VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Thị Hồng Phương Toán ứng dụng Chuyên ngành : Đề tài : BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ PHƯƠNG TRÌNH RICCATI Giáo viên hướng dẫn: GS-TSKH Vũ Ngọc Phát Học viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Phương Hà Nội - 2011 Lời nói đầu Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập vấn đề kỹ thuật, điểu khiển thường liên quan đến hệ động lực mô tả phương trình toán học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ (0.1) x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)), k = 0, 1, x(.) biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(.) biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào hệ thống Các đối tượng điều khiển mô hình điều khiển hệ thống mô tả liệu đầu vào có tác động quan trọng, mức độ mức độ khác, làm ảnh hưởng đến vận hành đầu hệ thống Như vậy, ta hiểu hệ thống điều khiển mô hình toán học mô tả phương trình toán học biểu thị liên hệ vào−ra: u(t) x = f (t, x, u) x(t) (hệ điều khiển) Một mục đích toán điều khiển hệ thống tìm điều khiển (đầu vào) cho hệ thống (đầu ra) có tính chất mà ta mong muốn Thông thường, việc chuyển hệ thống có điều khiển từ vị trí sang vị trí khác thực nhiều phương pháp tác động điều khiển khác Căn vào mục đích cụ thể hệ thống − đầu − người ta xác định toán điều khiển khác Sau lời mở đầu, luận văn gồm có hai chương danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày toán điều khiển cho hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính Đầu tiên trình bày định nghĩa Bài toán điều khiển phương trình Riccati số toán điều khiển mô tả phương trình vi phân tuyến tính: Điều khiển sau thời gian t1 , điều khiển hoàn toàn, đạt hoàn toàn điều khiển hoàn toàn không Tiếp theo định lý điều khiển cho hệ ôtônôm, hệ không ôtônôm số ví dụ minh họa Chương 2: Trình bày liên hệ toán điều khiển được, toán ổn định hóa phương trình Riccati cho hệ tuyến tính không ôtônôm; Chứng minh tương đương toán điều khiển hoàn toàn không, tính ổn định hóa tuyết đối tồn nghiệm cho phương trình Riccati tương ứng Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn GS-TSKH Vũ Ngọc Phát Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới quan tâm dẫn nhiệt tình thầy Tôi xin chân thành cảm ơn tới thầy cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học K17 tận tình giảng dạy giúp đỡ trình học tập Đồng thời xin chân thành cảm ơn thầy cô, anh chị Viện toán học, người sẵn sàng nhiệt tình giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Bên cạnh đó, xin gửi lời cảm ơn tới tất người thân, bạn bè động viên, tạo điều kiện cho hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2011 Học Viên Nguyễn Thị Hồng Phương Mục lục Bài toán điều khiển 1.1 Các định nghĩa 1.2 Các định lý điều khiển 1.2.1 Định lý điều khiển cho hệ ôtônôm (Tiêu chuẩn hạng Kalman) 1.2.2 Định lý điều khiển cho hệ không ôtônôm 1.2.3 Định lý điều khiển cho hệ không ôtônôm (Tiêu chuẩn hạng Kalman biến thiên) 23 Bài toán điều khiển được, trình Riccati 2.1 Giới thiệu 2.2 Các ký hiệu định nghĩa 2.3 Kết Tài liệu tham khảo 30 30 33 35 45 toán ổn định hóa phương 9 16 Chương Bài toán điều khiển Tính điều khiển nghiên cứu lớp hàm điều khiển chấp nhận cho tác động lớp hàm điều khiển chấp nhận được, hệ thống điều khiển vị trí mong muốn Nói cách cụ thể hơn: cho hệ thống mô tả phương trình điều khiển, ví dụ dạng (0.1), vị trí mong muốn cần điều khiển hệ thống, trạng thái x0, x1 cho trước, tìm điều khiển chấp nhận u(t) cho tác dụng điều khiển này, hệ thống (0.1) điều khiển từ trạng thái x0 tới trạng thái x1 thời gian (tùy ý cố định) đó, tức quỹ đạo hệ thống (0.1) xuất phát từ trạng thái x0 thời điểm t0 chuyển đến trạng thái x1 thời điểm t1 Dựa vào mục đích điều khiển hệ thống, người ta định nghĩa khái niệm khác toán điều khiển như: điều khiển 0, đạt từ vị trí cho trước, điều khiển hoàn toàn, điều khiển địa phương, v.v Tính điều khiển hệ động lực khởi xướng ý tưởng kết quan trọng R.Kalman từ năm 60, chứng minh điều kiện đại số tính điều khiển hệ tuyến tính đơn giản Từ đến nay, toán điều khiển được nghiên cứu phát triển mạnh mẽ trở thành hướng quan trọng lý thuyết điều khiển hệ động lực Ví dụ Ta xét vận hành toa xe có trọng lượng m đường thẳng từ vị trí x0 tới vị trí x1 thời gian T > cho trước Sự chuyển động toa xe có ba lực tác động: lực ma sát, lực đàn hồi lực đẩy (hoặc lực kéo) Khi đó, theo quy luật chuyển động Newton Bài toán điều khiển phương trình Riccati trình chuyển động toa xe mô tả phương trình điều khiển mx(t) + bx(t) + kx = u(t), u(t) biểu thị lực đẩy lực kéo thời điểm t thỏa mãn hạn chế |u(t)| ≤ a, x(t) biểu thị vị trí toa xe thời điểm t Phương trình chuyển động toa xe đưa phương trình vectơ tuyến tính điều khiển dạng: y = Ay + Bu, A= k −m , B= − mb 1 m , y(t) = x1(t) x2(t) Khi trạng thái y(t) gồm hai thành phần: x1 (t) mô tả vị trí toa xe, x2(t) mô tả tốc độ chuyển động toa xe Bài toán đặt tìm điều khiển chấp nhận u(t) cho toa xe chuyển động từ vị trí x0 tới vị trí x1 thời gian T Đó nội dung toán điều khiển Như đề cập phần mở đầu, bước toán điều khiển hệ thống xác định điều khiển chấp nhận cho hệ thống chuyển vị trí tới vị trí khác thời gian hữu hạn Đó nội dung toán điểu khiển Tính điều khiển tính chất quan trọng lý thuyết định tính hệ động lực, đặc biệt toán điều khiển tối ưu Nội dung chương bao gồm toán điều khiển định lý chọn lọc hệ động lực mô tả phương trình điều khiển với thời gian liên tục rời rạc khác 1.1 Các định nghĩa Xét hệ thống điều khiển mô tả phương trình vi phân tuyến tính dạng x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ (1.1) x(t) ∈ Rn − vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm vectơ điều khiển; n ≥ m; A(t), B(t), t ≥ 0, ma trận liên tục có số chiều (n × n), (m × n) Bài toán điều khiển phương trình Riccati tương ứng Một hàm vectơ u(t) xác định [0, ∞) khả tích đoạn hữu hạn lấy giá trị Rm gọi điều khiển chấp nhận hệ (1.1) Lớp hàm điều khiển chấp nhận thông thường hàm Lp ([0; s), Rm) , s ≥ Trong luận văn này, ta xét p = lớp hàm lý hiệu U Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.1) với giá trị ban đầu x(0) = x0 cho trước Như ứng với điều khiển chấp nhận u(t), toán Cauchy hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.1) có nghiệm x(t, x0, u) thời điểm t cho t x(t, x0, u) = Φ(t, 0)x0 + Φ(t, s)B(s)u(s)ds, t ≥ 0 (1.2) Φ(t, s) ma trận nghiệm hệ tuyến tính nhất: x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0, x(0) = x0 Định nghĩa 1.1 Cho hai trạng thái x0, x1 ∈ Rn , cặp (x0, x1) gọi điều khiển sau thời gian t1 > 0, tồn điều khiển chấp nhận u(t) cho nghiệm x(t, x0, u) hệ thỏa mãn điều kiện x(0, x0, u) = x0, x(t1, x0, u) = x1 Định nghĩa 1.2 Hệ điều khiển (1.1) gọi điều khiển hoàn toàn (Globally Controllable - GC) với hai trạng thái x0, x1 tìm thời gian t1 > cho (x0, x1) điều khiển sau thời gian t1 Trong trường hợp tồn lân cận gốc V (0) ⊂ Rn cho hệ (1.1) điều khiển hoàn toàn V (0), hệ gọi điều khiển địa phương (Locally Controllable - LC) Bài toán điều khiển phương trình Riccati Định nghĩa 1.3 Hệ điều khiển (1.1) gọi đạt hoàn toàn (Globally Reachable - GR) với trạng thái x1 ∈ Rn , tồn thời gian t1 > cho (0, x1) điều khiển sau thời gian t1 Định nghĩa 1.4 Hệ điều khiển (1.1) gọi điều khiển hoàn toàn (Globally Null