MỞ ĐẦU Nhiều tốn vật lý, học, mơi trường, đặt miền khơng giới nội (hay cịn gọi miền vơ hạn), chẳng hạn, toán truyền nhiệt dài vơ hạn nửa vơ hạn, tốn lan truyền khí thải khí quyển, tốn thăm dị địa chất điện trường, tốn lan truyền sóng lĩnh vực: âm học, khí động học, địa vật lý chất rắn, hải dương học, khí tượng học, điện từ, Để giải toán này, người ta thường hạn chế xét toán miền giới nội sử dụng nhiều phương pháp có để tìm nghiệm xác nghiệm gần miền hữu hạn Khi loạt vấn đề đặt xét miền rộng đủ đặt điều kiện biên ảo để thu nghiệm gần xấp xỉ tốt nghiệm tốn miền khơng giới nội Cách làm đơn giản chuyển nguyên điều kiện biên vô vào biên ảo Cách làm thô thiển tất nhiên dẫn đến sai khác lớn nghiệm tốn gốc Vì thế, thay cho việc chuyển nguyên điều kiện biên người ta tìm cách đặt điều kiện biên thích hợp biên ảo Những điều kiện biên gọi điều kiện biên nhân tạo hay điều kiện biên hấp thụ (ABC) (artificial or absorbing boundary condition) số "năng lượng" bị hấp thụ biên [2] Hiện nay, hầu hết kỹ thuật áp dụng để thiết lập ABC chia thành hai cách thực hiện: Cách thứ (ABC toàn cục), ABC thường cho dạng biểu thức tích phân biên ảo ABC tồn cục thường đạt độ xác cao thuật tốn số tin cậy lại phức tạp khó thực tính tốn Cách thứ hai (ABC địa phương), ABC thường cho dạng phương trình biên ảo ABC địa phương có thuật tốn đơn giản, dễ dàng thực giải số nhiên chúng lại có độ xác khơng cao Tsynkov [53] thực so sánh số toán đánh giá khác biệt hai cách thực Nếu nghiệm xấp xỉ hạn chế miền giới nội trùng với nghiệm xác miền khơng giới nội ABC gọi ABC xác hay điều kiện biên suốt (transparent boundary condition) Trong tốn phương trình sóng (điện từ, âm thanh, địa chấn, ), ABC thường đề cập đến điều kiện biên không phản xạ (NRBC) (non-reflecting boundary condition) Chúng xây dựng với mục đích xấp xỉ nghiệm xác tốn miền khơng giới nội giới hạn miền giới nội Sử dụng NRBC, miền không giới nội chia thành hai phần, miền hữu hạn tính tốn miền vơ hạn cịn lại Điều kiện biên đặc biệt thiết lập ABC đảm bảo nghiệm miền hữu hạn khơng có (hoặc ít) phản xạ sóng ảo xảy từ ABC Đây hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học, học, vật lý quan tâm Trước năm 1980 số NRBC bậc thấp đề xuất Engquist-Majda NRBC [26] Bayliss-Turkel NRBC [3] Sau đó, năm 1990, Berenger [4] trình bày miền hấp thụ hay cịn gọi "lớp khớp hoàn chỉnh" Hiện NRBC địa phương bậc cao cho phương trình sóng phát triển ngày tinh vi (xem [7, 30, 34, 35, 53]) Các ABC xác nghiên cứu cho phương trình truyền nhiệt [39, 56], cho phương trình khuếch tán-truyền tải [10, 38] cho phương trình Schrodinger [2, 24] Gần Guddati et al [32, 33] sử dụng dạng ABC đặc biệt gọi ABC phân số liên tục, dạng ABC có hiệu cao áp dụng cho mơ hình sóng hấp thụ miền không giới nội Chúng phát triển cho miền đa giác lồi Trong tốn miền khơng giới nội sử dụng ABC, có nhận xét giả thiết toán gốc, hàm vế phải điều kiện biên ban đầu thơng thường giả thiết có giá compact không gian Đây điều kiện quan trọng việc chia miền khơng giới nội thành hai miền tính tốn giới nội khơng giới nội phương pháp sử dụng ABC Gần số nhà toán học Nga đề xuất cách xử lý tốn miền vơ hạn, sử dụng lưới tính tốn tựa Phương pháp dựa việc biến đổi tọa độ, ánh xạ miền không giới nội tới miền giới nội Một lưới miền bị chặn ánh xạ tới lưới không gọi lưới tựa miền vô hạn Theo lưới