Mô hình toán kinh tế dành cho sinh viên các trường cao đẳng, đại học khối kinh tế bùi duy phú (chủ biên), nguyễn văn an

Từ đó người đọc có thể hiểu được cấu trúc của một mô hình toán kinh tế, cách thức xây dựng và phân tích các mối quan hệ giữa các yếu tố trong mô hình đó.. Dựa trên lý thuyết về mô hình t

TS BUI DUY PHU (Chủ biên) ThS NGUYEN VAN AN

Mo hinh toan kinh té

(DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG CAO ĐẢNG,

ĐẠI HỌC KHÓI KINH TÉ)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

LOI NOI DAU

Crone thời đại khoa học - kỹ thuật phát triển với tốc độ rất cao, | việc mô hình hóa một vấn đề kinh tế - xã hội đế nghiên cứu, phân tích là một tất yếu Những vấn đề về kinh tế được mô tả bằng mô hình thông qua

ngôn ngữ toán học được gọi là mô hình toán kinh tế hay còn được gọi là

kinh tế toán

Tiếp nối các kiến thức của Toán Cao cấp, Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học, với mục đích cung cấp những kiến thức cơ bản cho sinh viên các trường cao đẳng, đại học khối kinh tế bắt đầu vào nghiên cứu, xây dựng và phân tích các mô hình kinh tế đơn giản, chương thứ nhất của cuốn sách “Mô hình Toán kinh tế” được viết nhằm trang bị cho người đọc những khái niệm đầu tiên về mô hình toán kinh tế Từ đó người đọc

có thể hiểu được cấu trúc của một mô hình toán kinh tế, cách thức xây dựng và phân tích các mối quan hệ giữa các yếu tố trong mô hình đó

Dựa trên lý thuyết về mô hình tuyến tính, ba chương tiếp theo trong cuốn sách này đưa ra ba phương pháp giải ba lớp bài toán kinh tế đơn giản mà trong đó mối quan hệ giữa các biến kinh tế trong mô hình được biểu thị dưới dạng tuyến tính

Nội dung 3 chương đầu do TS Bùi Duy Phú biên soạn, nội dung chương 4 do Th§ Nguyễn Văn An biên soạn với mong muốn cung cấp

một tài liệu giúp người đọc tiếp cận được những khái niệm cơ bản và

phương pháp giải quyết các bài toán kinh tế đơn giản

Từ những kiến thức lý thuyết, các tác giả đã cố gắng gắn liên với các ví dụ để người đọc có thể hiểu lý thuyết và vận dụng vào các bài tập

cụ thể

Các tác giả chân thành cám ơn PGS.TS Hoàng Đình Tuấn, PGS.TS Ngô Văn Thứ đã động viên, khích lệ cho ý tưởng cuốn sách này Đặc biệt các tác giả cũng chân thành cám ơn các đồng nghiệp trong Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng về những nhận xét, chỉnh sửa đối với để cương, nội dung và hình thức của cuốn sách

Sách được xuất bản với mục đích làm tài liệu phục vụ cho sinh

viên các trường đại học, cao đẳng khối kinh tế với thời lượng khoảng 45: tiết (3 đơn vị học trình)

Mặc dù các tác giả đã có nhiều cố gắng, chắc chắn cuốn sách không thể tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định rất mong nhận được sự góp ý của người đọc để sách được hoàn thiện hơn trong những lần xuất bản sau

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ E-mail: Buiduyphu@yahoo.com

Xin tran trong cam on!

Cac tac gia

an

MUC LUC

LOH Oi GAU oases cecssstecsseneccessecersnseceesssessessusecessssunsesssvssecsssssserectissuvetsesaunesesees 3

MUC [YC oo eee eeeceseesssesserssscssesesesssecsusussnsssausesausssasecsesacseseseseescescauausarscausacauseens 5

Chương 1 GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TE 1.1 Các khái niệm cơ bản về mô hình . .¿- 2 c2 re 7

1.2 Cấu trúc của mô hình toán kinh tế SH 21x rrrrrrre 8 1.3 Phân loại các mô hình - TH T1 nn HH ng KH kg kg E212 2x2 10 1.4 Đo lường sự thay đổi của các biến nội sinh theo biến ngoại sinh 11 1.5 Một số mô hình kinh tế phỏ biến n2 1x crrey 17

1.6 Phương pháp tính cực trị của hàm nhiều biến trong phân tích kinh tế .35 x

Tóm tắt chương Í c2 n1 112 Hee 40

Chương 2 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.1 Các khái niệm cơ bản về đại số tuyên TÍnh uc re 41 2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tÍnh ven HH uyu 56 2.3 Bài toán đối ngẫu 2h22 are 96 TOM co 2n 107

Chương 3 MÔ HÌNH CÂN ĐÓI LIÊN NGÀNH

(Input ~ Output Table 1/0) 3.1 Sơ lược về bảng can di lM NAMA eee eee eee nett eese intent 108 3.2 Các khái niệm cơ bản trong bảng cân đối liên ngành 109

3.3 Bảng cân đối liên ngành dạng hiện vật ii 111 3.4 Bảng cân đối liên ngành dạng giá trị - che re 116

3.5 Ứng dụng của bảng l/O trong phân tích và dự bảo kinh tẾ 123 3.6 Xác định giá thành sản phẩm và chỉ số giá eect etetetetteee 127 Tóm tắt chương 3 c1 22H 222812 1212121111112221212 12tr rrọ 132

Chương 4 BÀI TOÁN QUẢN LÝ DỰ TRỮ

4.2 Một số mô hình dự trữ tất định c2 no 134 4.3 Mô hình dự trữ đều, bỗ sung dần dần .- 201 2n ra 142 4.4 Mô hình dự trữ nhiều mức giá - c1 2n tr HH na tr trà 146 Tóm tắt Chương Á ch Hà n2 Han an t2 re 150 Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG

GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MÔ HÌNH

1.1.1 Khái niệm mô hình

Mô hình của một đối tượng hoặc một nhóm các đối tượng là sự phản

ánh hiện thực khách quan của đối tượng hay nhóm đối tượng, sự hình dung, tưởng tượng bằng những ý nghĩ của người nghiên cứu và được trình bày, thể hiện, mô tả bằng hình vẽ, chữ viết, lời văn, ngôn ngữ Với nhóm các đối tượng, mô hình của chúng còn là sự phản ánh mối quan hệ giữa các

1.1.2 Khái niệm mô hình kinh tế

Mô hình của các đôi tượng cân nghiên cứu năm trong lĩnh vực hoạt động kinh tế được gọi là mô hình kinh tế Các vân đề liên quan đến hoạt động kinh tế vốn rất phức tạp nên việc nghiên cứu mô hình kinh tế cần phải

