Lời mở đầu Hình học phẳng không xa lạ học sinh trung học phổ thông, dạng toán khó kì thi hoc sinh giỏi cấp tinh, cấp Quốc Gia, cấp Quốc Tế cho học sinh Trung học phổ thông, thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9, thi tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên khối khoa học tự nhiên Bởi lựa chọn tìm hiểu “Một số chuyên đề đường thẳng đường tròn hình học phẳng” Hình học phẳng toán THPT với chủ yếu toán đường thẳng đường tròn, với đối tượng học sinh giỏi, bổ sung thêm định lí thường dùng Menelaus, Ceva, Ptoleme,…Với mục đích giải toán hính học phẳng kì Olympic Toán Qốc Tế,học sinh giỏi cấp, thi vào THPT, thi vào trường chuyên, lớp chọn Nên Luận văn này, phần mở đầu phần kết luận trình bày hai chương : Chương trình bày toán đường thẳng, đường tròn Gồm có :các toán ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy; đường thẳng đường tròn, tứ giác nội tiếp Chương trọng tâm luận văn toán vectơ ứng dụng vectơ gồm có phần 2.1: Vectơ, tâm tỉ cự; 2.2 : Tích hai vectơ va ứng dụng, 2.3: Phương tích điểm đường tròn Trục đẳng phương, tâm đẳng phương Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình PGS.TS.Vũ Đỗ Long – Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội Từ đáy lòng em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Vũ Đỗ Long quan tâm, bảo tận tình thầy Em xin chân thành cảm ơn thầy cô Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, dạy dỗ, trang bị kiến thức bổ ích cho nghiệp giáo dục sau này,giúp đỡ suốt trình theo học.Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ- Tin học tạo điều kiện, giúp đỡ cho hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày … tháng … năm 2015 Tác giả Lê Đình Trường Chương I Các Bài Toán đường thẳng , đường tròn 1.1 Bài toán ba đường thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy Bài toán Định lí Mê-nê-la-uýt Cho tam giác ABC Ba điểm Q, R, P theo thứ tự thuộc đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh M, N, P thẳng hàng ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Chứng minh Điều kiện cần Giả sử P, Q, R thẳng hàng Qua C vẽ đường thẳng song song với PQ cắt AB (h.1) theo định lí Ta- lét A ta có: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ậ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ P R ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Q B Hình C Điều kiện đủ Ngược lại, ta chứng minh thỏa mãn (1) ba điểm P, Q, R thẳng hàng Gọi giao điểm QR AB Vì Q, R, thẳng hàng nên theo chứng minh : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Từ (1) (2) rút ⃐ ̅̅̅̅ ⃐ ̅̅̅̅ Vậy ba điểm P , Q, R thẳng hàng Bài toán Định lí Xê – va Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh AM, BN, CP đồng quy song song ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Chứng minh.(h.2) Điều kiện cần Giả sử AM, BN, CP đồng quy O Vẽ qua A đường thẳng Δ song song với BC, đặt X= BN ∩ Δ, Y = CP ∩Δ Theo định lí Ta- lét ta có ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Y A P N X A P N O B C B C M Hình Hình Giả sử ba đường thẳng AM, BN, CP song song (h.3) Ta có ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Điều kiện đủ Ngược lại, giả sử ba điểm M, N, P tương ứng đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn hệ thức (1) - Nếu hai ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau, chẳng hạn AM BN cắt O Đặt Theo phần thuận ta có ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Từ (1) (2) rút - ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ => AM, BN, CP đồng quy O Nếu hai đường ba đường thẳng AM, BN, CP cắt hiển nhiên ba đường thẳng song song với Bài toán Định lí Desargues Cho hai tam giác ABC thẳng Nếu đường đồng quy giao điểm thẳng hàng, Ngược lại giao điểm chúng thẳng hàng đường thẳng đồng quy Chú ý : Các đường thẳng hai tam giác ABC gọi đường thẳng nói đỉnh tương ứng , giao điểm AB ∩ A^' B^', gọi giao điểm tương ứng hai tam giác Khi định lí Desargues phát biểu sau Các đường thẳng nối đỉnh tương ứng hai tam giác đồng quy (hoặc song song) giao điểm cạnh tương ứng thẳng hàng Chứng minh O a) Điều kiện đủ Giả sử đường thẳng đồng quy O.