Phương pháp giải toán hình học không gian theo chủ đề trần minh quang

D6 £3016 PH S61 P

, TRAN MINH QUANG

NHA XUAT BAN BAI HOC QUOC GIA HA NOI

16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng — Ha Noi

Điện thoại: Biên tập ~ Chế bản: (04) 39714896

Hành chính: (04) 39714899; Tổng Biên tập: (04)39715011;

Fax: (04) 39729436

tks

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc - Tổng biên tập: 'TS PHẠM THỊ TRÂM

Biên tập: LAN HƯƠNG

Sửa bài: THÁI VĂN

Trình bày bìa: THAI HOC

Đối tác liên kết xuất bản: NHÀ SÁCH HỒNG ÂN SÁCH LIÊN KẾT PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THEO CHỦ ĐỀ Mã số: 1L - 270ĐH2014 In 1.000 cuốn, khổ 17 x 24cm tại Công ti Cổ phần Văn hóa Văn Lang - TP Hồ Chí Minh Số xuất bản: 1260 - 2014/CXB/01 - 225/ĐH0GHN ngày 26/6/2014

LOI NOI DAU

Qui doc gid than mén!

Theo chương trình Phân ban của Bộ Giáo dục và Đào tạo, từ năm 2009 để thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, bài tốn hình học khơng gian là bài bắt buộc Đề toán chủ yếu ở phần tính thể tích các khối đa diện và khối tròn xoay Điều rất cần thiết để làm được các bài toán này là học sinh phải nắm vững các dang toán quan hệ song song, vuông góc của lớp 11

Hình học không gian là một dạng toán khó, là nỗi ám ảnh của nhiễu học sinh THPT trước các kì thi Chúng tôi biên soạn cuốn sách

này nhằm giúp các em giảm tải được khó khăn khi làm toán Hình học không gian Cuốn sách được trình bày dưới dang 27 chi để tốn hình khơng gian Các chủ để đầu nhằm giúp học sinh nắm vững các dạng

toán cơ bản ở lớp 11: tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng,

góc phẳng nhị diện, nhằm để trích dẫn học sinh 12 có thể giải quyết các bài toán thể tích một cách dễ dàng

Chúng tôi dẫn dắt các bài tập đã có trong các để thi tốt nghiệp THPT, đề thi chính thức và dự bị tuyển sinh vào Đại học nhiều năm

qua, để các bạn học sinh có thể chuẩn bị kĩ hơn cho kì thi tốt nghiệp,

tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới

Mặc dù đã rất cố gắng biên soạn trong lần tái bản này, song cuốn sách có thể còn một số sai sót, rất mong bạn đọc góp ý thêm để cuốn sách được hoàn thiện hơn cho lần tái bản sau

Xin chân thành cảm ơn quí đọc giả

TP Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2014 Tác giả

Chi dé 1 ,

TIM GIAO TUYEN CUA HAI MAT PHANG CAT NHAU

1 Tiên để

4ø) Có một oà chỉ một đường thằng đi qua hai điểm phân biệt cho trước

b) Có một uà chỉ một mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng

cho trước

e) Tôn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng

d) Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chưng thì chúng có

một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả điểm chung của

hai mặt phẳng đó

2 Định lí : Nếu một đường thẳng qua hai điểm phân biệt của một

mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt

phẳng đó

3 Một mặt phẳng được xác định nếu :

a) Qù ba điểm khơng thằng hàng

b)_ Qua một đường thẳng ồ một điểm khơng thuộc đường thẳng đó e)_ Qua hai đường thẳng cắt nhau

4 Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau

Ta đi tìm hơi điểm A, B đồng thời nằm trên hai mặt phẳng đã cho Giao tuyến cần tìm là đường thẳng AB

BTI Cho tứ diện ABCD Gọi I và J là trung điểm AC và BC Lấy K trên

cạnh BD sao cho KD < KB Tìm các giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với mp (ACD) và mp (ABD)

a) Trén mp (BCD) do KD < KB nén JK

cắt CD tại M

Ta có:I e AC => le mp (ACD) MeCD >Me mp(ACD)

BT2 Cho tứ diện ABCD Gọi M va N lan lugt 1a hai diém bén trong của

AABD và AACD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng : a) (AMN) và (BCD) b) (DMN) và (ABC) a) Trén mp (ABD), goi {H) = AM 4 BD Trên mp (ACD), goi {K} = AN ¬ CD Do đó: HK = mp (AMN) 1 mp (BCD) b) Trén mp (ABD), goi {J} = DM ¬ AB Trén mp (ACD), goi {I] = DN = AC Do 46: IJ =mp(DMN)7\ mp (ABC) M

BT8 Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA)

b) Lấy I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD)

a) 'Ta có : M e (MBC)

M e AD nên M ec (NDA) N « (NDA)

N e BC nên N e (MBC)

Vay MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA)

BT4 Cho hình chóp 8.ABCD có đáy tứ giác ABCD có hai cạnh đối không

song song Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD Tìm giao

tuyến của hai mặt phẳng : a) (SBM) va (SCD) b) (AMB) va SDC) a) Trong mp (SCD), SM cắt CD tại I s Ie SM = Ie mp(SBM) Ie CD >I mp(SCD) Vậy giao tuyến cia hai mp (SCD) va mp (SBM) la SI A D b) Hai mp (ABM) va (SDC) da c6 chung diém M 1

Trên mp (ABCD), AB cắt CD tại J i, J¢ AB => Je mp (MAB) n JeCD =Jcmp(SCD) Vậy giao tuyến của hai mp (ABM) và mp (SDC) la MJ m J

|BT5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hanh Goi M, N lần lượt là trung điểm SB và SD Lấy P trên cạnh SC mà SP > PC

Tìm giao tuyến của mp (MNP) lân lượt với các mặt phẳng (SAC),

(SAB), (SAD) va (ABCD)

* Trên mp (SBD), goi {I} = MN 7 SO

Ma SOc mp (SAC) nén I < mp (SAC)

Vậy PI = mp (MNP) 4 mp (SAC)

