B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI NGÔ THỊ BÌNH DƯỚI VI PHÂN TỎNG QUÁT VÀ ỦNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC s ĩ TOẤN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận văn, tác giả nhận động viên, giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp, người thân, thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, thầy, cô phòng Sau đại học thầy, cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin cảm ơn tấ t người hỗ trợ để hoàn thành Luận văn Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS Trần Văn Bằng, người thầy định hướng bảo tận tình để hoàn thành Luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, 20 tháng năm 2015 Tác giả N gô Thị Bình Lời cam đoan Luận văn kết thân tác giả đạt trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng giúp đỡ Thầy, Cô khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy Trong nghiên cứu, hoàn thành Luận văn tác giả tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài “Dưới vi phân tổ n g quát ứng dụng” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, 20 tháng năm 2015 Tác giả N gô Thị Bình M ục lục B ảng kí hiệu M đầu Chương M ột số kiến thứ c chuẩn bị 1 Một số khái niệm không gian Banach Hàm khả vi không gian Banach Chương Dưới vi phân tổn g quát ứng dụng 14 Dưới vi phân tổng quát 14 Quy tắc tổng mờ 22 2.3 ứng dụng 29 K ết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 B ản g kí hiệu K: Tập số thực I : Tập hợp số thực mở rộng K = K u (+oo) X : Là không gian Banach X* : Là không gian đối ngẫu không gian Banach X X** Là không gian liên hợp thứ hai không gian X Là không gian đối ngẫu không gian Banach X với tô pô hội tụ tập /3 Bx : Hình cầu đơn vị X s* : Mặt cầu đơn vị X E : Là tập đóng X L : Là không gian hữu hạn chiều X L1 Là không gian trực giao L ỉ X —ì Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y Chuẩn không gian Banach X (z*,z) : Giá trị hàm /3: họ tập đóng, bị chặn, đối xứng tâm X sup : Cận in f : Cận diam (S) : Đường kính tập cl : Bao đóng co : Bao lồi X* s X cl CO : Bao lồi đóng l.s.c Nửa liên tục Ư, V: Các lân cận / ' {x,d) : Đạo hàm / theo phương d X D p f (æ) : Tập tấ t đạo hàm nhớt Fréchet / X DGf (z) : Tập tấ t đạo hàm nhớt Gâteaux / X Dß f { x ) ■ Tập tấ t ß — đạo hàm nhớt / X D+ß f i x ) '■ Tập tấ t ß —trên đạo hàm nhớt / X v /(x ): Đạo hàm Fréchet / X v ¿ (x) : ß — đạo hàm / X dßf (æ) : ß — vi phân / X dGf (æ) : Dưới vi phân Gâteaux / X M đầu Lí chọn đ ề tà i Giải tích không trơn đời năm 70 kỷ 20 nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho toán với kiện không trơn, với kiện Lipschitz hay