(h.4) C Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABO ba điểmP, ta có ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅ , Q P R ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Vào tam gaics BCO ba điểm Q, A B Hình ta có vào tam giác CAO ba điểm R, ta có ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Nhân ba đằng thức ta kết sau ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ từ theo định lí Mê-nê-la-uýt ta suy ba điểm P, Q, R thẳng hàng b) Điều kiền đủ ba điểm P, Q, R thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy Giả sử hai đường thẳng cắt O Xét hai tam giác A ta có đường thẳng nối đỉnh tương ứng AC, C , PQ đồng quy R theo phần thuận a) giao điểm cạnh tương ứng phải thẳng hàng, ba giao điểm ∩C đồng quy O thẳng Bài toán Cho hai hình bình hành ABCD A thẳng hàng, ba điểm A, D, thẳng B Vậy đường ba điểm A, B, thẳng hàng Gọi I giao điểm hai đường Chứng minh I, , C thẳng hàng Bài Giải Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác AB với ba điểm thẳng hàng ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (h.5) ta có ̅̅̅̅̅̅ B ̅̅̅̅̅ M C Gọi M giao điểm BC ̅̅̅̅̅̅ theo định lí Ta – lét ta có ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ I ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ Vậy từ (*) suy ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ A D Hình Áp đụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác B M ba điểm I, điểm I, , C ta có ba , C thẳng hàng Bài toán Cho tứ giác ABCD hình thang, AB CD cắt E, AD BC cắt F Gọi I , J, K trung điểm đoạn thẳng AC, BD, EF Chứng minh rẳng I , J, K thẳng hàng Bài giải E Gọi M, N, P trung điểm cạnh M B BE, EC CB tam giác BEC (h.6) N P Khi điểm I , J, K nằm đường thẳng NP,PM, MN BEC ba điểm thẳng hàng A, D, F ta có A ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Hình ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ IN // AE nên ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ JM // DE nên ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ KM // FB nên ̅̅̅ K J I Áp dụng đinh lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác C D ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Vậy từ (*) suy , áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác MNP ba điểm I,J, K ta suy ba điểm I, J, K thẳng hàng Bài toán Cho hình bình hành ABCD với tâm O Trên đường thẳng BD, BC, AC lấy điểm P, Q, R cho AP // OQ // DR Chứng minh P, Q, R thẳng hàng F Bài giải Qua C vẽ đường thẳng song song với RD, đường thẳng cắt BD (h.7) ̅̅̅̅ Theo định lí Ta – lét ta có ̅̅̅̅ B ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ C // RD B đối xứng với D qua O , C O P đối xứng với P qua O ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ( OQ // C Ta lại có ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Q A D Hình R ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Suy ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = ( P, O, B thẳng hàng ) Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác OBC ba điểm P, Q, R ta ba điểm P, Q, R thẳng hàng Bài toán Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB A M, N, P Chứng minh AM, BN, CP đồng quy N Bài giải P IO Cách Áp dụng định lí Xê – va (h.8) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Ta có ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) B M Hình Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) nên PB= MB ; MC = NC ; PA = NA Từ (*) suy ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ( ) ( ( ) ( )( ) ( ) ) =-1 Theo định lí Xê- va cho tam giác ABC ba điểm M, N, P ta AM, BN, CP A Q đồng quy Cách Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt (h.9) P N Gọi AN ∩ CP = I , từ A vẽ đường thẳng song song với BC cắt CP Q ta có B I M Hình C C ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ( ) ( ) ( ) Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn nên ta có BM = BP, AN = AP, CM = NC; AQ // BC nên từ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ suy ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ Theo định lí Mê-nê-la-uýt cho tam giác AMC ba = điểm B, I, N ta B, I, N thẳng hàng Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy Bài toán Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác AM, BM, CM cắt BC, CA, AB P, Q, R ( P trung điểm BC) Lấy T ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ đường thẳng BC Chứng minh ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ P, Q, R thẳng hàng A Bài giải (h.10) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Điều kiện đủ Giả sử ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Q M Theo định lí Xê-va ta có ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ R (1) B = -1 (2) Lấy (2) chia cho (1) ta P Hình 10 C T Theo định lí Mê-nê-la-uýt cho tam giác ABC ba điểm P, Q, R ta ba điểm P, Q, R thẳng hàng Điều kiện cần Ngược lại, giả sử P, Q, R thẳng hàng Lấy ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ BC cho ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ T ≡ đường thẳng Theo chứng minh R, Q, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Vậy ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ thẳng hàng suy Bài toán Cho tam giác ABC, điểm O nằm tam giác Các đường thẳng AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, AB M, N, P Đường thẳng qua O , song song với BC cắt MN, MP E F Chứng minh OE = OF Bài giải Trường hợp 1: NP// BC (h.11) Theo định lí Xê- va ta có ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = -1 A (1) Vì NP // BC nên theo định lí Ta- lét ta có ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ => ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ N F O B ̅̅̅̅ => ̅̅̅̅ Từ (1) (2) suy ̅̅̅̅̅  ̅̅̅̅ P (2) E M C Hình 11 = > OE = OF.( L = AO ∩ PN ) Trường hợp 2: NP BC không song song với (h.12) Đặt Q = NP ∩ BC Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABC ba điểm thẳng hàng P, L, Q ta có ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ A = (3) Theo định lí Xê- va vào tam giác ABC P L ba đường thẳng N, P, M ta ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ F ̅̅̅̅ = -1 (4) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ B ̅̅̅̅ Từ (3) (4) suy ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Hình 12 O M N E C Theo tính chất bốn điểm thẳng hàng : Cho bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy O, đường thẳng Δ cắt chúng bốn điểm phân biệt A, B, C, D - Nếu đường thẳng Δ cắt bốn đường thẳng a, b, c, d ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ - Một đường thẳng song song với OA cắt tia OB, OC, OD lâng lượt Y, X, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Z ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ YX = YZ Q Áp dụng tính chất với bốn đường thẳng OB, OM, OC, OQ đường thẳng ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ BQ PQ cắt ta ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ hay ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Áp dụng tính chất với bốn đường thẳng MQ, MN, ML, MP ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Ta OE= OF Bài toán 10 Cho tam giác ABC, D trung điểm cạnh BC E điểm nằm B D cho BE = ED Một đường thẳng qua C khác với CA, CB cắt hai đường thẳng AB AD M N Chứng minh ba đường thẳng BN, DM AE đồng quy Bài giải A Vì E nằm B D (h.13) nên ta có: M ̅̅̅̅ N , C nằm ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ B đoạn thẳng BD nên ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Vậy ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ E D C Hình 13 Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABD ba điểm M, C, N ta có ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ = hay ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Từ áp định lí Xê- va vào tam giác ABD ba điểm M E, N ta suy ba đường thẳng BN, DM AE đồng quy Bài toán 11 Cho hình bình hành ABCD, điểm X, Y, Z, T nằm DA, AB, Gọi a, b, c, đương thẳng BC, CD cho qua A, B, C song song với XT, YT TZ Chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy Bài giải Theo giả thiết ta có AX = 2DX, BY = 2AY, CZ = 2BZ, DT = 2CT Gọi P giao điểm AB hai đường thẳng song song c ZT (h.14) Khi CP T hình bình hành nên P = CT = DC = AB Hai tam giác ZB ZCT đồng dạng với BZ = CZ nên B A Y B = CT = AB Từ ta có : PB = P + Z M B = = AB, X PA = PB + BA = = AB D ̅̅̅̅ Vậy ta có ̅̅̅̅ Gọi M T C Hình 14 (1) N giao điểm BC hai đường thẳng song song a XT, AM M P X hình bình hành nên: TDX đồng dạng với = AX = AD = BC Hai tam giác TC CT = DT nên C = DX = AD = BC Từ ta có MC = M = BC ̅̅̅̅̅ hay M trung điểm BC, tức ̅̅̅̅̅ (2) Gọi N giao điểm đường thẳng b với AC DC BYT hình bình hành nên : = BY = CD Vậy = = CD = BA ̅̅̅̅ Vì C // AB nên ta có ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (3) ̅̅̅̅ Từ (1), (2), (3) ta suy ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Từ áp dụng định lí Xê- va vào tam giác ABC ba điểm P, M, N ta suy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy tức ba đường thẳng a, b, c đồng quy Bài toán 12 Cho tam giác ABC ; điểm O nằm tam giác Các đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, BA, AB Các đường thẳng A , B , C giác , , , , Lấy điểm cắt đồng quy Chứng minh Bài giải 10 nằm tam D vuông góc với AC đường thẳng qua A vuông góc với BD Chứng minh ba điểm E, P, Q thẳng hàng B Bài giải (h.73) A Q P E D C Hình 73 Đặt đường tròn đường kính AB, BC, CD, DA Gọi ( ⊥ Do A ̂ ⊥ ̂ A, B, Tương tự, ta có B, C, D, A, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Do ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Do P nằm trục đẳng phương = Tương tự, Q nằm trục đẳng phương Do tứ giác ABCD nội tiếp AB ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ CD , ta có ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = Do E nằm trục đẳng phương Vậy E, P, Q nằm trục đẳng phương Nên ba điểm E, P, Q thẳng hàng Bài toán 73.(Việt Nam 2001) Cho đường tròn tâm (O) B Đường thẳng T thứ hai cắt A tiếp xúc với đường tròn thứ điểm T đường tròn Các đường thẳng vuông góc từ T cắt đường thẳng O S S Tia AS cắt đường tròn thứ R tia AS cắt đường tròn thứ hai Chứng minh R, B thẳng hàng Bài giải (h.74) Gọi M giao điểm tiếp tuyến chung T 63 đoạn thẳng AB Gọi O M T A Q S O S R Hình 74 Ta có AB trục đẳng phương (O) ( B suy MT = M , M trung điểm T Ta có TS // MK // S M trung điểm T , K trung điểm SS Gọi điểm đối xứng A qua O Do AB ⊥ AB ⊥ ΔSTO đồng dạng ΔS nên thẳng hàng (g.g), ta có S S Xét tam giác AOS A S : chúng có ̂ S ̂ S ASS cân) hai cạnh tương ứng tỉ lệ, suy n ̂S ̂S ̂S hay ̂ Từ tứ giác nội tiếp AB ( tam giác n ̂S suy ̂ , ta có ̂ R AB ̂ ̂ ̂ Từ đẳng thức ta suy R, B thẳng hàng Bài toán 74 Cho tam giác ABC, đường thẳng Δ cắt BC, CA, AB M, N, P; O điểm không thuộc đường thẳng Δ Các đường thẳng OM, ON, OP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC, OCA, OAB X, Y, Z ( khác O) Chứng minh bốn điểm O, X, Y, Z thuộc đường tròn Bài giải (h.75) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, OYZ Giả sử Gọi ( OM (khác O) theo giả thiết: 64 cắt { ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ { Δ Δ trục đẳng phương ( ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Theo giả thiết, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ A N P ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (1) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (2) Từ (1) (2) suy : ̅̅̅̅ Y Z C B ̅̅̅̅̅ Bài toán 75 Cho tứ giác ABCD; AB CD X O Vậy O, X, Y, Z thuộc đường tròn M Hình 75 E, AD BC F; H, I, J, K theo thứ tự trực tâm tam giác EBC, FDC, EDA, FBA Chứng minh : a) Mỗi bốn điểm H, I, J, K có phương tích đường tròn đường kính AC, BD, EF b) H, I, J, K thẳng hàng( đường thẳng Stai-nơ) Bài giải (h.76) a) Gọi X, Y, Z trung điểm AC, BD, EF; (X) (Y), (Z) đường tròn A đường kính AC, BD, EF Giả sử CM, BN, EP đường cao tam X giác CBE Do tứ giác BPNE, CPME nội D tiếp ta có: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Y P H C B M N F H có phương tích (X) (Y), (Z) Hình 76 Z E Tương tự vậy, ba điểm I, J, K có phương tích (X) (Y), (Z) b) Theo câu a), ta có { HI trục đẳng phương (X) (Y) Tương tự ta có HJ ⊥ HI⊥ XY HK HI⊥ XY Suy H, I, J, K thẳng hàng Bài toán 76 (Trung Quốc TST 2007) Cho hai điểm A B nằm đường tròn (O) Cho điểm C nằm đường tròn; gọi CS CT tiếp tuyến tới 65 đường tròn, M điểm cung nhỏ AB (O) MS, MT cắt AB E, F Các đường thẳng qua E, F vuông góc với AB cắ OS, OT X, Y Một đường thẳng qua C cắt đường tròn (O) P, Q (P thuộc đoạn