_ ở aM hinh todn kink t&

sử dụng các kiến thức khoa học về kinh tế, các lý thuyết, học thuyết kinh tế

Để xây dựng lên một mô hình kinh tế, người nghiên cứu cần phải có các kiến thức chắc chắn về kinh tế, hiểu rõ cấu trúc mô hình và mối quan hệ giữa các nhân tố trong mô hình đó Từ đó thu thập số liệu, sử dụng các thông tin liên quan đến vấn đề đang nghiên cứu để đưa ra một mô hình có các tính chất phan ánh rõ nhất vấn dé cần nghiên cứu

1.1.3 Khái niệm mô hình toán kinh tế

Những yếu tố cơ bản của các đối tượng được nghiên cứu trong lĩnh vực kinh tế và mối quan hệ của các đối tượng này chính là nội dung của một mô hình kinh tế Việc lựa chọn phương thức mô tả một mô hình kinh tế

sao cho thuận tiện và dễ biểu hiện phụ thuộc vào vấn đề đang nghiên cứu

và người nghiên cứu Mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học được gọi là mô hình toán kính tế Trong mô hình toán kinh tế, mối quan

hệ giữa các yếu tố kinh tế sẽ được biểu thị bởi các biểu thức toán học Từ

đó, người nghiên cứu sẽ sử dụng các phương pháp suy luận của toán học dé nghiên cứu các mối quan hệ và đưa ra các kết luận cần thiết cho một mô hình kinh tế Điều này đòi hỏi người nghiên cứu vừa phải có kiến thức sâu sắc về kinh tế, vừa phải có kiến thức nền táng của toán học Sự kết hợp hài hòa giữa lý thuyết kinh tế và kiến thức toán sẽ cho ra những mô hình toán kinh tế xác thực nhất, phán ánh rõ nét nhất vẫn đẻ kinh tế cần nghiên cứu

1.2 CẤU TRÚC CỦA MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

1.2.1 Các biến số kinh tế

Khi nghiên cứu một mô hình kinh tế, để đưa ra mô hình toán kinh tế,

chúng ta cần phải xem xét hiện tượng, van dé can nghiên cứu, lựa chọn một

số các yếu tổ cơ bản đặc trưng và lượng hoá chúng (kể cả các yếu tế định

tính) Các yếu tố này được gọi là các biến số Trong mô hình toán kinh tế,

các biến số đó được phân chia thành 3 loại như sau:

—_ Biển ngoại sinh (còn gọi là các biến độc lập, biến giải thích ) là các biến có một mức độ độc lập nhất định đối với mô hình, được xem như

9

“Ghuong /, Livi thiệu mô hành toán kink té-

là tồn tại bên ngoài mô hình và sẽ tác động đến mô hình Chính những

sự biến động của các nhân tổ này đã gây ra sự biến động của mô hình

mà chúng ta cân nghiên cứu xem ảnh hưởng của chúng đến mô hình

như thể nào Chăng hạn như: biến số thể hiện chỉ tiêu của Chính phủ,

biến số liên quan đến nhập khâu,

Biến nội sinh (biến phụ thuộc, biến được giải thích ) là các biến tồn tại trong bản thân mô hình, chúng phụ thuộc khăng khít lẫn nhau và chịu tác động của các biến ngoại sinh Việc thêm, bớt các biến này quyết định mức độ phù hợp của mô hình so với thực tiễn Chẳng hạn

như: biến tiêu dùng của một người, lợi nhuận của một công ty

Tham số kinh tế là các biến kinh tế có tính ôn định tương đối, thể hiện

đặc trưng của hiện tượng hoặc vẫn đề kinh tế đang nghiên cứu Các

biến số này sẽ phản ánh mỗi quan hệ giữa các biến ngoại sinh và nội

sinh Ví dụ như: hệ số thuế, hệ số tiết kiệm biên

1.2.2 Mối liên hệ giữa các biến số

Trong một mô hình toán kinh tế, van dé quan trọng nhất là phải mô tả được các mối quan hệ định lượng giữa các biến số kinh tế Điều đó sẽ cho người nghiên cứu thấy được các mối quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ thể mà đã được phản ánh bằng các nhân tố có mặt trong mô hình Các mối quan hệ đó bao gồm:

_ 10 =2; khìmh toán kinh tế

sinh ra và cũng không phải tự nhiên mất đi Chúng chỉ chuyên hoá từ dạng này sang dạng khác mà thôi Vì vậy, với các biến số kinh tế, mối quan hệ của chúng trong mô hình sẽ được thể hiện bởi các phương trình mà ta gọi là các phương trình cấu trúc Ö dạng đơn giản, các phương trình cấu trúc là các hàm kinh tế, ở dạng phức tạp, đó là những phương trình, hệ các phương trình đại số, phương trình vi phân hoặc phương trình sai phân

Các phương trình cầu trúc được phân loại như sau:

* Các phương trình định nghĩa: thê hiện mỗi quan hệ định nghĩa giữa các biến số:

Chẳng hạn, gọi I1 là lợi nhuận của một công ty, TR là tổng doanh số thu được, TC là tổng các chỉ phí trong quá trình sản xuất Khi đó, II = TR —

TC chính là phương trình định nghĩa

* Các phương trình hành vi: mô tả quan hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các biến số và mối quan hệ nảy phán ánh hiện tượng kinh tế mang tinh chat hành vi của các chủ thê trong mô hình

Gọi S là lượng hàng cung ứng của một loại hàng hóa A, p là giá của hàng hóa đó Khi đó, S = 8p — 4 là một phương trình hanh vi

* Các phương trình điều kiện: mô tả quan hệ giữa các biễn số kinh tế trong các tình huống có tính chất ràng buộc

Gọi D là nhu cầu của người dân về loại hàng hóa A phụ thuộc vào giá với phương trình hành vị là D = 2 — 4p Khi đó, điều kiện cân bằng trên thị trường sẽ cho phương trình điều kiện là S = D

1.3 PHÂN LOẠI CÁC MÔ HÌNH

Khi xây dựng mô hình toán kinh tế, tùy theo tính chất của vấn để nghiên cứu để phân chia mô hình thành các loại như sau:

—_ Mô hình theo thời gian bao gồm mô hình tĩnh hoặc mô hình động: Mô hình mà các biến tham gia được xét ở một thời điểm hay một khoảng thời gian xác định gọi là mô hình tĩnh Còn nếu các biến phụ thuộc biến động theo yếu tố thời gian gọi là mô hình động.