với kiện nửa liên tục Cho tới có nhiều khái niệm "đạo hàm suy rộng" đưa thường gọi tên "dưới vi phân" như: vi phân suy rộng Clark, vi phân Frechet, vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng đáp ứng phần yêu cầu đặt Dưới vi phân chia thành hai nhóm lớn: Dưới vi phân "đơn" vi phân "ngặt" Dưới vi phân đơn định nghĩa điểm không đòi hỏi tính chất khả vi hàm lân cận điểm Thường vi phân đơn khái quát hóa khái niệm đạo hàm cổ điển (như vi phân Frechet, Gâteaux, Dini ) Ngược lại với vi phân đơn, vi phân ngặt đòi hỏi tính khả vi hàm lân cận điểm định nghĩa Thông thường, vi phân ngặt biểu diễn giới hạn vi phân đơn Những khái niệm không ngừng phát triển ngày tỏ có nhiều ứng dụng giải tích phi tuyến lý tuyết tối ưu Tuy nhiên nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần tiếp tục tìm hiểu khai thác Được hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, chọn đề tài nghiên cứu: "Dưới vi phân tổng quát ứng dụng" M ụ c đích n gh iên cứu Tìm hiểu vi phân tổng quát ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi N h iệm vụ n gh iên cứu Hệ thống tổng hợp kiến thức vi phân tổng quát số ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi Đ ố i tư ợ n g p h ạm vi n gh iên cứu Đối tượng: Dưới vi phân tổng quát ứng dụng Phạm vi: Nghiên cứu lớp hàm nửa liên tục P h n g pháp n gh iên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm lý thuyết tối ưu N h ữ n g đ ó n g góp củ a Luận văn Tìm hiểu khái niệm vi phân tổng quát Tổng hợp, hệ thống số kết nhà khoa học nghiên cứu công bố vi phân tổng quát ứng dụng Chương M ột số kiến thức chuẩn bị Trong chương ta trình bày khái niệm không gian Banach, hàm khả vi không gian Banach tính chất hàm Lipschitz Những kiến thức chương lấy chủ yếu từ [1], [2] ,[3] ,[4] ,[9] ,[10] 1.1 M ột số khái n iệm k h ôn g gian B an ach Mục trình bày khái niệm, tính chất không gian Banach không gian liên hợp Cho X không gian vectơ tập số thực M Đ ịnh nghĩa 1.1 ([lj, trang 11-12) Một chuẩn X , kí hiệu II ■II, ánh xạ từ X vào M thỏa mãn tiên đề sau: Với Víí, V € X a € M (i) ||ri|| > (với ||ri|| số thực không âm) (ii) ||'u|| = u = (iii) ||cra|| = Io;I ||rí|| (iv) ||ri + u|| < ||ri|| + \\v\\ (bất đẳng thức tam giác ) Từ (2T) (22) N N în * n=1 (z) = ilim —y00 ỉn K ) ■ n=l Do fn với n = 1, , IV hàm nửa liên tục nên lim woo fn ( < ) = f n ( x ) , n = 1, , IV Hơn nữa, theo Bổ đề 2.15 biểu thức(|2.2Ị) kéo theo (2.4) lim ti [diam ( { ^ I , , æiv})]2 = Do V^ll • Il (æ) bị chặn ||æ|| , kết hợp (2Á) (22) ta lim \\x*n.\\diam ({x\, i— ĩoo i = 0, với n = 1, , N Do i đủ lớn II2^ —æ|| < £, Ifn (æjj) — f n ( x )I < £ ||æ* Il diam ({^I, , 2^ } ) < £ với n = 1, , , N Bằng cách lấy x n = æjj Ï* = £*., n = 1, , N ta có điều phải chứng minh □ Tiếp theo ta se trình bày ba định lí quy tắc tổng với ß —dưới đạo hàm nhớt Đ ịnh lý 2.17 ([7J, Định lý 2.10 ) Cho X không gian Banach với chuẩn tương đương ß —trOn f l , , f N ỉà hàm, nửa liên tục N / N \ n —t Vn=l ) X , với X G n dom (fn ) Khi với X* G Do ( Ỵ2 f n Ị ( z ) , £ > ỉăn cận yếu* V X * , tồn x n G x + £B,x*n G Dßfn (x n) ,n = 1, ,N cho If n ( ^ n ) fn (^)l ^ 24 £ x*n II d ia m ( { æ với n = 1,2 , N ; X N } ) < £, N X e ỵ ^ x l + V 71=1 Chứng minh Cho £ > V lân cận yếu* X* Cố định r > 0, tồn không gian hữu hạn chiều L X chứa X Vß lân cận Xß cho Do X* G Dß [ fn Vß + L1 + r B ỵ * c V ) ( z ) , nên tồn hàm g Lipschitz địa phương N cho g ß —trơn X với v ßg (æ) = X* X) fn — đạt tới cực 71= tiểu địa phương X Chọn < TỊ < (e, r) cho IIy —æ|| < TỊ < £ suy v ßg (æ) — N v ßg (y ) G Vß gọi ỖL hàm L Khi X) fn — + Õl đạt 71=1 cực tiểu địa phương X Theo Mệnh đề 2.14 ( / i , / jv , —g, Ỗl ) nửa liên tục địa phương Theo Định lí 2.16 tồn x n với n = 1, ,N + cho lla^ x\\ < ĩ) < £ , n = 1, ,N + 2,x*n G D ß f ( x n) , n = - V ßg{xN+1) x N x)"JV+1 + £ DßdL(xN+2) thỏa man kết luận Định lí 2.16 tức Ifn{xn) - fn{x)\ < r} < £, 11x*n 11diam ({aq, , XN }) < ịịxlịịdiam^Xị, ,xN+2}) < TỊ < £ với n = 1, , N, \ỗL(xN+2) - ỗ L(x)\ < TỊ tức x N+2 G L N ỵ x n ~ V ßg{xN+i) + x*N+2 G r B x , n= Chú ý D ỗL(xN+2) = L X* - y ßg(xN+1 ) G V ß Tiếp theo kết mạnh 25 □ Đ ịnh lý 2.18 ([7J, Định lý 2.11) Cho /3 borno lồi X không gian Banach với chuẩn tương đương Ị3—trơn Cho /i, ,/ jv hàm nửa liên tục X £ N n 71=1 dom (fn ) Khi với X* £ ( E fn^j ( z ) , e > lăn cận yếu* V X * , tồn x n £ x+sB,x*n G Dp f n (xn) vớin = 1, ,N cho If n (x n) - fn (z)| < £, IIa;* II diam ({a?!, ,XN}) < £,n = 1, , IV N x ' e ^ x : + v 71=1 Chứng minh Cho £ > V lân cận yếu * X* Cố định r > 0, tồn không gian hữu hạn chiều L X chứa X cho L1 + 2rBỵ* c V Lấy X* G ớ|5 Ị ) ] ( z ) Khi đó, với K G /3 ' N lim inf inf t ỵ í— f0+ h€tK _n = (x + h) - ỉn (z)) - {x*, h) > (2.5) Chọn K £ /3 chứa giao L với hình cầu nhỏ tâm Khi (2.5) suy N lim inf inf t i —» + Un { x + h ) ~ f n {x)) - (x*,h) hetBnL > .7 = Do L không gian hưu hạn chiều, nên điều tương đương với N lim inf inf \\y - x ị ị ^ ì ^ Un{y) - fn{x)) - {x*,y - x)] > -XII— »0 y - xx &e L n=1 lỉ/ — X | | —» Do đó, tồn TỊ < r cho hàm N y ^2 U) - ( x * , y ) + r IIy - x\\ + ỖL (y) 71=1 26 dat ciic tieu theo y tren x + rjB tai y = x Theo Menh de 2.14 Änh xa y {fi{y) , , /jv(y), ~{x*, y), r\\y - x\\,öL(y)) la nda lien tue diiöi deu dia phrfdng Ap düng Dinh ly 2.16 ton tai x n, vöi n = , N + vöi \\xn — a:|| < rj < e, n = , N + 3, x*n G D ~ f ( x n) , n = 1, ,1V rD~ \\xN+2 - x\\ va x*N+3 G = - x * ,x ^ +2 G (xjv+3) cho \fn{xn) - f n(x)\ < r) < £ ||x*||d ia m ({x1} ,xN}) < ||x*\\diam({x1} , x N+3}) < r) < e vöi n = 1, , N, \öL (xN+s) - öL (x)| < r) tdc la x N+3 G L va N J 71= X n ~ X * + X N + + X N + 3£ r B X , Thay rang Dß Öl (x x +3) = BL va rDß \\xx +2 —sc|| C rB x *, ta thu dUöc N ■ 'T < N + i l + tB *■ n= + n=l □ D in h ly 2.19 ([Tj, Dinh ly 2.12 ) Cho X lä khöng gian Banach vöi mot chuän ß —trön tiiöng ditöng Cho / i , , f x lä cäc häm nita lien tue ditöi, vöi moi (cö the trü mot) häm /„, n = 1, ,1V lien tue deu dia N phiiöng vä x G P dom (/„) 71=1 N Khi dö, vöi bat ki x* G D ß ( Y ) f n){x) ; £ > vä bat ki ß —län can V n= cua tren X*ß ton tai x n G x + e B , x*n G D ß f n(xn), n = 1, ,1V, cho 27 Iỉn M - ỉn (z)| < £, IKII diam ({a?!, -■-,æJV}) < £, vớin = 1,2, ,N N X e ỵ , < + v 71=1 Chứng minh Cho £ > V lân cận Xß Với r > 0, giả sử lân cận G Xß cho + r B ỵ * c V Lấy X* e Dß ( Z fn ) ( z ) Khi tồn hàm g ß — trơn X N cho v ^ g (æ) = X* fn — đạt cực tiểu địa phương X Chọn 71=1 < TỊ < £ cho II y — æ|| < TỊ < £ suy v ^ g (æ) — v ^ g (y ) G U Theo Mệnh đề 2.14, ( / l , , / jv, —g) nửa liên tục địa phương Theo Định lí 2.16, tồn x n, n = 1, , N + với \\xn — æ|| < TỊ < £, n = 1, , N + l,x* G Dßf n (xn) với = , , N X*N+1 = —V^g (x n +1), cho \fn{xn) - fn{x)\ < ĩ) < £, 11x n* 11diam ({xi, , X N}) < £ với n = 1, ,N N v M zjv+i) < r n= Do đó, N X* e ^ x n + v ß9 (z) - (acjv+i) + r B 71=1 N N c ' E ' X l + U + t B x c ¿ < + v71=1 71=1 □ 28 2.3 ứ n g d ụ n g Trong phần ta tìm hiểu nghiệm nhớt phương trình HamiltonJacobi (gọi tắ t phương trình HJ) không gian X nói chung không gian Banach có chuẩn tương đương /3—trơn Cụ thể ta xét phương trình đạo hàm riêng F (X , u, Du) = 0, F : X X K X X &X, (2.6) X* —>K hàm cho u : X —>K ẩn hàm cần tìm Phương trình chứa lớp phương trình HJ liên kết với hàm giá trị tối ưu số toán điều khiển tối ưu Nói chung, (2^5) nghiệm cổ điển Khái niệm nghiệm nhớt phương trình Crandall Lions giới thiệu từ đầu thập niên 80 kỉ trước Cho đến nay, khái niệm chứng minh thích ứng tốt không với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp mà với lớp phương trình đạo hàm riêng cấp hai Khái niệm ban đầu nghiệm nhớt định nghĩa thông qua đạo hàm Fréchet, áp dụng tốt không gian Banach có chuẩn tương đương Fréchet-trơn (thường gọi tắ t không gian trơn Fréchet) Đối với không gian không trơn Fréchet, ta cần có khái niệm tương thích Đ ịnh nghĩa 2.20 ([7J, Định nghĩa 3.1 ) Cho X không gian Banach với chuẩn tương đương ¡3—trơn Một hàm u : X —> M /3—nghiệm nhớt (2.6) u nửa liên tục với X € X 29 X* G DpU (z) ta có F (X , u ( z ) , X * ) < Một hàm u : X —>K /3—nghiệm nhớt (2^5) u nửa liên tục với X G X X* G DpU (z) ta có F (x, u ( z ) , X*) > Một hàm liên tục u gọi /3—nghiệm nhớt u vừa /3—nghiệm nhớt trên, vừa /3—nghiệm nhớt Đối với nghiệm nhớt phương trình không gian Banach trơn Fréchet, tính chất định tính đề cập đầy đủ, từ tồn tại, phụ thuộc liên tục, tính (xem [7], [11] tài liệu đó), vấn đề nghiệm đặc biệt ý Sau kết tính chất /3—nghiệm nhớt Đ ịnh lý 2.21 ([7], Định lý 3.2 ) Cho X không gian Banach với chuẩn tương đương Ị3—trơn Giả sử > 0, F (x,u,x*) = u + H (x , x *) H : X X Xp —>• M thỏa mẫn giả thiết sau: (A) Vói X 1,x2 G X x \ , x *2 G X p , \H (xì ,x*1) - H (x 2, x*2)\ < cơ(xi - x 2) xỊ - x*2) + M max(\\xl\\, \\x*2II)II27 —£ 2II; M > số UJ : X UJ ( , ) = X x*p —> M hàm liên tục với Giả sử u V hai hàm liên tục cho V bị chặn u bị chặn Nếu u /3—nghiệm nhớt (2.6) ị3—nghiệm nhớt (2.6) u < 30 V V Chứng minh Cho £ > số dương tùy ý Theo giả thiết (A), tồn TỊ G (0,e) lân cận V x*p cho 11rci —ÍC2II < \H {xi, xl) - H (x2, x*2)\ Hàm u 277 x\ — x*2 G V, < £ + M raax ( l l í EĨ l l , 1 ^ II) II27 - x 2\\ —V liên tục bị chặn Theo nguyên lý biến phân trơn, tồn x £ X X* G D p ( v — u ) (z) cho X* + ị v c V (u — V) (z) < inf (u —u) + £ X Theo Định lý 2.19 với /i = V /2 = —u, tồn Xị , X2 G X , x Ị G DpV (27 ) x G D ^ u (27 ) thỏa mãn (i) IIíC i — x\\ < TỊ II2 — m 11 < 77; (ii) \v (27 ) —V (a;)| < £ \u (x 2) —u (z)| < £] (iii) ||a^|| IIíCi —X2 W< £ lla^ll II27 —2 II < (iv) x\ — x*2 — X* G \v Do hàm u nghiệm nhớt (2.6) nên ta có F (x2,u (x2) , x*2) = u (x2) + H (2 , x *2) < Tương tự F (2 , V (27 ) , 27 ) = ' ỴV 31 (27 ) + H (aci,acĩ) > Khi 11íCi —a:211 < 27/ x\ — x\ G V nên inf (v — u) > (v — u) (x) — £ > (aq) —u (x2) —3£ V X > “ [H ( x ì x *2 ) - H (xi,xĩ)] - e > —7 _1 [e + M max (11^1 II , 11^2 II) 11mi —a?2 II] —3 e > - - [(1 + M ) + ] £ □ Do £ tùy ý nên inf (v — u) > Vậy ta có điều phải chứng minh X Hệ 2.22 ([7], Hệ 3.3 ) Dưới giả thiết Định lý 21 , /3—nghiệm nhớt ( ^ ) bị chặn liên tục Tiếp theo ta đề cập tới ứng dụng cụ thể /3—nghiệm nhớt thông qua việc hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu /3—nghiệm nhớt phương trình HJ tương ứng Cho X không gian Banach với chuẩn /3—trơn Ư không gian metric Bây ta xét toán điều khiển tối ưu sau X P(x): Min J (s, u ) := J e~ls f (X ( s ) , u (s)) ds với điều kiện X (s) = g ( x ( s ) , u ( s ) ) X (0) = X, u € g : X u u— > M liên tục Lipschitz theo X tồn K € /3 cho g (x, U) c K với liên tục, bị chặn, liên tục theo 32 X X X € X, f : X u u Xư — u := {u : u đo u( t ) £ với t £ [0 , 00 ) h.k.n} Dưới giả thiết đó, cho X £ X u £ u , X (s) = g (x ( s ) , u (s)), X (0) = X toán có nghiệm xác định [0, oo), kí hiệu X (s, X, u ) Do / bị chặn nên toán xác định Kí hiệu hàm giá trị p (z) V (z) Khi ta có định lý sau Đ ịnh lý 2.23 ([7J, Định lý 3.9, Nguyên lý quy hoạch động) Với t > V(x) = t i n f { J e ~ l s f ( x ( s , X, u ) , u ( s ) ) d s + e ~ l t V ( x ( t , x , u ) ) } ueũ Cho H : X X X* —>K xác định H (x, p) = sup { - (p, g (x, ù)) - f { x , u ) } U£ U Ta chứng minh định lý sau Đ ịnh lý 2.24 ([7J, Định lý 3.10) V /3-nghiệm nhớt phương trình HJ {x) + H { x , DV {x)) = (2.7) Chứng minh Do / bị chặn nên V bị chặn Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, / liên tục theo X u nên ta chứng minh V liên tục đều.Ta trực tiếp kiểm tra H ( x , p ) thỏa mãn giả thiết (A) Khi tính suy trực tiếp từ Hệ 2.22 Do đó, ta cần V /3—nghiệm nhớt (2.7) a Nghiệm nhớt Cho phần tử y £ X cho p £ D p V ( y ) Khi tồn hàm ¡3—trơn Lipschitz địa phương cho 33 (y) = p, y cực đại (địa phương ) V —C Ư (V — cư) (y ) = Để ý C Ư phụ thuộc vào y p không đổi từ sau Theo nguyên lý quy hoạch động với U € u t > t Lü{y) = v {y) < Ị e~ls Ị (X (s, y, u) ,u {s))ds + e~ls V (X (í, y, u ) ) (2.8) Do C Ư ß — trơn cho C Ưlà Lipschitz địa phương Lipschitz V ^ C Ưtồn X, nên tồn TỊ > y + ĩ]B Khi cư khả vi Hadamard v^cư = v^cư y + ĩ]B Thấy {x (s, y, u) : s G [0 , 1]} compact, t > đủ nhỏ ta có ^ [ e “ 7icv(x{t,y,u))} = - e “ 7i7 cv(x{t,y,u)) + e“ 7i (V/3cv{x{t, y, u)),g{x{t, y, u),u{t))) Do đó, ta viết ( ^ ) sau t r Ị e“ 7i[7 cv(x{s, y, u)) - ( v ßu{x{s, y, u)), g{x{s, y, u), u{s))) - f(x( s, y, u) , u( s)) ]ds < Cố định tùy ý V G u đặt u( s) = V với s G [0, i\ ta Í_1 / - ( ^ ßuj(x (s ^y^u ))^ {x{s,y,u), v)) - f ( x ( s , y , u) , v)]ds < Lấy giới hạn t —> 0, để ý hàm dấu tích phân liên tục 34 theo s vầ X (0, y, u ) = y, ta có l V { y ) - {p,g{y,v)) - f { y , v ) = w(y) - ( V p u{y),g{y,v)) - f { y , v ) < Do j V (y) + H (y , p ) < Điều có nghĩa là, V /3—nghiệm nhớt (2.7) b Nghiệm nhớt Cho phần tử y € X cho p € D p V (y) Khi tồn hàm CƯ /3—trơn cho V^CƯ (y) = p y cực tiểu (địa phương) V —CƯvà (V —cư) (y) = Theo nguyên lý quy hoạch động với số nguyên i, tồn ú £ u cho ^{v) + ị = v { v ) + ị , (2.9) > / e 1‘f ( x , ( s , y , u ,),it, (s))ds + e ~l/tv ( x ( - , y , u i)) Lí luận tương tự ta có l/i ~ + i J e ' 7í [ - (V/3cư(s(s,í/,rcí));ỡ (^(s;?/;'uO;^ (s ))) - /(ac(s, 2/,Ti*), ^ ( s ) ) ] ^ < Ta viết lại bất đẳng thức sau l/i juj(y)+i Ị [ ~ { V íìu ( x ( y ) ) )g( y)u l (s))) - f { y )u\s))] ds > h(i) h (i) = - 7+ % hị (i ) + h {i) + h (i ) 35 hj xác định sau l/i M ) : = u ( y ) - i Ị e~ls^uj{x{s,yìui))ds, l/i M«) ' = ỉ Ị [e“7S(V/3u;(a:(s,y,ưí)),ớ(^(s,?/,ưí),ưí(s))) - (v^w(ĩ/), 3( ^ ( 3)))]^ l/i Ị [e~77 ( z ( s , ? / y ) y ( s ) ) - /(y,^(s))]cỉs Hiển nhiên ta có - (v ^ c u , ( y ) (y , u* ( s ) ) ) - / (y, u* ( s ) ) < H (y, p) Do 7^ (y) + (y,p) > h(z) (2.10) Do sup | | | x (s ,? /,^ ) - y|| : s G , i -)> ĩ —>• oo, lim /li (ĩ) = lim h (ĩ) = ¿—>•00 i —>oo Do hàm g Lipschitz theo X u g (y ,u i (s)) ¡3—tập K, tính ¡3—trơn CJ y cho ta lim h (ĩ) = Do lim h (ĩ) = ¿ — >•00 ¿ — >•00 Cho ỉ —>• oo (2.10), ta thu rằng, V ¡3—nghiệm nhớt (2.7), V ¡3—nghiệm nhớt (2.7) 36 □ K ết luận Luận văn tìm hiểu vi phân tổng quát khả ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi 37 Tài liệu th am khảo [A] Tài liệu tiến g V iệt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Đỗ Văn Lưu, Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ [B] Tài liệu tiến g A nh [6] J M Borwein, J s Treiman and Q J Zhu, Necessary condi­ tions for constrained optimization problems with semicontinuous and continuous data, Transactions of the American Mathematical Society Vol 350, No (Jun., 1998), pp 2409-2429 38 [...]... 11 Hm ny kh vi Gõteaux (cú o hm bng 0) nhng khụng kh vi Frộchet ti (0, 0) nh lý 1.22 (Smulyan, [9J, nh lý 1.4, trang 3) Cho (X, ll-ll) khụng gian Banach vi khụng gian i ngu X* Khi ú chun ||.|| kh vi Frộchet ti X G Sx khi v ch khi vi mi dy fn, gn Ê S x *, fn{x) > 1 v gn(x) > 1 ta u cú \\fn gnII >0 V ớ d 1.23 Chun ||a;|| = X X i 1^)1 trong khụng gian Banach l1 khụng trn Frộchet T ht vy, vi mi X = (z(z))... l Lipschitz vi hng s Lipschitz k trờn tp n u i r ỳng vi mi u, V GY 13 Chng 2 Di vi phõn t n g quỏt v ng dng Trong chng ny ta s trỡnh by khỏi quỏt nhng kin thc v hm na liờn tc di, nguyờn lý bin phõn trn Borwein v Preiss, di vi phõn tng quỏt, quy tc tng m v ng dng ca nú trong vic nghiờn cu nghim nht ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi Cỏc kin thc trong phn ny ch yu c ly t [7],[8],[9] 2.1 D i vi p h õn t n...Mt khụng gian vect X cựng vi mt chun II II xỏc nh trong khụng gian y c gi l mt khụng gian nh chun, kớ hiu (X, II II) hay n gin l X M nh 1.2 ([1], trang 12) Cho X l khụng gian nh chun vi chun II II Vi Vx, y X , t d( x , y ) = ||x - y II Khi ú d l mt metric trờn X nh ngha 1.3 ([1J, trang 21) Cho X l khụng gian nh chun vi chun II II Nu X vi khong cỏch d ( x , y ) = 11a: y II l... ca X l kh vi Frộchet hay l chun trn Frộchet nu ||.|| l hm kh vi Frộchet ti mi X Ê Sx (nh tớnh thun nht ca chun ta suy ra chun trn Frộchet s kh vi Frộchet ti mi ẽ 7^ 0) V ớ d 1.20 Chun trờn mt khụng gian Hilbert H l chun trn Frộchet T ht vy, do \\x + h\\2 \\x\\2 (2x, h) \\h\\2 lim = lim ~n7T = 0 h >0 11h h >0 11h 11 nờn ||.||2 l hm kh vi Frộchet ti mi hm hp ta cú ||.|| kh vi ti mi... (quy tc tớnh di vi phõn ca tng cỏc hm) i vi mt s hm ti cc tiu ca tng Quy tc ny cú ng dng quan trng trong vic chng minh tớnh duy nht nghim nht ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi nh lý 2.16 ([7J, nh lý 2.9 ) Cho X l khụng gian Banach vi chun tng ng 3-trn v / i , , / jv l cỏc hm na liờn tc di trờn X Gi s rng (/i, ,/ jv) l cỏc hm na liờn tc di u a N phng v ^2 fn t cc tiu a phng ti X Khi ú vi Ê > 0 bt kỡ,... nh lớ v quy tc tng vi ò di o hm nht nh lý 2.17 ([7J, nh lý 2.10 ) Cho X l khụng gian Banach vi chun tng ng ò trOn v f l , , f N cỏc hm, na liờn tc di N / N \ n t Vn=l ) trờn X , vi X G n dom (fn ) Khi ú vi mi X* G Do ( 2 f n ( z ) , Ê > 0 v bt kỡ n cn yu* V ca 0 trong X * , u tn ti x n G x + ÊB,x*n G Dòfn (x n) ,n = 1, ,N sao cho If n ( ^ n ) fn (^)l ^ 24 Ê x*n II d ia m ( { ổ 1 vi n = 1,2 , N v ;... G X , vi mi Ê > 0 u tn ti mt ln cn V ca X sao cho f ( y ) > f ( x ) Ê vi mi y G V d) Vi mi dóy x n hi t ti X trong X , ta cú lim inf f ( x n) > f(x) n ỡoo Hn na ta cú: e) Nu fi, /2 na liờn tc di thỡ /1 + / 2 cng na liờn tc di f) Nu l mt h cỏc hm l.s.c thỡ f ( x ) = supiei fi{x) cng I S C 16 g) Nu f l.s.c v E c X l tp compac thỡ f t giỏ tr ln nht trờn E T nay v sau chỳng ta luụn xột cỏc hm vi giỏ... trờn) v chớnh thng (proper) nh ngha 2.7 (Hm ò kh vi) Cho hm / xỏc nh trờn X , ta núi rng / l ò-kha vi ti X v cú ò- o hm l v òf (ổ) nu / (ổ) hu hn v : t ~1 ( / (X + tu) - f (z) - t { v ò ( z ) , u)) khi t >0 u theo U V vi mi V Ta núi rng hm / l ò trửn ti lõn cn ca X 0 ò nu v ^ / : X >Xò liờn tc trong X D dng kim tra rng mt hm li l ò trn ti khi / l ò kh vi trờn mt lõn cn li ca X X khi v ch Sau õy ta... _ A( h) t Ơ0 =0 vi mi h G X , trong ú t >0 trong K nh x A c gi l o hm Gõteaux ca F ti X v giỏ tr ca nú ti h c kớ hiu l A (h) = dF (x, h) T nh ngha trờn, o hm Gõteaux ca mt ỏnh x t X vo Y ti X G X l mt ỏnh x tuyn tớnh t X vo Y Chỳ ý rng nu F l mt ỏnh x tuyn tớnh thỡ dF (x, h) = F (h) hay dF (z) = F vi G X Nu / l mt hm trờn X , hay / : X >K v / kh vi Gõteaux ti G X, thỡ df {x, h) = v vi mi X | / (X +... cho chui /00 k W |P hi t vi chun ||a;|| = ( ớ= 1 ,ớ= 1 l khụng gian Banach Khụng gian tuyn tớnh l t t c cỏc dóy s thc X = (z(z)) sao cho sup^ |rc(z) I < +00 vi chun IIXII = sup |z(z)| l khụng gian Banach 4 Khụng gian tuyn tớnh Ca, b] cỏc hm thc liờn tc trờn mt on [a, b] vi chun ||a;|| = max |rc(ớ)I l khụng gian Banach nh ngha 1.5 ([1J, trang 61) Cho X l khụng gian nh chun vi chun II II Anh x tuyn