CQ) Gọi R giao điểm MP AB, Z tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Bài giải (h.77) M Q A F E B O Y T X P Hình 77 Vì EX S C MO ( ⊥ AB) tam giác ÓM cân, ta có ̂ S ̂S ̂ S ̂ S Nên E, S (X, XS) Vì X thuộc đoạn OS, nên đường tròn (X, XS) tiếp xúc với (O) Vì M điểm cung nhỏ AB (O) A, M, B, P, S thuộc đường tròn, ̂ ̂ ̂ S ̂ Suy ΔMAR đồng dạng ΔMPA (g.g) ΔMAE đồng dạng ΔMSA (g.g) Từ ta có S Do S ( với (Z) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR) M nằm trục đẳng phương (Z) (X) Do ̅̅̅S ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ( CS tiếp tuyến (X), (O) ) C nằm trục đẳng phương (Z), (X) Do đó, MC trục đẳng phương (X) (Z) MC ⊥ XZ ( trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm) (1) Tương tự, ta có MC ⊥ YZ (2) Từ (1) (2) suy X, Y, Z thẳng hàng Bài toán 77 Cho đường tròn (O) đường thẳng Δ không cắt (O) Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB tới (O) Chứng minh AB qua điểm cố định 66 Bài giải (h.78) M Gọi H hình chiếu O Δ A K Qua H kẻ tiếp tuyến HK, HL tới đường tròn Đặt I OH KL, I điểm cố định (1) I H Dễ thấy điểm O, A, M, H, B thuộc O B đường tròn ( đường tròn đường kính OM, ta gọi ( ) Hình 78 L Các điểm O, K, H, L thuộc đường tròn (đường kính OH, ta gọi ( ) Ta có đường tròn (O) cắt ( (O) ( ) A B nên AB trục đẳng phương ), trục đẳng phương (O) ( phương ( ) đường thẳng KL, trục đẳng ) đường thẳng OH Do AB, KL, OH đồng quy (2) ) ( Từ (1) (2) suy AB qua điểm I cố định Bài toán 78 Cho đường tròn (O) dây AB Các đường tròn ( ), ( phía AB, tiếp xúc với AB tiếp xúc với (O); ( ) cắt ( ) nằm ) C, D Chứng minh đường thẳng CD qua điểm K cung AB M Bài giải Trước hết ta chứng minh nhận xét sau đây(h.79) , A N Giả sử ( ) tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với ▪ B O AB N Khi đường thẳng MN qua điểm K cung AB Thật vậy, ta có M, , O thẳng hàng ⊥ AB, OK ⊥ AB, suy K Hình 79 OK Hai tam giác cân OMK có góc đỉnh nhau, suy ̂ ̂ Vậy M, N, K thẳng hàng Giả sử ( ), ( ) tiếp xúc với AB tiếp xúc với (O) , , ; (h.80) C Theo nhận xét trên, đường thẳng ▪ qua điểm K cung AB ▪ A ▪ O Ta có ̂ B D ̂ suy tứ giác ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̂ nội tiếp Hình 80 ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 67 K K thuộc trục đẳng phương ( ) ( ) Vậy C, D, K thẳng hàng Bài toán 79 Cho hai đường tròn ( ), ( ) nằm nhau, MN tiếp tuyến chung ngoài, PQ là tiếp tuyến chung (h.81) Chứng minh đồng quy MP, NQ, K Bài giải.(h.81) M N Q L P Hình 81 Đặt K MN PQ, L MP NQ Ta có K nên MP ⊥ NQ hay ̂ bù), suy MP // K ⊥K (phân giác hai góc kề ̂ (1) đường tròn đường kính MN, PQ Theo (1) L Gọi ;L , (2) mặt khác, theo thứ tự tiếp xúc với suy (3) Tương tự, ta có (4) Từ (2), (3) (4) suy L, Bài toán 80 (1995 IMOSL) Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi E AB CD Gọi minh ba điểm F, đồng quy thẳng hàng, tức MP NQ, AC BD F trực tâm tam giác EAD EBC Chứng thẳng hàng Bài giải Để giải toán, trước hết ta chứng minh bổ đề Bổ đề Cho tam giác hai cevian (xuất phát từ hai đỉnh) tam giác Xét hai đường tròn với đường kính hai cevian Khi trực tâm tam giác cho nằm trục đẳng phương hai đường tròn xét 68 * Một cevian tam gi c đoạn thẳng nối từ đỉnh tam gi c đến điểm đường thẳng chứa cạnh đối diện Chứng minh bổ đề.(h.82) Xét tam giác ABC, E trực tâm H, AD cevian xuất phát từ đỉnh A, A N▪ H BE cevian xuất phát từ đỉnh B ▪ M Gọi (M), (N) đường tròn đường kính AD BE Gọi AH BH A CA BC B Hình 82 Vì H trực tâm tam giác ABC, ta có ⊥ BC, B ⊥ CA Do (M), (N) A ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Từ đó, ta có B ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ D E Do H trực tâm tam giác ABC, nên A, B, thuộc D đường tròn Do ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Vậy ta có F C ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Hình 83 = Điều chứng tỏ H nằm trục đẳng phương (M) (N).Bổ đề chứng minh Trở lại toán: Áp dụng bổ đề với tam giác EAD trực tâm hai cevian AB CD, ta có nằm trục đẳng phương hai đường tròn đường kính AB CD Áp dụng bổ đề với tam giác EBC trực tâm hai cevian AB CD, ta có nằm trục đẳng phương hai đường tròn đường kính AB CD Do F AB ̅̅̅̅ F ̅̅̅̅ CD