“Ghacong 1 Givi thiéu mé hinh toan kinh té Ị

— Mô hình theo quy mô của các yếu tố bao gồm mô hình kinh tế vi mô

hoặc mô hình kinh tế vĩ mô

—_ Mô hình theo thời hạn bao gồm mô hình trong ngắn hạn hay mô hình trong dai han

1.4 ĐO LƯỜNG SỰ THAY ĐỔI CỦA CÁC BIẾN NỘI SINH THEO BIẾN NGOẠI SINH

Nghiên cứu, phân tích một hiện tượng kinh tế băng một mô hình toán

kinh tế bao gồm hai bước cơ bản sau:

—_ Bước thứ nhất: Dựa trên những học thuyết kinh tế xây đựng lên mô hình để phản ánh các mối quan hệ Các mối quan hệ này được biểu diễn bởi các đăng thức, phương trình hoặc hệ phương trình Liên kết

giữa các biến ngoại sinh và các biến nội sinh trong một mô hình sẽ

được phản ánh qua các tham số kinh tế

—_ Bước thứ hai: Bằng các công cụ toán học, người nghiên cứu sẽ đưa ra

các công thức để đo lường ảnh hưởng của các biến ngoại sinh tác động lên biến nội sinh chính, thông qua việc xác định các tham số kinh tế trong mô hình

Trong mô hình toán kinh tế, biện pháp đo lường các tham số kinh tế được tiến hành theo 2 hướng sau:

1.4.1 Đo lường sự thay đổi tuyệt đối

Giả sử có hàm kinh tế dang Y = F(Xi, X2, , Xn), trong do Y là biến

noi sinh, Xj, X2, , X_ la các bién ngoai sinh Để đo lường sự thay đôi

tuyệt đối của Y theo một biến hay tất cả các biến ngoại sinh ta phải sử dụng đến khái niệm đạo hảm hay vi phân (nếu là hàm của một biến) hoặc đạo

hàm riêng hay vi phân toàn phần (nếu là hàm nhiều biến)

Cho biến X; gia tăng một lượng AX;, gọi là số gia riêng của hàm số theo biến X¿, còn các biến số khác không đổi Khi đó, hàm Y sẽ thay đổi một lượng là:

2 z

_ 1s hinh todn kink té

Ay, Y = F(X, X2, , Xi + AXi, , Xn) — F(X, X2, , Xie, Xn) (1-1)

Ax Y được gọi là số gia riêng của hàm s6 theo bién Xj

Luong thay déi trung binh cia Y theo X; Ia:

Ax, Y AX;

Trường hợp ham Y kha vi theo X; thi ta c6 9(X,) -= là tốc độ

thay đối tức thời của Y theo X¡ hay còn gọi là cận biên của Y theo Xj Với AX; kha nho thi p(X) * pi, vi vay néu AX; = 1 thi p(X) = Ax Y Trong trường hợp hàm F kha vi theo tất cả các biến thì ta dùng vi phân toàn phần:

Gia str Y = F(X), X2, , Xa), trong đó X; = fu) Khi đó:

OY OY dx

(2) Trong trường hợp mối quan hệ giữa biến nội sinh và các biến ngoại sinh không được thể hiện dưới dạng tường minh mà được thể hiện dưới dạng hàm ấn thì ta áp dụng công thức tính đạo hàm hàm ẩn

Giả sử ta có hệ thức F(Y, Xị, X¿, , Xạ) = 0, trong đó Y là biến

nội sinh

0 Khi đó: —= 2 x

x Vay

“Ghieong / Livi thiéu mé hinh todn kinh té

Vi du 1.1: Ham tong chi phi có dang:

TC =aQ?+bQ’?+cQ+d

trong đó: a>0;b<0;c,d>0,

Trong mô hình này, Q là sản lượng sản xuất ra sẽ tác động tới tông chi phí TC TC bao gồm hai bộ phận: chi phí có định (FC)

được biểu thị bởi tham số đ Trong sản xuất ngắn hạn, d > 0, còn

trong sản xuất dài hạn, chỉ phí cố định sẽ có xu hướng giảm dan

về 0, vì nó đã được chuyên dẫn vào giá thành sản phẩm thông qua

nghiệp vụ khấu hao tài sản Các tham số a, k, c phải thỏa mãn các điều kiện về dấu đã đưa ra, vì chúng ta biết, mọi quá trình sản xuất

đều mong muốn chỉ phí thấp nhất nên đồ thị hàm tống chỉ phí có dạng như hình 1.1 Ở giai đoạn ban đầu khi lượng sản phẩm còn ít, chi phí sẽ rất cao Vượt qua ngưỡng Qo, chỉ phí sẽ giảm dan và với cầu trúc của hàm bậc ba, chúng ta có thể xác định được mức sản

_ 1? s2 hinh todn kinh té

Sử dụng công cụ đo lường tuyệt đối cho thấy khi biến ngoại sinh X; gia tăng một lượng AX; kéo theo sự thay đổi một lượng Ay iY Don vi do của các giá trị này là đơn vị do của X; Điều này phản ánh sự biến động của biến nội sinh theo từng biến ngoại sinh Tuy nhiên, khi so sánh ảnh hưởng của sự biến động của các biến ngoại sinh khác nhau tác động đến biến phụ thuộc có đơn vị đo khác nhau nên kết quả này gây khó khăn cho người

nghiên cứu Bởi vậy, chúng ta đưa vào các công cụ đo lường bằng cách đưa

tác động của các biến ngoại sinh về cùng một đơn vị đo, đó là đơn vị %

1.4.2.1 Hệ số co giãn

Để đo lường sự thay đổi tương đối của biến nội sinh theo sự thay đổi tương đối của biến ngoại sinh người ta dùng hệ số co giãn (trường hợp có 1 biến ngoại sinh) hay hệ số co giãn riêng (trường hợp có nhiều biến ngoại sinh)

Gia str Y = F(x) Hé sé co giãn được tính theo công thức:

Xdï X AY

Y nghia: Hé sé co gian cho biét khi X thay đổi 1% thì Y thay đổi bao nhiêu phần trăm

15

ương 1 đi thiệu uô hành toán kinh té

Giả sử Y = FŒX¡, X¿, , X„) Khi đó, ta có hệ số co giãn riêng của Y

Khi tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi, sự thay đổi tương đối của

Y được tính theo công thức hệ số co giãn toàn phần như sau:

¬E

= Y

Ý nghĩa: Hệ số co giãn toàn phần cho biết khi mọi yếu tố Xị thay đổi

1% thì Y thay đổi bao nhiêu phần trăm

1.4.2.2 Hệ số tăng trưởng

Trong các phương trình cấu trúc, mọi biến có chứa yếu tố thời gian thì

sự thay đổi của các biến này theo thời gian được đo bởi hệ số tăng trưởng Giả sử X = X(t) Khi đó hệ số tăng trưởng của X được đo bởi công thức sau:

_ 18-22 hinkh todn kinh té

Từ đó hệ số tăng trưởng toàn phần của hàm Y, khi tất cả các nhân tố

đều thay đổi với mức tăng trưởng riêng của từng nhân tố, được tính theo

công thức sau:

M nghĩa Hệ số này cho biết trong một đơn vị thời gian, khi tat cá các

biến ngoại sinh thay đổi với mức tăng trưởng riêng r„ % thì biến nội sinh thay đôi ry%

1.4.2.3 Hệ số thay thế

Trong các mô hình kinh tế, các biến ngoại sinh có thể thay thế hoặc

bổ sung cho nhau Khi đó để đo mức độ thay thế hay bổ sung cho nhau giữa hai biến X; và X; chúng ta str dung hệ số thay thế hay hệ số bổ sung

Giả sử hàm Y = FỢÁ, X¿, , Xa) khả vi theo tất cả các biến Ta chỉ thay déi bién X; va bién Xj, còn các biến khác không đổi, sao cho giá trị hàm Y không thay đổi Như vậy, vi phân toàn phần của hàm nhiều biến băng 0 Từ đó thu được:

2, _

MRS(j) được gọi là tỷ lệ thay thế cận biên giữa hai yéu t6 X; va Xj

— Nếu MRS(j) < 0, hai yếu tố X; và X; được gọi là hai yếu tố thay thé

cho nhau

— Néu MRS(i,j) > 0, hai yếu tố được gọi là đồng bộ, bỗ sung cho nhau.

Des spon ` , „ Tế

* ương 1 cđiới thiệu tô hành toát kink té

1.4.2.4 Vấn đề tăng quy mô uà hiệu quả

Trong các mô hình kinh tế, hàm sản xuất là một lớp các hàm quan trọng vì nó phụ thuộc vào các yếu tố đầu vào Đặc biệt, chúng ta quan tâm nhiều tới lớp các hảm thuần nhất bậc k

Định nghĩa I.1: Hàm sản xuất Y = F(X) = FEŒ\, ÄX¿, , Xa) được gọi

là hàm thuần nhất bậc k nếu thỏa mãn điều kiện:

FŒX) = F(.XỊ, tX¿, , t Xa) = FC, X;, , Xa) =tUFCO (1.13)

k được gọi là bậc thuần nhất của hàm F Hệ thức (1.13) cho biết rằng, khi mọi yếu tố đều cùng tăng lên t lần thì hàm sản xuất thu được sẽ tăng lên t* lần

Ta goi X = (Xj, Xy, , Xn) la vée tơ các yếu tố đầu vào Khi đó X' =t.X

có nghĩa là quy mô sản xuất đã tăng với hệ số t (t> 1)

— Nếu F(Œ.X)> t.FŒ) (k > 1) ta néi rằng: hàm sản xuất tăng quy mô sản xuất sẽ có hiệu quả

— Nếu F(.X) < tFŒ) (& < 1) ta nói rằng: tăng quy mô sản xuất sẽ không có hiệu quả

— Néu F(t.X) = t F(X) (k = 1) ta nói rang: ham san xuat tang quy m6 san xuất, hiệu quả không đổi

) Vidy 1.2: Xét hàm sản xuất có dạng: QK,L) = 64.K9S.195

Khi đó Q(.K,t.L) = 64.(t.K)°°(t.L)° = t! Q(K,L) > t.Q( K,L) Như vậy, hàm sản xuất trên là hàm thuần nhất bậc k = 1,1 nên tăng quy mô sản xuất sẽ có hiệu quả

1.5 MỘT SỐ MÔ HÌNH KINH TẾ PHỔ BIẾN

1.5.1 Mô hình kinh tế vi mô

Mô hình kinh tế vi mô nghiên cứu các hoạt động chỉ tiệt của cơ chê thị trường, đề cập tới các tình huỗông của một nên kinh tê đề giải quyết ba vấn đề kinh tế cơ bản là: sản xuất cải gì? sản xuất cho ai? và sản xuât như

2-MHTKT

_18 = 29 lành toán kinh tế

thế nào? Hai chủ thể tham gia trong thị trường là doanh nghiệp và người tiêu dùng được liên hệ với nhau trên thị trường thông qua quy luật cung — cầu và mối quan hệ này được đáp ứng qua giá của thị trường Các nhân tố lớn tác động tới hoạt động của doanh nghiệp bao gồm: mục đích của doanh nghiệp, các yếu tố đầu vào, các yếu tố sản xuất, trình độ công nghệ Các nhân tổ lớn tác động đến người tiêu dùng bao gồm: mục đích tiêu dùng, thị hiếu, thu nhập, giá cả Từ đó, các mô hình được sử dụng trong kinh tế vi

mô bao gồm 3 loại: mô hình hành vi sản xuất, mô hình cân bằng thị trường

a) Hàm sản xuất

Là một hàm sô biêu thị môi quan hệ về mặt kỹ thuật giữa kết quả sản xuât và các yêu tô đầu vao

Gọi Y là kết quả sản xuất; Xị, X¿, , Xạ là các yếu tố đầu vào Mối

quan hệ sẽ được thê hiện bởi hàm:

Y =FŒX:, X¿, , Xạ, a, b, c, )

Như vậy, Y là biên nội sinh; X\, Xạ, , Xạ là các biến ngoại sinh; còn

a, b, c, là các tham số kinh tế

Ví dụ 1.3: Xét mỗi quan hệ giữa sản lượng phụ thuộc vào vốn K

và lao động L„ ta có hai hàm sản xuất đơn giản sau:

— Dạng hàm tuyến tính: Q = ay + aK + aoL

Trong đó: Q là kết quả của quá trình sản xuất, K là lượng vốn bỏ ra,

L là lực lượng lao động tham gia vào quá trình sản xuất Dạng hàm

Chicong 1, Gio thiêu mé hinh todn kinh tế 19

này có đặc điểm là hệ số thay thé không đổi Khi đó đường đồng lượng là một đường thẳng

~ Dạng hàm Cobb — Douglas: Q = A.K°.LẺ.e"" (trong đó A > 0;

a, B, y > 0; y phản ánh tiến bộ của kỹ thuật)

*

b) Điều kiện tối u uÊ mặt kỹ thuật của sản xuất

Đó là tình huồng diễn ra trong ngắn hạn khi cơ sở sản xuất chỉ có khả năng thay đôi một sô yêu tô đầu vào, công nghệ sản xuât đã được lựa chọn

Và xác định

Xét ham san xuat: Y = F(X), Xy, , Xp, a, b, © )

Hiệu quả của các yêu tô sản xuât được đo lường thông qua các chỉ tiêu chủ yêu sau:

Năng suât cận biên của yêu tô sản xuât thứ 1 (sản phẩm hiện vật cận biên):

lợi nhất sẽ là ở mức năng suất trung bình của yêu tô đó lớn nhất Tình

huống này được gọi là tình huống tối ưu hoá về mặt kỹ thuật của sản xuất:

Y

—- — max

x i Điều kiện cần và đủ để đạt được điều này là năng suất trung bình băng năng suât cận biên:

_ 20 <7 hink todn kinh té

YOY

X, OX; 1

(1.15)

— Vé mat dai han, khi doanh nghiép cé kha năng thay đổi tất cả các yếu

tố sản xuất thì tình huống cần quan tâm là các yếu tố thay đổi theo cùng một tỷ lệ Khi đó, hiệu quả sản xuất theo quy mô được đo bởi hệ

số co giãn toàn phan:

về kinh tế, vì cả hai trường hợp đều mang lại lợi nhuận cao cho doanh nghiệp Từ đó, chúng ta xét tính tôi ưu qua các tình huồng sau:

Goi Wi, W2, , Wn la gid cua các yêu tô đầu vào, hàm sản xuất có dạng:

Y= F(X, Xạ; Xn; a, b, C, )

Chuong 1, Givi thiéu mé hinh toan kinh té a1

~ M6 hinh cuc tiéu hoá chi phi:

Với lượng các yêu tô đầu vào du kién la X;, X¿, , Xạ, chỉ phí sản ,

xuất sẽ được biểu diễn dưới dạng hàm tổng chí phí: TC = 3 w,.X,

i=l

Bài toán cực tiêu hoá chỉ phí cé dang: TC = Š ”w,.X; — min

= với điều kiện ràng buộc về sản lượng:

TC(Y + Ham chi phí trung bình: AC(Y) = TOY)

daTC(Y

+ Ham chỉ phí cận biên: MC(Y) = = )

~ M6 hinh toi da hod sản lượng:

Bài toán tối đa hoá sản lượng trong tình huống này có dạng: với số vốn nhất định K cho trước, ta phải xác định lượng các yếu tố đầu vào sao cho sản lượng là cao nhất Dạng của bài toán n' :r sau:

Y =F(X:, X¿, , Xa, a,b,c, ) > min

n

trong điều kiện: > w¡-X; =K (còn gọi là ràng buộc về đầu tu)

i=l

22 Me hink ton kink tb

Điều kiện cần (nhiều trường hợp còn là điều kiện đủ) là:

Wj VAX, dX;

Điều kiện này tương tự (1.18)

ä) Mô hình xác định tức cung của doanh nehiệp

Chúng ta đã biết mọi doanh nghiệp sản xuất đều có mục tiêu là thu lợi nhuận (trừ các doanh nghiệp có nhiệm vụ sản xuất các loại hàng hoá công cộng và các loại hàng hoá đặc biệt theo yêu cầu của Chính phủ) Vì vậy, các doanh nghiệp phải xử lý mối quan hệ giữa thị trường các yếu tố đầu vào (mà họ đứng vai trò người mua) với thị trường đầu ra (doanh nghiệp đóng

vai trò người bán) Doanh nghiệp phải biết kết hợp tốt giữa các điều kiện

tối ưu về mặt kỹ thuật, tối ưu về mặt kinh tế với các điều kiện trên thị trường đầu ra:

—_ Thị phần của doanh nghiệp

—_ Sự hình thành giá bán sản phẩm của doanh nghiệp

Đây là hai điều kiện quan trọng, có tác động chị phối mạnh đến doanh thu của doanh nghiệp

Gọi TR(Y) là tổng doanh thu khi đoanh nghiệp cung ứng ra thị trường một khối lượng sản phẩm là Y Hàm lợi nhuận II(Y) được xác định theo công thức:

[I(Y) = TR(Y) - TC(Y) Mức cung của doanh nghiệp thoả mãn điều kiện II(Y) —> max Do đó, điều kiện cần của tối ưu là ` = ate (doanh thu cận biên bằng chỉ phí cận biên)

Với thị trường cạnh tranh hoàn hảo, giá bán của sản phẩm không doi

và là p, khi đó: TR(Y) = p.Y

23

Sương 1 Qiới thiệu tô hình toán kinh tế

Với điều kiện tối ưu là:

MR(Y) = TR’(Y) = p = TC’(Y) = MC(Y) (1.19) tức là, để thu được lợi nhuận cao nhất, trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo, các doanh nghiệp phải lựa chọn mức cung sao cho chi phí cận biên bằng với giá bán sản phẩm

Tổng sản lượng của các doanh nghiệp tham gia trên thị trường sẽ cho mức cung của thị trường Mức cung này phụ thuộc vào mức giá bán p và các tham số kinh tế liên quan đến thị trường như các yếu tố đầu vào, tới

trình độ công nghệ của mỗi doanh nghiệp

1.5.1.2 Mô hình phân tích hanh vi tiéu ding

Hành vi tiêu đùng, hay cách thức mua sắm của các hộ gia đình về các loại hàng hoá đã hình thành nên mức cầu hàng hoá trên thị trường Mức cầu này phụ thuộc vào các nhân tố:

— thi hiéu, sở thích

— thu nhập của các hộ gia đình

— gid cd hang hoá — mục đích tiêu dùng

Giả sử trên thị trường có bán các loại hàng hoá X\, X¿, , Xm Khi đó

mỗi hộ gia đình sẽ mua và tiêu thụ các loại hàng hoá ứng với khối lượng tương ứng theo nhu cầu dự kiến Ta gọi đó là một véc tơ hàng hoá (một giỏ hang hoa):

_-4 s2 hinh toan kinh té

Tương ứng với hàm thoả dụng, ta có các hệ sô:

~_ Độ thoả dụng biên: MU, =-“Ở | OX,

i

MU,

— _ Hệ số thay thế loại hàng ¡ bằng loại hàng j:

Giả sử giá bán của các loại hàng hoá là pị, pa; , pm và ngân sách dành

cho tiêu dùng là M Mô hình xác định mức cầu các loại hàng hoá sẽ là:

U(X) > max với điều kiện ràng buộc về ngân sách:

m

> PX =M

¡=1 Điều kiện cần của tối ưu là:

tức là, muốn tối đa hoá độ thoả dung thi cần mua và tiêu thụ các loại hàng

hoá ở mức hệ số thay thế các loại hàng hoá phải bằng tỷ giá

Việc xác định giá trị tối ưu sẽ cho ta nghiệm là các mức sản lượng hàng hoá cần mua X¡ Các mức này phụ thuộc vào giá mua, M và hàm U Nếu U có định, khi đó các giá trị nghiệm sẽ là X; = X((p, p;, , Pm, M) được gọi là các hàm cầu hàng hóa Các hàm cầu này sẽ được gọi là các hàm cầu Marshall, chúng phản ánh mức cầu trên thị trường Tổng mức cầu hàng hoá của tất cả các hộ tham gia trên thị trường với vai trò là người tiêu dùng

sẽ cho hàm cầu của toàn xã hội:

Qa = Q (Pi, P2, -, Pm, M) với M là ngân sách của toàn xã hội dành cho tiêu dùng cá nhân

25

Chiuong 1, Givi thiéu mé hinh todn kinh té

1.5.1.3 Mô hình cung cầu hàng hoá

ä) Hàm cung của thị trường

Đề nghiên cứu việc cung cấp một loại hàng hóa ra thị trường, chúng

ta dùng hàm cung có dạng Q, = Q(p), trong đó p là giá của loại hàng đang nghiên cứu Những hàm cung phải có đặc tính sau:

kỹ thuật của sản xuất

Đồ thị tống quát của hàm cung thường có dạng sau:

Hình 1.3 Đồ thị tổng quát của hàm cung

Qs

—» P

b) Ham cẩu của thị trường

Để mô tả nhu cầu của người tiêu dùng về một loại hàng hoá thứ ¡, chúng ta đưa ra hảm câu Q¡ Hàm này sẽ phụ thuộc vào giá của loại hàng

_ 6 Ms hinh todn kink tf

cần tiêu dùng, giá các loại hàng hoá liên quan và mức thu nhập của người tiêu dùng:

Q; = Q0p¡, Pa››- 3 Pm, M)

Ở đây: p¡ là giá hàng hoá thứ ¡, M là thu nhập, p; là giá các hàng hoá liên quan Sử dụng các đạo hàm riêng của Q¡ đối với các biến ta có thể xem xét được ảnh hưởng tương đối, tuyệt đối của giá, của thu nhập tác động đến mức cầu của thị trường

Khi tất cả các mức giá đều không đổi thì mức cầu sẽ chỉ còn phụ thuộc vào thu nhập M, tức là Q;¡ = Q;(M) Đồ thị của hàm cầu trong trường hợp này được gọi là đường cong Engel Mối quan hệ này gọi là mối quan

hệ thu nhập và giá cả

— Nêu aM > 0 hàng hoá thir i được gọi là hàng hoá cao cap

— Nêu st <0 hàng hoá thứ ¡ được gọi là hang hoa cap thap

Khi các mức giá đều biến động, thì những sự biến động này ngoải việc ảnh hưởng trực tiếp đến mức cầu, chúng còn ảnh hưởng tới cả mức thu nhập Khi đó dạng hàm hợp của cầu có dạng:

Việc phân tích dâu và độ lớn của các đạo hàm riêng sẽ cho ta kết luận

vệ ảnh hưởng của giá tới thu nhập và mức câu

—_ Xét ảnh hưởng chéo của giá loại hàng thứ j tác động đến mức câu Q¡

ta CÓ:

Chieong 1 Givi thiêu mô hình todn kinh té ae

Pj

bổ sung

1.5.1.4 Mô hình cân bằng thị trường

Khi nghiên cứu các hàm cung, hàm cầu hàng hoá của thị trường, yếu tố các loại giá cả đều liên quan đến hai hàm này và được xem như là các biến ngoại sinh Nhưng khi quan tâm tới sự hình thành giá cả trên thị trường các yếu tổ này phải được coi như là những biến nội sinh Khi đó, chúng phụ thuộc vào quan hệ cung cầu đang điễn ra trên thị trường, phụ thuộc vào cấu trúc của thị trường và như vậy những yếu tố khác ảnh hưởng tới giá cả được coi như là những tham số kinh tế Để phân tích ảnh hưởng của các nhân tố tác động đến sự thay đổi của giá cả, chúng ta

sử dụng mối quan hệ cân bằng thị trường Trong chương trình này, chúng ta nghiên cứu mối quan hệ cung — cầu trên thị trường một sản phẩm và thị trường hai sản phẩm

ñ) Mô hình cân bằng thị trường một loại hàng hóa

Giả sử trên thị trường một loại hàng hoá có hàm cung Q; và hàm cầu Qa như sau:

Q; = QP, a, b, C, .)

Qa = QP, a, B, T.- 9)

Ở đây: P là giá loại hàng đang xét: a, b, c, œ, B, y là các tham 36

Điều kiện cân băng thị trường là:

Qs = Qa

_ 23 s2 hinh todn kinh té

Từ điều kiện cân bằng này, chúng ta sẽ xác định được sản lượng cân bằng Q và giá cân bằng P Những giá trị này đều phụ thuộc vảo các tham

số kinh tế Để xem xét ảnh hưởng của các nhân tố này tới sản lượng cân bằng và giá cân bằng chúng ta sử dụng các giá trị đạo hàm riêng theo tham

số từ phương trình cân bằng và theo công thức tính đạo hàm ham ẩn

Phương trình cân bằng được viết đưới đạng:

Q,—- Qa=0 - Nghiệm của phương trình cho ta P phụ thuộc vào các tham số và khi xét ảnh hưởng của các tham số tới giá cân bằng, ta sử dụng các đạo hàm riêng của P theo các tham số đó

) Ví dụ 1.4: Giả sử trên thị trường một hàng hóa, có hàm cung và

hàm cầu như sau:

Q;=_-a +b.P (a,b>0) Qa= œ—-B.P (œ, B >0) Điêu kiện cân băng cho ta:

Dé nghiên cứu tác động của các tham số tới giá cân băng, ta có thê tính trực tiếp gid tri dao ham riêng của P theo các tham số

Qa, = Qa(P1, Pa, Bos Bi, B2, -)

Điều kiện cân bằng hai thị trường cho ta hệ hai phương trình hai an P,

và P› Nghiệm của hệ chính là các giá trị giá cân bằng P, và P, Các giá trị

nảy sẽ phụ thuộc vào các tham số và vì vậy để xem xét tác động của các

tham số tới giá cân bằng và sản lượng cân bang, ta sử dụng kỹ thuật đạo

hàm riêng Điều này tương đối phức tạp, đòi hỏi người nghiên cứu nắm vững các kiến thức về hàm nhiều biến và trong từng trường hợp cụ thể sẽ đưa ra được các kết luận cần thiết