tựa đều, điều kiện biên vô xử lý cách dễ dàng Ý tưởng phương pháp xuất từ năm bảy mươi kỷ trước việc sử dụng để giải tốn miền khơng giới nội cách thập kỷ cơng trình [1, 28, 40, 41, 44] Fazio Jannelli [28] xét lược đồ sai phân hữu hạn lưới tựa đều, xác định việc biến đổi tọa độ, áp dụng cho nghiệm số toán giá trị biên khoảng vô hạn Các tác giả áp dụng phương pháp cho hai toán kiểm tra Bài tốn mơ hình Falkner-Skan lý thuyết lớp biên Bài toán thứ hai vấn đề quan tâm kỹ thuật móng Ngồi ra, tác giả áp dụng ngoại suy Richardson để cải tiến độ xác kết thu Đồng thời cách mở rộng tốn tồn trục thực Koleva [44] sử dụng lưới tựa cho toán truyền nhiệt 1D 2D với điều kiện biên phi tuyến đơn giản Thuật toán đề xuất hiệu nghiệm bùng nổ sử dụng bước thời gian giảm, tương ứng với phát triển nghiệm Zadorin Chekanov [58] đề xuất phương pháp giải lược đồ sai phân véc tơ ba điểm khoảng vô hạn sử dụng phương pháp cắt cụt để giải lược đồ Phương pháp áp dụng cho toán elliptic dải Tuy nhiên để thực phương pháp đòi hỏi việc tìm nghiệm phương trình véc tơ phức tạp Khác với cách làm trên, tiếp cận tới tốn biên tuyến tính miền khơng giới nội hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính [43] Nói xác xây dựng lược đồ sai phân tốn tồn miền khơng giới nội giải hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính thu thơng qua việc chặt cụt hệ phương trình vơ hạn, thu nghiệm toán sai phân với sai số cho trước Một số kết tốn nhiễm khí dừng [11], [12] số tốn khơng dừng chiều khơng gian [13] công bố gần Trong [14] phát triển thành công phương pháp cho toán elliptic nửa dải Cụ thể là, sau rời rạc hóa tốn phương pháp sai phân, sử dụng ý tưởng Polozhii [48] phương pháp biểu diễn tổng đưa hệ vơ hạn phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình sai phân vơ hướng ba điểm thu nhận nghiệm gần toán với sai số cho trước Cần nhấn mạnh rằng, phương pháp hàm vế phải điều kiện ban đầu khơng cần giả thiết có giá compact - điều kiện tiên phương pháp sử dụng ABC Có thể nói phương pháp mới, áp dụng có hiệu tốn miền khơng giới nội mà phương trình cuối đưa dạng hệ phương trình vơ hạn ba điểm Phương pháp sử dụng cách linh hoạt kết hợp với phương pháp khác phương pháp chia miền giải tốn biên hỗn hợp mạnh miền khơng giới nội Hơn nữa, thuật tốn số dễ dàng lập trình tính tốn máy tính điện tử Tuy nhiên áp dụng thành công phương pháp cho tốn biên tuyến tính miền khơng giới nội Nội dung luận án trình bày kết nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm tính tốn phương pháp hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, phương pháp lưới tựa so sánh hai phương pháp áp dụng số toán biên tuyến tính miền khơng giới nội: Các tốn chiều truyền nhiệt dừng, khơng dừng, phương trình dạng phức hợp, toán hai chiều elliptic, song điều hòa với điều kiện biên khác nhau: Dirichlet, Neumann hay điều kiện biên hỗn hợp Luận án viết sở cơng trình [13, 14, 15, 16, 17, 18] công bố gần Nội dung luận án gồm chương: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị kết bổ trợ bao gồm số kiến thức phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình vơ hướng ba điểm, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, lưới tựa giới thiệu thư viện chương trình giải số toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp yếu Các kiến thức kết thu chương đóng vai trị