tứ giác ABCD nội tiếp, ta có F ̅̅̅̅ F ̅̅̅̅ tức F có F phương tích với hai đường tròn đường kính AB CD, F nằm trục đẳng phương hai đường tròn đường kính AB CD Vậy ba điểm F, nằm trục đẳng phương hai đường tròn đường kính AB CD, ba điểm thẳng hàng Bài toán 81 Cho tam giác ABC (AB≠ AC).Các đường cao A , B , C H, BC cắt cắt K, M trung điểm BC Chứng minh AM ⊥ HK 69 C Bài giải (h.84) ) đường tròn đường kính AH, ( Gọi ( có ) đường tròn đường kính MH, ta AM (1) Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt cho tam giác ABC ba điểm ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Ta có ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ (*) Áp dụng định lí Xê- va cho tam giác ABC ba đường thẳng A ,B ,C A ta có ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ (**) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ Từ (*) (**) suy ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Đặt ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ B c ta được: bc – ba bc ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ H ̅̅̅̅ ac 2bc ̅̅̅̅ a(b ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ K C M Hình 84 c) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (2) Dễ thấy tứ giác BC nội tiếp, suy ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Từ (2) (3) suy ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (3) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ tức , suy HK trục đẳng phương ( Lại có ) ( ), nên HK ⊥ Kết hợp với (1) suy HK ⊥ AM Bài toán 82 Cho đường tròn (O) dây AB Các đường tròn ( ), ( ) nằm phía AB tiếp xúc với AB, tiếp xúc với (O) tiếp xúc T Tiếp tuyến chung ( chứa ( ) ( ), ( ) cắt (O) C ( C thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ) ) Chứng minh T tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài giải (h.85) Ta có CT trục đẳng phương ( ) ( ) Theo toán 78 ta có CT qua điểm K cung AB 70 ( C ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ Ta lại có tiếp điểm , đường tròn ( ̂ ▪ ) với (O), AB) KA A KT T ̂ (2) Mặt khác, ̂ B ▪O ̂ sđ ̂ (3) Từ (2) (3) suy ̂ ̂ ▪ ̂ ̂ ̂ ̂ (4) K Hình 85 Từ (1) (4) suy T tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài toán 83 Cho tam giác ABC Lấy điểm AB.A AC.A Gọi H Chứng minh B , C , H thuộc canh AC, AB cho trực tâm tam giác ABC, A đồng quy A Bài giải (h.86) theo thứ tự đường Gọi tròn đường kính B , C F Dễ thấy tứ giác F ; K giao điểm B nội tiếp suy ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ F C K ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ F (1) Tứ giác BCEF nội tiếp suy ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ F E ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ B (2) Ta có AB.A suy ΔAB AC.A H Hình 86 đồng dạng ΔAC (c.g.c) ̂ ̂ suy ΔBK Suy đồng dạng ΔCK ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (3) Từ (1), (2) (3) suy K, H, thuộc trục đẳng phương đường tròn Vậy B , C , H đồng quy Bài toán 84 Cho tam giác ABC Chứng minh tâm đẳng phương ba đường tròn bàng tiếp tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh trung điểm cạnh tam giác ABC Bài giải.(h.87) 71 C Gọi X, Y, Z trung điểm BC, CA, AB, ( ), ( ), ( ) đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C tam giác ABC Gọi Δ trục đẳng phương ( ), ( ); Δ trục đẳng phương ( ), ( ); Δ trục đẳng phương ( ), ( ) K P ▪ A ▪ Z E B Y X C M Hình 87 Ta có 2CE AB AC BC = 2BM BM suy XE ,từ suy , ⊥ CE XM suy X Δ Δ (1) Tia phân giác góc ̂ góc ̂ song song với mà tia phân giác góc ̂ vuông góc với góc với Từ suy tia phân giác góc ̂ vuông (2) Từ (1) (2) suy Δ phân giác góc ̂ Tương tự, ta có Δ , Δ theo thứ tự phân giác góc ̂ ̂ Vậy tâm đẳng phương ba đường tròn bàng tiếp tam giác ABC tâm đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh trung điểm cạnh tam giác ABC Bài toán 85 Cho hình bình hành ABCD Đường tròn (O) nằm hình bình hành, tiếp xúc với Ab, AD M, N cắt BD E, F Chứng minh tồn đường tròn qua E, F tiếp xúc với đường thẳng CB, CD Bài giải (h.88) Đặt P MN BC, Q MN CD Dễ thấy tam giác CPQ, BPM, DQN cân C, B, A, 72 Q Suy { A Từ (1) suy tồn đường tròn ( ) N tiếp xúc với CB, CD P, Q ▪ M Mặt khác, từ (2), (3) suy P , D O F E