Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Lượng giác – Số phức PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ANH TUẤN Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Phương pháp giải phương trình lượng giác thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài 1: Giải phương trình: 2sin x(1  cos2 x)  sin x   2cos x Giải: Phương trình  4sin x cos2 x  2sin x cos x  (1  2cos x)   2sin x cos x(1  cos x)  (1  cos x)  2  x  k 2   cos x     (1  cos x)(sin x  1)   (k  Z ) 2    x   k sin x   Bài 2: Giải phương trình: 2sin 2 x  sin x   sinx Giải: Phương trình  (2sin 2 x 1)  (sin x  sin x)   cos4 x  cos x sin x   cos4 x(2sin x  1)  k  x   cos4 x   2    x   k (k  Z )  sin 3x  18    x  5  k 2  18 x x  Bài 3: Giải phương trình: sin    tan x  cos  2 4 Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x    k , ( k  Z ) x   cos       cos x   cos x  Khi phương trình  cos x  (1  s inx)(1  cos x)(1  cos x)  cos x(1  cos x)   (1  s inx)(1  cos x)(s inx  cos x)    x   k 2  s in x      cos x  1   x    k 2 ; k  Z   t anx  1   x    k  Kết hợp điều kiện ta có: x   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt   k ; x    k 2 , k  Z Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Lượng giác – Số phức Bài 4: Giải phương trình: (1  t anx)(1  sin x)   t anx Giải: Điều kiện: x    k , k  Z tan x   Phương trình  (1  t anx) 1     t anx  tan x(1  t anx)   tan x    x  k  t anx    k Z   t anx  1  x    k  Bài 5: Giải phương trình: a) cos3x cos3 x  sin 3x sin x  23 3 5 c) sin x  cos x  2(sin x  cos x) Giải: b) cos2 3x.cos2 x  cos2 x  d) cos3 x  sin x  3sin x cos x  1 23 a) Phương trình  cos x(cos4 x  cos2 x)  sin x(cos2 x  cos4 x)  2  cos4 x(cos x  sin x)  cos2 x(cos x  sin x)   cos4 x  cos 2 x  23 23  cos x  2(1  cos4 x)      x    k (k  Z ) 16 b) Phương trình cho tương đương với: (1  cos6 x)cos2 x  (1  cos2 x)   cos6 x.cos2 x    cos8 x  cos4 x    cos4 x  cos4 x   cos x  cos4 x     cos4 x   (loai )  2 Vậy cos4 x   x  k  (k  Z ) c) sin x  cos3 x  2(sin x  cos5 x)  sin x  cos3 x  2(sin x  cos x)(sin x  cos3 x)  2(sin x.cos3 x  cos x.sin x)  sin x  cos3 x  2sin x.cos x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  sin x.cos x  2sin x.cos x)  sin x  cos x  tan x  1      2  2sin x.cos x  sin x.cos x   sin 2x  sin 2x     x  k   tan x  1     x    k  sin 2x   x    k  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Kết luận: Nghiệm phương trình x   Lượng giác – Số phức   k d) cos3 x  sin x  3sin x cos x  *Xét cos x = 0=> sin x = ( loại ) *Xét cos x # 0, chia vế cho cos3 x , ta được: sin x(sin x  cos x)  tan x   tan x  tan x  tan x   cos x    x   k  tan x       tan x     x   k   tan x      x  3  k  1 Vậy phương trình có tập nghiệm là: T  {   k ,    k / k  Z} Câu 6: Giải phương trình sau 2sin 2x  cos2x  7sin x  2cos x  Giải: PT  4sin x cos x   2sin x  sin x  cos x    cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)  s inx     (2sin x  1)  cos x  s inx  3    x   k 2   s inx    k Z  5  x  k 2  cos x  s inx    ( Do a sin x  b cos x  a  b2  2cos x  sinx   ) Câu 7: Giải phương trình sau: a) cos x(cos x  1)  2(1  s inx) s inx  cos x c) sin1996 x  cos1996 x  b) 2(cos6 x  sin x)  sin x cos x 0  2sin x d) sin10 x  cos10 x sin x  cos6 x  4cos2 x  sin 2 x Giải: a) Điều kiện: sin x  cos x  PT  (1  s inx)(1  s inx)(cos x  1)  2(s inx  cos x)(1  s inx)  (1  s inx)  s inx  cos x  sin x cos x  1   (1  s inx) (1  cos x)    x    k 2 1  s inx      1  cos x   x    k 2 2 Phương trình cho tương đương với: b) Điều kiện: sin x  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Lượng giác – Số phức   2(sin x  cos6 x)  sin x cos x   1  sin 2 x   sin x     3sin 2 x  sin x    sin x  x   k ( k  Z ) Kết hợp điều kiện nên x  5  2m (m  Z ) c) PT  sin1996 x  cos1996 x  sin x  cos2 x  sin x(sin1994 x  1)  cos2 x(1  cos1994 x) (2)  sin x  Ta thấy  1994  sin x(sin1994 x  1)  0, x  sin x   cos x  Mà   cos x(1  cos1994 x)  0, x 1994  1  cos x    x  m   sin x    x    m  1994  sin x(sin x  1)  sin x  1 Do (2)     (m, n  Z ) 1994 cos x(1  cos x)   cos x    x    n  cos x  1      x  n  Vậy nghiệm phương trình là: x  k  (k  Z ) d) Ta có sin x  cos6 x   sin 2 x; 4cos 2 x  sin 2 x   3sin 2 x Do phương trình cho  sin 2 x sin10 x  cos10 x sin x  cos6 x sin10 x  cos10 x     2 4 cos x  sin x 4  3sin x 10 10 10 10  sin x  cos x   (sin x  sin x)  (cos x  cos x)  10  sin x  sin x  sin x(1  sin x)  Ta có  10  cos x  cos x  cos x(1  cos x)  10   sin x   sin x  1  sin x  sin x  sin x(1  sin x)   xk Pt      10   cos x   cos x  1 cos x  cos x  cos x(1  cos x)  Câu 8: Giải phương trình sau:  cos x sin x a) 3cot x  2 sin x  (2  2) cos x b) 8sinx = c) 3sin3x  cos9x = + 4sin33x d) sin x  cos6 x  cos 4x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Giải: - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Lượng giác – Số phức a) Điều kiện: x  k 3cos x  2 sin x  (2  2) cos x sin x  3cos x  sin x.cos x  2 sin x  2sin x cos x  PT   2cos x  cos x    cos x  sin x  3cos x  2sin x      cos x  3cos x   1  cos x      x    k 2  cos x  2(loai)     x     k 2 cos x     b) Điều kiện: sin x    8sinx =  cos x sin x 8sin x cos x  sin x  cos x  4sin x.sin x  sin x  cos x  2(cos3x  cos x)  sin x  cos x   2 cos x  sin x  cos x  cos3 x  cos( x  )    x   k  (TM )  x    k   12 Nghiệm phương trình là: x  c) 3sin3x    k , x    12 k  cos9x = + 4sin33x  (3sin x  4sin 3 x)  3cos9 x   sin x  3cos9 x   2  x  k   1 18  cos(9 x  )    x  7  k 2  54 Nghiệm phương trình là: x   18 k 2 7 2 k x  54 d) sin x  cos x  cos 4x 6  (sin x  cos x)3  3sin x.cos x(cos x  sin x)  cos4x 3   sin 2x   2sin 2x    sin 2x   2sin 2x  4    sin 2x   sin2x   x  k Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Lượng giác – Số phức Câu 9: Giải phương trình sau:  sinx  cos x  sin x  cos2 x  Giải:  sinx  cos x  sin x  cos2 x    s in2 x  (s inx  cos x)  cos x  sin x    x    k  s inx  cos x   (s inx  cos x)  cos x  1     2 cos x     x     k 2  Bài 10 Giải phương trình: x x a) sin x  sin 3x  3cos2 x  b) (sin x  3).sin  (sin x  3)sin   2 c) cos2 x  cos x(2 tan x  1)  4  5    9   2 2 d) cos  x    cos  x    cos   x   1       e) cos x  sin x  cos  x   sin  3x     4  4  Giải:  cos x  cos6 x a) PT    3cos 2 x  2   cos2 x  (4 cos x  3cos x)  cos 2 x  x x (1  sin )   2 x x  (sin x  3).sin cos   2  (sin x  3) sin x    sin x  3sin x   b) PT  (sin x  3).sin  cos3 x  3cos 2 x  cos2 x      cos2 x    x    k   ; k Z  1   x    k cos2 x   cos  sin x   sin x  2 (loai )  Vậy x   k 2 ; k  Z c) Điều kiện: cos x  sin x  cos x  cos x  (2 cos x  1).cos x  2(1  cos2 x)  cos x  cos x PT  cos2 x   cos3 x  cos x  3cos x   cos x   x  k 2   ; k Z cos x  cos  x    k 2 4  5    9     d) cos  x    cos  x    cos   x   1   2      8  10        cos  2x     cos  2x    cos   x   3       Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Lượng giác – Số phức 2  sin x    cos 2x  sin x    2sin x  sin x    cos 2x.cos  x  k sin x  (k Z )       x   k2; x  sin x   k2 6       e) cos x  sin x  cos  x   sin  3x     4  4  1    Phương trình cho tương đương với:  2sin x cos x  sin  x    sin x    2  2    sin 2 x  cos4 x  sin x     sin 2 x  (1  2sin 2 x)  sin x    sin 2 x  sin x    sin x  sin x  2 (loại) Vậy sin x 1  x    k  x    k ( k  Z) Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Lê Anh Tuấn : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN      Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN     Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Là khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện Là khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ trước kì thi THPT quốc gia cho học sinh trải qua trình ôn luyện tổng thể Là nhóm khóa học tổng ôn nhằm tối ưu điểm số dựa học lực thời điểm trước kì thi THPT quốc gia 1, tháng -