo a, b, c, α, β, γ thể tích tứ diện SABC b) Cho a, b, c không đổi Tìm α, β, γ để thể tích tứ diện SABC lớn C ϕ → −c → − b S B H → − a A Giải − −→ − −→ − −→ → a) Đặt SA = → a , SB = b , SC = → c Gọi H hình chiếu vuông góc C → − − → − lên (SAB) Các vectơ → a , b , SH đồng phẳng nên tồn số thực t, k cho → − −→ − SH = t.→ a + k b Tính −−→ −→ −→ CH = SH − SC → − − − = t.→ a +k b −→ c Vì CH⊥(ABC) nên   CH⊥SA  CH⊥SB  → − − → −  (t.→ a + k b − → c ).− a =0 ⇔ → − → − − −c ) b =  (t.→ a + k b − →  → − − − − −c  t.(→ a )2 + k.(→ a.b)=→ a → ⇔ → − → − → − − −  t.(→ a b ) + k.( b )2 = b → c 27 Các định thức → − → − − − D = (→ a )2 ( b )2 − (→ a b )2 = a2 b2 − (ab cos α)2 = a2 b2 sin2 α = → − − → → − → − − − Dt = b (→ a −c ) − (→ a b ).( b → c) = b2 ac cos γ − ab cos α.bc cos β = a2 bc(cos γ − cos α cos β) → − − → − − → − − Dk = → a ( b → c ) − (→ a b ).(→ a −c ) = a2 bc cos β − ab cos α.ac cos γ = a2 bc(cos β − cos α cos γ) Hệ có nghiệm Khi    t = Dt = c cos γ − cos α cos β D a sin2 α D c cos β − cos α cos γ   k= t = D b sin2 α − − −−→ c cos γ − cos α cos β → c cos β − cos α cos γ → CH = − a + b −→ c 2 a b sin α sin α − c cos γ − cos α cos β → cos β − cos α cos γ → −c = − a + b −→ a b sin α Suy − c2 cos γ − cos α cos β → cos β − cos α cos γ → − a + b CH = a b sin α − − → 2c cos γ − cos α cos β → cos β − cos α cos γ → − − a + b → c + −c a b sin α c = (cos γ − cos α cos β)2 + (cos β − cos α cos γ)2 sin α + 2(cos γ − cos α cos β)(cos β − cos α cos γ) cos α 2c2 − (cos γ − cos α cos β) cos γ + (cos β − cos α cos γ) cos β + c2 sin α 28 Đặt ϕ = SCH, < ϕ < cos2 ϕ =1 + π CH , cos ϕ = > Ta có c (cos γ − cos α cos β)2 + (cos β − cos α cos γ)2 sin α + 2(cos γ − cos α cos β)(cos β − cos α cos γ) cos α − (cos γ − cos α cos β) cos γ + (cos β − cos α cos γ) cos β sin2 α Thể tích tứ diện SABC: V = SSAB CH 1 = ab sin α.c cos ϕ = abc sin α cos ϕ abc = sin2 α cos2 ϕ Ta mong muốn sin2 α cos2 ϕ biểu thức đối xứng với a, b, c đồng thời đối xứng với α, β, γ sin2 α cos2 ϕ = sin2 α + (cos γ − cos α cos β)2 + (cos β − cos α cos γ)2 sin2 α + 2(cos γ − cos α cos β)(cos β − cos α cos γ) cos α − (cos γ − cos α cos β) cos γ + (cos β − cos α cos γ) cos β = sin2 α + (cos2 β + cos2 γ) − cos α cos β cos γ sin α + cos2 α(cos2 β + cos2 γ) + cos3 α cos β cos γ − cos2 α(cos2 β + cos2 γ) − cos2 β + cos2 γ − cos α cos β cos γ = sin2 α + cos α cos β cos γ − 2(cos2 β + cos2 γ) + sin2 α(cos2 β + cos2 γ) − 2(1 − cos2 α) cos α cos β cos γ sin2 α = sin2 α + cos α cos β cos γ − 2(cos2 β + cos2 γ) + cos2 β + cos2 γ − cos α cos β cos γ =1 + cos α cos β cos γ − (cos2 α + cos2 β + cos2 γ) Vậy V = abc + cos α cos β cos γ − (cos2 α + cos2 β + cos2 γ) 29 b) Đặt x = cos α, y = cos β, z = cos γ, với x, y, z ∈ (−1; 1) V lớn biểu thức sau lớn f (x, y, z) = + 2xyz − (x2 + y + z ) Ta tìm GTLN biểu thức cách dồn biến tâm Ta có x2 +y ≥ 2xy x+y x+y ≥ xy Đặt t = ta có t2 ≥ xy Do nên 2 f (x, y, z) ≤ f (t, t, z) = + 2tz − (2t2 + z ) = − z − 2(1 − z)t2 ≤ − z2 ≤1    x=y   f (x, y, z) = t = hay x = y = z = Do V lớn α = β =     z=0 γ = 90◦ Vậy độ dài cạnh SA, SB, SC cố định thể tích tứ diện SABC lớn SABC tứ diện có S đỉnh tam diện vuông Bài toán có áp dụng cho trường hợp đặt biệt đây: Ví dụ Tính thể tích khối tứ diện cạnh a Giải Áp dụng với a = b = c α = β = γ = 60◦ , hay cos α = cos β = cos γ = ta tích khối tứ diện là: V = a3 1 1 + − 2 1 + + 4 a3 = √ Ví dụ Cho tứ diện S.ABCD có SA = a, SB = b, SC = c, ASB = 60◦ , BSC = 90◦ , CSA = 120◦ Tính thể tích khối tứ diện S.ABC Cách Áp dụng kết với α = 60◦ , β = 90◦ , γ = 120◦ , hay cos α = , cos β = 0, cos γ = − ta tích tứ diện S.ABC 30 abc 1 + .0 − 2 abc = √ V = 1 +0+ 4 Cách (Không dùng công thức ) S a a a N c M C A b B Ta giả sử a ≤ b ≤ c Lấy