1.5.2 Mô hình kinh tế vĩ mô

Các mô hình kinh tế vĩ mô phân tích mối quan hệ giữa các biến số

kinh tế tổng quát đặc trưng cho hoạt động của nên kinh tế Với nền kinh tế

thị trường, những hoạt động này sẽ diễn biến trên ba thị trường gộp: thị

trường hàng hoá — dịch vụ, thị trường tiền tệ và thị trường lao động Ba thị

trường này quan hệ mật thiết với nhau và trong đó luôn xuất hiện tổng cung

và tông cầu Ngoài ra, với nền kinh tế mở còn có các nhân tố bên ngoàải quốc gia như tỷ giá, lãi suất các đồng ngoại tệ, chính sách mở cửa của Chính phủ mỗi quốc gia tác động đến tổng cung và tổng cầu Như vậy,

trong mô hình kinh tế vĩ mô, ngoài các biến ngoại sinh được chứa đựng

trong mỗi nền kinh tế còn có cả các biến ngoại sinh từ bên ngoài nền kinh

tế tác động vào mô hình Chúng ta xem xét một sô mô hình sau:

_ 30 ams hinh toán kinh tế

1.5.2.1 Mô hình tống cung oà tống cẩu

Tổng cung là tông giá trị hàng hoá — dịch vụ mà nền kinh tế tạo ra sau mỗi thời kỳ nhất định (thông thường là 1 năm) Nó phụ thuộc vào trình độ công nghệ, các nguồn lực của nền kinh tế và mức giá cả Tổng cung còn được gọi là mức sản lượng của nền kinh tế (output) Trong nền kinh tế mở, tổng cung còn bao hàm cả yếu tố nhập khẩu Trên thực tế, tổng cung hay sản lượng được đo bằng các chỉ tiêu tổng sản phẩm quốc nội (GDP) hay tổng sản phẩm quốc dân (GNP)

Tổng cầu là tổng số chí tiêu hàng hoá — dịch vụ của toàn bộ nền kinh

tế trong một thời kỳ nhất định (thông thường là 1 năm) Nó phụ thuộc vào mức đầu tư, mức tiêu dùng của cá nhân, của Chính phủ và mức giá cả Với nền kinh tế mở, nó bao hàm cá yếu tố xuất khẩu và được thanh toán bằng thu nhập (input) Khi đó ta có hệ thức cân bằng:

Tổng cung = Tổng cầu

Sử dụng hệ thức này, cùng với các mối quan hệ giữa các biến số kinh

tế tác động đến tổng cung và tổng cầu, chúng ta sẽ có các phân tích, đánh giá ảnh hưởng của các nhân tố đến tông cung và tổng cầu Trong chương 3, chúng ta sẽ sử dụng điều kiện cân bằng trên để xem xét quá trình hình thành, vận động của hàng hoá cũng như sự hình thành, chu chuyên giá trị hàng hóa — dịch vụ trong toàn bộ nền kinh tế thông qua báng cân đối liên nganh (Input — Output, I/O) Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu một

số mô hình xác định mức tổng cung và tổng cầu như sau:

1.5.2.2 Mô hình phân tích mối quan hệ giữa đầu tư uà sản lượng

— Mô hình nhân tử Keynes

Chúng ta ký hiệu: Q — mức sản lượng

I— mức đầu tư

Y - mức thu nhập

C - mức tiêu dùng

Chuong 1 đới thiệu mô hinh todn kink té 3

Mức tiêu dùng của một người đều phụ thuộc vào mức thu nhập theo một tỷ lệ nào đó Để đơn giản, ta giả thiết rằng mối quan hệ đó có dạng:

Nếu cho đầu tư I tăng trưởng một số gia AI thì:

Hệ số =: được gọi là nhân tử Keynes

—C

Ý nghĩa của hệ thức (1.28) và nhân tử Keynes như sau:

—_ Nó cho ta biết nếu có sự gia tăng một mức đầu tư nao đó thì sẽ dẫn tới

sự gia tăng của sản lượng Q nhiều gấp 1/(1 - c) lần

— Nếu có chính sách hợp lý để kích thích tiêu dùng của dân chúng cũng làm tăng sản lượng

— Khi nền kinh tế hoạt động còn dưới mức tiềm năng, nếu bằng cách

nào đó tăng đầu tư sẽ làm tăng sản lượng, dẫn tới tăng việc làm

_ 32 om hình toán kinh té

Trong thời kỳ ngăn hạn điêu đó sẽ liên quan tới việc tận dụng khả năng sản xuất hiện có Ngược lại, khi nên sản xuât đã ở mức tiêm năng, việc tăng đầu tư chỉ giảm sản xuất, giảm việc làm

1.5.2.3 Mô hình thu nhập quốc dân

Để xét vai trò của Nhà nước trong nên kinh tế thị trường ta sử dụng

mô hình thu nhập quốc dân như sau:

— Mô hình:

Y=C+tlaạ+Ga

C=b+c(Y-T)(b>0,0<c<]) (1.29) T= ơ+tY(œ>0,0<t<])

trong đó Y: mức thu nhập quốc dân, C: tiêu dùng của dân cư, T: thuế, Ip: mire dau tư cho sản xuất, Gọ: mức tiêu dùng của Chính phủ

Phương trình thứ nhất phản ánh tình huống cân bằng của tổng cung

và tổng cầu

Phương trình thứ hai biểu diễn mức tiêu dùng của dân cư phụ thuộc vào mức thu nhập khả dụng và tiêu dùng tự định

Phương trình thứ ba cho biết khoản thu của Nhà nước phụ thuộc vảo

thu nhập và các khoản thu khác

tính đạo hàm riêng của Y theo các biến đó và từ các giá trị của đạo hàm

riêng này sẽ thấy được sự dịch chuyển của Y khi các yếu tố trong mô hình thay đối

“Chitong 1 Qiới thiệu mô hinh todn kinh té 33 Chang han:

1.5.2.4 Mô hình tăng trưởng Harrod - Domar

Trên thực tế, khi các biến số trong mô hình có chứa yếu tố thời gian,

ta sẽ dé cập tới vấn đề tăng trưởng Mô hình tăng trưởng Harrod — Domar nghiên cứu sự tăng trưởng của các chỉ tiêu thu nhập quốc dân, vốn và đầu

tư (không tính tới các yêu tổ trễ của đầu tư)

— Mô hình gôm các biến số sau:

Y(t): thu nhập quốc dân tại thời kỳ t

K(®: vốn của thời kỳ t

I(t): mức đầu tư cho thời kỳ t

L(Đ: lực lượng lao động xã hội tại thời kỳ t

Khi đó các biến số của mô hình có những mối quan h hệ như sau:

nó chính là hệ số ICOR (hệ số gia tăng vốn s: n lượng)

Phương trình (1.33) cho thấy sự gia tăng của lượng vốn trong thời kỳ

t bang lượng đầu tư trong kỳ (trong trường hợp này không có hiện tượng trễ

và không có khấu hao)

3-MHTKT

34 SMa hinh toán kinh tế

Phương trình (1.34) phản ánh mối liên hệ giữa đầu tư và sản lượng Lượng đầu tư được lấy ra từ sản lượng hay chính là từ thu nhập quốc dân Khi đó s được gọi là hệ số tiết kiệm (hay tỷ suất tiết kiệm, khuynh hướng tiết kiệm cận biên)

Phương trình (1.35) cho ta thay tốc độ gia tăng lao động tự lệ với lực

lượng lao động hiện có

Harrod — Domar, cac hé số tăng trưởng của K, I, Y đều bằng nhau và bằng

œ Kết quả này cho những kết luận sau:

—_ Với các hệ số s, v cho trước, để nền kinh tế phát triển cân đối thì nhịp

độ tăng trưởng của vốn, đầu tư và lao động phải bằng nhau và bằng ơ, tức là n = œ

— Trong điều kiện v tương đối én định, n dự báo trước được thì cần phải có:

35

hương 1 Qiới thiệu mô hành todn kinh tế nghĩa là, Nhà nước phải có những chính sách khuyến khích tiết kiệm

trong dân cư để đạt được hệ thức trên

— Đặc biệt nếu sử dụng các phương trình sai phân tuyến tính cấp một,

hệ số hằng số trong trường hợp biến thời gian là rời rạc ta có các mối quan hệ sau:

trong các nghiệm này hệ sô tăng trưởng của các biên đều bằng ơ,

giống như các kết luận thu được ở trên

1.6 PHƯƠNG PHÁP TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TRONG PHAN TiCH KINH TE

1.6.1 Cực trị tự do (cực trị không điều kiện)

Định lý 1.1:

— Diéu kién can dé ham fx), x¿, xu đạt cục trị tại điểm

x= ( X1,X2 " Xn ) là các đạo hàm riêng bậc nhất theo lừng biến số tai x

bằng 0, hay:

2 (œ=0 (vi=1,2, ,n) Ox; (1.45) Khi đó x được gọi là điểm dừng (điểm nghỉ ngờ)

~ Điều kiện đủ: Trường hợp 2 biến y = f(x, x;) Giả sử tại điểm dừng

x ham ƒ(xị, x;) có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 theo các biên:

~ x là cực đại néu fy; < 0; for < 0

—x là cực tiểu néu fy; > 0 ; fo2 > 0

Nếu D < 0 hàm số không có cực trị tai x

Trong trường hợp tổng quat y = f(x), X2, , Xn)

Giả sử x =(XI,X2, , Xn ) là một điểm đừng của hàm đã cho

- Nếu H, > 0 với mọi k = 1, 2, n thì hàm ƒ đạt cực tiểu tại điểm dừng x

- Nếu (-U.H,> 0 với k = In thì hàm số ƒ sẽ đạt cực đại tại điểm

dừng x.

3”

Chuong 1 Givi thiéu m6 hinh todn kinh té

Vĩ dụ 1.5: Một doanh nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm với khối

lượng là x và y Giả sử hàm lợi nhuận được cho dưới dạng:

Vậy tại điểm dừng hàm đạt cực đại và Ilmạ„ = 3.762

1.6.2 Cực trị có điều kiện (cực trị có ràng buộc, cực trị vướng)

Xét bài toán tìm cực trị của hàm số y = f(X, Xạ, , xạ) với điều kiện ràng buộc của các yéu t6 1 g(x), Xạ, , Xa) < b

Trong những bài toán kinh tế, các điều kiện ràng buộc đều gắn liền với vấn để phân bổ các nguồn lực Đề đạt hiệu quả phân bố (còn gọi là hiệu qua Pareto) thi cac điều kiện ràng buộc sẽ có dạng đắng thức Do đó, bài toán có dạng sau:

Tìm cực trị của hàm:

y = f(X1, Xa, ; Xn) (1.46) với điều kiện: g(x, X2, , Xn) =b (1.47)

Để giải bài toán trên, ta chuyển vẻ bài toán tìm cực trị không điều kiện bằng phương pháp nhân tử Lagrange như sau

Lập ham Lagrange L(%¡, Xa, , Xa, À) có dạng:

L= Ẩ§\, X¿; ; Xa) + À.[b — Ø(XI, X2; , Xn)] (1.48)

_ J5 os hinh todn kinh tế

trong đó: ^ được gọi là nhân tử Lagrange Từ đây ta xét các điều kiện cần và đủ của cực trị cho hàm L

~ Điễu kiện cần: Hàm (1.48) đạt cực trị tại điểm đừng (+, 4] nếu điểm này là nghiệm của hệ:

Be Lay Lag Liq

Dinh lý 1.4: (điều kiện đủ của cực trị)

4) Nếu (—1)*H, > 0 với mọi k = 2, 3, , n thì hàm (1.46) với điễu kiện

(1.47) sẽ đạt cực đại tại điểm dừng x

b) Néu Hy < 0 voi moi k = 2, 3, , n thi ham (1.46) voi điều kiện (1.47) đạt cực tiểu tại điểm dừng x

Ví dụ 1.6: Một doanh nghiệp hoạt động có hàm sản xuất như sau:

Q=25:K?5.L°5 Doanh nghiệp có thể mua các yếu tố đầu vào với các mức giá tương ứng là: P = 12, PL= 3 Với yêu cầu sản lượng của doanh nghiệp là 1.250, hãy xác định số lượng các yếu tố đầu vào sao cho chỉ phí của doanh nghiệp là thấp nhất

L(K, L, A) = 12.K + 3.L + A(1.250 - 25.K?°.L°”)

Sử dụng điều kiện cần và đủ ta sẽ thu được K = 25, L = 100 Nói cách khác, với những yếu tổ sản xuất tìm được, kế hoạch sản xuấ: vẫn đảm báo là 1.250, còn tổng chi phí thấp nhất sẽ là 600.

_ #0 ams hinh todn kinh té

Tóm tắt chương 1

Trong chương này chúng ta đã đưa ra khái niệm thế nào là một mô

hình toán kinh tế Từ đó với các công cụ của toán học, nội dung thứ nhất

của chương là đưa ra các mô hình toán kinh tế đơn giản diễn ra trên 3 thị trường: thị trường sản xuất — dịch vụ, thị trường tiêu dùng và thị trường cung — cầu hàng hóa Các mô hình đơn giản cùng với các phương pháp

phân tích dựa trên công cụ của toán học đã được đưa ra để người nghiên

cứu biết được các khái niệm lớn ứng dụng trong kinh tế làm cơ sở để thực hiện phân tích mô hình Một số mô hình kinh tế đơn giản nhưng rất quan trọng đã được trình bày Cùng với nó, một số kiến thức của toán để áp dụng trong phân tích kinh tế đã được đưa ra giúp người đọc có thể xây dựng và phân tích trong các mô hình kinh tế cụ thể