Controllable - GNC) với trạng thái x0 ∈ Rn , tồn thời gian t1 > cho (x0, 0) điều khiển sau thời gian t1 Một cách hình học, ta định nghĩa tập Rt (x0) tập hợp tất trạng thái x ∈ Rn mà từ hệ thống đạt từ trạng thái x0 sau thời gian t1 > 0, tức là, Rt (x0) = {x ∈ Rn : ∃u(t) ∈ U , x(t, x0, u) = x} Khi ta nói hệ (1.1) là: + GC ∀x0 ∈ Rn : R(x0) = Rn + GR R(0) = Rn + GNC ∀x0 ∈ Rn , ∈ R, ký hiệu R(x0) = Rt (x0) t>0 Nhận xét: GR GC GNC Bài toán điều khiển phương trình Riccati 1.2 Các định lý điều khiển Hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm hệ có dạng: x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (1.3) x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , A, B ma trận số có số chiều tương ứng Đối với hệ ôtônôm (1.3), theo công thức nghiệm (1.2), ta có ma trận nghiệm Φ(t, 0) = eAt , cho nên, nghiệm x(t, x0, u) hệ (1.3) cho t x(t, x0, u) = eAt x0 + eA(t−s) Bu(s)ds (1.4) Và đó, ta mô tả tập đạt Rt hệ (1.2) sau thời gian t là:   t   n A(t−s) Rt = Rt (0) = x ∈ R : x = e Bu(s)ds, u(.) ∈ U   1.2.1 Định lý điều khiển cho hệ ôtônôm (Tiêu chuẩn hạng Kalman) Hệ tuyến tính ôtônôm (1.3) điều khiển hoàn toàn (GC) rank[B, AB, , An−1B] = n (1.5) Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử phản chứng hệ (1.3) GC điều kiện hạng (1.5) không thỏa mãn, tức là: rank[B, AB, , An−1B] < n Khi tìm vectơ khác không v ∈ Rn , v = cho v ′ [B, AB, , An−1B] = Bài toán điều khiển phương trình Riccati Từ ta có v ′ B = v ′ AB = = v ′ An−1B = Sử dụng định lý Cayley-Hamilton, ta được: p(A) = An + an−1An−1 + + a0 I = An = −an−1An−1 − an−2 An−2 − − a0 I Nhân vô hướng hai vế phương trình ma trận với vectơ khác không v ∈ Rn ta có v ′ AB = Lý luận tương tự, ta có v ′ An+k B = 0, ∀k = 0, 1, 2, (1.6) Mặt khác, theo khai triển hàm số eAt , với t > 0, ta có v ′eAt B = v ′ B + tv ′ AB + tn t2 ′ v A B + + v ′ An B + 2! n! (1.7) Từ điều kiện (1.6) suy v ′ eAt B = với t > Theo giả thiết hệ GC, từ nhận xét, hệ GR, tức là, với x ∈ Rn , theo công thức nghiệm (1.4), tồn thời gian t1 > điều khiển chấp nhận u(t) ∈ U cho t eA(t1 −s)Bu(s)ds x= Nhân vô hướng hai vế đẳng thức với vectơ v áp dụng (1.7), ta có < v, x >= Vì x vectơ tùy ý nên v = 0, suy mâu thuẫn với điều kiện v = Vậy điều phản chứng vô lý, ta có điều kiện hạng (1.5) Điều kiện đủ Bây ta giả sử điều kiện hạng (1.5) thỏa mãn Trước tiên ta chứng minh hệ (1.3) đạt hoàn toàn sau thời gian t1 > đó, tức là: ∃t1 > : Rt1 = Rn (1.8) 10 Bài toán điều khiển phương trình Riccati control) u(t) = K(t)x(t) cho nghiệm không hệ đóng (closed-loop systems) x(t) = [A(t) + B(t)K(t)]x(t), t ≥ 0, tiệm cận ổn định theo nghĩa Lyapunov Trong trường hợp này, người ta gọi hệ ổn định hóa với điều khiển ngược u(t) = K(t)x(t) Một tính chất ổn định hóa mở rộng hệ điều khiển tính ổn định hóa tuyệt đối, ban đầu giới thiệu Wonham [2], có liên quan đến ổn định mạnh hệ Cụ thể, hệ điều khiển gọi ổn định tuyệt đối với số δ > 0, tồn điều khiển ngược u(t) = K(t)x(t) cho nghiệm x(t, x0) hệ đóng thỏa mãn điều kiện: ∃N > : ||x(t, x0)|| ≤ N e−δt ||x0 ||, ∀t ≥ 0, Điều có nghĩa là, với số dương δ > 0, nghiệm không hệ đóng giảm nhanh e−δt Nói cách khác, với số dương δ > tốc độ giảm cho trước, hệ ổn định mũ với số mũ ổn định δ Vấn đề phát sinh việc điều khiển tốc độ hệ sản xuất thực tế, mạng lưới truyền thông, điều khiển ôtô máy bay Tính ổn định tuyệt đối biết đến hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm (LTI) điều khiển không toàn cục hệ ổn định hóa, điều ngược lại không Theo Wonham [2], hệ LTI ổn định hóa tuyệt đối, điều khiển hoàn toàn không Kết mở rộng cho hệ LTI không gian Hilbert [4] Đó kết chứng minh tương ứng ổn định tồn lời giải phương trình hệ điều khiển LTI Đối với hệ tuyến tính không ôtônôm (LTV) kết mối liên hệ hệ GNC phương trình vi phân Riccati (RDE) đưa Kalman cộng [3], chứng minh rằng, hệ điều khiển LTV GNC phương trình Riccati (RDE): P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q(t) = Q(t) ≥ 0, có nghiệm P (t) nửa xác định dương Tuy nhiên, tồn nghiệm P (t) xác định dương hệ RDE chưa đủ cho hệ GNC Ví dụ sau chứng minh điều này: 31 Bài toán điều khiển phương trình Riccati Xét hệ điều khiển LTV sau: x= 0, 5(1 − et ) 0 et x+ u 0, 5(1 − 2et ) Hệ không điều khiển hoàn toàn không rank[B(t), A(t)B(t)] < 2, với t ≥ 0; Tuy nhiên, phương trình RDE tương ứng với Q = 2I có nghiệm bị chặn xác định dương P (t) = e−t I Một số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa hệ điều khiển LTV với điều khiển nghiệm P (t) phải xác định dương Đó là, P (t) phải thỏa mãn λ1 I ≤ P (t) ≤ λ2 I, ∀t ≥ Chú ý rằng, tính xác định dương lời giải hệ RDE chưa đủ với hệ GNC hệ LTV Ví dụ, xét hệ điều khiển LTV với A(t) = −0, 5cost 0 , 0, 5sint − e−cost B(t) = e−sint Dễ thấy, hệ không GNC, RDE, Q(t) = , có esint nghiệm xác định dương P (t) = Trong nỗ lực để ecost tìm mối liên hệ tính điều khiển tính ổn định hóa, Ikeda cộng [8] đưa khái niệm điều khiển toàn cục đều, từ rằng, hệ điều khiển LTV ổn định hóa tuyệt đối hệ hệ điều khiển toàn cục Đặc biệt, kết với kết Kalman cộng [3] tính ổn định hóa tuyệt đối điều kiện đủ cho tồn nghiệm bị chặn, xác định dương hệ RDE Câu hỏi đặt là, liệu có tồn mối liên hệ GNC, tính ổn định hóa tồn nghiệm RDE không? Trong chương này, trình bày liên hệ toán GNC, toán ổn định hóa tồn nghiệm phương trình Riccati Sẽ tính GNC tính ổn định hóa tuyệt đối hệ điều khiển LTV tương đương với tồn nghiệm bị chặn nửa xác định dương số phương trình RDE tương ứng 32 Bài toán điều khiển phương trình Riccati 2.2 Các ký hiệu định nghĩa R+ kí hiệu cho tập số thực không âm, Rn không gian Euclid n chiều với tích vô hướng < x, y > vectơ x, y ∈ Rn M m×n không gian (m × n)−ma trận I, A−1 AT theo thứ tự ma trận đơn vị, ma trận nghịch đảo ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận A đối xứng A = AT Ma trận Q ∈ M m×n nửa xác định dương (kí hiệu: Q 0) Qx, x ≥ 0, với x ∈ X Nếu Qx, x > với x = 0, Q xác định dương (kí hiệu: Q ≻ 0) Ma trận A ≥ B A − B ≻ M + tập tất ma trận đối xứng xác định dương BM m×n (0, ∞) BM + (0, ∞) theo thứ tự tập tất (m × n)−ma trận hàm liên tục R+ tập ma trận hàm liên tục đối xứng nửa xác định dương (0, ∞) L2 ([0, t]), Rm không gian hàm bình phương khả tích [0, t] có giá trị Rm Xét hệ điều khiển LTV ký hiệu tắt [A(t), B(t)]: x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(0) = x0, t ∈ R+ (2.1) với A ∈ BM n×n (0, ∞) B ∈ BM n×m (0, ∞) ma trận hàm cho trước Điều khiển u(t) chấp nhận u(t) ∈ L2 ([0, s], Rm) , ∀s ≥ Với x0 ∈ Rn điều khiển u(t) chấp nhận được, nghiệm hệ (2.1) cho t x(t) = U (t, 0)x0 + U (t, s)B(s)u(s)ds, với U (t, s) ma trận nghiệm hệ x(t) = A(t)x(t) Được biết [5] A ∈ BM(0, ∞), mà trận nghiệm U (t, s) thỏa mãn 33 Bài toán điều khiển phương trình Riccati điều kiện: ∃M ≥ 1, α > : ||U (t, s)|| ≤ Me−α|t−x| , ∀ t, s ∈ R+ (2.2) Định nghĩa 2.1: Hệ điều khiển tuyến tính (2.1) điểu khiển hoàn toàn không (GNC) với x0 ∈ Rn , tồn số T > điều khiển chấp nhận u(t) cho nghiệm x(t) thỏa mãn x(T ) = Tiêu chuẩn tính điều khiển thừa nhận để sử dụng phần sau Mệnh đề 2.1 [5]: Hệ điều khiển tuyến tính (2.1) điều khiển hoàn toàn không điều kiện sau thỏa mãn t ∃t > 0, c > : ||B T (s)U T (t, s)x||2ds ≥ c||U T (t, 0)x||2, ∀x ∈ Rn Định nghĩa 2.2: [2] Hệ điều khiển tuyến tính (2.1) ổn định hóa tuyệt đối với δ > bất kỳ, tồn điểu khiển ngược u(t) = K(t)x(t), với K(t) ∈ BM m×n (0, ∞), cho nghiệm x(t, x0) hệ đóng thỏa mãn: ∃N > : ||x(t, x0)|| ≤ N e−δt ||x0||, ∀t ∈ R+ Lời giải toán ổn định liên quan đến RDE sau: P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q(t) = (2.3) Định nghĩa 2.3: Cho Q ∈ BM + (0, ∞) Hệ điều khiển tuyến tính (2.1) Q - ổn định hóa với trạng thái ban đầu x0, có điều khiển u(t) ∈ L2([0, ∞), Rm) cho hàm mục tiêu ∞ [||u(t)||2+ < Q(t)x(t), x(t) >]dt J(u) = 34 Bài toán điều khiển phương trình Riccati với x(t) nghiệm hệ, tồn hữu hạn Mệnh đề 2.2: [4] Cho Q ∈ BM + (0, ∞) Nếu hệ điều khiển tuyến tính (2.1) Q(t)− ổn định hóa, hệ RDE (2.3) có nghiệm P ∈ BM + (0, ∞) Mệnh đề 2.3: [9] Xét hệ phương trình vi phân x(t) = f (t, x(t)), x(0) = x0, f (t, 0) = 0, t ∈ R+ Nếu tồn hàm Lyapunov V (t, x) : R+ × Rn → R thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) ∃λ1 > 0, λ2 > : λ1 ||x||2 ≤ V (t, x) ≤ λ2 ||x||2 , ∀t ∈ R+ , ∂V (ii) Vf (t, x) := ∂V ∂t + ∂x f (t, x(t)) ≤ với nghiệm x(t) hệ, nghiệm x(t) bị chặn : ∃N > : ||x(t, x0)|| ≤ N ||x0 ||, ∀t ∈ R+ 2.3 Kết Cho δ > 0, đặt Aδ (t) = A(t) + δI Với P, Q ∈ BM + (0, ∞), xét phương trình RDE sau: (RDEδ ) : P (t) + ATδ (t)P (t) + P (t)Aδ (t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q(t) = Định lý 3.1 Các mệnh đề sau tương đương: (i) Hệ [A(t), B(t)] điều khiển không toàn cục (GNC) (ii) Với δ > , tồn Q ∈ BM + (0, ∞) , RDEδ có nghiệm P ∈ BM + (0, ∞) (iii) Hệ [A(t), B(t)] ổn định hóa tuyệt đối Chứng minh: * (i) → (ii) Giả sử hệ [A(t), B(t)] điều khiển không toàn cục (GNC) Theo Định nghĩa 2.1, với x0 ∈ Rn bất kỳ, có thời gian h > điều khiển 35 Bài toán điều khiển phương trình Riccati chấp nhận u(s) ∈ L2([0, h], Rm) thỏa mãn h U (h, 0)x0 + U (t, s)B(s)u(s)ds = (3.1) Cho δ > số dương tùy ý Nhân vế (3.1) với eδh UAδ (t, s) = eδ(t−s) U (t, s), ta có: h UAδ (h, 0)x0 + UAδ (h, s)B(s)u(s)ds = 0, Với u(s) = eδs u(s) Điều suy ra, trạng thái ban đầu x0 điều khiển điều khiển chấp nhận u(t) khoảng thời gian h, tức hệ [Aδ (t), Bδ (t)] : y(t) = Aδ (t)y(t) + B(t)u(t), t ∈ R+ , (3.2) điểu khiển hoàn toàn không (GNC) Do vậy, với trạng thái ban đầu x0 ∈ X, có điều khiển chấp nhận ux (t) ∈ L2 ([0, h], Rm) cho nghiệm x(t) hệ (3.2) theo điều khiển ux (t) thỏa mãn x(0) = x0, x(h) = Xác định điều khiển ux (t) ∈ L2([0, ∞], Rm), t ≥ : ux (t) = u(t) t ∈ [0, h], ux (t) = t > h Sau đó, lấy Q ∈ BM + (0, ∞) bất kỳ, ta có: J(ux ) = ∞ h = ||ux (t)| |2 + Q(t)x(t), x(t) dt ||ux (t)| |2 + Q(t)x(t), x(t) dt < +∞ Điều có nghĩa rằng, hệ [Aδ (t), B(t)] Q− ổn định hóa, theo Mệnh đề 2.2, phương trình RDE P (t) + ATδ (t)P (t) + P (t)Aδ (t) − P (t)B(t)B T (t)P (t) + Q(t) = 0, có nghiệm P ∈ BM + (0, ∞), có (ii) * (ii) → (iii) 36 Bài toán điều khiển phương trình Riccati Giả sử có (ii) Cho δ > bất kỳ, ta xác định hàm ma trân Q ∈ BM + (0, ∞) thỏa mãn Q(t) ≥ A(t) + AT (t) + 2δI + B(t)B T (t), t ∈ R+ (3.3) Khi đó, phương trình RDEδ có nghiệm P ∈ BM + (0, ∞) Ta viết lại phương trình RDEδ sau P (t) + ATδ (t)P (t) + P (t)Aδ (t) − e−2δtP (t)Bδ (t)BδT (t)P (t) + Q(t) = 0, (3.4) đây, Bδ (t) = eδt B(t) Sử dụng hàm chuyển y(t) = et x(t), t ∈ R+ , hệ (2.1) chuyển vào hệ y(t) = Aδ (t)y(t) + Bδ (t)u(t) y(0) = y0 , t ∈ R+ (3.5) Đầu tiên, ta chứng minh nghiệm y(t) hệ (3.5) bị chặn R+ Với điều này, ta xét hàm Lyapunov sau: V (t, y) = P (t)y, y + ||y||2 , t ∈ R+ , đó, P ∈ BM + (0, ∞) nghiệm hệ (3.4) Dễ thấy, hàm Lyapunov V (t, y) thỏa mãn bất phương trình λ1 ||y||2 ≤ V (t, y) ≤ λ2 ||y||2 , ∀t ∈ R+ , với λ1 , λ2 > Ta chọn điều khiển ngược có dạng e−2δt T u(t) = − Bδ (t)[P [−I]y(t) (3.6) Với điều khiển ngược (3.6), lấy đạo hàm V (.) theo t, ta V (t, y(t)) = P (t)y(t), y(t) + P (t)y(t), y(t) + y(t), y(t) = P (t)y(t), y(t) + (ATδ (t)P (t) + P (t)Aδ (t))y(t), y(t) + Aδ (t)y(t), y(t) + Bδ (t)u(t), y(t) + P (t)Bδ (t)u(t), y(t) = P + ATδ (t)P (t) + P (t)Aδ (t) − e−2δtP (t)BδT (t)BδT (t)P (t) y(t), y(t) + [Aδ (t) + ATδ (t) + e−2δtBδ (t)BδT (t)]y(t), y(t) 37 Bài toán điều khiển phương trình Riccati =− Q(t) − A(t) + AT (t) + 2δI + B(t)B T (t) y(t), y(t) Bằng cách chọn Q(t) từ điều kiện (3.3), ta V (t, y(t)) ≤ 0, t ∈ R+ , theo Mệnh đề 2.3 , nghiệm y(t) bị chặn: ∃N > : ||y(t)|| ≤ N ||y0 ||, t ∈ R+ Quay lại nghiệm x(t) hệ (2.1), lưu ý x(0) = y(0) = x0 , ta ||x(t)|| ≤ N ||x0 ||e−δt , ∀t ∈ R+ Điều kiện cuối có nghĩa rằng, với điều khiển ngược (3.6), 2δt u(t) = − −e2 BδT (t) [P (t) − I] y(t) = − 12 B T (t) [P (t) − I] x(t) = K(t)x(t); nghiệm không hệ đóng x(t) = [A(t) + B(t)K(t)] x(t), t ∈ R+ , K(t) = − B T (t) [P (t) − I] ∈ BM m×n (0, ∞), ổn định mũ với tốc độ ổn định δ > * (iii) → (i) Giả sử [A(t), B(t)] ổn định hóa tuyệt đối, giả sử phản chứng hệ không điều khiển hoàn toàn không Lấy δ > α, với α > xác định điều kiện (2.2), từ tính ổn định hóa tuyệt đối, tồn K ∈ BM m×n (0, ∞) cho nghiệm x(t, x0) hệ đóng x(t) = [A(t) + B(t)K(t)] x(t) thỏa mãn ||x(t, x0)|| = ||UK (t, 0)x0|| ≤ N ||x0 ||e−δt , ∀t ∈ R+ 38 (3.7) Bài toán điều khiển phương trình Riccati đây, UK (t, s) ma trận hệ đóng Thay điều khiển ngược u(t) = K(t)x(t) = K(t)UK (t, 0)x0 nghiệm x(t, x0) = UK (t, 0)x0 nghiệm Cauchy hệ : t x(t, x0) = U (t, 0)x0 + U (t, s)B(s)u(s)ds, ta t U (t, 0)x0 = UK (t, 0)x0 − U (t, s)B(s)K(s)UK (s, 0)x0ds, t ∈ R+ Thấy phương trình với x0 ∈ Rn , nên bất đẳng thức sau với x ∈ Rn : T ||U T (t, 0)x|| ≤ ||UKT (t, 0)x|| + ||UKT (s, 0)K T (s)B T (s)U T (t, s)x||ds Thay điều kiện (3.7), ta có: T −δt ||U (t, 0)x|| ≤ N e −δt ≤ Ne t t ||x|| + N k e−δs ||B T (s)U T (t, s)x||ds 1/2 t ||x|| + N k T T −2δs e ds × 1/2 (3.8) ||B (s)U (t, s)x|| ds với k := sup {||K(s)|| : s ∈ [0, ∞)} < +∞ Đặt β(t) = 1/2 t −2δs , e ds ta nhận β(t) = 1 − e−2δt 2δ 2δ 1/2 (3.9) Theo giả thiết phản chứng, ta có hệ (2.1) không điều khiển không hoàn toàn Vậy, theo Mệnh đề 2.1(i), với t > 0, c > ε ∈ (0, 1) 39 Bài toán điều khiển phương trình Riccati thỏa mãn √ (1 − ε) 2δ c< Nk (3.10) tồn x∗ ∈ Rn thỏa mãn t ||B T (s)U T (t, s)x∗||ds < c||U T (t, 0)x∗||2 (3.11) Rõ ràng x∗ = Không tính tổng quát, ta coi bất đẳng thức (3.11) với ||x∗ || = 1, không, ta lấy x1 = ||xx∗∗ || Do đó, từ (3.8) (3.11), ta có √ ||U T (t, 0)x∗|| < N e−δt + cN kβ(t)||U T (t, 0)x∗|| (3.12) Mặt khác, ý nên có = ||x∗ || = ||U T (0, t)U T (t, 0)x∗|| ≤ ||U T (0, t)||.||U T (t, 0)x∗||, ≤ ||U T (0, t)|| ≤ Meαt , t ∈ R+ T ||U (t, 0)x∗|| (3.13) Kết hợp (2.2), (3.12) (3.13), 1< √ √ N e−δt −(δ−α)t cN kβ(t) < N Me + cN kβ(t), t ∈ R+ ; + T ||U (t, 0)x∗|| Do vậy, √ cN kβ(t) < N Me−(δ−α) t, t ∈ R+ √ Cho t tiến đến vô cùng, lưu ý (3.9) β(t) → 1/ 2δ , vế phải bất 1− đẳng thức tiến (vì δ > α), nên ta có √ 1 − cN √ k ≤ 2δ Từ điều kiện (3.10), ta bất đẳng thức sau: √ ε < − cN √ k ≤ 2δ 40 Bài toán điều khiển phương trình Riccati dẫn đến mâu thuẫn Vậy giả thiết phản chứng sai Định lý chứng minh Nhận xét 3.1 Điều kiện (ii) Định lý 3.1 làm yếu điều kiện: (ii) Với δ > 0, tồn Q ∈ M + cho hệ RDEδ , với Q(t) = Q có nghiệm P (t) ∈ BM + (0, ∞) Thực sự, trường hợp này, sử dụng hàm Lyapunov V (t, y) = P (t)y, y , P (t) ∈ BM + (0, ∞) nghiệm hệ RDE (3.4) với số Q(t) = Q ∈ M + , điều khiển ngược e−2δt T u(t) = − Bδ (t)P (t)y(t), đạo hàm V (.) theo t với nghiệm y(t) hệ đóng (3.5) cho ta V (t, y(t)) ≤ −ε||y(t)||2 , với ε > Lấy tích phân hai vế từ đến t bất đẳng thức này, ta T V (t, y(t)) − V (0, y0) ≤ −ε ||y(s)||2 ds Vì V (t, y) ≥ 0, nên t λmax (P (0))) ||y0 ||2 < +∞ ε ||y(t)||2 dt ≤ Cho Uδ (t, s) ma trận chuyển hệ đóng (3.5) Dễ dàng chứng minh Uδ (t, s) thỏa mãn điều kiện (2.2) Với x ∈ Rn t ∈ R+ , ta 1−e−2αt 2α ||Uδ (t, 0)x|| t = t ≤ e−2α(t−s) ||Uδ (t, 0)x||2ds e−2α(t−s) ||Uδ (t, s)||2||Uδ (s, 0)x||2ds =M t ||Uδ (s, 0)x||2ds 41 Bài toán điều khiển phương trình Riccati 2 ||y(t)|| = ||Uδ (t, 0)y0|| ≤ M 2α 1−e−2αt = M 2α 1−e−2αt ≤ t t ||Uδ (s, 0)y0||2 ds ||y(s)||2 ds M 2α λmax (P (0)) ||y0 ||2 1−e−2αt ε (3.14) Cho t → ∞, vế phải hàm hữu hạn (1 − e−2αt) → điều có nghĩa nghiệm y(t), hàm liên tục, bị chặn R+ Phần lại chứng minh lập luận tương tự phần chứng minh Định lý 3.1 Nhận xét 3.2 Điều kiện (ii) Định lý 3.1 có liên quan tới nghiệm phương trình RDE Lưu ý việc giải phương trình RDE nhìn chung phức tạp ; nhiên, số cách tiếp cận hiệu để giải phương trình RDE đề cập [6] Ví dụ Xét hệ điều khiển LTV (2.1) R2 , với A(t) = −0, 5sint −1 , −0, 5sint √ B(t) =  e2cost + 2ecost − −1 √ e2cost + 2ecost −   Để xác định tính điều khiển hoàn toàn không hệ, ta sử dụng Mệnh đề 2.1 (ii) Ta M(t) = b(t) 0, 5b(t)sint − + b(t) 0, 5sint + b(t) −1 b(t) −0, 5sint − b(t) 0, 5b(t)sint − + b(t) √ b(t) := e2cost + 2ecost − Chọn t0 = π2 rankM(t0 ) = Với δ > bất kỳ, lấy Q = δ I ∈ M + , hệ RDEδ có nghiệm P (t) ∈ BM + (0, ∞) 42 Bài toán điều khiển phương trình Riccati P (t) = δe−cost 0 −cost δe Mặt khác, ta xác minh hệ ổn định hóa tuyệt điều khiển ngược √  −cost u (t) = −0, 5δe e2cost + 2ecost − x1(t) + 0, 5δe−cost x2(t)   √ u2(t) = −0, 5δe−cost x1 (t) − 0, 5δe−cost e2cost + 2ecost − x2(t) Từ đánh giá (3.14), ta xác định số N > cho nghiệm hệ thỏa mãn bất đẳng thức ||x(t, x0)|| ≤ N e−δt ||x0 ||, ∀t ≥ 43 Bài toán điều khiển phương trình Riccati Kết luận Luận văn nghiên cứu toán điều khiển hệ phương trình vi phân tuyến tính liên hệ toán điều khiển được, ổn định hóa phương trình Riccati Luận văn hệ thống số kết toán điều khiển hệ ôtônôm, không ôtônôm với chứng minh chi tiết ví dụ minh họa tác giả 44 Tài liệu tham khảo [1] V N Phát (2001) Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB ĐHQG, Hà Nội [2] Wonham, W M (1967) On pole assignment in multi-input controllable linear systems, IEEE TransAutom Control, 12 660-665 [3] Kalman R.E (1960) Contribution to the theory of optimal control, Bol Soc Math Mexicana, 102-119 [4] Zabczyk, J (1992) Mathematical Control Theory: An Introduction , Boston, MA: Birkhauzer [5] Ahmed, N U (1982) Element of Finite-dimensional Systems and Control Theory, Longman Sci Tech, New York [6] W Thomas (1972) Differential Riccati Equations, Academic Press, New York [7] V N Phat and Q P Ha (2008) New characterization of stabilizability via Riccati equations for LTV systems, IMA J.Math Control Inform, Vol 25, 419-429 [8] Ikeda M., Maeda H and Komada S (1972) Stabilization of linear systems, Siam J Control., Vol 10, 716 - 729 [9] Yoshizawa, T (1966) Stability Theory by Lyapunov’s Second Method : Publication of the Mathematical Society of Japan, Tokyo 45 [...]... trận này được gọi là ma trận điều khiển được và ký hiệu tắt là [A/B] MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1.1 Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau x1 = 3x2 + u x2 = 2x1 + 2u Giải Ta có x1 x2 ⇒ A= 0 3 2 0 = 0 3 2 0 ; B= x1 x2 1 u 2 + 1 2 Vì rank[A/B] = rank 1 6 =2 2 2 nên hệ đã cho là điều khiển được 12 Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati Ví dụ 1.2 Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau... 28 Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati  t 0 1 −t2 + 1 −t −t + 1 t3 − 2t − 1 −t2 − 2 t2 − t − 1 = rank 0 0 2t 0 2t 2t2 0 6t2 + 4 2t3 + 4t  0 −t 1 0 −2t2 − 1 0 0 −4t3 − 8t −2t2 = 3 với ∀t > t0 = 0  Theo định lý 1.2.3 thì hệ là G.C 29 Chương 2 Bài toán điều khiển được, bài toán ổn định hóa và phương trình Riccati Chương này trình bày kết quả trong [7] về sự liên hệ giữa bài toán điều khiển. .. khiển được, bài ổn định hóa và phương trình Riccati cho các hệ tuyến tính Một tương đương được đưa ra giữa bài toán điều khiển hoàn toàn về không (GNC), tính ổn định hóa tuyệt đối và sự tồn tại của lời giải cho các phương trình vi phân Riccati 2.1 Giới thiệu Trong lý thuyết điều khiển các hệ động lực, bài toán điều khiển được nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trong những thập kỷ gần đây Bài. .. 1.3 Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau x1 = −x1 x2 = x1 + 2x2 + u1 + 2u2 Giải Ta có: A= ⇒ [A/B] = −1 0 1 2 ; B= 0 0 1 2 0 0 0 ⇒ rank[A/B] = 1 < 2 1 2 4 Vậy hệ đã cho không điều khiển được 13 Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati Ví dụ 1.4 Xét tính điều khiển được của hệ điều khiển sau x(t) + 2x(t) + 4x + 3u = 0 (∗) Giải Đặt x = x1; x1 = x2 , thay vào (*) ta được hệ x1 =... chúng tôi trình bày sự liên hệ mới giữa bài toán GNC, bài toán ổn định hóa và sự tồn tại nghiệm của phương trình Riccati Sẽ chỉ ra rằng tính GNC và tính ổn định hóa tuyệt đối của hệ điều khiển LTV là tương đương với sự tồn tại của nghiệm bị chặn nửa xác định dương của một số phương trình RDE tương ứng 32 Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati 2.2 Các ký hiệu và định nghĩa R+ kí hiệu cho tập các... 2 22 Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati Chọn t = 1 ⇒ det(Lt) = (2e2 − 14)/3 = 0 Vậy hệ điều khiển được 1.2.3 Định lý điều khiển được cho hệ không ôtônôm (Tiêu chuẩn hạng Kalman biến thiên) Xét hệ tuyến tính điều khiển không ôtônôm (1.1) x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0 Định lý 1.2.2 cho chúng ta một tiêu chuẩn điều khiển được hoàn toàn của hệ không ôtônôm dưới dạng ma trận điều khiển. .. minh điều này: 31 Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati Xét hệ điều khiển LTV sau: x= 0, 5(1 − et ) 0 0 et x+ u 0, 5(1 − 2et ) 0 Hệ này không điều khiển được hoàn toàn về không do rank[B(t), A(t)B(t)] < 2, với mọi t ≥ 0; Tuy nhiên, phương trình RDE tương ứng với Q = 2I có một nghiệm bị chặn xác định dương P (t) = e−t I Một số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa của hệ điều khiển LTV với điều khiển. .. đầu x(t0) = x0 và với điều khiển chấp nhận được u(t) ∈ U , nghiệm x(t, x0, u) của hệ (1.1) được cho bởi t x(t, x0, u) = Φ(t, t0)x0 + Φ(t, s)B(s)u(s)ds t0 Xác định ma trận Lt − (n × n) chiều bởi t Φ(t, s)B(s)B ′(s)Φ′(t, s)ds Lt = t0 Ma trận Lt thường được gọi là ma trận tích phân điều khiển được 16 Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati Định lý 1.2.2 Hệ (1.1) là điều khiển được hoàn toàn trong... cho hệ tuyến tính: x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t ≥ 0, liên quan đến việc tìm một điều khiển chấp nhận được (admissible control) u(t) mà nó điều khiển được một trạng thái x0 bất kỳ trong không gian của hệ về gốc 0 ; Bài toán ổn định hóa là tìm một điều khiển ngược (feedback 30 Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati control) u(t) = K(t)x(t) sao cho nghiệm không của hệ đóng (closed-loop systems)... từ điều kiện (1.8) Vì hệ là GR sau thời gian t1 nên sẽ tìm được một điều khiển u(t) ∈ U sao cho t1 eA(t1 −s) Bu(s)ds a= 0 11 Bài toán điều khiển được và phương trình Riccati kéo theo t1 x1 = eAt x0 + eA(t1 −s) Bu(s)ds 0 Theo định nghĩa về tính GC, hệ đã cho là điều khiển được hoàn toàn Định lý được chứng minh Nhận xét: Để xét tính điều khiển được của một hệ tuyến tính ôtônôm (1.3), ta chỉ cần xác lập