C B Hình 88 nên BD trục đẳng phương hai đường tròn (O) ( ) Từ đó, với ý E, F giao điểm (O) BD, ta có , suy E F thuộc ( ) Vậy ta đường tròn ( ) qua E F tiếp xúc với AB, CD Bài toán 86 Cho tam giác ABC không cân A, nội tiếp đường tròn (O) ( ; R)là đường tròn qua B, C cắt AB, Ac theo thứ tự K, L Đường tròn ngoại tiếp tam giác AKL cắt đường tròn (O) M ≠ A Chứng minh ̂ A Bài giải (h.89) ) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKLM Gọi ( Vì ΔABC khôngcân A nên O, K , (S Ta có S̅̅̅̅ S̅̅̅̅ BC KL Ta lại có Ŝ ̂ S C (1) B ̂ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ S tứ giác LMSC nội tiếp S ▪ AM) S̅̅̅̅ S̅̅̅ L O▪ không thẳng hàng Gọi S tâm đẳng phương (O), ( M ▪ Hình 89 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (2) Từ (1) (2) suy S̅̅̅̅ S̅̅̅̅ S̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ S ̅̅̅̅̅ S̅̅̅̅ Gọi S̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ S̅̅̅̅ S ̅̅̅̅̅ S hình chiếu Từ (3) (4) sy S̅̅̅̅ SA ⊥ M ̅̅̅̅̅ S̅̅̅̅ S S (3) lên SA Khi ta có S ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ S ̅̅̅̅̅ suy M Vậy ̂ 73 S̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (4) Bài toán 87 Cho đường tròn (O; R) nằm đường tròn ( ), điểm M chạy (O) Tiếp tuyến (O) M cắt ( ) A B Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB chạy đường tròn cố định Bài giải (h.90) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam gaics OAB Ta có AB trục đẳng phương ( ) (I), OM ⊥ AB, A [ ] ( [ ] ▪ ) ( ) ( ▪I O▪ ( B ) )( ) ( ( )( ) Hình 90 ) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ | | | | Vậy I chạy đường tròn cố định, tâm (*) không đổi , bán kính xác định (*) Bài toán 88.(Hồng Kông 2006) Tứ giác lồi ABCD có AC = BD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm P nằm tứ giác ABCD thỏa mãn ̂ ̂ ̂ ̂ Chứng minh O, P E thẳng hàng Bài giải.(h.91) Gọi (M) (N) đường tròn ngoại tiếp tam giác PAC PBD Gọi BP (O) , DP (O) Xét trục đẳng phương hai ba đương tròn (M), (N) va (O) Vì AC trục đẳng phương (M) (O), BD trục đẳng phương (N) (O),mà theo định lí trục đẳng phương , trục đẳng phương (O), (M) (N) đồng quy, tức E nằm trục đẳng phương (M) (N) Mà P giao điểm (M) (N), PE trục đẳng phương (M) (N) 74 ▪ M N A E P B O C D Hình 91 Để chứng minh O, P E thẳng hàng, ta cần chứng minh O có phương tích (M) (N) Không tính tổng quat, giả sử ̂ ̂ BCD Ta có ̂ ( ̂ ̂) ̂ ̂ , P nằm tam giac ̂ nên ̂ ( ̂) đường kính đường tròn (O) Xét hai tam giác cân NPB O B: chúng có ̂ ̂ ̂ ̂, ̂ ̂ ̂ ̂ Nên OB tiếp tuyến (N) Từ ta có ( với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD) Tương tự ta có Vậy O có cúng phương tích (M) (N) Vậy O,P E nằm trục đẳng phương (M) (N) 75 Tài liệu tham khảo (1) Vũ Hữu Bình, Văn Như Cương, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Bá Đang, Trương Công Thành, Tài liệu chuyên toán trung học sở toán hình học tập hai , Nhà xuất giáo dục Việt Nam (2) Vũ Hữu Bình, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Bá Đang, Lê Quốc Hán, Hồ Quang Vinh, Tài liệu chuyên toán trung học sở toán hình học tập hai, Nhà xuất giáo dục Việt Nam (3) Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, Hình học 10 nâng cao, nhà xuất giáo dục Việt Nam (4) Đonà Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu chuyên Toán Hình Học 10, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam (5) Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao số chuyên đề Hình Học 10, Nhà xuất giáo dục Việt Nam (6) IMO Shortlost, 1959 2009 (7) Nguyễn Bá Đang, 279 Bài Toán Hình Học phẳng Olympic c c nước, Nhà xuất giáo dục Việt Nam (8) Các đề thi Olympic toán quốc tế, 1959-2013 (9) Website www.artofproblemsolving.com (10)Website đienantoanhoc.net 76 MỤC LỤC Lời mở đầu Chương I Các Bài Toán đường thẳng , đường tròn 1.1 Bài toán ba đường thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy 1.2 Một số toán đường thẳng đường tròn, tứ giác nội tiếp 13 Chương II Các toán vectơ ứng dụng vectơ 25 2.1 Vectơ, tâm tỉ cự 25 2.2: Tích hai vectơ va ứng dụng 41 2.3: Phương tích điểm đường tròn Trục đẳng phương, tâm đẳng phương 60 Tài liệu tham khảo 76 77 [...]