điểm M, N thuộc cạnh SB, SC cho SA = SM = SN Ta có: VS.AM N SA SM SN = VS.ABC SA SB SC a2 = bc 31 S a a a A a a H √ a N √ a M bc VS.AM N a2 Ta tính thể tích khối tứ diện S.AM N phương pháp cổ điển Suy VS.ABC = Gọi H trung điểm AN Tam giác SAN cân S nên H trung điểm AN √ a a Theo giả thiết ASN = 120◦ nên HSN = 60◦ Từ SH = , AH = HN = 2 √ 2 AN = a Tam√giác AM N có AN = AM + M N nên vuông M Từ AN a M H = = Tam giác SM H có SM = SH + M H nên vuông 2 H Như ta có SH⊥AN SH⊥M H nên suy SH⊥(AM N ) Từ tính thể tích khối chóp S.AM N là: VS.AM N = SAM N SH 1 = AM.M N.SH √ a = a.a √ a = 12 Nhận xét • Kĩ thuật tính khoảng cách hai đường thẳng chéo qua tập áp dụng vào việc tính khoảng cách từ điểm M đến mặt 32 phẳng (ABC) công thức sau mà chứng minh chương trước: −→ −→ −−→ [AB; AC].AM d M, (ABC) = −→ −→ [AB; AC] • Kĩ thuật áp dụng vào việc tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB nhờ công thức: −−→ −→ [AM ; AB] d(M ; AB) = −→ AB • Kĩ thuật áp dụng để tính thể tích tứ diện ABCD nhờ công thức: VABCD = −→ −→ −−→ [AB; AC].AD Như vậy, đề tài cung cấp thêm phương pháp để giải toán hình học không gian cổ điển phương pháp vectơ Chúng trình bày toán (bài toán 3) mà phương pháp vectơ tỏ hiệu quả, phương pháp lại gặp khó khăn chí 33 Kết luận Chúng đưa phương pháp giải khác cho toán hình học không gian cổ điển: phương pháp cổ điển, phương pháp toạ độ, phương pháp vectơ Mỗi phương pháp có ưu điểm nhược điểm riêng, cụ thể là: • Phương pháp cổ điển có ưu điểm khai thác cách trực quan giả thiết, chẳng hạn giả thiết góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng, quan hệ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, Tuy nhiên phương pháp cổ điển có nhược điểm phải vẽ thêm nhiều đường phụ việc tính loại khoảng cách như: khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo • Phương pháp toạ độ có ưu điểm chỗ tránh việc vẽ thêm đường phụ Tuy nhiên, phương pháp toạ độ gặp khó khăn chọn hệ trục toạ độ giả thiết không cho sẵn ba đường thẳng đồng quy đôi vuông góc Phương pháp toạ độ có nhược điểm tính toán cồng kềnh • Phương pháp vectơ tránh việc phải vẽ thêm đường phụ, việc tính toán số đơn giản Tuy nhiên, phương pháp vectơ đòi hỏi người sử dụng phải thành thạo biến đổi vectơ việc chen điểm, biết cách khai thác tính chất tích vô hướng tích có hướng vectơ phương diện định tính Nội dung đề tài đạt mục đích: Đưa nhiều phương pháp giải cho toán để từ độc giả tự chọn phương pháp hiệu để giải toán hình học không gian cổ điển cụ thể 34 Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Nguyễn Văn Đoành - Trần Đức Huyên, Hình học 10, Nhà xuất giáo dục, 2006 [2] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Khu Quốc Anh - Nguyễn Hà Thanh - Phan Văn Viện, Hình học 11, Nhà xuất giáo dục, 2007 [3] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên, Hình học 12, Nhà xuất giáo dục, 2008 [4] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Văn Như Cương (chủ biên) - Phạm Khắc Ban Lê Huy Hùng - Tạ Mân, Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất giáo dục, 2008 [5] Văn Như Cương (chủ biên) - Trần Đức Huyên - Nguyễn Mộng Hy, Hình học 11 (Sách chỉnh lí hợp năm 2000), Nhà xuất giáo dục, 2000 [6] Nguyễn Mộng Hy, Bài toán phương pháp vectơ phương pháp toạ độ, Nhà xuất giáo dục, 2003 [7] Đào Văn Dũng, Ba Phương pháp giải toán hình học không gian (tài liệu luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi), Nhà xuất giáo dục, 2009 35 [...]... một phương pháp mới để giải các bài toán hình học không gian cổ điển là phương pháp vectơ Chúng tôi cũng đã trình bày được một bài toán (bài toán 3) mà phương pháp vectơ tỏ ra hiệu quả, còn 2 phương pháp còn lại gặp khó khăn hoặc thậm chí là không thể 33 Kết luận Chúng tôi đã đưa ra 3 phương pháp giải khác nhau cho các bài toán hình học không gian cổ điển: phương pháp cổ điển, phương pháp toạ độ, phương. .. chương 3 18 Chương 3 Giải bài toán hình học không gian bằng ba phương pháp Để tăng tính “thời sự” của đề tài, bài toán đầu tiên được đề cập là câu 5 trong đề thi đại học khối A, A1 năm 2012 Bài 1 (ĐH 2012A) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60◦ Tính thể... Nguyễn Mộng Hy, Hình học 11 (Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000), Nhà xuất bản giáo dục, 2000 [6] Nguyễn Mộng Hy, Bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ, Nhà xuất bản giáo dục, 2003 [7] Đào Văn Dũng, Ba Phương pháp giải bài toán hình học không gian (tài liệu luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi), Nhà xuất bản giáo dục, 2009 35 ... hướng của vectơ dưới phương diện định tính Nội dung đề tài đã đạt được mục đích: Đưa ra nhiều phương pháp giải cho cùng một bài toán để từ đó độc giả có thể tự chọn mình một phương pháp hiệu quả nhất để giải từng bài toán hình học không gian cổ điển cụ thể 34 Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Nguyễn Văn Đoành - Trần Đức Huyên, Hình học 10, Nhà xuất bản... nhau • Phương pháp toạ độ có ưu điểm ở chỗ tránh việc vẽ thêm các đường phụ Tuy nhiên, phương pháp toạ độ gặp khó khăn khi chọn hệ trục toạ độ nếu giả thiết không cho sẵn ba đường thẳng đồng quy đôi một vuông góc Phương pháp toạ độ có một nhược điểm nữa là đôi khi tính toán cồng kềnh • Phương pháp vectơ tránh việc phải vẽ thêm đường phụ, việc tính toán các con số là đơn giản Tuy nhiên, phương pháp vectơ... −→ −→ −−→ vuông góc với nhau từng đôi một là AB, HS, DC để khai thác các giả thiết về sự cùng phương và vuông góc của các vectơ • Các phép toán trên các con số của phương pháp vectơ ít hơn phương pháp toạ độ • Như vậy có thể nói phương pháp vectơ thiên về tính toán định tính hơn phương pháp toạ độ Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và... vuông góc với (α) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên (α) Khi đó các điểm H, K thuộc (β) và AH // BK Ta có d A, (α) = AH và d B, (α) = BK AH MA = từ đó suy ra Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác M AB ta có BK MB điểu cần chứng minh Phương pháp toạ độ Phương pháp toạ độ sẽ tránh được việc vẽ thêm đường phụ Tuy nhiên ở bài toán này, phương pháp toạ độ gặp khó khăn vì chưa có sẵn... Viện, Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục, 2007 [3] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên, Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục, 2008 [4] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) - Văn Như Cương (chủ biên) - Phạm Khắc Ban Lê Huy Hùng - Tạ Mân, Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục, 2008 [5] Văn Như Cương (chủ biên) - Trần Đức Huyên - Nguyễn Mộng Hy, Hình học 11... điểm A, B, C không thẳng hàng là −→ −→ −−→ [AB; AC].AM d M, (ABC) = −→ −→ [AB; AC] Chứng minh 3VM.ABC SABC 1 −→ −→ −−→ 3 [AB; AC].AM = 6 1 −→ −→ [AB; AC] 2 −→ −→ −−→ [AB; AC].AM = −→ −→ [AB; AC] d M, (ABC) = 17 2.2.6 Phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, phương trình đường thẳng Các kiến thức về phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, phương trình đường thẳng như trong SGK hình học 12 chương... toán sau đây, còn phương pháp cổ điển hoặc phương pháp toạ độ sẽ gặp nhiều khó khăn 26 Bài 3 Cho tứ diện SABC biết SA = a, SB = b, SC = c và ASB = α, BSC = β, CSA = γ a) Tính theo a, b, c, α, β, γ thể tích tứ diện SABC b) Cho a, b, c không đổi Tìm α, β, γ để thể tích tứ diện SABC lớn nhất C ϕ → −c → − b S B H → − a A Giải − −→ − −→ − −→ → a) Đặt SA = → a , SB = b , SC = → c Gọi H là hình chiếu vuông