quan trọng, làm tảng cho kết trình bày chương chương Chương đề xuất phương pháp hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính trình bày phương pháp sử dụng lưới tựa giải số tốn chiều nửa trục mơ hình trình vật lý truyền nhiệt dừng, truyền nhiệt khơng dừng, tốn mơ tượng sóng, so sánh phương pháp hệ vơ hạn lưới đều, lưới không với nút lưới tăng dần phương pháp lưới tựa Chương trình bày kết nghiên cứu giải gần số tốn hai chiều miền khơng giới nội Đầu tiên chúng tơi giải tốn elliptic nửa dải, sử dụng ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình vơ hướng ba điểm Tiếp theo chúng tơi giải tốn biên hỗn hợp mạnh nửa dải, có điểm biên vô hạn phân cách loại điều kiện biên, sử dụng phương pháp chia miền đưa hai toán elliptic miền giới nội miền không giới nội Đồng thời chương trình bày phương pháp số giải tốn song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp yếu nửa dải thơng qua việc giải hai tốn cấp hai nửa dải Trong luận án, kết lý thuyết kiểm tra thực nghiệm tính tốn lập trình mơi trường MATLAB 7.0 máy tính Intel Core i7-2670QM CPU 2.2GHz Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ VI "Nghiên cứu ứng dụng CNTT", 20 - 21/6/2013 - Huế Vietnam International Applied Mathematics Conference, December 19 to 20, 2013 - Ho Chi Minh City, Vietnam Hội thảo Tối ưu Tính tốn Khoa học lần thứ 12, 23 - 25/4/2014 Ba Vì Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ VII "Nghiên cứu ứng dụng CNTT", 19 - 20/6/2014 - Thái Nguyên 6th International Conference on High Performance Scientific Computing, March 16 - 20, 2015 - Hanoi, Vietnam Các buổi Seminar khoa học phòng Các phương pháp toán học CNTT, Viện CNTT - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Chương Một số kiến thức chuẩn bị kết bổ trợ Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị, kết bổ trợ thực cần thiết cho chương tham khảo từ tài liệu [1, 41, 43, 50, 51] 1.1 Phương pháp truy đuổi (phương pháp khử đuổi) giải hệ phương trình vơ hướng ba điểm Hệ phương trình ba điểm phát sinh từ xấp xỉ ba điểm cho toán giá trị biên phương trình vi phân thường cấp hai với hệ số biến thiên Nó xuất rời rạc hóa phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai theo hướng Trong trường hợp sau, thường phải giải khơng hệ phương trình sai phân ba điểm mà phải giải dãy hệ phương trình với hàm vế phải khác nhau, số lượng hệ phương trình dãy hàng chục hàng trăm số lượng ẩn hệ phương trình lớn Điều dẫn tới cần thiết phải tìm phương pháp hữu hiệu để giải hệ phương trình sai phân ba điểm, số lượng phép tốn tỷ lệ thuận với số lượng ẩn số Một phương pháp trực tiếp hữu hiệu xử lý tốn giá trị biên cho phương trình sai phân ba điểm với hệ số số phương pháp truy đuổi (một dạng đặc biệt phương pháp khử) Dưới chúng tơi trình bày tóm tắt phương pháp 1.1.1 Phương pháp truy đuổi từ phải Xét hệ phương trình ba điểm c0 y0 − b0 y1 = f0 , i = 0, (1.1.1) −ai yi−1 + ci yi − bi yi+1 = fi , ≤ i ≤ N − 1, −aN yN −1 + cN yN = fN , i = N, hay dạng véc tơ AY = F, (1.1.2) Y = (y0 , y1 , , yN )T véc tơ chưa biết, F = (f0 , f1 , , fN )T véc tơ vế phải, A ma trận vng (N + 1) × (N + 1)  c −b0 0 0   −a1 c1 −b1 0    −a2 c2 −b2 0   A=       0 0 −aN −1 cN −1  0 0 −aN          ,      −bN −1   cN với hệ số thực phức Theo ý tưởng phương pháp Gauss, thực phép khử ẩn (1.1.1) Từ ta có cơng thức tìm nghiệm sau [51] yi = αi+1 yi+1 + βi+1 , i = N − 1, N − 2, , 0, yN = βN +1 , (1.1.3) αi βi xác định từ cơng thức αi+1 = bi b0 , i = 1, 2, , N − 1, α1 = , ci − αi c0 (1.1.4) f0 fi + βi , i = 1, 2, , N, β1 = ci − αi c0 (1.1.5) βi+1 = αi βi gọi hệ số truy đuổi (hệ số khử) Công thức (1.1.4) (1.1.5) mơ tả q trình khử tiến cơng thức (1.1.3) mơ tả q trình lùi Các công thức (1.1.3) - (1.1.5) gọi chung công thức truy đuổi từ phải hay công thức khử từ phải Các công thức (1.1.3)-(1.1.5) chứa 3N phép nhân, 2N + phép chia, 3N phép cộng trừ Khi tổng số phép tính tốn Q = 8N + 1, 3N − phép tốn sử dụng để tính αi 5N + phép tốn để tính βi yi 1.1.2 Phương pháp truy đuổi từ hai phía Tương tự ta có cơng thức truy đuổi từ trái hay cơng thức khử từ trái sau: ξi = aN , i = N − 1, N − 2, , 1, ξN = , ci − bi ξi+1 cN (1.1.6) ηi = fi + bi ηi+1 fN , i = N − 1, N − 2, , 0, ηN = , ci − bi ξi+1 cN (1.1.7) yi+1 = ξi+1 yi + ηi+1 , i = 0, 1, , N − 1, y0 = η0 (1.1.8) Kết hợp phép truy đuổi trái phải ta phương pháp truy đuổi hai phía Phương pháp áp dụng thích hợp muốn tìm giá trị chưa biết ym (0 ≤ m ≤ N ) nhóm giá trị liền Giả 10 h2 0.1 0.1 Bảng 3.12: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.1 ε N1 N0 error 0.1 46 36 0.0039 0.01 58 46 7.6506e-004 (a) Đồ thị hàm βi,j 1−α1 i,j với j = 1, 2, , (b) Đồ thị hàm βi,j 1−α0 i,j t 0.0936 0.1092 với j = 1, 2, , (c) Đồ thị nghiệm xấp xỉ Hình 3.17: Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−α1 i,j i,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.01 Ví dụ 3.3.1 Ví dụ 3.3.2 Chọn b(x) = 1, u = sin y sin[π(1 − y)]e−0.5x Kết hội tụ cho Bảng 3.13 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j nghiệm xấp xỉ cho Hình 3.18 100 βi,j , 1−αi,j h2 0.1 0.1 0.01 Bảng 3.13: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.2 ε N1 N0 error 0.5 45 31 0.029 0.1 49 42 0.0095 0.01 54 51 7.4887e-005 (a) Đồ thị hàm βi,j 1−α1 i,j với j = 1, 2, , (b) Đồ thị hàm βi,j 1−α0 i,j t 0.1872 0.2184 0.4212 với j = 1, 2, , (c) Đồ thị nghiệm xấp xỉ Hình 3.18: Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−α1 i,j i,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.1 Ví dụ 3.3.2 Ví dụ 3.3.3 Ta lấy b(x) = 1, f = x2 , + y2 + ϕ01 (x) = 0, ϕ02 (x) = 0, ψ0 (y) = 1, ϕ11 (x) = 0, ϕ12 (x) = 0, ψ1 (y) = 101 Trong ví dụ ta chưa biết trước nghiệm xác tốn Kết hội tụ cho Bảng 3.14 Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−αi,j i,j nghiệm xấp xỉ cho Hình 3.19 (a) Đồ thị hàm βi,j 1−α1 i,j với j = 1, 2, , (b) Đồ thị hàm βi,j 1−α0 i,j với j = 1, 2, , (c) Đồ thị nghiệm xấp xỉ Hình 3.19: Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−α0 1−αi,j i,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.01 Ví dụ 3.3.3 Bảng 3.14: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.3 h2 ε N1 N0 t 0.1 0.1 29 24 0.0936 0.1 0.01 42 29 0.1092 0.01 0.01 48 30 0.2184 102 Kết luận chương Trong chương 3, chúng tơi thực giải số số tốn hai chiều nửa dải như: xây dựng lược đồ sai phân, xác định ổn định hội tụ phương pháp giải lưới đều, không đều, tựa cho toán elliptic với điều kiện biên Dirichlet Đối với toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, phương pháp chia miền tỏ hữu hiệu giải toán Đối với tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp yếu, toán đưa giải hai toán elliptic cấp hai Trong phương pháp giải tốn này, có điểm chung