B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI ===#T)tùùIoa=== v TH LOAN PHNG PHP HIU CHNH TIKHONOV CHO BI TON BT NG THC BIẫN PHN GI N IU Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS TSKH NGUYN XUN TN H NI, 2015 Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca G S T S K H N g u y n X u õ n T n S giỳp v hng dn tn tỡnh, nghiờm tỳc ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tụi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tụi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tụi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng ó giỳp , to iu kin thun li cho tụi sut quỏ trỡnh hc Tụi xin chõn thnh cm n gia ỡnh, ngi thõn, bn bố ó giỳp , ng viờn v to iu kin thun li tụi hon thnh khúa hc Thc s cng nh hon thnh lun ny H Ni, ngy 29 thỏng 06 nm 2015 Tỏc gi V T h i L oan Li cam oan Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca G S T S K H N g u y n X u õ n Tn Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 29 thỏng 06 nm 2015 Tỏc gi V T h i L oan M c lc D a n h m c kớ h iu M u C h n g K in th c ch u n b 1 Bt ng thc bin phõn v bi toỏn bự S tn ti nghim 1.3 Tớnh n iu v n iu tng quỏt K t lu n T i liu th a m kh o 14 D anh m c kớ hiu N : s t nhiờn K : s thc e, : thuc, khụng thuc ca mt phn t i vi mt hp , c_ : rng, H : khụng gian Hilbert thc l2 : khụng gian cỏc dóy bỡnh phng kh tng M" : khụng gian Euclide n-chiu K" : ortan khụng õm M" : khụng gian cỏc ma trn thc cp n X m M {rrii) : ma trn vi cỏc phn t l rriij det M : nh thc ca ma trn M M T : chuyn v ca ma trn M M ~ l : nghch o ca ma trn M I k : ma trn n v cp k dag{u) : ma trn ng chộo vi cỏc phn t trờn ng chộo bng cỏc thnh phn ca vộc-t u {xk\ : dóy cỏc phn t X1, x 2, x3 \x I : chun ca vộc-t X \X,y} : tớch vụ hng ca vộc-t X v y n, F :u X : giao, hp, tớch Decart V : ỏnh x t u vo V B { u , r ) : hỡnh cu m tõm u bỏn kớnh T B{u,r) : hỡnh cu úng tõm u bỏn kớnh r V I{K , F) : bi toỏn bt ng thc bin phõn xỏc nh bi K v ỏnh x F CP{K, F) : bi toỏn bự xỏc nh bi nún K v ỏnh x F LCP {M , q) : bi toỏn bự tuyn tớnh xỏc nh bi ma trn M v vộc-t Q Sol{K, F) : nghim ca V I{ K , F) hoc CP{K, F) Sol{M,q) : nghim ca L C P { M ,q ) M u Lớ chn t i Bt ng thc bin phõn v bi toỏn ti u úng vai trũ quan trng, cú rt nhiu ng dng khoa hc v cuc sng Nhng bi toỏn ny c coi nh nhng bi toỏn in hỡnh ca bi toỏn cõn bng Toỏn t n iu c nghiờn cu t u nhng nm 1960 F Browư der dựng phng phỏp phõn loi tớnh n iu ca cỏc toỏn t nghiờn cu cỏc bi toỏn khỏc ca phng trỡnh vi phõn phi tuyn elliptic, p Hartman v G Stampacchia nghiờn cu bt ng thc bin phõn vi toỏn t n iu Toỏn t n iu c s dng nghiờn cu phng trỡnh vi phõn o hm riờng dng elliptic v parabolic, nghiờn cu nhiu bi toỏn ti u v cõn bng Cho n bõy gi toỏn t n iu tip tc l mt ti c cỏc nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu Khỏi nim toỏn t gi n iu c gii thiu bi s Karamardian, l mt m rng quan trng ca toỏn t n iu Tỏc gi ó ch rng, mt hm l gi li v ch ỏnh x gradient l gi n iu T ú, s Karamardian v s Schaible a mt s khỏi nim n iu tng quỏt nh gi n iu cht, gi n iu mnh, v ta n iu Tỏc gi thit lp mi quan h v tớnh n iu ca cỏc toỏn t tng ng vi tớnh n iu ca cỏc hm Nú cho thy rng toỏn t gi n iu l trng hp c bit ca toỏn t ta n iu Trong thp k qua, s tn ti nghim v phng phỏp tỡm nghim cho bt ng thc bin phõn gi n iu c nhiu nh toỏn hc v ngoi nc quan tõm v ng dng thc t Sau c hc nhng kin thc v bt ng thc bin phõn, vi mong mun tỡm hiu sõu hn v ny, tụi ó chn ti: P h n g p h ỏ p h i u ch n h T ik h o n o v cho b i to ỏ n b t n g th c b in p h õ n gi n i u M c ớch n gh iờn cu Gii thiu bi toỏn bt ng thc bin phõn, a nh ngha, cỏc khỏi nim liờn quan, s tn ti nghim v cỏc tớnh cht ca nú Gii thiu phng phỏp hiu chnh Tikhonov gii bi toỏn bt ng thc bin phõn gi n iu v ch s hi t ca nghim ca phng phỏp hiu chnh Tikhonov i t n g v p h m vi n gh iờn cu Nghiờn cu bi toỏn bt ng thc bin phõn gi n iu, s tn ti nghim, phng phỏp tỡm nghim P h n g phỏp n gh iờn cu Tỡm hiu cỏc bi bỏo ó c cụng b trờn cỏc quc t v cỏc sỏch chuyờn kho liờn quan ti toỏn t n iu v ng dng ca chỳng vic gii phng trỡnh, bt phng trỡnh Tham gia cỏc xemina v gii tớch phi tuyn liờn quan n cỏc ỏnh x n iu v gi n iu S dng cỏc phng phỏp: tng hp, phõn tớch, ỏnh giỏ v s dng cỏc phng phỏp ca gii tớch hm ú n g gúp m i c a lun Lun trỡnh by tng quan cú h thng cựng vi s phõn tớch v mt s tớnh cht ca bt ng thc bin phõn gi n iu, a phng phỏp tỡm nghim cho bi toỏn bt ng thc bin phõn gi n iu Chng K in th c chun b Bt ng thc bin phõn l mt cụng c mnh, c s dng nhiu lnh vc khỏc ca toỏn hc ng dng Nhiu bi toỏn v lý thuyt ti u, kinh t v vt lý toỏn u dn n bt ng thc bin phõn d hỡnh dung ta xột bi toỏn khụng gian M" 1.1 B t n g th c b in p h õn v bi to ỏ n bự n h n g h a 1.1.1 ( Xem([12j, nh ngha 1.1)) Cho mt K khỏc rng ca M" v ỏnh x F : K > M" Bi toỏn bt ng thc bin phõn, c ký hiu V I{K , F), l bi toỏn tỡm UT~^ K cho ( F { u ) , u - u ) ^ , V u t K (1.1) u Ơ c gi l nghim ca bi toỏn Tp hp nhng im u r~ tha man (1.1) c gi l nghim ca V I ( K , F) v c kớ hiu l Sol{K, F) Sau õy, ta luụn gi s rng K l li úng, khỏc rng v F l ỏnh x liờn tc trờn K Khi K l mt nún (ngha l u b K thỡ TU b K vi mi vụ hng T ^ 0) thỡ ta cú bi toỏn sau: n h n g h a 1.1.2 Cho nún i K v ỏnh x F : K ^ Mn Bi toỏn bự, u k -r Sol{K, Fgk) v tớnh gii hn lim u k Khi gii hn tn ti, ta cú th hi vng nhn c nghim ca V I{K , F) kt thỳc quỏ trỡnh tớnh toỏn sau mt s hu hn bc v nhn c nghim xp x ca V I ( K , F), ta a tiờu chun dng Chng hn, ta cú th kt thỳc quỏ trỡnh tớnh toỏn |itfc u k~l I ^ 6, vi > l hng s n h lý 2.1.1 ( Xem([5j, nh lý 2.2)) Gi s rng K úng, khỏc rng, F : K M" l li, M" l ỏnh x gi n iu liờn tc Nu bi toỏn V I { K , F ) cú nghim thỡ (a) Sol{K, Fe) khỏc rng v compact vi mi Ê > 0; (b) Dóy {it(e)b vi {it(e)f thuc Sol{K,Fe) hi t ti phn t cú chun nh nht Sol{K, F) Ê crỡ; (c) lim diamSol{K, Fe) 0, vi dam eo ng kớnh ca ớỡ ^ M" sup{ \u v\ : u ,v Ê ớỡ\ l 2.2 V n m liờn quan n phng phỏp hiu ch n h T ik h on ov cho bi to ỏ n b t n g th c b in p h õn gi n iu Cõu hi sau v mi liờn h gia ỏnh x gi n iu vi s hi t ca dóy lp c xõy dng bi phng phỏp hiu chnh Tikhonov: Nu K ÊÊ Mn l li, úng, khỏc rng, F K >W l ỏnh x gi n iu liờn tc v bi toỏn V I { K , F ) cú mt nghim, ú cú tn ti Êl > cho ỏnh x Fe F -\-Ê l gi n iu vi mi 18 (0, Êi) hay khụng? Cú tn ti Ê2 > cho bi toỏn V I { K , F e) cú nht nghim vi mi Ê e (0, Ê2 ) hay khụng? Ta s xột vớ d sau õy tr li ph nh cõu hi th nht V d 2.2.1 ( Xem([4j, Vớ d 2.1)) Cho F xỏc nh bi F{uu u 2) = [u\ Jr u ) [ - U ỡUi)T^ U = {uiỡu 2) b M2, vi ch s trờn aT ký hiu ma trn chuyn v Rừ rng F kh vi liờn tc nhng khụng liờn tc Lipschitz trờn M2 V Soi{R2,F ) - U 0,0)TK nh x hiu chnh Fe ca F c cho bi Fe{u) F{u) F ÊU - {u \ f u ){-U 2,Ui)T F Ê{u i , u 2)t - ( M +u ) [ - u ) + [u\ F u)ui F ÊU2)T, vi mi U {u i ,U2 )t b M2 Mc dự F gi n iu trờn M2 nhng Fe khụng gi n iu trờn M2 vi Ê > tựy ý Ta s nghiờn cu cõu hi th hai phn tip theo 2.3 T ớn h d u y n h t n gh im c a bi to ỏ n h iu chnh 2.3.1 B t n g th c b in p h õ n k h ụ n g r n g b u c S hi t ca lp cỏc ỏnh x gi n iu, c bit l ỏnh x gi affin ó c gii thiu v a cỏc tớnh cht bi M Blanchi, N.Hadjisavvas 19 v s Schaible d trỡnh by ta gii hn lun ny cho trng hp ỏnh x l gi affin Ta xột ỏnh x F : K ^ M" cú dng F{u) M u + q, F khụng nht thit gi affin nhng Fe F T Ê l gi affin, vi Ê > nh Ta a iu kin bi toỏn bt ng thc bin phõn liờn quan ti Fe F + Ê cú nghim nht n h n g h a 2.3.1 Cho K l ca M" nh x F : K >R n c gi l gi affin trờn K nu F v F u gi n iu Khi K M", ta cú tớnh cht tip theo v ỏnh x gi affin c chng minh bi M Bianchi, N Hadjisavvas v s Schaible Cỏc tỏc gi ó s dng hai nh lý t hỡnh hc i s v hỡnh hc x nh n h lý 2.3.1 ( Xem [7]) nh x F : M" M" l gi affin v ch tn ti ma trn i xng lch M e R nKn, ngha l M T M , vộc-t q e M" v mt hm s dng g : M" ^ K cho F{u) g{u){Mu + q), V e M" Ta chng minh c cỏc kt qu sau n h lý 2.3.2 Gi s F{u) g{u){Mu q) vi g : Mn ^ M l hm s dng kh vi liờn tc, M Ê Mn*n l ma trn i xng lch v khụng suy bin, q b Mn l vộc-t tựy ý cho trc Khi ú tn ti Ê > cho bi toỏn hiu chnh V I ( K , Fe) cú nghim nht vi mi Ê ^ (0, ) Nu d etM 7^ v M T M, ú n phi l s chn iu ny ch rng gi thit ca nh lý 2.3.2 l khỏ cht che Ta tỡm cỏch m rng kh nng ỏp dng ca nh lý 2.3.2 Phỏt biu sau l m rng ca 20 nh lý 2.3.2 Nú a iu kin v tớnh nht nghim ca bi toỏn hiu chnh cho lp bt ng thc bin phõn gi n iu Vỡ nh lý sau l m rng ca nh lý 2.3.2 nờn ta khụng cn chng minh riờng hai nh lý ny n h lý 2.3.3 Gi s F : M" ^ M" l ỏnh x cú dng F{u) = g{u){Mu + q), vi g : W l > K l hm s dng kh vi liờn tc, M l ma trn na xỏc nh dng, khụng suy bin, v q t Mn Khi ú tn ti Ê > cho bi toỏn hiu chnh V I{K , Fe) cú nghim nht vi mi e e (0,) chng minh nh lý 2.3.3 ta cn cỏc kt qu ph sau õy: B 2.3.1 Nu K e Mn l compact, li, khỏc rng, g : Mn ^ K l hm s dng kh vi liờn tc thỡ ỏnh x l liờn tc Lipschitz trờn K Chng minh Vỡ g dng v kh vi liờn tc trờn Mn nờn G kh vi liờn tc trờn Mn Vi mi u ,v Ê K , bng phng phỏp nh lý giỏ tr cho hm giỏ tr vộc-t ta cú |G(ri) G{v) I ^ sup |VG(ui) I \u V I ^ L \u V I, wt[u,v vi L sup |VG(ui) I l hu hn vỡ K compact v VG(w) liờn tc Do W^B ú, G{u) l Lipschitz trờn K vi hng s Lipschitz L 21 B 2.3.2 ( Xem [2j v [6J) Cho G : M" ^ M" cú dng G{u) M u T q, vi M t Mn>;n v q t M" Khi ú, G gi n iu trờn W v ch M l na xỏc nh dng Chng minh iu k in Nu M l na xỏc nh dng thỡ {Mu, u) ^ 0, Vit Ê M" Do ú, vi U, v bt k thuc M" ta cú \G[y) G{u),v u) {M{y u), v u) ^ Ngha l ỏnh x G l n iu trờn M" Do ú, G gi n iu trờn M" iu k in cn Cho G gi n iu trờn M" Ly u tựy ý thuc M", ta phi chng minh {Mu, ự) ^ Gi s trỏi li {Mu, ự) < Vi n l " tựy ý thỡ i lng {G{tu),v tự) t {Mu, u) + t[{Mu, v ) {q, )J {q, v) , l dng vi t > ln Do ú, vỡ G gi n iu nờn ta cú {G{v),v tu) {G{v),v) t {M v + q,u) > 0, vi mi t > ln Do ú {M v -\- q,u) ^ vi mi V b Mn Th V tu vi t Ê M vo bt ng thc cui ta c (.M { tu ) T q, u) ^ Cho t ^ TX> v kt hp vi gi thit {Mu, ự) < 0, ta nhn c iu mõu thun 22 B 2.3.3 Cho F : M" ^ M" cú dng F{u) - g{u){Mu + ), v ) tựy ý chng minh nh lý 2.3.4 ta phi da vo cỏc khỏi nim v Pqma trn, P- ma trn v cỏc kt qu liờn quan n h n g h a 2.3.2 ( Xem([10j, nh ngha 3.3.1 v 3.4.1)) Ta gi M b R nKn l (a) Pq- ma trn nu tt c cỏc nh thc chớnh khụng m (b) P- ma trn nu tt c cỏc nh thc chớnh dng Nu M l P- ma trn thỡ nú l Pq- ma trn o li núi chung khụng ỳng B 2.3.4 ( XemQlO], nh lý 3.4.2)) Cho M b M"*", cỏc mnh sau l tng ng (a) M l p0- ma trn (b) Vi mi Ê > 0; M + e l l P- ma trn B 2.3.5 ( Xem([10j, nh lý 3.3.7)) Phn t M b Mnxn l P- ma trn v ch bi toỏn L C P { M , q) cú nghim nht vi mi vộc-t q b M \ B tip theo a iu kin cho tớnh cht ca Pq- ma trn 26 B 2.3.6 ( Xem([6j, nh lý 1)) Gi s bi toỏn L C P { M , q ) l cú tớnh chp nhn c v ỏnh x F{u) M u T q l gi n iu trờn K" Khi ú M l Pq- ma trn C h n g m in h n h lý 2.3.4 Theo B 2.3.6, vỡ L C P [ M , q) cú tớnh chp nhn c v ỏnh x F {u) M u T q l gi n iu nờn M l Pqma trn Do ú, theo B 2.3.4, M e M + E l P- ma trn vi mi Ê > Hn na, theo B 2.3.5 bi toỏn L C P { M e,q) cú nghim nhõt vi mi Ê Ê (0, TX>) Trong nh lý 2.3.4 ta chng minh c tớnh nht nghim ca bi toỏn hiu chnh cho bi toỏn bự tuyn tớnh gi n iu di iu kin nh v tớnh chp nhn c ca bi toỏn ban u Chng minh ca ta khụng s dng kt qu v s tn ti nghim ca bi toỏn hiu chnh nh lý 2.3.3 Kt qu nh lý |2.3.4| khụng c bo ton nu gi thit v tớnh chp nhn c khụng tn ti Vớ d tip theo minh chỳ ý ny V d 2.3.2 Xột hm s F{u) M u T q, vi M = \ \ -1 Q- -1 Ly u [u \ )U2 ) t - M2 v Ê e (0, -hx>) ta cú F{u) - [u2 + 1, u - 1)T, Fe{u) - {u2 + -h ÊUi, - u - -h EU2)T nh x F{u) gi n iu trờn K nhng c hai bi toỏn L C P { M , q) v L C P { M e, q) vi Ê e (0,1) l khụng cú nghim chp nhn c 27 Bõy gi ta ch rng tớnh chp nhn c ca bi toỏn hiu chnh L C P {M e, q), Ê e (0,1) khụng kộo theo tớnh chp nhn c ca bi toỏn ban u L C P (M ,q) V d 2.3.3 Chn M (0) Ê M1*1 v q < Ta thy F [u) M u T q l gi n iu trờn v LCPi^M, q) khụng cú nghim chp nhn c Chỳ ý rng, vi Ê Ê [0, -|-x>) tựy ý, x{Ê) qÊ~l l nghim nht ca bi toỏn L C P {M e, q) Hn na, x{Ê) TX> Ê r Do võy, qu o sinh bi quỏ trỡnh hiu chnh khụng b chn Do ú, nhỡn li Vớ d 2.2.1 ta thy tớnh gi n iu cú th b mt i sut quỏ trỡnh hiu chnh i vi toỏn t gi n iu khụng tuyn tớnh Vy cõu hi t l tớnh gi n iu ca ỏnh x affin cú c bo ton quỏ trỡnh hiu chnh hay khụng Trong mc tip theo ta cp n ny 2.4 T ớn h gi n iu c a ỏn h x h iu ch n h Tỏc ng ca phng phỏp hiu chnh Tikhonov lờn ỏnh x gi n iu affin c trỡnh by mc ny 2.4.1 T r ng hp m t chiu Bõy gi ta nh ngha tớnh gi n iu ca ỏnh x F{u) au + b vi , l cỏc hng s thc cho trc, K n h lý 2.4.1 Cho K L_ M l li, úng, khỏc rng M i, úng v F{u) au T ỏnh x affin Khi ú F l gi n iu trờn K v ch mt nhng 28 trng hp sau xy ra: (a) K cú mt phn t nht; (b) K K v a ^ 0; (c) K [a, -|-x>) vi a eK v hoc a ^ hoc a < v aa + b < 0; (d) K {x>, f3\ vúi Ă3 eK v hoc a ^ hoc a < v a3 -h b > 0; Al [qớ, /5J vi a,3 Ê M ,a < Ă3, v hoc a ^ hoc a < v aa + b < 0, hoc a < v a/3 b > Chng minh Nu K cú nht phn t thỡ ta cú \F {u ),v u) {F{v),v u} 0, Vit, V Ê K, v vỡ vy F l gi n iu trờn K Nu a ^ ỏnh x F{u) au b l n iu trờn K, v vỡ vy nú gi n iu trờn mi K C- K Nu a < ta xột cỏc trng hp sau: T r ng hp K - K b t u va v 7^ , ta cú a a ( F{u),v u) [au + b){v u) , (.F(u), V ự) ^ < Do ú F khụng gi n iu trờn K T r n g hp K [a, +x>) Nu aa + b < thỡ F(u) a u - - b ^ a a + b < vi mi u e K; vỡ vy [F{u),v u) ^ => (.F(u), u ti) ^ 0, vi mi u ,v t K Do ú, -F l gi n iu trờn K 29 Nu aa -+- b ^ thỡ F khụng gi n iu trờn K T ht vy, chn u -, V b K \ { -} v chng minh tng t Trng hp (.F {u),v ỡ) {au + b){v u) 0; \F{v), V u) a ,/3J Phõn tớch tng t Trng hp ta chng minh c F gi n iu trờn K v ch a3 T b > T r ng hp K [a, /3J, a < Ă5 Phõn tớch tng t Trng hp v Trng hp ta ch rng F gi n iu trờn K v ch aa T b < hoc a3 T b > Trờn nn tng ca nh lý 2.4.1, ta nghiờn cu s bo ton tớnh gi n iu ca ỏnh x hiu chnh H q u 2.4.1 Cho K l li, úng K v F{u) au -hũ l mt ỏnh x affin Nu F l gi n iu trờn K thỡ tn ti Ê > cho Fe{u) (a T e )u T b l gi n iu trờn K vi mi Ê b (0, ) Chng minh nh x FÊ{u) tha c Trng hp nh lý 2.4.1 Ta i chng minh iu ny Trng hp (a) () l tm thng Trong trng hp t (c) (e), nu a ^ thỡ khng nh l ỳng Vỡ vy ta ch cn xột trng hp a < Nu (c) xy ra, a < v aa + b < 0, ú a T Ê < v (a T ẩ)a T < 0, Ve b (0, ) vi Ê- \ || nu a ^ 0, min(||, |acỹ T ba nu a > 30 Do ú, theo nh lý 2.4.1, Fe[u) [a + e)u b l gi n iu trờn K vi mi Ê e (0, ) Nu (d) xy ra, a < v aò T b > thỡ a T Ê < v (a Ê)ò T b > 0, Ve ^ (0, ) vi Ê a nu /3 ^ , m in(|a|, \aò + b\ò~1} nu ò < Do ú, theo nh lý 2.4.1 ta li cú Fe[u) l gi n iu trờn K vi mi Ê t (0,e) Nu (e) xy ra, a < v aò b > 0, ú ta chng minh tng t trng hp [d) Trong mc tip theo ta s thy rng s bo ton tớnh gi n iu ca Fe, vi Ê > nh( vi iu kin F gi n iu) c trỡnh by H q u |2.4.1|trong trng hp K K khụng hon ton ỳng cho trng hp K li, úng, khỏc rng M", n > 2.4.2 T r n g hp n h i u chiu Phn ny nghiờn cu tớnh gi n iu ca ỏnh x affin trng hp nún K K" (trng hp c bit) Sau õy ta nhc li mt s kin thc c bn n h lý 2.4.2 ( Xem([3j, Mnh 3.1)) Cho M ^ WlKn v q t Mn Khi ú, F[u) M u + q l gi n iu trờn M" v ch M Tv ^ v (y, q} ^ 0, (V t Mn v (v, M v ) < 0) < hoc V vi [v)i M Tv ^ 0, (y, q} ^ v (y, M v +- q} < 0, max(0, V \ vi 1, 2, , n 31 n h lý 2.4.3 Gi s F{u) M u T q l mt ỏnh x affin, vi M - d i a g { X l , X2, , X n),q - (ỗi, q2, , qn)T, (2.3) ln lt l ma trn ng chộo v vộc-t M" Khi ú F l gi n iu trờn K " v ch mt nhng iu kin sau tha món: (i) Xi ^ vi mi j t ( 1, 2, , n [; (ii) Tn ti nht i A * < e (1, , , n \ cho , q < , \ [Aj - ,j - 0, Vj Ê (1,2, ,n } \(i} (2.4) Chng minh chng minh nh lý ta chia bn kh nng xy nh sau T r n g hp Xi ^ vi mi i e (1, 2, , n\ Trong trng hp ny, vỡ M l na xỏc nh dng nờn F n iu trờn K " Vỡ vy F gi n iu trờn K " T r ng hp Tn ti i , j e (1,2, cho i j, Xi < v A, > t V ( 0, , 0, y x2Aj, 0, , 0, \/Xi, 0, , 0)T, vi \/2Xj v trớ th i, \ / X v trớ th j, ta cú { v , Mv ) XV XjV^ 2AAj Aj(A) AAj [...]... V I, Vui e K, hay H q u 1.2.1 ( Xem([lJ, H qu 2.4)) Cho K l tp li úng trong khụng gian R n, thỡ Pk l toỏn t khụng gin, tc l \Pk {u ) Pk {u ) I ^ \u ỳ I, Vu, ớif t r Chng minh Cho trc u ,u Ê W 1, cho V Pk {u ) v V Pk {u ), lỳc ny V V b K : (y, w V ) ^ (ớt, w v} , w b if; ớ=K (^v , W-V ^ ^ớt , w V , w b if Ta chn w V cho bt ng thc u v w V cho bt ng thc th hai, thờm vo ú ta cú , V V 2 / '\ ... Chng 2 Phng phỏp hiu chnh T ikhonov cho bi toỏn bt ng th c bin phõn gi n iu 2.1 P h n g phỏp h iu ch n h T ik h on ov Mt trong nhng ý tng c bn trong vic tỡm nghim ca bt ng thc bin phõn l s thay th bi toỏn ban u bng mt dóy cỏc bi toỏn m ta d tỡm nghim hn Phng phỏp hiu chnh Tikhonov (vit t t TRM) l mt trong nhng phng phỏp nh vy Phng phỏp hiu chnh Tikhonov c ỏp dng cho bt ng thc bin phõn n iu Vỡ bi toỏn... ch n h T ik h on ov cho bi to ỏ n b t n g th c b in p h õn gi n iu Cõu hi sau v mi liờn h gia ỏnh x gi n iu vi s hi t ca dóy lp c xõy dng bi phng phỏp hiu chnh Tikhonov: Nu K ÊÊ Mn l tp li, úng, khỏc rng, F K >W 1 l ỏnh x gi n iu liờn tc v bi toỏn V I { K , F ) cú mt nghim, khi ú cú tn ti Êl > 0 sao cho ỏnh x Fe F -\-Ê l gi n iu vi mi 18 (0, Êi) hay khụng? Cú tn ti Ê2 > 0 sao cho bi toỏn V I { K... mt trong nhng tớnh cht ca toỏn t m bo cho bi toỏn cú nghim l tớnh n iu v n iu tng quỏt n h n g h a 1.3.1 ( Xem[10j) nh x F : K > Mn c gi l: (a) Dn iu nu \F{u) F{v), u v) ^ 0, Vớ, V t K] 14 (b) n iu mnh nu 1I7 > 0 sao cho \F{u) F[y),u v) ^ 7 |it V |2, Vit, V t K ; Gi n iu nu (.F{u),v u) ^ 0 (F{v),v u) ^ 0, mi u ,v ^ K] (d) Gi n iu mnh nu tn ti 7 > 0 sao cho ( F{u),v mi u , v u) ^ 0 => \ F (... nghim ca nhiu bi toỏn trong phng trỡnh toỏn t n h lý 1.2.1 ( Xem([lJ, nh lý Brouwer)) Cho K c_ Mn khỏc rng, compact v i, ỏnh x F : K >K liờn tc Khi y, F cú mt im bt ng, tc l tn t i x - K ^ x F{x) 9 B 1.2.1 ( Xem([lJ, B 2.1)) Cho K l mt tp con li úng khỏc rng ca khụng gian M" Khi ú vi mi u b cú duy nht V b K sao cho \u V I inf \u w\ wbK (1.4) im V tha món ( L ) c gi l hỡnh chiu vuụng gúc ca u... cn v tn ti nghim Cho tp li K 7^ 0 , t iCK = K n trong ú l hỡnh cu úng bỏn kớnh R v tõm o b M" Khi ú K R l tp compact Vy theo nh lý 1.2.3, ta cú Ur e K g :{ F [ i r ),v - & 0, V v e K r ( 1 6) n h lý 1.2.4 ( Xem([lJ, nh lý 4.2)) Cho K c_ M" l tp i, úng, khỏc rng v ỏnh x F : K >M" liờn tc trờn K Diu kin cn v tn ti nghim ca bi toỏn bt ng thc bin phõn (1.1) tn ti mt s R > 0 sao cho cú mt nghim UR... ma trn i xng lch M e R nKn, ngha l M T M , vộc-t q e M" v mt hm s dng g : M" ^ K sao cho F{u) g{u){Mu + q), V e M" Ta chng minh c cỏc kt qu sau n h lý 2.3.2 Gi s F{u) g{u){Mu q) vi g : Mn ^ M l hm s dng kh vi liờn tc, M Ê Mn*n l ma trn i xng lch v khụng suy bin, q b Mn l vộc-t tựy ý cho trc Khi ú tn ti Ê > 0 sao cho bi toỏn hiu chnh V I ( K , Fe) cú nghim duy nht vi mi Ê ^ (0, ) Nu d etM 7^ 0 v M... khụng Trong mc tip theo ta cp n vn ny 2.4 T ớn h gi n iu c a ỏn h x h iu ch n h Tỏc ng ca phng phỏp hiu chnh Tikhonov lờn ỏnh x gi n iu affin c trỡnh by mc ny 2.4.1 T r ng hp m t chiu Bõy gi ta nh ngha tớnh gi n iu ca ỏnh x F{u) au + b vi , l cỏc hng s thc cho trc, K n h lý 2.4.1 Cho K L_ M l tp li, úng, khỏc rng M tp i, úng v F{u) au T ỏnh x affin Khi ú F l gi n iu trờn K khi v ch khi... F [ tu T fl t )u ) , u u~y ^ 0,Vt t (0, 1) Cho T > 1 ta c \F { u T),u u r} ^ 0 Do ú, u* Sol{K, F) Vi mi u e K thỡ tp (it* e K : ( F{u),u u ) ^ 0} li v vỡ giao ca cỏc tp li l tp li nờn Sol{K, F) li Trong chng minh Mnh |l.3.l|(b) ta thy nu F liờn tc v gi n iu trờn nún li K thỡ UT' e Sol{K, F) khi v ch khi { u ) , u - u ) ^ 0,Vr f= K õy chớnh l b Minty cho bt ng thc bin phõn gi n iu Ni dung ca chng... h gia V I{K , F) v CP{K, F) M n h 1 1 1 Cho K l mt nún li trong Mn Khi ú, u" l nghim ca V I { K , F) khi v ch khi u r l nghim ca C P [ K , F) Chng minh iu k in cn Gi s u Ơ l nghim ca V I { K , F ) , ro rng u* t K Bng cỏch ly u 0 t K , trong (L1) ta cú (F {u Ơ), u Ơ} ^ 0 Ly u 2u* e K , trong (1.1) ta c < F (tT ),tr> ^ 0, 8 suy ra Núi cỏch khỏc iu ny cho thy (F{u*),u u*y {F{ur),u} ( F {u v)