... cùng nằm trên một đường tròn ( Đường tròn Euler hay đường A tròn chín điểm ) Bài giải Cách 1 Gọi các điểm như hình vẽ (h.29) Ta có B ⊥ AC nên ̂ nên N Từ đó ̂ I Mà NA = NB, // AH, IN // BC, AH ⊥ Suy ra bốn điểm I, N, N J , O C B cùng nằm trên đường tròn đường kính I Hình 29 Tương tự các điểm còn lại cũng thuộc đường tròn đường kính I Cách 2 Gọi các điểm như hình vẽ (h.29) Đường tròn ngoại tiếp... và (2) suy ra Do đó – nên đường tròn Euler tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp Suy ra Bài toán 28 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng Δ thay đổi đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH, ACH lần lượt tại M và N ( M ≠ H, N ≠ H ) Xác định vị trí của đường thẳng Δ để diện tích tam giác AMN lớn nhất Bài giải Kéo dài đường thẳng BH cắt AC tại E và. .. trong một tam giác đường tròn Euler tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp Bài giải Gọi các điểm như hình vẽ (h.30) Gọi SQ là đường kính đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, kẻ AP ⊥ S vì J là trung điểm của OH nên J là tâm đường tròn Euler,hạ JE ⊥ có l âm ường tròn nội tiếp tam giác ABC nên A, I, S Q P A thẳng hàng Hạ IN ⊥ Trong mọi tam giác ta có AH = 2OM Tứ giác HOMK là hình thang có JE là đường. .. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = 3.( Áp dụng định lí Xê-va vào tam giác BDC và ba điểm X, Y, Z ta suy ra ba đường thẳng BI, DJ, CK đồng quy 1.2 Một số bài toán về đường thẳng và đường tròn, tứ giác nội tiếp Bài toán 16.( Bất đẳng thức Ptoleme) Cho tứ giác ABCD, ta có AB.CD + BC.AD AC.BD Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Bài giải Lấy điểm E trong tứ giác ABCD sao cho ̂ = ̂ ,̂ = ̂ (h.19)... K thẳng hàng Bài giải.(h.20) Ta có ̂ M ̂ nên M, K, D, B cùng nẳm trên một đường tròn Suy ra ̂ Ta lại có ̂ ̂ ̂ K ̂ nên M, E, A, K cùng nằm trên một đường tròn Suy ra ̂ giác nội tiếp nên ̂ A D ̂ Mặt khác AMBC là tứ ̂ Mà ̂ ̂ B ̂ Hình 20 ̂ nên ̂ suy ra ̂ C ̂ Do đó D, E, K thẳng hàng Nhận xét Trong trường hợp α = , thì đường thẳng DEK là đường thẳng SimSon Bài toán 18 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, ... tự Vậy M O là hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Suy ra , cắt nhau tại trung điểm mỗi đường , , D A B C Hình 23 đồng quy Bài toán 21 Cho hai đường tròn ( ) và ( ) cắt nhau tại A và B Trên tia đối của tia BA lấy điểm M Từ M kẻ hai tiếp tuyến ME, MF với đường tròn ( F là các tiếp điểm, F cùng phía với đường tròn ( ), ( E, bờ là AB) Đường thẳng BE và BF cắt ) lần lượt tại P và Q, gọi I là... 23 Hình 33 E C D Suy ra A, I, M, K cùng nằm trên đường tròn nên ̂ ̂ Do đó ̂ Mặt khác ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ( cùng chắn cung AE ) Ta có ̂ ̂ ̂ Từ (1) và (2) suy ra ̂ ̂ ̂ ̂ Do đó bốn điểm M, K, D, E cùng nằm trên một đường tròn Suy ra ̂ ̂ ̂ ̂ nên DB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK Bài toán 31 Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác của ̂ cắt BC và CD lần lượt tại M và N Gọi O là tâm đường tròn. .. nội tiếp đường tròn ( I ) nên ̂ ̂ Từ (1) và (2) suy ra ̂ ̂ ̂ A N J O K M B C I Hình 25 Do đó ̂ ̂ Suy ra ̂ ̂ Trong tam giác IMC có ̂ Suy ra ̂ nên tứ giác MKIC nội tiếp ̂ ̂ ̂ nên ̂ ̂ ̂ tròn (J) và đường tròn (O) cắt nhau tại A, K nên OJ ⊥ Do đó IK ⊥ Su Đường OJ // IK Bài toán 23 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) M nằm trên tia đối của tia BD sao cho MA, MC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)... P thẳng hàng Bài toán 24 Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D E là điểm trên cung BDC, và F 18 là điểm trên cạnh BC sao cho ̂F ̂ ̂ , G là trung điểm của IF Chứng minh rằng DG cắt EI tại điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S Bài giải A Giả sử EI cắt đường tròn ngoại tiếp ΔABC tại S, SD cắt AF và IF lần lượt tại J và. .. dụng định lid Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABC và ba điểm P, Q, R ta được P, Q, R thẳng hàng Bài toán 19 Cho tam giác ABC, M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB Chứng minh rằng P, K, Q cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳn đó luôn đi qua một điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác