Thiều Quang Vân- Lớp XE QS 38 - Đề số 16Bài 1 : Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng một phép đối xứng qua gốc toạ độ có thể phân rã thành hai phép biến đổi liên tiếp: Đối
Trang 1Thiều Quang Vân- Lớp XE QS 38 - Đề số 16
Bài 1 :
Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng một phép đối xứng qua gốc toạ độ có thể phân rã thành hai phép biến đổi liên tiếp: Đối xứng qua trục
Ox rồi đối xứng qua trục Oy (hoặc đối xứng qua trục Oy rồi đối xứng qua trục Ox)
Bài làm:
Ma trận của phép đối xứng D qua gốc toạ độ là: M =
−
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
;
Ma trận của phép đối xứng Dx qua Ox là: Mx =
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
;
Ma trận của phép đối xứng Dy qua Oy là: My =
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
;
Ta thấy M =
−
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= Mx x My nên ta có
D = Dx + Dy
M =
−
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= My x Mx nên ta có
D = Dy + Dx
Như vậy phép đối xứng qua gốc toạ độ có thể phân rã thành hai phép biến đổi liên tiếp: Đối xứng qua trục Ox rồi đối xứng qua trục Oy (hoặc đối xứng qua trục Oy rồi đối xứng qua trục Ox)
Bài 2:
Cho vòng tròn bán kính R, tâm tại gốc toạ độ
a)Tìm phương trình và dạng đường cong sau khi thực hiện qua phép biến đổi
với ma trận là:
1 2 2
0 1 0
0 0 2
b)Vẽ đồ thị của đường cong trước và sau biến đổi trên cùng một hệ toạ độ
Trang 2Bài làm:
a) Phương trình đường tròn bán kính R tâm ở gốc toạ độ là x2+y2=R2
Điểm A(x,y) thuộc đường tròn này qua phép biến đổi với ma trận trên sẽ biến thành điểm A x y'( ', '), biểu diễn phép biến đổi này qua tọa độ đồng nhất ta
có: (x' y' 1) = (x y 1)x
1 2 2
0 1 0
0 0 2
= (2x+2 y+2 1)
Suy ra : ' 2 2
= +
' 2 2 ' 2
x x
−
=
= −
Dễ thấy phép biến đổi trên là tổng của một phép tỉ lệ với ma trận:
M1 =
2 0 0
0 1 0
0 0 1
và một phép tịnh tiến với ma trận M2 =
1 0 0
0 1 0
2 2 1
thay vào phương trình đường tròn ta có: ' 2 2 2 2
( ) ( ' 2) 2
x
2
Đây là phương trình đường Elip có tâm tại điểm (2,2), bán trục lớn a = 2R
và song song với Ox, bán trục nhỏ b = R
b, Vẽ đồ thị:
Trang 3Bài 3:
Cho vòng tròn bán kính R=2cm, tâm tại gốc toạ độ
a) Tìm phương trình và dạng đường cong sau khi thực hiện phép biến đổi
với ma trận là:
−
1 3 3
0 2 3 2
0 3 1
b) Vẽ đồ thị của đường cong trước và sau khi biến đổi trên cùng hệ toạ độ
Bài làm:
a) Phương trình đường tròn bán kính R=2cm tâm ở gốc toạ độ là x2+y2=4 Điểm A(x,y) thuộc đường tròn này qua phép biến đổi với ma trận trên sẽ biến thành điểm A x y'( ', '), biểu diễn phép biến đổi này qua tọa độ đồng nhất ta có (x' y' 1
) = (x y 1) x
2 3 2 0
−
= (x-2 3y+3 3x+2y+3 1)
Suy ra : ' x-2 3 y+3
x
=
' 2x- 4y+3
x
=
⇔ ' cos60 2x-sin60 4y+3oo o o
' sin60 2 cos60 4 3
x
=
Dễ thấy phép biến đổi trên là tổng của :
- Phép tỷ lệ với ma trận M1 =
2 0 0
0 4 0
0 0 1
,
- Phép quay quanh gốc tọa độ với ma trận M2 =
cos 60 sin 60 0 sin 60 cos 60 0
,
- Phép tịnh tiến với ma trận M3 =
1 0 0
0 1 0
3 3 1
Từ hệ phương trình trên ta có:
x'-3+ 3( ' 3) 4 y'-3- 3( ' 3) 8
y x
x y
=
−
=
, thay vào phương trình đường tròn ta có :
Trang 4Ta có: ' 3 3( ' 3) 2 ' 3 3( ' 3) 2
⇔ 7( ' 3)x− 2 + 13( ' 3)y − 2 + 6 3( ' 3)( ' 3) 256x− y − =
Đây là phương trình đường Elip có tâm tại điểm (3,3), bán trục lớn a = 8 và tạo với trục Ox một góc 1200 theo chiều dương, bán trục nhỏ b = 4
b, Vẽ đồ thị:
Bài 4:
Sử dụng ma trận của phép biến đổi chứng minh rằng phép quay quanh gốc toạ
độ với góc quay ±1800 hoàn toàn tương đương với đối xứng qua gốc toạ độ
Bài làm:
Theo câu 1 ta có ma trận của phép đối xứng qua gốc toạ độ là:
M =
−
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ta có ma trận của phép quay quanh gốc tọa độ với góc quay +1800 là M1 =
cos180 sin180 0
sin180 cos180 0
=
−
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
;
Trang 5ma trận của phép quay quanh gốc tọa độ với góc quay -1800 là
M2 =
cos 180 sin 180 0
sin 180 cos 180 0
=
−
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Như vậy ta có:
M =
−
−
1 0
0
0 1
0
0 0
1
⇔
0
M= sin cos 0
180
α
= +
, hoặc
M =
−
−
1 0
0
0 1
0
0 0
1
⇔
0
M= sin cos 0
180
α
= −
Tức là phép quay quanh gốc toạ độ với góc quay +1800 hoặc -1800 hoàn toàn tương đương với đối xứng qua gốc toạ độ
Bài 5:
Cho tam giác ABC với toạ độ các điểm A(6,0) B(4,6) C(1,1) và một đường thẳng y = 1
3
−
x -2
a) Tính ma trận của phép đối xứng tam giác qua đường thẳng y = 1
3
−
x -2 b)Tính toạ độ của các đỉnh tam giác sau khi biến đổi (A’:B’:C’)
c) Vẽ tam giác ABC và A’B’C’ trên cùng hệ toạ độ Oxy, mỗi đơn vị dài lấy bằng 1cm hoặc 0,5cm
d) Dùng phần mềm AutoCAD kiểm tra lại các đỉnh A’B’C’ đã tính toán
Bài làm:
a, Ta thực hiện phép đối xứng tam giác ABC qua đường thẳng
y = 1
3
−
x -2 với ma trận M như sau:
- Gắn tam giác ABC và đường thẳng y = 1
3
−
x -2 thành một khối rồi thực hiện phép tịnh tiến với ma trận M1 =
1 0 0
0 1 0
0 2 1
Trang 6- Quay cả khối một góc 300 với ma trận M2 =
0
0
2 2
−
, lúc này đường
thẳng y = - 1
3x -2 đã trùng với trục Ox
- Đối xứng tam giác ABC qua trục Ox với ma trận M3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ta được
tam giác A B C' ' ',
-Gắn tam giác này vào khối ở trên rồi quay cả khối quanh gốc tọa độ một góc
-300 với ma trận M4=
0
0
−
- Tịnh tiến cả khối với ma trận M5 =
1 0 0
0 1 0
0 2 1
Ta có :
M = M1x M2x M3x M4x M5
=
1 0 0
0 1 0
0 2 1
x
3 1
0
0
2 2
−
x
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x
0
0
−
x
0 1 0
0 2 1
=
0
0
−
Trang 7Như vậy ta có ma trận của phép đối xứng tam giác qua đường thẳng
y = - 1
3 x -2 là M =
0
0
−
b)Tính toạ độ của các đỉnh tam giác sau khi biến đổi (A’:B’:C’)
Biểu diễn các tam giác theo ma trận tọa độ các đỉnh của nó ta có
A A A A
B B B B
C C C C
6 0 1
4 6 1
1 1 1
x
0
0
−
=
2 4 3 2 3 6 1
1
Nên ta có : A’(3- 3 ,-3 3 -3), B’(2 4 3 − , 2 3 6 − − ), C’(1 3 3
2 2 − , 3 7
− − ) c) Vẽ tam giác ABC và A’B’C’ trên cùng hệ toạ độ Oxy, mỗi đơn vị dài lấy bằng 1cm
Trang 80
0
−
d) Dùng phần mềm AutoCAD kiểm tra lại các đỉnh A’B’C’ đã tính toán
Trong phần mềm AutoCAD dùng lệnh MIRROR với đối tượng là tan giác ABC và đường đối xứng là y = 1
3x -2, ta có tọa độ các đỉnh A’(3+ 3 ,3 3 +1), B’(2+4 3 ,2 3 -2), C’( 1 3 3
2 + 2 , 3 1
2 + 2) đúng như các tọa độ do ta tính toán Như vậy phép tính của ta là chính xác
Trang 9
Bài 6:
Khi làm các bài toán sau đây, sinh viên căn cứ vào số đề (trùng với số thứ tự
do giáo viên chỉ định để tỉm ra trị số của từng tham số trong các bài toán):
Cho tam giác ABC với toạ độ các điểm A(4,4) B(2,1) C(0,5) và một điểm E(0,2)
a)Tính ma trận của phép quay tam giác quanh điểm E một góc -900
b)Tính toạ độ của các đỉnh tam giác sau khi biến đổi (A’:B’:C’)
c)Vẽ tam giác ABC và A’B’C’ trên cùng hệ toạ độ Oxy, mỗi đơn vị dài lấy bằng 1cm hoặc 0,5cm
d) Dùng phần mềm AutoCAD kiểm tra lại các đỉnh A’B’C’ đã tính toán
Bài làm:
a)Ta thực hiện phép quay tam giác ABC quanh điểm E một góc -900 với ma trận
M như sau:
- Gắn tam giác ABC và điểm E thành một khối thực hiện phép tịnh tiến với ma trận M1 =
1 0 0
0 1 0
0 2 1
, lúc này điểm E trùng với gốc tọa độ
- Quay tam giác ABC quanh gốc tọa độ một góc -900 với ma trận
M2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
−
ta được tam giác A’B’C’
- Gắn tam giác A’B’C’ với khối trên và thực hiện phép tịnh tiến với ma trận M3 =
1 0 0
0 1 0
0 2 1
Khi đó ta có M = M1 x M2 x M3 =
0 2 1
x
0 1 0
1 0 0
0 0 1
−
x
1 0 0
0 1 0
0 2 1
=
2 0 1
−
x
1 0 0
0 1 0
0 2 1
=
2 2 1
−
Trang 10Như vậy ta có ma trận của phép quay tam giác ABC quanh điểm E một góc -900
là M =
2 2 1
−
b)Tính toạ độ của các đỉnh tam giác sau khi biến đổi (A’:B’:C’):
Biểu diễn các tam giác theo ma trận tọa độ các đỉnh của nó ta có
A A A A
B B B B
C C C C
4 4 1
2 1 1
0 5 1
x 01 01 00
2 2 1
−
= 21 02 11
−
Nên ta có : A’(2,-2),B’(-1,0),C’(3,2)
c) Vẽ tam giác ABC và A’B’C’ trên cùng hệ toạ độ Oxy, mỗi đơn vị dài lấy bằng 1cm
M=
2 2 1
−
d) Dùng phần mềm AutoCAD kiểm tra lại các đỉnh A’B’C’ đã tính toán
Trong phần mềm AutoCAD dùng lệnh ROTATE với đối tượng là tam giác ABC và gốc quay là điểm E, ta có tọa độ các đỉnh :
A’(1.268,-8.196), B’(-4.928,-9.464), C’(-2.098,-4.366) đúng như các tọa độ do ta tính toán Như vậy phép tính của ta là chính xác