Mục lục MỞ ĐẦU Chương PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU 1.1 1.2 Phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành phần 1.1.1 Các phương trình 1.1.2 Sóng Rayleigh 1.1.3 Phương trình tán sắc 10 Phương pháp tích phân đầu cho sóng ba thành phần 14 1.2.1 Các phương trình 14 1.2.2 Sóng Rayleigh 14 1.2.3 Phương trình tán sắc 15 Chương SÓNG RAYLEIGH HAI THÀNH PHẦN TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC, CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC: CHỊU ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) VÀ CẮT 22 2.1 Các phương trình 22 2.2 Sóng Rayleigh 24 2.3 Phương trình tán sắc 27 Chương SÓNG RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN TRONG MÔI TRƯỜNG MONOCLINIC VỚI MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG 30 x1 = 3.1 Các phương trình 30 3.2 Sóng Rayleigh 31 3.3 Phương trình tán sắc 33 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Sóng mặt Rayleigh [9] phát Rayleigh từ kỷ qua (vào năm 1885), nghiên cứu mạnh mẽ, ứng dụng to lớn nhiều ngành khác khoa học kỹ thuật như: âm học, địa chấn học, khoa học vật liệu, khoa học đánh giá không hư hỏng, công nghệ viễn thông Theo Destrade [4], xuất cách khoảng 30 năm, thiết bị sóng mặt (Rayleigh) sử dụng rộng rãi thành công ngành công nghiệp truyền thông Theo Hess [8], năm gần sóng mặt (Rayleigh) tạo laze cung cấp công cụ để nghiên cứu tính chất vật liệu Có thể nói không rằng, phát sóng mặt Rayleigh có ảnh hưởng to lớn sâu rộng đến giới ngày nay, trải dài từ mobile phone đến nghiên cứu động đất, Adams cộng [2] nhấn mạnh Theo Malischewsky [6], vận tốc sóng Rayleigh đại lượng quan trọng, thu hút quan tâm đặc biệt nhà địa chất học, khoa học vật liệu nhà nghiên cứu thuộc lĩnh vực khác vật lý Vì vận tốc sóng Rayleigh nghiệm phương trình tán sắc, nên phương trình tán sắc dạng tường minh mục tiêu nghiên cứu sóng Rayleigh Nó sử dụng để giải toán thuận: nghiên cứu phụ thuộc vận tốc sóng Rayleigh vào tham số vật liệu (và tham số khác), đặc biệt sử dụng để giải toán ngược: đánh giá (không hư hỏng) tham số vật liệu (và tham số khác) thông qua giá trị đo vận tốc sóng Đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng môi trường dị hướng đơn giản (chẳng hạn môi trường đàn hồi trực hướng), để tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh ta sử dụng phương trình đặc trưng sóng Vì phương trình trùng phương nên ta dễ dàng tìm biểu thức nghiệm Tuy nhiên, môi trường dị hướng phức tạp (chẳng hạn môi trường monoclinic [10]), phương trình đặc trưng sóng bậc bốn đầy đủ Do vậy, việc tìm biểu thức nghiệm khó khăn, không nói thực Để vượt qua khó khăn này, Mozhaev [7] đưa phương pháp gọi "phương pháp tích phân đầu" (Method of First Intergrals) Phương pháp cho phép ta tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh mà không cần sử dụng phương trình đặc trưng Destrade [3] cải tiến phương pháp tích phân đầu Mozhaev [7] ứng dụng thành công vào toán sóng Rayleigh hai thành phần Theo hướng cần kể đến nghiên cứu gần Vĩnh cộng [14] Gần đây, Destrade [3] Ting [12] khẳng định rằng: phương pháp tích phân đầu trình bày Mozhaev [7] hiệu lực với sóng Rayleigh ba thành phần (chẳng hạn sóng Rayleigh môi trường monoclinic có mặt phẳng đối xứng x1 = hay x2 = 0, sóng Rayleigh môi trường dị hướng tổng quát) Mới đây, Vĩnh Nam [1] áp dụng thành công phương pháp tích phân đầu cho sóng tựa Rayleigh ba thành phần bắt nguồn từ sóng Stoneley truyền môi trường đàn hồi có ứng suất trước Các tác giả không xuất phát từ phương trình chuyển dịch Mozhaev [7], mà dựa vào phương trình ứng suất, không dừng lại hệ chín phương trình đại số tuyến tính phụ thuộc lẫn chín ẩn số Ting [12], mà đến hệ gồm ba phương trình độc lập ba ẩn số Mục đích luận văn là: Áp dụng phương pháp tích phân đầu tìm phương trình tán sắc dạng tường minh sóng Rayleigh hai thành phần môi trường không nén có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) cắt [5] Bài toán Destrade Ogden [5] nghiên cứu vào năm 2005 Vì sử dụng phương pháp vectơ phân cực [13] nên phương trình tán sắc tìm cồng kềnh Do vậy, phương trình tán sắc không viết dạng tường minh Trong luận văn này, cách sử dụng phương pháp tích phân đầu, tác giả thu phương trình tán sắc, viết dạng tường minh Quá trình rút phương trình tán sắc ngắn gọn so với phương pháp vectơ phân cực Sử dụng phương pháp tích phân đầu trình bày [1] tác giả luận văn tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh ba thành phần môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = 0, dạng tường minh Kết trùng với kết tìm gần Ting phương pháp khác [11] mà trình tìm phức tạp Trái ngược với kết luận Destrade [3] Ting [12], luận văn khẳng định phương pháp tích phân đầu [1] hoàn toàn có hiệu lực sóng Rayleigh ba thành phần Luận văn gồm chương: Chương Phương pháp tích phân đầu Chương nhằm mục đích giới thiệu phương pháp tích phần đầu cho sóng Rayleigh hai thành phần dựa phương trình ứng suất [3], phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành phần theo Mozhaev [7] Chương dẫn chứng minh chi tiết khẳng định: "Phương pháp tích phân đầu Mozhaev sóng ba thành phần dẫn đến đồng thức mà không dẫn đến phương trình tán sắc mong muốn" Chương Sóng Rayleigh hai thành phần môi trường không nén có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) cắt Chương Sóng Rayleigh ba thành phần môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Phạm Chĩ Vĩnh người tận tình giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô môn Cơ học thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học trang bị kiến thức giúp em hoàn thành luận văn Các kết luận văn trình bày thảo luận xemina "Sóng ứng dụng" môn Cơ học, khoa Toán - Cơ - Tin học Tác giả luận văn nhận góp ý bổ ích từ thành viên xemina Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Trịnh Thị Thanh Huệ Chương PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐẦU 1.1 Phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành phần Trong mục này, phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành phần trình bày thông qua việc xét toán truyền sóng Rayleigh môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = Chú ý rằng, toán công bố cách vắn tắt Destrade [3] vào năm 2001 1.1.1 Các phương trình Xét bán không gian x2 ≥ tạo vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x3 = Vật liệu giả thiết đàn hồi nén Xét toán biến dạng phẳng: ui = ui (x1, x2 , t), i = 1, 2, u3 ≡ (1.1) ui thành phần vectơ chuyển dịch Khi đó, phương trình chuyển động có dạng: σ11,1 + σ12,2 = ρ¨ u1 σ12,1 + σ22,2 = ρ¨ u2 (1.2) đó: σij (i, j = 1, 2) thành phần tenxơ ứng suất, ρ mật độ khối lượng vật liệu, dấu "," đạo hàm theo biến không gian, dấu "." đạo hàm theo thời gian Các thành phần tenxơ ứng suất σij (i, j = 1, 2) liên hệ với thành phần tenxơ biến dạng ij (i, j = 1, 2) công thức:  σ11 = C11 σ12 = C16  σ22 = C12 + C12 11 + C26 11 + C22 11 + 2C16 22 + 2C66 22 + 2C26 22 12 12 (1.3) 12 với Cij số đàn hồi vật liệu và: 11 = u1,1, 22 = u2,2 , 12 = u1,2 + u2,1 (1.4) Điều kiện tắt dần vô cùng: u1 = u2 = x2 = +∞ (1.5) Điều kiện tự ứng suất mặt biên x2 = 0: σ12 = σ22 = x2 = 1.1.2 (1.6) Sóng Rayleigh Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng Ox1 với vận tốc c tắt dần theo hướng Ox2 Khi đó, ta tìm nghiệm dạng: uj = Uj (y)eik(x1−ct) (j = 1, 2) σj2 = iktj (y)eik(x1−ct) (j = 1, 2) (1.7) k số sóng, y = kx2 Thay (1.7) vào (1.3)2 , (1.3)3 sử dụng (1.4) ta có: (1.8) t = iP U + QU, dấu ” ” đạo hàm theo biến y U U = U1 , t t = t1 , C C P = − C66 C26 , 26 22 C C Q = C16 C66 (1.9) 12 26 Từ (1.8) suy ra: U = −iP −1 t + iP −1 QU = iN1U + iN2 t, (1.10) đó: −r −1 N1 = P −1 Q = −r6 , n n N2 = −P −1 = n66 n26 , 26 22 (1.11) với: ∆ = C22 C66 − C26 , r6 = − C12 C16 S16 = − , ∆ C22 C26 S11 n26 = − r2 = C12 C26 S12 = − , ∆ C16 C66 S11 C26 C66 S11 S16 S11 S12 = , n22 = = , ∆ S11 S12 S22 ∆ S11 S12 S22 n66 = C22 S11 S16 = , ∆ S11 S16 S66 Sij số độ mềm rút gọn vật liệu [10] Từ (1.2) vào (1.7) tính đến (1.3)1 , (1.4) ta được: t1 = −i(C11 − ρc2 )U1 − iC16U2 − C16U1 − C12U2 t2 = iρc2 U2 − it1 (1.12) Sử dụng (1.10) để biểu diễn U1, U2 qua U1 , U2, t1 , t2 thay biểu thức vào (1.12)1 ta thu được: t1 = −(η − ρc2 )U1 − ir6 t1 − ir2 t2 , (1.13) đó: C11 C12 C16 C12 C22 C26 = η = C11 − C12 r2 − C16r6 = ∆ C16 C26 C66 S11 (1.14) Từ (1.10), (1.12)2 (1.13) ta thu hệ bốn phương trình vi phân cấp bốn ẩn số U1 , U2 , t1 , t2 Dưới dạng ma trận viết sau: (1.15) ξ = iN ξ, đó:   U1 U ξ =  t 2 , t2 N= N1 N2 , K N1T K= −(η − ρc2 ) , ρc2 (1.16) N1 , N2 xác định (1.11) Chú ý rằng, dấu ” ” (1.15) đạo hàm theo biến y = kx2 Phương trình (1.15) viết lại sau: U t ⇒ iN1 iN2 iK iN1T U t (1.17) U = iN1 U + iN2 t t = iKU + iN1T (1.18) = Khử U từ hệ (1.18) ta thu hệ phương trình vi phân cấp hai ứng suất có dạng sau: αt − iβt − γt = 0, (1.19) đó: α=K −1 −1  =  η − ρc    , ρc2   2r6 r2 − 2  η − ρc2 η − ρc ρc  , −1 T −1 β = K N1 + N1 K =  r  − η − ρc2 ρc2   −r62 −r6 r2  η − ρc2 + ρc2 − n66 η − ρc2 − n26 −1 T  γ = N1 K N1 − N2 =    −r6 r2 −r22 − n − n 26 22 η − ρc2 η − ρc2 (1.20) Chú ý α, β, γ ma trận thực đối xứng 1.1.3 Phương trình tán sắc Giả sử f (y), g(y) hàm giá trị phức biến thực y ∈ [0, +∞) Ta định nghĩa tích vô hướng chúng sau: +∞ < f, g >= (f g¯ + f¯g)dy, (1.21) đó, f¯, g¯ giá trị liên hợp f, g Dưới dạng thành phần, phương trình (1.19) viết sau: αkl tl − iβkl tl − γkl tl = 0, 10 (k, l = 1, 2) (1.22) νˆ21 γˆ − σ ˆ22 − N1 = , N2 = γˆ , γˆ γˆ 0 −1  (2.27) ν ˆ ν ˆ 21 21 ˆ22 ) + νˆ12 + (ˆ γ−σ ˆ22)  = X − 2(βˆ + γˆ − σ γˆ γˆ  K=   νˆ21 X −α ˆ + (ˆ νˆ12 + (ˆ γ − σˆ22 ) γ − σˆ22 )2 γˆ γˆ N1 N2 N= , K N1T  2.3 − Phương trình tán sắc Kí hiệu U = [U1 U2 ]T , nên ta có τ = [τ1 τ2 ]T U ξ= τ Khi đó, phương trình (2.26) viết lại sau U τ =i N1 N2 K N1T U τ (2.28) với N1 , N2 , K xác định (2.27) ý N2 , K ma trận đối xứng Từ phương trình ma trận (2.28) ta viết lại dạng hệ phương trình sau U = iN1 U + iN2 τ τ = iKU + iN1T τ (2.29) Khử U từ phương trình (2.29)2 ta đưa phương trình vi phân cấp hai biến τ Gτ + iHτ + Jτ = (2.30) G, H, J ma trận đối xứng xác định sau G = K −1 , H = K −1 N1T + N1K −1 , 27 J = N1 K −1 N1T − N2 (2.31) ˆ = γˆ |K|G, H ˆ = γˆ|K|H, Jˆ = γˆ |K|J với |K| = det K ta có Đặt G ˆ 11 = (X − α)ˆ G ˆ γ + (ˆ γ−σ ˆ22 )2, ˆ 12 = G ˆ 21 = −ˆ G ν12 γˆ − νˆ21 (ˆ γ −σ ˆ22 ), ˆ 22 = [X − 2(βˆ + γˆ − σ ˆ22 )]ˆ γ + νˆ2 , G 21 ˆ 11 = −2ˆ H ν21 (X − α) ˆ + 2ˆ ν12 (ˆ γ−σ ˆ22), ˆ 21 = (−X + α)ˆ ˆ 12 = H ˆ γ + νˆ12 νˆ21 H − (ˆ γ−σ ˆ22)2 − (ˆ γ − σˆ22 )[X − 2(βˆ + γˆ − σ ˆ22 )], (2.32) ˆ 22 = 2ˆ ν12γˆ + 2ˆ ν21 (ˆ γ−σ ˆ22 ), H Jˆ11 = νˆ2 − (X − α)[X ˆ − 2(βˆ + γˆ − σ ˆ22 )], 12 Jˆ12 = Jˆ21 = νˆ21 (X − α) ˆ − νˆ12 (ˆ γ−σ ˆ22 ), Jˆ22 = (X − α ˆ )ˆ γ + (ˆ γ−σ ˆ22 )2 Khi đó, phương trình (2.30) viết lại thành ˆ + Jτ ˆ =0 ˆ + iHτ Gτ (2.33) ˆ H, ˆ Jˆ ma trận đối xứng có thành phần xác G, định (2.32) Áp dụng phương pháp trình bày mục 1.1.3 (phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành phần) suy phương trình tán sắc có dạng ˆ 11 G ˆ 12 G ˆ 22 G ˆ 11 H ˆ 12 H ˆ 22 H 28 Jˆ11 Jˆ12 = Jˆ22 (2.34) Khai triển (2.34) tính dến (2.32), phương trình tán sắc có dạng: − 2[ˆ γ (ˆ ν12 + νˆ21) − νˆ21 σ ˆ22 ] [X γˆ − α ˆ γˆ + (ˆ γ −σ ˆ22 )2 ](−ˆ γ νˆ12 + X νˆ21 − αˆ ˆ ν21 + νˆ12σ ˆ22 ) − νˆ12 − (X − α)[X ˆ − 2(βˆ + γˆ − σˆ22 )] [−ˆ γ (ˆ ν12 + νˆ21) + νˆ21 σ ˆ22 ] + [X γˆ + νˆ21 − 2ˆ γ (βˆ + γˆ − σ ˆ22 )] − 2(ˆ γ νˆ12 − X νˆ21 + αˆ ˆν21 − νˆ12 σ ˆ22 )2 − νˆ12 − (X − α)[X ˆ − 2(βˆ + γˆ − σ ˆ22 )] σ22 + σ ˆ2 [ˆ γ (α ˆ + 2βˆ + γˆ) + νˆ12νˆ21 − 2(βˆ + γˆ)ˆ + X(−2ˆ γ+σ ˆ22 )] + [X γˆ − α ˆ γˆ + (ˆ γ− 22 σˆ22 )2 ] 2(ˆ γ νˆ12 − X νˆ21 + αˆ ˆ ν21 − νˆ12σ ˆ22 )[ˆ γ (ˆ ν12 + νˆ21 ) − νˆ21 σ ˆ ] + [X γˆ − αˆ ˆγ + (ˆ γ−σ ˆ22)2 ] [ˆ γ (α ˆ + 2βˆ + γˆ) + νˆ12νˆ21 − 2(βˆ + γˆ)ˆ σ22 + σ ˆ22 + X(−2ˆ γ+σ ˆ22 )] = (2.35) Đây phương trình bậc bốn đầy đủ X = ρv2 Phương trình tán sắc (2.35) sóng Rayleigh hai thành phần môi trường không nén được, có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) cắt, lần viết cách tường minh 29 Chương SÓNG RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN TRONG MÔI TRƯỜNG MONOCLINIC VỚI MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG x1 = 3.1 Các phương trình Xét bán không gian x2 ≥ tạo vật liệu monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = [10] Khi đó, phương trình trạng thái có dạng [10]:   C11 σ11 σ22  C12 σ33  C13  = σ23  C14 σ   13 σ12  với ij C12 C22 C23 C24 0 C13 C23 C33 C34 0   C14 0 11 C24 0   22    C34 0    33  C44 0  2 23 C55 C56 2 13 12 C56 C66 (3.1) thành phần tenxơ biến dạng xác định sau: (3.2) ij = (ui,j + uj,i ) Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng: σij,j = ρ¨ ui , i, j = 1, 2, 3, (3.3) σij thành phần tenxơ ứng suất, dấu ”, ” đạo hàm theo biến không gian dấu ”.” đạo hàm theo thời gian Giả sử biên bán không gian tự ứng suất Khi σi2 = 0, i = 1, 2, x2 = (3.4) Điều kiện tắt dần vô ui = σi2 = 0, i = 1, 2, x2 = +∞ 30 (3.5) 3.2 Sóng Rayleigh Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 Khi đó, nghiệm tìm dạng uj = Uj (kx2 )eik(x1 −ct) j = 1, 2, σj2 = ktj (kx2 )eik(x1 −ct) (3.6) c vận tốc sóng, k số sóng Thay (3.6) vào (3.1)6 , (3.1)2 , (3.1)4 ta có  t1 = iC56 U1 + C66U1 + iC66U2 t2 = iC12 U1 + C22U2 + C24U3  t3 = iC14 U1 + C24U2 + C44U3 (3.7) Chú ý rằng, dấu ” ” đạo hàm theo biến y = kx2 Đặt t = [t1 t2 t3 ]T , U = [U1 U2 U3 ]T ta đưa phương trình (3.7) dạng t = iQU + P U với P = C66 0 C22 C24 , C24 C44 C56 C66 Q = C12 0 C14 0 (3.8) (3.9) Từ (3.8) suy U = iN1 U + N2 t N1 , N2 xác định sau   C56 −1 −  C66  C C − C C  12 44  24 14  −1 0 N1 = −P Q =  ,  C22C44 − C24   C12 C24 − C14 C22  0 C22C44 − C24   0  C66    C −C 44 44   −1 N2 = P =   2 C22 C44 − C24 C22 C44 − C24     −C44 C22 2 C22 C44 − C24 C22 C44 − C24 31 (3.10) (3.11) Để đơn giản cách viết ta kí hiệu r2 = , C66 r4 = − C(1, 2|2, 4) , C(2, 4) s6 = C56 , C66 C44 −C24 C22 , n24 = , n44 = , C(2, 4) C(2, 4) C(2, 4) C C C C C(1, 4|2, 4) = C12 C14 , C(2, 4) = C22 C24 24 44 24 44 Khi đó, (3.11) trở thành n66 = với C(1, 4|2, 4) , C(2, 4) n22 = −1 −s6 , N1 = −r2 −r4 0 n66 0 N2 = n22 n24 n24 n44 Từ (3.1)1,3,5 , (3.2), (3.3), (3.6) ta có  −C11 U1 + iC12U2 + iC14U3 + t1 it1 + t2  −C55 U3 + iC56U1 − C56U2 + t3 = −ρc2 U2 = −ρc2 U1 = −ρc2 U3 (3.12) (3.13) Sử dụng (3.10), phương trình (3.13) trở thành  2 C11C22 C44 − C11 C24 + 2C12 C14 C24 − C12 C44 − C14 C22    t = ( − ρc2 )U1 −   C22 C44 − C24    C12 C44 − C14 C24 C14 C22 − C12 C24  −i t2 − i t3 2 C22C44 − C24 C22C44 − C24   t2 = −ρc2 U2 − it2     C55C66 − C56 C56   − ρc2 )U3 − i t1 t3 = ( C66 C66 (3.14) C(5, 6) C(1, 2, 4) Đặt: η = ,µ = , X = ρc2 ta đưa phương trình C(2, 4) C66 (3.14) dạng t = KU + iN1T t (3.15) η−X 0 −X K= 0 µ−X N1 xác định (3.12) 32 (3.16) Kết hợp (3.10) (3.15) ta có U t = iN1 N2 K iN1T U t (3.17) hay U = iN1 U + N2t t = KU + iN1T t (3.18) U = K −1 t − iK −1 N1T t (3.19) Từ (3.18)2 ta Thay (3.19) vào phương trình (3.18)1 ta có αt − iβt − γt = (3.20) α, β, γ ma trận thực đối xứng xác định sau α = K −1 , 3.3 β = K −1 N1T + N1K −1 , γ = N1 K −1 N1T + N2 (3.21) Phương trình tán sắc Viết phương trình (3.20) dạng thành phần ta αkl tl − iβkl tl − γkl tl = (k, l = 1, 2, 3) (3.22) Nhân hai vế phương trình (3.22) với it¯m (m = 1, 2, 3) ¯m = αkl itl t¯m + βkl tl t¯m + γkl tl it (3.23) Lấy liên hợp hai vế phương trình (3.23) αkl it¯ l tm + βkl t¯ l tm + γkl ¯tl itm = (3.24) Cộng vế với vế hai phương trình (3.23) (3.24) ta suy ¯ m + t¯l itm) = (3.25) αkl (itl t¯m + it¯ l tm) + βkl (tl t¯m + t¯ l tm ) + γkl (tl it Đưa vào kí hiệu: +∞ < f, g >= 33 (f g¯ + f¯g)dy Đặt: Alm =< itl , tm >, Blm =< tl , tm >, Clm =< tl , itm > (3.26) Lấy tích phân hai vế phương trình (3.25) theo y từ → +∞ ta thu hệ phương trình sau (3.27) αkl Alm + βkl Blm + γkl Clm = Dưới dạng ma trận (3.27) có dạng (3.28) αA + βB + γC = α, β, γ xác định (3.21), A, B, C ma trận vuông cấp ba với thành phần xác định (3.26) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh A, B, C ma trận phản đối xứng, tức Alm = −Aml , Blm = −Bml , Clm = −Cml Thật vậy, ta có +∞ Clm =< tl , itm >= +∞ ¯ m + t¯l itm)dy = (tl it (−itl t¯m + t¯l itm )dy +∞ Cml =< tm , itl >= +∞ ¯ l + t¯m itl )dy = (tm it (−itmt¯l + t¯m itl )dy ⇒ Clm + Cml = ⇔ Clm = −Cml +∞ Alm =< itl , tm >= Aml =< itm, tl >= +∞ (itl t¯m + it¯ l tm )dy = (itmt¯l + it¯ mtl )dy = +∞ ⇒ Alm + Aml = = (itl t¯m −it¯ l tm +itm ¯tl −it¯ mtl ) +∞ +∞ (itl t¯m − it¯ l tm )dy (i tm t¯l − it¯ mtl )dy (itl t¯m − it¯ l tm + itm ¯tl − it¯ m tl )dy +∞ − +∞ (itl t¯ m−it¯ l tm +itmt¯ l −it¯ mtl )dy Do điều kiện (3.5) (3.4) nên suy Alm + Aml = hay Alm = −Aml 34 Hoàn toàn tương tự cách chứng minh ta suy Blm = −Bml Vậy A, B, C ma trận phản đối xứng cấp Do đó, chúng có dạng sau a1 a2 A = −a1 a3 , −a2 −a3 0 b1 b2 B = −b1 b3 , −b2 −b3 0 c1 c2 C = −c1 c3 −c2 −c3 a1 , a2, a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 , c3 khác Mặt khác, nhân hai vế phương trình (3.28) với ma trận K = α−1 ta dẫn phương trình tương đương sau ˆ + γˆC = A + βB (3.29)  G −F    −G X µ − X    βˆ = Kβ =  0 , η − X   −F  0 (3.30) η−X   ˆ 0 (η − X)(− + Q66 )   X γˆ = Kγ =  ˆ ˆ −X Q22 −X Q24  ˆ 24 (µ − X)Q ˆ 44 (µ − X)Q  với kí hiệu: s26 ˆ 22 = n22 + r2 , Q ˆ 24 = n24 + r2 r4 , , Q µ−X η−X η−X ˆ 44 = n44 + r4 , ψ = − r2 , ξ = r4 + s6 , Q η−X X η−X η−X µ−X F = [(µ − X)r4 + (η − X)s6], G = η − (1 + r2 )X (3.31) Từ (3.30) ta có ˆ 66 = n66 + Q βˆ11 = βˆ22 = βˆ33 = βˆ23 = βˆ32 = γˆ12 = γˆ13 = γˆ21 = γˆ31 = 35 Khi đó, (3.29) trở thành  −b1 βˆ12 − b2 βˆ13 =      a1 − b3 βˆ13 + c1 γˆ11 =     a2 + b3 βˆ12 + c2 γˆ11 =     −a1 − c1 γˆ22 − c2 γˆ23 =    ˆ b1 β21 − c3 γˆ23 =  a3 + b2 βˆ21 + c3 γˆ22 =     a2 + b3 βˆ12 + c2 γˆ11 =     −a2 − c1 γˆ32 − c2 γˆ33 =     −a3 + b1βˆ31 − c3 γˆ33 =    ˆ b2 β31 + c3 γˆ32 = (3.32) Từ chứng minh mục 1.2 suy hệ phương trình (3.32) ẩn số a1 , a2 , a3, b1 , b2 , b3, c1 , c2 , c3 hệ phụ thuộc tuyến tính Ta thực phép biến đổi cộng vế với vế phương trình (3.32)2 (3.32)4 , phương trình (3.32)3 (3.32)7 , phương trình (3.32)6 (3.32)8 đồng thời giữ nguyên phương trình (3.32)1 , (3.32)5 (3.32)9 ta hệ sáu phương trình ẩn số b1 , b2 , b3 , c1 , c2 , c3 :   −b1 βˆ12 − b2 βˆ13 =     b1 βˆ21 − c3 γˆ23 =    ˆ b2 β31 + c3 γˆ32 = (3.33) ˆ13 + c1 (ˆ  β γ − γ ˆ ) − c γ ˆ = −b 11 22 23     b3 βˆ12 − c1 γˆ32 + c2 (ˆ γ11 − γˆ33 ) =    ˆ b1 β31 + b2 βˆ21 + c3 (ˆ γ22 − γˆ33 ) = Nhận xét: Hệ phương trình (3.33) chia thành hai nhóm • Nhóm gồm phương trình (3.33)1 , (3.33)2 , (3.33)3 (3.33)6 với ẩn số b1 , b2 , c3 • Nhóm gồm phương trình lại (3.33)4 , (3.33)5 với ẩn số b3 , c1 , c2 • Nhóm có phương trình (3.33)3 tổ hợp tuyến tính phương 36 trình (3.33)1 (3.33)2 Cụ thể là: µ−X X η−X = Vế trái (3.33)3 Vế trái (3.33)2 (µ − X) − Vế trái (3.33)1 (3.34) Do đó, hệ phương trình nhóm tương đương với hệ phương trình độc lập tuyến tính (3.33)1 , (3.33)2 (3.33)6 ẩn số b1 , b2 , c3 :  −b1 βˆ12 − b2 βˆ13 = (3.35) b βˆ − c3 γˆ23 =  ˆ21 b1 β31 + b2 βˆ21 + c3 (ˆ γ22 − γˆ33 ) = Để hệ (3.35) có nghiệm không tầm thường định thức hệ số hệ phương trình phải không, tức là: −βˆ12 −βˆ13 βˆ21 −ˆ γ23 = βˆ31 βˆ21 γˆ22 − γˆ33 (3.36) Đây phương trình tán sắc sóng Rayleigh môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = Khai triển (3.36) ta có: −βˆ12 βˆ21 γˆ23 + βˆ21 βˆ13(ˆ γ22 − γˆ33 ) + βˆ31βˆ13 γˆ23 = (3.37) Thay (3.30) vào phương trình (3.37) ta suy − F G G ˆ 24 − G ˆ 22 + (µ − X)Q ˆ 44] XQ [X Q Xη−X η−Xµ−X F F ˆ 24 = − XQ η−Xµ−X (3.38) hay ˆ 24 + F G[X Q ˆ 22 + (µ − X)Q ˆ 44] = [XF + (µ − X)G2]Q (3.39) Sử dụng (3.31) vào (3.39) ta có: r2 r4 r22 (n24 + ) + F G[X(n22 + ) + (µ − X)(n44 η−X η−X r42 + )] = η−X 37 (3.40) ⇔ F G{X[n22(η − X) + r22 ] + (µ − X)[n44(η − X) + r42 ]}+ + [XF + (µ − X)G2][n24 (η − X) + r2 r4 ] = (3.41) Phương trình (3.41) phương trình tán sắc sóng Rayleigh môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = Đó phương trình bậc bốn X Phương trình tán sắc thu hoàn toàn trùng với kết công bố gần Ting [11] vào năm 2002 Do Ting sử dụng phương pháp khác nên trình tìm phương trình tán sắc ông phức tạp 38 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu hai toán: Bài toán 1: Sóng Rayleigh hai thành phần môi trường không nén có biến dạng trước: đồng thời chịu kéo (nén) cắt Bài toán 2: Sóng Rayleigh ba thành phần môi trường monoclinic có mặt phẳng đối xứng x1 = Tác giả áp dụng phương pháp tích phân đầu để tìm phương trình tán sắc dạng tường minh sóng Đối với toán thứ nhất, lần phương trình tán sắc sóng viết dạng tường minh Đối với toán thứ hai, phương trình tán sắc thu hoàn toàn trùng với kết tìm gần Ting [11] nhiên trình tìm phương trình tán sắc Ting phức tạp tác giả sử dụng phương pháp khác Kết toán thứ hai cho thấy rằng: Phương pháp tích phân đầu công cụ tốt không cho sóng Rayleigh hai thành phần mà sóng Rayleigh ba thành phần, trái ngược với nhận định gần Destrade [3] Ting [12] Hướng nghiên cứu tiếp theo: - Áp dụng phương pháp tích phân đầu để nghiên cứu sóng Rayleigh ba thành phần mà chưa có phương trình tán sắc dạng tường minh - Đối với sóng Rayleigh ba thành phần có phương trình tán sắc dạng tường minh (tìm phương pháp khác phương pháp tích phân đầu) áp dụng phương pháp tích phân đầu để tìm phương trình tán sắc có số bậc thấp số bậc phương trình tán sắc tìm phương pháp khác 39 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Chí Vĩnh, Nguyễn Thị Nam (2007), "Áp dụng phương pháp tích phân đầu để tìm phương trình tán sắc sóng Stoneley", Hội nghị Cơ học lần thứ 8, Hà Nội, pp 654-663 [2] S D M Adam et al (2007)," Rayleigh Waves Guided by Topography", Proc R Soc London, Ser A, 463, pp 531-550 [3] M.Destrade (2001), "The explicit secular equation for surface acoustic waves in monoclinic elastic crystals", Journal of the Acoustic Society of America, 109, pp 1398-1402 [4] M Destrade (2004), "Rayleigh waves in anisotropic crystals rotating about the normal to a symmetry plane", Jourmal of Applied Mechanics, 71(4), pp 516 - 520 [5] M Destrade, R W Ogden (2005), "Surface waves in a stretched and sheared incompressible elastic material", International Journal of Non-Linear Mechanics, 40, pp 241 - 253 [6] P Malischewsky (2004), "A note on Rayleigh-wave velocities as a function of the material parameters", Geoficica international, 43, pp 507 - 509 [7] V G Mozhaev (1995), "Some new ideas in the theory of surface acoustic waves in anisotropic media", IUTAM Symposium on Anisotropy, Inhomogeneity and Nonlinerity in Solids, edited by D F Parker and A H England, pp 455 - 462 40 [8] P Hess (2002), "Surface acoustic waves in materials science", Physics Today, 55(3), pp 42 - 47 [9] L Rayleigh (1885), "On waves propagated along the plane surface of an elastic solid", Proc R Soc London, 17, pp - 11 [10] T C T Ting (1996), "Anisotropic elasticity: theory and applications", Oxford university press, pp 509 - 511 [11] T C T Ting (2002), "Explicit secular equation for surface waves in monoclinic materials with the symmetry plane at x1 = 0, x2 = or x3 = 0", Proc R Soc Lond A, 458, pp 1017 - 1031 [12] T C T Ting (2004), "Explicit secular equation for surface waves in an anisotropic elastic half - space from Rayleigh to today", Surface waves in anisotropic and laminated bodies and defects detection, NATO Sci Ser II Math Phys Chem., Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 163, pp 95 - 116 [13] T C T Ting (2005), "The polarization vectors at the interface and the secular equation for stoneley waves in monoclinic bimaterials", Proc R Soc A, 461, pp 711 - 731 [14] Pham Chi Vinh, Trinh Thi Thanh Hue, Dinh Van Quang, Nguyen Thi Khanh Linh, Nguyen Thi Nam (2010), "Method of first intergrals and interface Surface Waves", Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 32(2), pp 107 - 120 41 [...]... trình tán sắc của sóng Rayleigh ba thành phần trong môi trường monoclinic với mặt phẳng đối xứng x1 = 0, trái với khẳng định gần đây của Destrade [3] và Ting [12] 21 Chương 2 SÓNG RAYLEIGH HAI THÀNH PHẦN TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC, CÓ BIẾN DẠNG TRƯỚC: CHỊU ĐỒNG THỜI KÉO (NÉN) VÀ CẮT 2.1 Các phương trình cơ bản Xét vật thể đàn hồi không nén được mà ở trạng thái tự nhiên là đẳng hướng, và chiếm bán không... với X = ρv2 Phương trình tán sắc (2.35) của sóng Rayleigh hai thành phần trong môi trường không nén được, có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt, lần đầu tiên được viết một cách tường minh 29 Chương 3 SÓNG RAYLEIGH BA THÀNH PHẦN TRONG MÔI TRƯỜNG MONOCLINIC VỚI MẶT PHẲNG ĐỐI XỨNG x1 = 0 3.1 Các phương trình cơ bản Xét bán không gian x2 ≥ 0 được tạo bởi vật liệu monoclinic với mặt phẳng... 1) Sau đó, vật thể chịu biến dạng cắt đặc trưng bởi hằng số κ (xem hình 1) Chú ý rằng, ở trạng thái ban đầu vật thể chiếm bán không gian xˆ2 ≥ 0 Với biến dạng trước (2.1) phương trình chuyển động đối với nhiễu chuyển dịch (bỏ qua lực khối) là [5]: ∂ sˆji ∂ 2 uˆi =ρ 2 ∂ xˆj ∂t 22 (2.2) 3 1 2 1 1 (a) (b) (c) Hình 1 Trạng thái vật thể có biến dạng trước: chịu đồng thời kéo (nén) và cắt trong đó ρ là mật... gian X2 ≥ 0 Giả sử vật thể chịu biến dạng trước như sau [5]: xˆ1 = µ1 X1 + κµ2X2 ; xˆ2 = µ2 X2; xˆ3 = µ3 X3 , (2.1) ˆk là tọa độ của trong đó: Xk là tọa độ của điểm ở trạng thái tự nhiên, x điểm đó ở trạng thái ban đầu, µk , κ là các hằng số dương Biến dạng trước (2.1) là sự tổ hợp của biến dạng kéo (nén) và biến dạng cắt, được thực hiện như sau: Đầu tiên, vật thể chịu kéo (nén) theo ba trục tọa độ... của hệ (1.65) là một đồng nhất thức Như vậy, ta đã chứng minh được phương trình tán sắc của sóng Rayleigh ba thành phần được tìm bằng phương pháp tích phân đầu của Mozhaev [7] thực chất là một đồng nhất thức Tức là, phương pháp tích phân đầu được giới thiệu bởi Mozhaev [7] không có hiệu lực với sóng Rayleigh ba thành phần Tuy nhiên, trong chương ba tác giả luận văn đã sử dụng thành công phương pháp... phương trình (2.30) được viết lại thành ˆ + Jτ ˆ =0 ˆ + iHτ Gτ (2.33) ˆ H, ˆ Jˆ là các ma trận đối xứng có các thành phần được xác trong đó G, định bởi (2.32) Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 1.1.3 (phương pháp tích phân đầu cho sóng hai thành phần) suy ra phương trình tán sắc có dạng ˆ 11 G ˆ 12 G ˆ 22 G ˆ 11 H ˆ 12 H ˆ 22 H 28 Jˆ11 Jˆ12 = 0 Jˆ22 (2.34) Khai triển (2.34) và tính dến (2.32),... C66 2 12 trong đó, σij là các thành phần của tenxơ ứng suất, ij (1.39) là các thành phần của tenxơ biến dạng được xác định bởi công thức ij 1 ∂ui ∂uj = ( + ), 2 ∂xj ∂xi (i, j = 1, 2, 3) (1.40) Điều kiện tắt dần ở vô cùng ui = σ3i = 0 (i = 1, 2, 3) tại x3 = +∞ (1.41) Điều kiện tự do đối với ứng suất trên mặt biên x3 = 0 σ3i = 0 (i = 1, 2, 3) tại x3 = 0 1.2.2 (1.42) Sóng Rayleigh Giả sử sóng được truyền... của sóng) Mozhaev [7] vì xuất phát từ phương trình vi phân cấp hai đối với vectơ chuyển dịch u = [u1 u2 ]T nên không sử dụng trực tiếp được điều kiện tự do đối với ứng suất t(0) = 0 Do vậy, quá trình tìm ra phương trình tán sắc dài và phức tạp hơn 13 1.2 1.2.1 Phương pháp tích phân đầu cho sóng ba thành phần Các phương trình cơ bản Phần này trình bày "Phương pháp tích phân đầu cho sóng Rayleigh ba thành. .. [B23 , B31 , B12 ]T , [β] có dạng (1.53) trong đó α thay bởi β Thay (1.60) và (1.61) vào (1.47)1 ta được [α] [β] [γ] [0] [ΛA − ΛC ] U = 0, W (1.63)   A F23 B   là ma trận 12 × 1, F = F31 (Chú ý rằng F là ma trong đó U =  C  F12 F trận phản đối xứng) Biến đổi tương tự như trên với phương trình (1.47)2 và sử dụng (1.48) ta có [0] [α] − [β] − [γ] [ΛE − ΛD ] U = 0, W trong đó  β1/2 0 0 0 ΛE =... = 1, 2, 3, (3.3) trong đó σij là các thành phần của tenxơ ứng suất, dấu ”, ” là đạo hàm theo biến không gian và dấu ”.” là đạo hàm theo thời gian Giả sử biên của bán không gian là tự do đối với ứng suất Khi đó σi2 = 0, i = 1, 2, 3 tại x2 = 0 (3.4) Điều kiện tắt dần ở vô cùng ui = σi2 = 0, i = 1, 2, 3 tại x2 = +∞ 30 (3.5) 3.2 Sóng Rayleigh Giả sử sóng Rayleigh truyền theo hướng x1 và tắt dần theo hướng