sử dụng ý tưởng Polozhii để đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình vơ hướng ba điểm, từ áp dụng phương pháp hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Trong chương trình tính tốn, thực lưới không Lr với bước lưới tăng dần theo hướng x (vô hạn), qua giảm cỡ N hệ đại số tuyến tính chặt cụt 103 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đề xuất nghiên cứu phương pháp hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính giải số tốn biên tuyến tính cho phương trình vi phân cấp hai cấp bốn miền không giới nội Các kết luận án bao gồm: Phương pháp hệ vô hạn giải số tốn chiều khơng gian phụ thuộc khơng phụ thuộc thời gian: tốn truyền nhiệt, phương trình dạng phức hợp, cốt lõi cách xác định cắt cụt hệ vơ hạn để đảm bảo thu nghiệm gần với sai số cho trước Sử dụng lưới khơng có cấu trúc phương pháp hệ vô hạn phương pháp lưới tựa giải tốn miền khơng giới nội Thực nghiệm ví dụ số để so sánh phương pháp hệ vô hạn lưới đều, lưới không với nút lưới tăng dần phương pháp lưới tựa Thiết lập ổn định hội tụ lược đồ sai phân cho phương trình elliptic nửa dải Sử dụng ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng đưa hệ phương trình véc tơ ba điểm hệ phương trình vơ hướng ba điểm, áp dụng phương pháp hệ vô hạn giải toán thu nghiệm xấp xỉ với sai số cho trước 104 Phương pháp lặp giải toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh nửa dải có điểm biên vơ hạn phân cách loại điều kiện biên Sử dụng phương pháp chia miền đưa toán việc giải hai tốn miền giới nội khơng giới nội Giải gần tốn song điều hịa nửa dải thơng qua việc phân tích tốn gốc thành hai toán elliptic cấp hai nửa dải Hướng phát triển • Nghiên cứu giải tốn truyền nhiệt hai chiều có phụ thuộc thời gian nửa dải • Nghiên cứu áp dụng phương pháp trường hợp tốn xét dải • Phát triển phương pháp hệ vô hạn giải toán biên với điều kiện biên hỗn hợp, phức tạp khác miền khơng giới nội • Ứng dụng phương pháp số mơ hình tốn học vật lý miền khơng giới nội 105 Danh mục cơng trình cơng bố [1 ] Q A Dang and D.H Tran, Method of infinite system of equations for problems in unbounded domains, Journal of Applied Mathematics, Volume 2012, Article ID 584704, 17 pages, doi: 10.1155/2012/584704 [2 ] Q A Dang and D H Tran, Method of infinite systems of equations for solving an elliptic problem in a semistrip, Applied Numerical Mathematics, 87 (2015) 114 - 124 (SCI) [3 ] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Comparison of the efficiency of some methods for solving problems in unbounded domains, Vietnam Journal of Mathematical Applications, Vol 13, N 1, 2015, 57-72 [4 ] Đặng Quang Á, Trần Đình Hùng, Phương pháp số giải tốn biên cho phương trình elliptic nửa dải, Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ quốc gia lần thứ VI, FAIR, NXB KHTN CN, 438-447, 2013 [5 ] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Numerical solution of a boundary value problem for biharmonic equation in a semistrip, Kỷ yếu hội nghị quốc tế ứng dụng toán học, VIAMC, NXB thông tin truyền thông, 50-61, 2013 [6 ] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Domain decompositon method for solving a strongly mixed elliptic boundary value problem in a semistrip, Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ quốc gia lần thứ VII, FAIR, NXB KHTN CN, 119-126, 2014 106 Tài liệu tham khảo [1] A B Alshin and E A Alshina, Numerical solution of initial-boundary value problems for equations of composite type in unbounded domains, Zhurnal Vychislitel’noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, vol 42, no 12, pp 1796–1803, 2002 [2] X Antoine, A Arnold, C Besse, M Ehrhardt, A Schdle A Review of Transparent and Artificial Boundary Conditions Techniques for Linear and Nonlinear Schrădinger Equations, Communications in Como putational Physics, (2008), 729–796 [3] A Bayliss, E Turkel, Radiation boundary conditions for wave-like equations, Communications on Pure and Applied Mathematics, 33 (1980) 707–725 [4] J.P Berenger, A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves, Journal of Computational Physics, 114 (1994) 185–200 [5] H.M Berger, A new approach to the analysis of large deflection of plates, Journal of Applied Mechanics, 22 (1955) 465–472 [6] A Coco, G Currenti, C D Negro, G Russo, A Second Order FiniteDifference Ghost-Point Method for Elasticity Problems on Unbounded 107 Domains with Applications to Volcanology, Communications in Computational Physics, 16 (2014), pp 983–1009 [7] T Colonius, Modeling Artificial Boundary Conditions for Compressible Flow Annual Review of Fluid Mechanics, 36 (2004), 315–345 [8] Đặng Quang Á, Bài toán đàn nhiệt đối xứng trục đè hệ đế nóng hình vành vào nửa khơng gian đàn hồi, Phương pháp Tốn-Lý, (1977), 3-20 [9] Q A Dang, Mixed boundary-domain operator in approximate solution of biharmonic type equation, Vietnam Journal of Mathematics, vol 26, no 3, pp 243–252, 1998 [10] Q A Dang and M Ehrhardt, Adequate numerical solution of air pollution problems by positive difference schemes on unbounded domains, Mathematical and Computer Modelling, 2006, Vol 44, No 9-10, 834856 [11] Q A Dang, V.L Ngo, Numerical solution of a stationary problem of air pollution, Proceedings of NCST of Vietnam, vol (1994), No 1, 11-23 [12] Q A Dang, D.A Nguyen, On numerical modelling for dispersion of active pollutants from a elevated point source, Vietnam Journal of Math., Vol 24 (1996), No 3, 315-325 [13] Q A Dang and D H Tran, Method of infinite system of equations for problems in unbounded domains, Journal of Applied Mathematics, Volume 2012, Article ID 584704, 17 pages, doi:10.1155/2012/584704 108 [14] Q A Dang and D H Tran, Method of infinite systems of equations for solving an elliptic problem in a semistrip, Applied Numerical Mathematics, 87 (2015) 114 - 124 [15] Đặng Quang Á, Trần Đình Hùng, Phương pháp số giải tốn biên cho phương trình elliptic nửa dải, Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ quốc gia lần thứ VI, FAIR, NXB KHTN CN, 438-447, 2013 [16] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Domain decompositon method for solving a strongly mixed elliptic boundary value problem in a semistrip, Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ quốc gia lần thứ VII, FAIR, NXB KHTN CN, 119-126, 2014 [17] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Numerical solution of a boundary value problem for biharmonic equation in a semistrip, Kỷ yếu hội nghị quốc tế ứng dụng toán học, VIAMC, NXB thông tin truyền thông, 50-61, 2013 [18] Dang Quang A, Tran Dinh Hung, Comparison of the efficiency of some methods for solving problems in unbounded