* Trên mp (SAC), goi (J) = PLO SA

Vay MJ = mp (MNP) q mp (SAB) * Dễ thấy JN = mp (MNP) 4 mp (SAD) * ‘Trén mp (SAB), goi (K] =JM ¬ AB Trén mp (SCD), goi (H] = NP 9 CD thi HK = mp (MNP) 0 mp (ABCD) M

BT6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) va (SCD) Trên mặt phẳng (ABCD), MN lần lượt cắt AB, AD và AC tai I, J và E Trên mặt phẳng (SAC), SA cất EP tai K Ta c6: IK = mp (MNP) mp (SAB) va JK = mp (MNP) 4) mp (SAD) Trên mp (SAB), SB cat IK tai H thi MH = mp (SBC) 4 mp (MNP) Trên mp (SAD), SD eat JK tai L thi NL = mp (SCD) \ mp (MNP) =

BT7 Cho hình chóp 8.ABCD có đáy là hình thang AB // CD Lay M trén

cạnh 8C, Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

a) (SAC) và (SBD) b) (SAD) va (SBO) c) (ADM) va (SBC)

a) Trong mp(ABCD) goi O 1a giao diém AC va BD s Hiển nhiên § c (SAC) ¬ (SBD)

Ta có: O 6 AC = O < (SAC) O ¢ BD > 0 < (SBD) Vay SO = (SAC) 4 (SBD)

b) Trong mp(ABCD) goi I 1a giao diém AD va BC Hiển nhiên: S e (SAD) 9 (SBC)

Ta có: I c AD = 1 < (SAD) Ic (BC) = Te (SBC) Vay SI = (SAD) 4 (SBC)

e) Hiển nhiên: M e (ADM) (SBC)

Ta có: LỄ AD => I © (ADM) 1e BC =1 (SBC) Vay IM = (ADM) 4 (SBC) =

BT8 Cho tứ diện ABCD Lấy O là điểm bên trong ABCD, M trên AO a) Tìm giao tuyến của mp(MCD) với mp(ABO); mp(ABC) và mp(ABD) b) Lấy I trên BC, J trên BD Tìm giao tuyến của (IJM) va (ACD)

a) e Trong mp(BCD) gọi H là giao điểm OB và CD Vay MH = (ABO) 4 (MCD)

+ Trong mp(ABO) goi N 1a giao diém HM va AB Hiển nhiên Ơ e (MCD) ¬ (ABC) N eMH =N e (MCD) A NeAB >N c (ABC) Vay CN = (MCD) 4 (ABC)

° Dé dang thay ND = (MCD) ¬ (ABD) b) s Trong mp(BCP) gọi K 1a giao diém IJ va CD K « IJ > K e (MU) = K e CD = K c (ACD) [

Vay K < (MIJ) 4 (ACD) (1) 1 * Goi R la giao diém IJ va OB thì MR = (MIJ) 5 (ABH) Trong mp(ABH) goi Q 1a giao diém MR va AH K | Qe MR = Qe (MIY) Q ¢ AH = Q < (ACD) Vay Q (MIJ) ¬ (ACD) (2)

Tix (1) va (2) => KQ = (MIJ) 4 (ACD) =

1 a) a) a) b) BÀI TẬP TỰ GIẢI

Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N là trung điểm AC và BC Trên BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MKN) và (ABD)

Cho hình chép S.ABCD có AB và CD cất nhau Lấy A' là điểm nằm giữa § và A Tìm giao tuyến của mặt phẳng (A'CD) với các mặt phẳng (ABCD), (SAB), SBC), (SCD), (SDA)

Cho tit dign ABCD Lay O 1a diém bén trong ACBD, M trén AO Lay I,

J trén BC va BD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

(MCD) và (ABD) b) (IJM) va (ACD)

Cho tf dign ABCD Goi I, K 1a trung diém của AD và BC Lấy M, N trén đoạn AB, AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

(IBC) va (KAD) b) (BC) va (DMN)

Trong mặt phẳng (œ) cho hai đường thẳng dị, d; cắt nhau tại O, A là

đường thẳng cắt (œ) tại I khác O

Xác định giao tuyến của mặt phẳng (O, A) va (a)

Lấy điểm M di động trên A Tìm giao tuyến của mặt phẳng (A, dị) và (M, d;) Chứng minh giao tuyến này nằm trong mặt phẳng cố định

Cho tứ diện ABCD Lấy hai điểm M, N trên SB, SC sao cho MN khong song song với BC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

(AMN) và (ABC) b) (ABN) và (ACM)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang với AB là đáy lớn Lấy M trên đoạn 8D Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng :

(MBC) va (SAC) b) (MBC) va (SAD)

Chit dé 2 «

TÌM GIAO DIEM CUA DUONG THANG d VA MAT PHANG (a)

Phuong phap

~ Tìm mặt phẳng (Ø chứa d

~ Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng (a) oà (Ø) theo chủ dé 1

~ Tìm giao điểm A cảu d nà e thì A Á chính là giao điểm của d va mp (a

BT1 Cho tứ giác ABCD có AB không song song CD Goi S la điểm nằm ngoài mp (ABCD), M là trung điểm SC Tìm giao điểm N của SD và mp (MAB) s “Trên mp (SAO), goi {I} = AM 4 SO Xét mặt phẳng (SBD) chứa SD Ta có mp (SBD) > mp (MAB) = BI Trén mp (SBD), goi (N} = BI 7 SD thi [N} = SD 4 (mp (MAB) @ B

BT2 Cho tit dién ABCD Lấy hai điểm M, N lan lugt tren AC va AD sao cho MN không song song CD Lấy điểm O bên trong ABCD

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)

b) Tìm giao điểm BC, BD và (OMN)

a) Trong mp(ACD) gọi I là giao điểm NM và CD Hién nhién OI = (OMN) 4 (BCD)

BTS Cho hình chóp 8.ABCD, Lấy M trên cạnh SC a) Tìm giao điểm AM và (SBD) b) Lấy N trên cạnh BC Tìm giao điểm SD và (AMN)

a) Xét mặt phẳng phụ (SAC) chứa AM

Trong mp(ABCD) gọi O là giao điểm BD và AC thì 8O = (SAC) ¬ (SBD) Trong (SAC) gọi I là giao điểm SO và AM thì [I = AM a (SBD) b) Xét mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD Trong mp(ABCD) gọi Y là giao điểm BD va AN thi IY = (SBD) (AMN) Trong mp(SBD) gọi K là giao điểm TY và 8D thì [K] = SD m¬ (AMN) m BT4 Cho tứ diện ABCD Gọi I và K lần lượt là hai điểm trong của các tam giác ABC và BOD Gia sit IK cdt mp (ACD) tai H Tim H Xét mp (BIK) chứa IK Trong mp (ABC) : BI cắt AC tại M ĐI Trong mp (BCD) : BK cắt CD tại N thì MN = (BIK) 4 (ACD) Trong mp (BIK), giả sử IK cắt MN B D SÔNG: N tại H thì H chính là giao điểm của IK va mp (ACD) = G BTS Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC

a) Tìm giao điểm I của AM va mp (SBD) Chiing minh IA = 21M

b) Tim giao diém F cia SD va mp (ABM) Chimg minh F 1a trung diém SD

c)_ Lay N tay y trén cạnh AB Tìm giao điểm của MN va mp (SBD)

a) Goi O la tam hinh binh hanh ABCD

Trong mặt phẳng (SAC), AM cắt SO tai I thi I là giao điểm của AM và mp (SBD)

b) Xét'mp (SBD) chifa SD thi BI là giao tuyén cilia mp (SBD) va mp (ABM) Trong mp (SBD), BI cắt SD tại F thi Ậ

(Fl = SD ¬ mp (ABM)

Do I cũng là trọng tâm ASBD nên F é M là trung điểm SD

e) Xét mp (MAB) chứa MN thì BI là giao

tuyến của mp (MAB) và mp (SBD) C Trong mặt phẳng (MAB), MN cắt BI tại J thì J là giao điểm của MN và mp (SBD)m A NB

BT6 Cho tứ diện ABCD Goi M, N lan lugt 1a trung diém của AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD

a) Tìm giao điểm của CD và mặt phẳng (MNK)

b) ‘Tim giao tuyén hai mat phang (MNK) va (ABD) a) Xét mp (BCD) chita CD Do NK không song song CD nên NK cắt CD tại 1 IeNK =1 (MNK) Ạ Vay CD > (MNK) tai I b) Trong mp (ACD), MI cắt AD tại E Ta c6 K BD = K < (ABD) và K e (MNK) Mặt khác : E e AD = E e (ABD) Ee MI = E <(MNK) Vay EK = (MNK) 4 (ABD) = Luu y : le NK nén I e (MNK) Do đó MI e (MNK) BT7 Cho tt dién ABCD Goi I, J là trung điểm AC va BC Trên BD lấy K sao cho BK = 2KD

a) Tìm giao điểm E của CD và mp (IJK) b) Tìm giao điểm F của AD và mp (IJK)

e) Lấy M,N trên AB, CD Tìm giao điểm cia MN va mp (IJK)

a) Trong mp (BCD) gọi E là giao điểm của CD va KJ thi E = CD ¬ (IJK) b) Trong mp (ACD) gọi F là giao điểm của EI và AD

Fe EI =F « (IJK) Vay F = AD 1m (IJK) e) Trong mp (DAC) gọi A' là giao điểm của AN va IF Trong mp (DBC) gọi B' là giao điểm của BN va KJ Trong mp (NAB) gọi P là giao điểm của A'B' và MN, Do P e AB nên P e (IJK) Vay MN q (IJK) =P @

BT8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB Lấy I, Y, K

lan lượt trên SA, AB, BC Tìm giao điểm của: a) IK va (SBD) b) SD va (TYK) c) SC va (TYK) a) Xét mp(SKA) chứa KI Trong (ABDC) gọi H là giao điểm AK và BD thì SH = (SKA) ¬ (SBD) Trong mp(SAK) gọi P là giao điểm SH và IK thi (P} = IK ¬ (SBD) b) Xét mp(SAD) chita SD

BT9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm ASAD

a) Tìm giao điểm I của MG và mp (ABCD) Chitng minh IC = 2ID b) Tìm giao điểm J của AD va mp (OMG) Tinh ti sé mm

e) Tìm giao điểm K của SA va mp (OMG) a) Gọi H và N lần lượt là trung điểm AD và SA Trên mp (ABCD), BH cắt CD tai I Trên mp (SBH), MG cắt BH tai I, thi I la giao điểm của MG va mp (ABCD) “Ta có : ị 1 c GM nên I e mp (MN, CD) 1c BH nên I e mp (ABCD)

| Mà giao tuyến của mp (MN, CD) va mp (ABCD) là CD nên I e CD Do HD là đường trung bình của AIBC nên IC = 21D

b) Xét mp (ABCD) chứa AD, <

Ta có OI là giao tuyến của mp (OMG) và mp (ABCD)

'TTrên mp (ABCD), OI c&t AD tai J thi J là giao điểm của AD và mp (OMG) AAIC có IO và AD là hai đường trung tuyến nên J là trọng tâm AAIC

JA

vay 22 = 2, ay Tp =? g

e) Xét mp (SDA) chứa 8A thì GJ là giao

tuyến của mp (SAD) và mp (OMG) a P

Trong mp (8AD), GJ cắt SA tại K thì

(K] =SA ¬ mp(OMG) = Le

A HJ D

a) b) a) a) 5 a) a) b) BÀI TẬP TỰ GIẢI

- Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song với CD Gọi I là điểm bên trong ABCD

Tim giao tuyén ctia (IMN) va (BCD) Tìm giao điểm của BC và BD với (CMN)

Cho hình chóp S.ABCD Lay điểm M trén SC, N trên BC Tìm giao điểm của :

AM và (SBD) b) SD va (AMN)

Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N trên AC, AD Lấy O là điểm bên trong ABCD Tìm giao điểm của :

MN và (ABD) b) OA và (BMN)

Cho tứ diện ABCD Lấy I, J là hai điểm bên trong AABC và AABD, M là điểm trên CD Tìm giao điểm của IJ và (ABM)

Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC Lấy K trên đoạn SB Tìm giao điểm của :

BC và (SAD) b) SC và (AKD)

Cho tứ diện S.ABC Gọi I, H là trung điểm của SA, AB Trên SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS

“Tìm giao điểm của BC và (THK)

Gọi M là trung điểm của IH Tìm giao điểm của KM và (ABC)

Chi dé 3 «

CHUNG MINH BA DIEM THANG HANG

Phuong phap

Muốn chứng mình ba điểm thẳng hàng, ta chứng mình ba điểm

đó là ba điểm chưng của hai mặt phẳng phân biệt thì ba điểm

này cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó

BTI Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng nằm ngoài mặt phẳng (ơ) Các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt cất mặt phẳng (ơ) tại D, E, F Chứng minh D; E, F thẳng hàng Ta có F e BC nên F e mp (ABC) E < AC nén E € mp (ABC) De AB nên D & mp (ABC) Mà D, E, F e mp (ø) Vậy D, E, F e d là giao tuyến của mp (œ) và mp (ABC) m

BTS Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các cặp điểm A va A’, B và B, € và C' sao cho BC cất | BC' tại M, CA cắt CA' tại N, AB cắt A'B' tại 1 Chứng minh ba điểm M, N, I thang hàng Oo Xót hai mặt phẳng (ABC) va (A'B'C’) Ta có M e BƠ = M e (ABC) Me BC'> Me (ABC) Vậy M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (A'B'C')

Lập luận tương tự N và K cùng nằm trên hai mặt phẳng (ABC) va (A'BC)

Vậy Ñ, K cùng nằm trên giao tuyến của

hai mặt phẳng (ABC) va (A'B'C)

Do đó M, N, K thẳng hàng m j

BT4 Cho hình chóp S.ABCD c6 ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M,

Ñ lần lượt là trung điểm của SA.và SƠ Tìm giao điểm E, F của DA, DC va mặt phẳng (MNB) Chứng tỏ E, F, B thẳng hàng Trong mp (SAC) gọi I là giao điểm của SO vàMN § 1 e 8O mà SO c (SBD) = I e (SBD) Trong mp (SBD) gọi K là giao điểm của BI và SD Trong mp (SAD) gọi E là giao điểm của MK và AD thì E e MK => E e (MNB) Vậy AD cắt (MNB) tại E

Trong mp (SDC) gọi F là giao điểm của NK và CD thì F là giao điểm của

CD va (MNB) #

Ta có E, F, B déng thời nằm trên hai mặt phẳng (MNB) và (ABCD), vậy chúng thẳng hàng

BTð Cho hình chóp S.ABCD Lấy hai điểm I và J lần lượt nằm trên cạnh AD và SB Gọi O là giao điểm AD và BC

a) Tìm giao điểm K, L của IJ và DJ với mp (SAC)

b) Gọi M là giao điểm SC và OJ Chứng minh bốn điểm A, K, L, M

thẳng hàng +

a) Trén mp (ABCD) goi N là giao điểm của BI và AC Xét mp (SBI) chứa IJ thi SN = mp (SBI) ¬ mp (SAC) Trên mp (SBI), SN cất IJ tại K thì [K) = 1J ¬ mp (SAO) Trên mp (ABCD), gọi H là giao điểm của AC và BD Xét mp (SBD) chứa DJ thì SH = mp (SBD) 4 mp (SAC) Trên mp (SBD), SH cắt DJ tại L thì (L) = DJ =p (SAO) s b) Trén mp (SBC), OJ cat SC tai M

Xét hai mặt phẳng (SAC) va (ADJ) Hiển nhiên A © mp (SAC) 4 mp (ADJ) Tacó: KelJ => Ke mp (ADJ)

K <« SN = Ke mp (SAC) Vay K © mp (SAC) 9 mp (ADJ) Ta có: Le DJ = Le mp(ADJ)

LeS§H =Le mp (SAC) Vậy L c mp (ADJ) ¬ mp (SAC) Ta có: MeOJ Me mp(ADJ)

M < SC = Me mp (SAC) Vậy M © mp (ADJ) 9 mp (SAC)

Do đó A, K, L, M thẳng hàng vì cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt

phẳng (SAC) va (ADJ) =

BT6 Cho hai điểm cố định A, B nằm ngoài mặt phẳng (P) sao cho AB,

không song song (œ) Lấy M di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (œ) tại A', B' Chứng minh AB luôn đi qua 1 điểm cố định Gọi 1 là giao điểm AB và (ơ) thì I cố định Xét mp(P) và mp(MAB) “ Ie MA >1 c (MAB) 1e MB =1 e (MAB) 1e AB =1 (MAB) Hiển nhiên A, B, I (P) Vay A’, B’, I < (P) ¬ (MAB) Do đó A*B' di động nhưng luôn qua I cố định =

BT7 Cho hình chóp S.ABCD Gọi I, Ÿ là hai điểm trên cạnh AD va SB a) Tìm giao điểm K, L của IY và DY với mp(SAC)

b) AD cắt BC tại O, OY cắt C8 tại M Chứng minh A, K, L, M thang hang

a) Trén (ABCD) gọi H là giao điểm AC và BI

#

Xét mặt phẳng phụ (SBI) chứa IY Dé thay SH = (SBI) ¬ (SAC)

Trong mp(SBI) gọi K là giao điểm IY và SH thì K là giao điểm IY và (SAC) * Trong mp(ABCD) gọi N là giao điểm BD và AC Xét mặt phẳng phy (SDB) chtta YD Thi SN = (SAC) > (SBD) Trong mp(SBD) goi L 1a giao diém YD va SN thì L là giao điểm DY và (SAC)

b) Xét hai mp(SAC) va (ODM)

« Hiển nhiên M e (SAC) ơ (ODM) ô Hin nhiên A e (SAC) ¬ (ODM) (1) «ẳỒ Ke AM =Ke (MOD) (2) K « SH = K «€ (SAC) Vậy K e (SAC) (MOD) (3) eLeSN=>Le (SAC) Le DY >Le (MOD) Vay L < (SAC) > (MOD) (4) ( Từ (1), (2), (3), (4) = M, A, K, L © (MOD) 9 (SAC) Vay A, K, L, M thang hang M

a) Xét hai mp(ABN) va (AMD) « Ci nhién A € (ABN) 4 (AMD)

1 a) b) a) b) ©) d) a) b) 5 BÀI TẬP TỰ GIẢI

Cho tứ diện ABCD Lấy điểm I trên BD sao cho D nằm giữa I và B

Trong mặt phẳng (ABD) vẽ đường thẳng qua I cắt đoạn AB, AD tai K và L Trong mặt phẳng (BCD) vẽ đường thẳng qua I cắt đoạn CD, CB

tại M và N Giả sử BN cắt DM tai O, BL cắt DK tại H, LM cắt KN tại J Chứng minh ba điểm A, J, O thẳng hang và ba điểm C, J, H thẳng hàng Cho tứ điện ABCD Gọi O 1a trong tam cia AACD Lay M, N, P trên AB,

ÁO LÁT dan hoa ae aha ae narihiae MB NA PA 2 IN gio diem cae

MN với BC, MP với BD

Ching minh MG, PI, NJ đồng phẳng

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD, NI H là giao điểm của MG với BE, K là giao điểm của GF với (BCD) Chứng minh H, K, I, J thẳng hàng

Cho hình chóp 8.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N là trung điểm của SA, SC

‘Tim giao tuyén cia (MNP) va (SAB), (SBC) Tìm giao điểm I, K của SO, SD với (MNP) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAD) và (SDG)

Tìm giao điểm E„;F của DA, DO với (MNP) Chứng tỏ E, B, F thẳng hàng

Cho hai mặt phẳng (ơ), (ð) có giao tuyến a, d là đường thẳng cất (ơ) tại

A, cắt (ð) tại B, Trên d lấy hai điểm cố định S¡, 8; (# A) Lấy M di

động trên (B) MS;, MS; cắt (œ) tại Mì, Mạ

Chứng minh M;M; qua một điểm cố định

a cắt MìM; tại K Chứng minh K, M, B thẳng hàng

Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến d Lấy A, B trên

(P) (A, B £ d) và O £ (P) và (Q) Hai đường thẳng OA, OB cắt (Q) tại A¿, Bị và AB cắt d tại O Chứng minh O, A, B không thẳng hàng

Chit dé 4

CHUNG MINH BA DUONG THANG DONG QUY

Phuong phap

Muốn chứng mình ba đường thẳng d„ d„ dạ đồng quy ta : ~ Tim giao điểm ï của d, oà dạ

- Tim hai mặt phẳng phân biệt mà có dạ là giao tuyến Chứng mình 1 là điểm chung của hai mặt phẳng này

BTI Cho tứ diện ABCD Lấy ba điểm E, F, G lần lượt trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H Chứng minh ba đường thẳng CD, IG và HF đồng quy ‘Trén mặt phẳng (BFG), gọi O là giao điểm của IG va HF Ta có CD là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Tacó: OcIG > Oc mp(BCD) O © FH = Oc mp (ACD) Vay O © CD = mp (BCD) - mp (ACD) Do đó ba đường thing CD, IG va HF đồng quy tại O M

b) Gọi L Màn điểm của IM và JĐ §

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có: 8O = (SAC) ¬ (SBD) ‹ 1 K Tacó: LeIM =>Lec (SAC) LeJN = Le (SBD) Vậy khi (œ) đi động qua IJ thì L Ai di động trên đường thẳng cố + định SO = ⁄ D

BT3 Cho hinh chép S.ABCD cé AB khéng song song CD Trén canh SC lấy điểm E không trùng với S và C

a) Tìm giao điểm F của SD và mp (ABE)

b) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD và EF đồng quy

a) Trong mp (ABCP) gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mp (SAC) : SO cất AE tại I Ầ Trong mp (SBD) : BI cắt SD tại F F Ta có F e BI mà BI « (ABE) = F (ABE)

Vay SD m (ABE) tai F

b) Trên mp (ABCD) do AB va CD khong =“ os

song song nên cắt nhau tai J

ˆ Xét hai mặt phẳng (ABE) và (SCD) ta + É

thấy ba điểm E, F, J đồng thời nằm

trên hai mặt phẳng trên vậy chúng

phải nằm trên giao tuyến

Do đó ba đường thẳng AB, CD và EF đồng quy tạiJ =

J

BT4 Cho hinh chép S.ABCD có O là giao điểm AC và BD Lấy hai điểm cố định I trên SA sao cho S1 > SA, J trên SƠ sao cho SJ < JC Goi (a) là mặt phẳng di động quanh IJ, (œ) cắt SB tại M, cắt SD tại N a) Chứng minh ba đường thẳng IJ, MN và SO đồng quy

a) Trong mp (SBD), MN cat SO tai L s Ta có : 1 Le MN > Le mp(a) Le SO > Le mp(SAC) K Ma mp (a) 9 mp (SAC) = 1J Vay L « IJ Do dé ba duéng thang 1J, MN, SO đồng quy tai L b) Ta có : FelN =Femp(SAD) FeMJ sFemp(SBC) ` Ma SE = mp (SAD) 4 mp (SBC) Vậy F e SE Do đó 8, E, F thang hàng ©) Do SĨ > SA va SJ <JC nen St >1 >So JC

Vay IJ khong cong cong AC

Goi K 1a giao diém cia AC va IJ thi K cé dinh Ta cé P, Q, K 1a diém

chung của hai mặt phẳng (o) và mp (ABCD) nên P, Q, K thẳng hàng Vậy PQ di động nhưng luòn quá điểm K cố định M

BTð Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Lấy

B,, Ơ, D' lần lượt trén SB, SC, SD sao cho 28 - 1, SC _2 SD’ _1 SB 3" 8C.23 "SD "2:

a) Tim giao diém M, N của BC và CD với (BŒD) b) Tìm giao điểm A' của SA véi (B'C'D’)

c) Tim giao diém I cia B'D' véi (SAC) d) Chứng minh §, I, O thang hang

e)_ Chứng minh ba đường thẳng MN, AD và A'D' đồng quy a) Trong mp (SBC), BC' cắt BC tại M thi M= BC 4 (BCD) Trong mp (SDC), C'D' cét CD tai N thi N = CD 4 (BCD)

b) Trong mp (ABCD), MN cắt AC tại J Trong mp (SAC), JC’ c&t SA tai A’

thi A’ = SA 4 (B'C'D’)

¢) Trong mp (SBD), B'D' cắt SO tại I

Do I « 8O nên I e mp (SAC)

Vay I = B'D' 4 (SAC) d) Ba điểm 'S, I, O cùng nằm trên hai mặt phẳng (SAO) va (SBD) nên chúng thẳng hàng e) Trong mp (SAD), gọi K là giao điểm của A'D' và AD Ta có MN = (BŒD)) = (ABCD) KeAD= Ke(BCD) KeAD = Ke (ABCD) Vậy K c MN Do đó AD', AD va MN đồng quy tại K M

BT6 Cho hình chóp S.ABCD Gọi O là giao điểm AC và BD Mặt phẳng (a) cắt SA, SB, SC, SD tại A', B', Ơ, D' Giả sử AB cất CD tại E’, A'B' cắt CD' tại E' Chứng minh: 4

a) S, E, E' thẳng hàng

b) A'C', B'D', SO đồng quy

a) Ta có: (BỊ = BN CD = E e (SAB) ¬ (SCD) (E) = A'B' ¬ CD' = E' e (SAB) ¬ (SCD)

Hiển nhiên: S e (SAB) ¬ (SCD) 8 Vậy E, E', S (SAB) ¬ (SCD) => E, E’, S thẳng hàng b) Dễ đàng thấy: SO = (SAC) ¬ (SBD) Gọi O' là giao điểm A'O' và B'D' Ta có: Ò' e A'C = O' e (SAC) Ø e BD' = Ơ e (SBD') Vậy ©' e SO

Do đó: SO, A'C', B'D' đồng quy tại C' m

BT7 Cho hinh chép S.ABC có SA < SB < SC Trén SA, SB, SC lay M, N, P sao cho SM = SN = SP

a) Tim giao diém K của MP va (ABC), giao diém L cia CB va (MNP)

b) Lấy điểm I trên MN Goi J là giao điểm của SI và AB Chứng minh KL, PI, CJ déng quy R L a) Trong mp(SAC) gọi K là giao điểm MP và AC thì (K) = MP s (ABC)

Trong mp(SBC) gọi L là giao điểm NP và BC thi {L} = BC ¬ (MNP) b) Dé dang thay LK = (MNP) > (ABC)

1 2 a) b) a) b) a) b) c) 1 a) Jj BÀI TẬP TỰ GIẢI -

Cho tứ điện ABCD Gọi A', B', C’, D' lan lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD, ADB, ABC Chứng minh AA', BB', CC' đồng quy

Cho tứ diện S.ABC Qua C dựng mặt phẳng (œ) cắt AB, SB tại Bạ, B’ Qua B dựng mặt phẳng (0) cắt AC, SƠ tại C¡, C' BB' cắt CC' tại O, BB, cắt CC; tại O¡ Giả sử OO, kéo dài cắt SA tại I Chứng minh :

AO,, SO’, BC đồng quy

I, By, B' thẳng hàng và I, C¡, C' thẳng hàng

Cho hình chóp 8.ABCD có AB và CD kéo dài cắt nhau tại E, AD và BC kéo dài cất nhau tại F, AD < AF Gọi 1, J lần lượt là trung điểm của SA, SB Mat phẳng (œ) di động qua I, J cắt SC, SD tại M, N

Chứng mình IJ, MN, SE đồng quy

Khi (œ) di động thì giao điểm của IM và JN di động trên đường nào ? Cho tứ điện ABCD Gọi Ai, Bị, C¡, D; lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ADB, ABC

Chứng minh AA; và BB; cùng thuộc một mặt phẳng

Gọi 1 là giao điểm của AA; và BB;, Chứng mình a “nh

Chứng minh AA;, BB¡, CC;, DD, déng quy

Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lắn lượt là trung điểm của BC, BD Lấy

R, 8 lần lượt là các điểm trên AD, AC sao cho An = SP, as - 40

Chứng minh ba đường thẳng AB, MS, NR đồng quy

Cho tứ diện ABCD Lấy M, N, P lần lượt là các điểm trên AB, AC, BD MN cắt BC tại I, MP cắt AD tại J Chứng minh ba đường thang PI, NJ, CD đồng quy

Cho tứ diện ABCD Mặt phẳng (P) không chứa AB và CD cắt AC, BD,

BC, AD tại M, N, R, S Chứng minh ba đường thẳng sau đồng quy :

AB, MR, NS b) CD, MS, NR

Chit dé 5

TIM MAT CAT CUA MAT PHANG (a) VA HINH CHOP

Phuong phap

- Từ một điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của mỹ (a) oới một mặt của hình chóp (gọi là giao tuyến gốc)

- Tìm các giao điểm của giao tuyến này uới các cạnh của mặt đó, từ các giao điểm này xác định các giao tuyến mới uới các mặt con lai

- Tiếp tục đến khi nào các đoạn giao tuyến khép kín ta được mặt cắt (hay thiết diện)

BT1 Cho hình chép S.ABCD có ABCD là hình thang có hai đáy AB, CD, và AB > CD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SƠ Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD và mp (AMN)

Trong mp (ABCD) : AD cắt BC tại I Trong mp (SBI) : MN cat SI tai J 1a trung điểm của SI

Trong mp (SAD) : AJ cắt 8D tại H Ta có: (SBC) (AMN) = MN (SCD) > (AMN) = NH (SAD) 4 (AMN) = HA (SAB) > (AMN) = AM Vay thiét dién 1a tit giac AMNH @

BT2 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đều bằng a Kéo dài BC một đoạn CE = a, kéo dài BD một đoạn DF = a Gọi M là trung điểm AB

a) Tim mat ct cia mp (MEF) va tứ diện b) Tính diện tích của thiết diện này

a) Trong mp (ABC), ME cắt AC tại H Trong mp (ABD), MF edt AD tai K Thiết diện là tam giác MHK ,

b) AMBE | > ME? = MB? + BE? — 2MB.BE.cos60°, 2 2

=> ME? = Ê—+4a?_— of} 20{2) oe 4 S) aa) eae

AABE có H là trọng tâm nên A MH - 1p - 3⁄18 3 6 Tacé:: AMBE = AMBF (c.g.c) M avis ee => ME = MF = 3 và MH = MK 5 4 MH MK _1 6; eo MD SHK/BP Te Ome = a nổ I) HK _1 S5 = 28 XW Ve MI 1 HK s 2 3 call gence AMIH vuông => MI? = MH¿_ HE” _13a`_a”_ 9a” _a Vậy : dt (AMHK) = MLK = š

BT8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB Gọi G là trọng tâm ASAD

a) Tìm giao điểm I của GM và mp (ABCD) b) Tìm thiết diện của hình chóp và mp (AGM)

B

a) Goi J va H lần lượt là trung điểm AD và SD

Trén mp (SBJ), MG cét BJ tai I thi I = MG mp (ABCD)

Phương pháp giải toán hình không gian theo chủ để 717 3†

b) Hién nhién: mp (AGM) > mp (SAB) = AM

mp (AGM) 4) mp (SAD) = AH Goi O là tâm hình bình hành ABCD

'Trong mp (SBD), MH cắt SO tại L

Trong mp (SAC), goi K là giao điểm AL và SC

“Thiết điện là tứ giác AMKH M

BT4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Lấy ba

điểm M, N, I lần lượt trên AD, CD, SO Tim mặt cắt của hình chóp và mặt phẳng (MNI) Trén mp (ABCD), MN cắt BC tại R, cắt AB tại K, cắt DB tai J Trén mp (SBD), IJ cit SB tai H Trén mp (SAB), HK cat SA tai P Ta có :

mp (MNI) cắt mp (ABCD) theo đoạn MN

mp (MNI) cắt mp (SAD) theo đoạn MP mp (MIN) cắt mp (SAB) theo đoạn HP

Trong mp (SBC), RH cắt SC tai S thi mp (MNT) cắt mp (SBC) theo đoạn HS

Vậy mp (MNI) cắt (SCD) theo đoạn SN

Do đó mặt cắt là ngũ giác MNSHP M

BTS Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M là trung điểm SA Goi A la đường thẳng song song với BD, A cắt BC và CD tại I và J Xác định thiết diện của hình chóp 8.ABCD và mặt phẳng (M, A)

Trong mp (ABCD), A edt AB va AD tai H va K

BT6 Cho high chép S.ABCD Lay N trén cạnh BC (N # B, C) Lấy K và 1 lần lượt là hai điểm thuộc mién trong của tam giác SAB và SCD Xác định mặt cắt của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (NKL) và hình chóp

Trong mp (SAB), SK cắt AB tại K' Trong mp (SƠD), SL cắt CD tại L Trong mp (SKL), KL cắt KL tại T Trong mp (ABCD), TN cắt CD tại M, cắt AB tại I Trong mp (SAB), IK cắt SA tại J, cắt SB tại X Trong mp (SCD), ML eat SD tai H Mặt cắt của (NKL) và hình chóp S.ABCD 1a ngũ giác MNXJH m BT7 Cho hình chóp 8.ABCD Lấy M trên SC Gọi N, P lấn lượt là trung điểm AB và AD Tìm mặt cắt của hình chóp và mp(MNP) Đoạn giao tuyến gốc của (MNP) và (ABCD) là NP Trong mp(ABCD)

Gọi I là giao điểm của NP va BC Gọi J là giao điểm của NP và CD

Trong mp(SƠD) gọi K là giao điểm cia MJ va SD Đoạn giao tuyến của (MNP) và (SƠD) là MK

Đoạn giao tuyến của (MNP) và (SAD) là KP

Trong mp(SBC) gọi H là giao điểm IM và SB thì đoạn giao tuyến của (MNP) va (SBC) la HM, đoạn giao tuyến của (MNP) và (SAB) là HN

Do đó: mặt cắt của (MNP) và chóp (8.ABCD) là ngũ giác NPKMH M

BT8 Cho hình chóp S.ABCD, Lấy điểm M trong ASBC Lấy điểm N trong ASCD

a) Tìm giao điểm của MN và (SAC) của SƠ và (AMN) b) Tìm mặt cắt của (AMN) và hình chép (S.ABCD) a) « Trong mp(SBC) gọi H là giao điểm SM và BC

Trong mp(SCD) gọi K là giao điểm SN và CD Trong mp(ABCD) goi I là giao điểm HK và AC Xét mặt phẳng phụ (SHK) chứa MN thi SI = (SAC) > (SHK) Trong mp(SHK) gọi O là giao diém SI va MN thi (0) = MN 4 (SAC) « Xét mat phang phụ (SẠC)

chứa SC gọi L là giao

điểm cia AO va SC thi {L} = SC n¬ (AMN) b) Trong mp(SCD) gọi R là giao điểm LN và CD thì đoạn giao tuyến của (AMN) và (SCD) là LR của (AMN) và (ABCD) la AR

Trong mp(SBC) goi Q 1a giao diém ML va SB

Vậy mạt cắt của (AMN) và 8.ABCD là tứ giác ARLQ

BT9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm SB, SD, OC

a) Tìm giao điểm SA và mp(MNK)

b) Xác định mặt cắt của (MNK) và hình chóp

a) Trong mp(SBD) Goi I là giao điểm MN va SC Xét mặt phẳng phụ (SAC) chứa SA thì KI = (SAC) ¬ (MNK) ‘Trong mp(SAC) gọi P là giao điểm KI va SA thì [P| = SA ¬ (MNK) À b) Ta có MP = (SAB) ¬ (MKN) PN = (SAD) 5 (MNK)

Trong mp(SAD) gọi J là giao điểm PN va AD

Trong mp(ABCD): KJ cắt CD tại L, cắt BC tại H thì NL = (MKN) = (SCD)

va HK = (MNK) 4 (ABCD)

Do đó mặt cắt của (MNK) và hình chóp S.ABCD có ngũ giác PMHLN M

a) b) ©) a) b) BÀI TẬP TỰ GIẢI

Cho hình chóp S.ABC Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA, BC Lấy

Ñ trên AB sao cho aS Xác định mặt cất của (MNP) va hinh chép

Cho hình chóp 8.ABCD có ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P lần

lượt là trung điểm của AB, AD, SC Xác định mặt cắt của mặt phẳng

(MNP) và hình chóp

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD Tính diện tích thiết điện tạo bởi tứ diện và mặt phẳng (BGG’)

Cho hình chóp S.ABCD Lấy điểm M trên SƠ Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AB và CD Tìm mặt cắt của hình chóp và mặt phẳng (MNP) Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M, trong tam giác SCD lấy điểm N

Tìm giao điểm của MN và (SAC)

'Tìm giao điểm của SC và (AMN)

Tìm mặt cắt của hình chóp va (AMN)

Cho tứ điện đều ABCD cạnh a Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm

đối xứng của D qua C, K là điểm đối xứng của D qua B Xác định và tính

diện tích mặt cắt của tứ diện và (IJK)

Cho hình chóp S.ABGD có ABCD là hình bình hành tâm O Goi M, N,

P lần lượt là trung điểm của SB, CD, OC

Tim giao tuyén cia (MNP) va (SAC) Tìm giao điểm của SA và (MNP) Xác định mặt cắt của hình chóp S.ABCD và (MNP) Tính tỉ số mà (MNP) chia các cạnh SA, BC, CD

Chit dé 6 «

HAI DUONG THANG SONG SONG

Định nghĩa : Hai đường thằng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng uà không có điểm chung

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song

Sử dụng một trong các cách sau đây :

1 Chứng mình chúng đồng phẳng rồi sử dụng các định li đường

trung bình, ThaÌès đảo quen thuộc trong hình học phẳng Ð Chứng mình chúng cùng song song uới đường thẳng thứ ba

3 Dùng hệ quả : Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai

đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song hoặc

trùng uới một trong hai đường thẳng đó

BTI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành a) 'Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) va (SCD)

b) Đường thẳng qua D và song song SC cắt mp (SAB) tai I Ching minh Al song song SB

a) Mp (SAB) chứa AB, mp (SCD) chứa CD mà AB / GD nên St = mp (SCD) = mp (SAB) với St // AB // CD

b) Trong mp (SCD), dudng thang qua D va song ¢

song SC cat St tai I

Do St < mp (SAB) => I € mp (SAB)

Ta có SI / CD và 8C // DI nên SIDC là hình D bình hành Do đó : SI / =.CD,

Ma CD // = AB nén SI // = AB 8 Tứ giác SIAB là hình bình hành nên AI//SB M

BT2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB song song CD va AB > CD Goi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB

a) Chứng minh MN song song CD b) Tìm giao điểm J của SC và mp (ADN)

a) Ta cé MN là đường trung bình của ASAB nên MN // AB, mà AB / CD nên MN // CD

b) Trong mp (ABCD), AD cắt BC tại E

Trong mp (SBC), NE cắt SC tại J JeNE =Jcmp(ADN)

Vậy J là giao điểm SC và (ADN)

c) Tacé: ABc mp (SAB) CD c mp (SCD) AB // CD SI la giao tuyén cia mp (SAB) va mp (SCD) Vay SI // AB // CD Ta c6 : SI // MN (vì cùng / AB) ma M là trung điểm SA nên MN là đường trung bình AASI I =2MN ma AB=2MN nén SI = AB Do dé: §

Vay ABIS là hình bình hành = SA//1B m

BT8 Cho tứ diện ABCD Gọi A;, B¡, C¡, D; lần lượt là trọng tâm các ABCD, AACD, AABD, AABC Gọi G là giao điểm AA; và BB¡ Chứng minh :

sai GA _ä3 b) Tương by gọi G' = AA, 4 DD, ta c6: Tk a (2) an G'A_3 Tương tự, gọi G° = AAs > COs, ta 06 TT Tử (3) GIÁ _ GIÁ _ GÀ

AA; AA, AA,

BT4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Lấy M, N, P, Q lân lugt trén BC, SC, SD, AD sao cho MN // SB, NP // CD, MQ // AB a) Chứng minh PQ / SA b) Gọi K là giao điểm MN và PQ Chứng minh SK // AD // BC DQ _CM DA CB CM _CN s K DoMN/SB.= o CC Hang \ ĐoNP/GD => ON_BE «(ay Us Từ (1), (2) và (3) => =S=G=G=Gm a) Do MQ// AB qd) cS) DS DQ_ DP Từ (1), (2) và (3 8) )va 8) os —=— DS D = PQ//SA b) Mp (SAD) va (SBC) da ¢6 chung điểm S K ô NM = K Â (SBC) = = 2 K « PQ = Ke (SAD) Vay SK = (SAD) 4 (SBC) Ta c6 AD c (SAD), BC < (SBC), ma AD // BC Vay SK = (SAD) (SBC) thiSK//AD// BC =

BTS Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O Goi M va N lần lượt là trung điểm của SC va OB Gọi ï là giao điểm của SD và

mp (AMN) Tính tỉ số at

«Trong mp (ABCD), gọi E và F là giao điểm của AN với CD va BC 'Trong mp (SCD), goi I là giao điểm của EM và SD

IeME =Ie mp(AMN)

Vay I 1a giao điểm của SD và mp (AMN)

A B 1 ĐT top ton * Ta co BF // AD = M2 2.1 eS Gn 308 Son § EC CF 2 T: 6 CF // AD —=—-=— pH > EDAD 3 JC _ EC 2 Tì rong mp (SCD) v (SCD) vẽ CJ // SD (J e EU Ta có <= = —~ == SD We BD Tacs 7 - FEZ 1 CJ te 8 Sree MC =SI 2) JC//SI = ST “MS 1 + C0=8 (2) Sì Từ (1) và (2 Tà = 5

BT6 Cho hình lập phương ABCD.A'BŒD' cạnh a Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của A'B', CB', CC’, AA’