domains, VietNam Journal of Mathematical Applications, Vol 13, N 1, 2015, 57-72 [19] Q A Dang, V Q Vu, Domain decompositon method for solving an elliptic boundary value problem, in book: Method of Complex and Clifford Analysis, SAS International Publications, Delhi, 309-319, 2006 [20] Q A Dang, V Q Vu, A domain decomposition method for strongly mixed boundary value problems for the Poisson equation In : Modeling, simulation and optimization of complex processes Proceedings 109 of the 4th international conference on HPSC, 2009, Hanoi, Vietnam, Springer, pp 65–76 [21] P Dewilde, V Olshevsky, A H Sayed, Special Issue on Structured and Infinite Systems of Linear Equations, Linear Algebra and its Applications 343–344 (2002) 1–4 [22] A.A Dorodnitsin, Method of a small parameter for numerical solution of the problems of mathematical physics, in: O.M Belotserkovski (Ed.), Numerical Methods for Solid Mechanics Problems, Moscow, 1969 [23] D G Duffy, Mixed Boundary Value Problems, Taylor & Francis, 2008 [24] M Ehrhardt, Discrete Artificial Boundary Conditions, Ph.D Thesis, Technische Universităt Berlin, 2001 a [25] M Elliotis, G Georgiou, and C Xenophontos, Solving Laplacian problems with boundary singularities: A comparison of a singular function boundary integral method with the p/hp version of the finite element method, Applied Mathematics and Computation, 169 (2005) 485–499 [26] B Engquist, A Majda, Radiation boundary conditions for acoustic and elastic calculations, Communications on Pure and Applied Mathematics, 32 (1979) 313–357 [27] V.I Fabrikant, Mixed Boundary Value Problems of Potential Theory and Their Applications in Engineering, Kluwer Academic Publishers, 1991 110 [28] R Fazio, A Jannelli, Finite difference schemes on quasi-uniform grids for BVPs on infinite intervals, Journal of Computational and Applied Mathematics, 269 (2014) 14–23 [29] G C Georgiou, L G Olson, and Y S Smyrlis, A singular function boundary integral method for the Laplace equation, Communications in Numerical Methods in Engineering, 12 (1996) 127–134 [30] D Givoli, High-order local non-reflecting boundary conditions: a review, Wave Motion 39 (2004) 319–326 [31] A.M Gomilko, A Dirichlet problem for the biharmonic equation in a semi-infinite strip, Journal of Engineering Mathematics 46 (2003) 253–268 [32] M.N Guddati and J.L Tassoulas, Continued-fraction absorbing boundary conditions for the wave equation, Journal of Computational Acoustics, (2000), 139–156 [33] M.N Guddati and K.W Lim, Continued fraction absorbing boundary conditions for convex polygonal domains, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 66 (2008), 949–977 [34] T Hagstrom and T Warburton, A new auxiliary variable formulation of high order local radiation boundary condition: corner compatibility conditions and extensions to first-order systems.Wave Motion, 39 (2004) 327–338 [35] T Hagstrom, A Mar-Or, and D Givoli, High-order local absorbing conditions for the wave equation: Extensions and improvements Journal of Computational Physics, 227 (2008) 3322–3357 111 [36] D W Hahn, M N Ozisik, Heat Conduction, 3th Edition, Wiley, New Jersey, 2012 [37] Trương Hà Hải, Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thị Tuyển, Xây dựng chương trình RC2009 giải số tốn biên elliptic với hệ số số Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 7(69), 63–70, 2010 [38] L Halpern, Artificial boundary conditions for the linear advectiondiffusion equation, Mathematics of Computation, 46 (1986), 425–438 [39] H Han, Z Huang, A class of artificial boundary conditions for heat equation in unbounded domains, Computers and Mathematics with Applications, 43 (2002) 889-900 [40] N N Kalitkin, N O Kuznetsov, and S L Panchenko, The method of quasi-uniform grids in an infinite domain, Doklady Akademii Nauk, vol 374, no 5, pp 598–601, 2000 [41] N N Kalitkin, A B Alshin, E A Alshina, B V Rogov, Computations on quasi-uniform grids, Moskow, Phys.Mat, 2005, 224pp (Russian) [42] L.V Kantorovich, G.P Akilov, Functional Analysis, Higher Education Publishing House, Pergamon Press, 1982, pp 99–103 [43] L.V Kantorovich and Krylov V.I., Approximate methods of Higher Analysis, Phys.-Mat Publ., Moscow, 1962 [44] M N Koleva, Numerical solution of the heat equation in unbounded domains using quasi-uniform grids, in Large-Scale Scientific Computing, I Lirkov, S Margenov, and J Wasniewski, Eds., vol 3743 of 112 Lecture Notes in Comput Sciences, pp 509–517, Springer, Berlin, Germany, 2006 [45] Z C Li, Y L Chan, G Georgiou, and C Xenophontos, Special boundary approximation methods for Laplace’s equation with singularities, Computers and Mathematics with Applications., 51 (2006) 115–142 [46] Z C Li and T.T Lu, Singularities and treatments of elliptic boundary value problems, Mathematical and Computer Modelling, 31 (2000) 97–145 [47] V.V Meleshko, Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem, Applied Mechanics Reviews, vol 56, issue 1, 33–85, 2003 [48] G.N Polozhii, The method of summary representations for numerical solution of problems of mathematical physics, Pergamon Press, 1965 [49] K Rektorys, Variational Methods in Mathematics, Springer, 2nd edition, 2001 [50] A Samarskii, The Theory of Difference Schemes New York: Marcel Dekker, 2001 [51] A Samarskii and Nicolaev E., Numerical methods for grid equations, vol 1: Direct Methods, Birkhauser, Basel, 1989 [52] I Snedon, Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory, Amesterdam, North Holl Pub Com., 1966 [53] S.V Tsynkov, Numerical solution of problems on unbounded domains A review, Applied Numerical Mathematics, 27 (1998), 465–632 113 [54] G.V Turovtsev, An expansion of the solution of Dirichlet boundary value problem for Berger equation, Journal of Computational and Applied Mathematics 193 (2006) 1–9 [55] V Q Vu, The results of using the method of complete reduction for solving elliptic problems with mixed boundary conditions, Proceedings of The National Workshop ”Development of IT tools for teaching, researching and applying mathematics”, Hanoi, 4/2005, 247–256 [56] X Wu, Z Sun, Convergence of difference schemes for heat equation in unbounded domains using artificial boundary conditions, Applied Numerical Mathematics, 50 (2004), 261–277 [57] L Yingzhen, C Minggen, Z Yi, Representation of the exact solution for infinite system of linear equations, Applied Mathematics and Computation, 168 (2005) 636–650 [58] A.I Zadorin and A.V Chekanov, Numerical method for three-point vector difference schemes on infinite interval International Journal of Numerical analysis and modelling, Vol.5 (2008), N 2, 190–205 114