BÀI TẬP ÔN THI TOÁN CAO CẤP Biên Soạn ThS LÊ TRƯỜNG GIANG Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 20, tháng 11, năm 2015 Mục lục Trang Chương 1.1 1.2 34 50 Dạng Toàn Phương 55 70 73 Giới hạn liên tục hàm biến 73 92 96 Đạo hàm vi phân hàm biến 109 Bài tập có hướng dẫn 109 Bài tập đề nghị 120 Chương 7.1 7.2 34 Bài tập có hướng dẫn 96 Bài tập đề nghị 105 Chương 6.1 6.2 25 55 Bài tập có hướng dẫn Bài tập đề nghị Chương 5.1 5.2 Không gian vectơ Bài tập có hướng dẫn Bài tập đề nghị Chương 4.1 4.2 Hệ phương trình tuyến tính Bài tập có hướng dẫn Bài tập đề nghị Chương 3.1 3.2 Bài tập có hướng dẫn Bài tập đề nghị Chương 2.1 2.2 Ma trận - Định thức Tích phân 124 Bài tập có hướng dẫn 124 Bài tập đề nghị 133 i Chương 8.1 8.2 139 Bài tập có hướng dẫn 139 Bài tập đề nghị 151 Chương 9.1 9.2 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Phương trình vi phân 155 Bài tập có hướng dẫn 155 Bài tập đề nghị 168 Phụ lục: Cơ sở Logic 171 Tài liệu tham khảo 178 ii Chương Ma trận - Định thức 1.1 Bài tập có hướng dẫn  −2 x −   Cho A =  −3     −2        B =  −3  Tìm x, y để A = B?    y+1 Hướng dẫn giải    x−1=3  x=4 A=B⇔ ⇔  y=0  1=y+1             Cho A =  1  B =   Tính A + B; A − B?     3 Hướng dẫn giải    A+B =  11 −2       ; A − B =  −3   −3       1   1       Cho A = B =   Tính AB?   4   Hướng dẫn giải     1   13 18 17     AB =  =   4     Cho A =  −1   B =    Tìm ma trận X thỏa AX = B? Hướng dẫn giải  Đặt X =  a b  , ta có  AX = B ⇔   ⇔  −1 2a − b    a b  =   = 1     2a + b    2a − b =  a=1 ⇔ ⇔  2a + b =  b=1   Vậy X =           Cho A = B =   Tính   −1   a) f (A) = 2A2 − 4A + 3I2 b) f (B) = B − 5B + 3I3 Hướng dẫn giải a) Ta có  2A2 =  1       = 2    −8 −4 =  −4A = −4  −4 −8     =  3I3 =     ⇒ f (A) =    = 10 8 10   b) Ta có     −1 2          =  −1    −3 −1 −2 −1 0    −10 −5        =  −15 −5 −10  ;    −1 0    0        =  ;    0   −3 −1 −3     ⇒ f (B) = B − 5B + 3I3 =  −6 −3 −5    −3   B2 =   −1    −5B = −5      3I3 =   0    ;  Cho A ma trận vuông cấp thực thỏa A2 − 2A + I2 = Với n ∈ N, đặt B = I2 + A + A2 + + A2015 Tính B? Hướng dẫn giải  A2 − 2A + I2 = ⇔ (A − I2 ) = ⇔ A = I2 =  0  ; B = I2 + A + A2 + + An = I2 + I2 + + I2 = (n + 1) I2   −1     Cho D =  −1  Tính D2015 ?   2 −1 Hướng dẫn giải  D   1 −1 0       =  1 −1  +     2 −2 0 D2015 = (A + E) 2015     = A + E; A2 = 0;  = C2015 E 2015 + C2015 E 2014 A   2016 2015 −2015     = E + 2015A =  2015 2016 −2015    4030 4030 −4031 Tính định thức ma trận sau  A=  −1 −2  ;  −3     B =  1 ;   −1   −3      −2 1  ; C=    −1    −3 1       2 1 ; D=   3 2    2014 2019 a    2015 b E=   2016 c 2017 2018  d 0         Hướng dẫn giải |A| = −1 = (−2) − (−1) = −1; −2 −3 1 −1 |B| = −3 1 |C| = = + + (−12) − − − − 17 −2 1 d3 :=d3 +(−3)d1 = −1 −3 1 −3 1 −2 1 −2 −3 1 −2 1 = (−1) 1+4 −2 −3 1 = |D| = 10 10 10 10 4 4 1 1 −1 4 −3 −2 −1 = 1 1 = 10 = 10 = 10 1 1 −1 0 −4 0 = 10 −2 −1 1 1 −1 0 −4 −4 0 = 160 0 −4 |E| = 2014 2019 a 2015 0 b 2016 c 2017 2018 d 4+1 = d(−1) 0 2019 a 0 b − dc(−1) 3+1 2019 a b c 2017 2018 = abcd Tính định thức sau D= x21 + x1 x2 x1 x3 x1 x4 x1 x2 x22 + x2 x3 x2 x4 x1 x3 x2 x3 x23 + x3 x4 x1 x4 x2 x4 x3 x4 x24 + Trong x1 , x2 , x3 , x4 nghiệm đa thức f (x) = x4 − 2x3 − 1005x2 + Hướng dẫn giải + Thay vào phương trình y − 3y + 2y = ex (2x + 3) ta ex (−2Ax + 2A − B) = ex (2x + 3)    A = −1  −2A = ⇔ ⇔  B = −5  2A − B = + Suy Y = ex x (−x − 5) Bước 3: Nghiệm tổng quát cần tìm y = y + Y = C1 ex + C2 e2x + ex x(−x − 5) e) Ta tiến hành giải toán theo bước Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình y − 4y + 3y = + Phương trình đặc trưng: k − 4k + = ⇔ k = ∨ k = + Hai nghiệm độc lập tuyến tính : y1 = ex y2 = e3x + Ta tìm y = C1 ex + C2 e3x Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình y − 4y + 3y = x2 + Ta có Y = Ax2 + Bx + C ⇒ Y = 2Ax + B ⇒ Y = 2A + Thay vào phương trình y − 4y + 3y = x2 ta 2A − (2Ax + B) + Ax2 + Bx + C = x2 ⇔ 3Ax2 + (3B − 8A) x + 2A − 4B + 3C = x2    A=       3A =     ⇒ ⇔ B= 3B − 8A =        2A − 4B + 3C =     C = 26 27 26 + Suy Y = x2 + x + 27 164 Bước 3: Nghiệm tổng quát cần tìm 26 y = y + Y = C1 ex + C2 e3x + x2 + x + 27 Giải phương trình vi phân sau a) y − 3y + 2y = sinx b) y − 2y + 2y = xcosx Hướng dẫn giải a) Ta tiến hành giải toán theo bước Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình y − 3y + 2y = + Phương trình đặc trưng: k − 3k + = ⇔ k = ∨ k = + Hai nghiệm độc lập tuyến tính : y1 = ex y2 = e2x + Ta tìm y = C1 ex + C2 e2x Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình y − 3y + 2y = sinx (1) + Ta có y − 3y + 2y = sinx = e0x (sinx + 0.cosx) Suy α = β = Ta nhận thấy α + iβ = i không nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm (1) có dạng Y = e0x (A sin x + B cos x) = A sin x + B cos x ⇒ Y = A cos x − B sin x ⇒ Y = −A sin x − B cos x + Thay vào phương trình (1) ta (A + 3B) sin x + (B − 3A) cos x = sin x    A + 3B =  A = 1/10 ⇒ ⇒  B − 3A =  B = 3/10 + Suy Y = sin x + cos x 10 10 Bước 3: Nghiệm tổng quát cần tìm y = C1 ex + C2 e2x + 165 sinx + cosx 10 10 b) Ta tiến hành giải toán theo bước Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình y − 2y + 2y = + Phương trình đặc trưng: k − 2k + = ⇔ k = + i ∨ k = − i + Hai nghiệm độc lập tuyến tính : y1 = ex cos x y2 = ex sin x + Ta tìm y = C1 ex cos x + C2 ex sin x Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình y − 2y + 2y = xcosx (1) + Ta có y − 2y + 2y = xcosx = e0x (0.sinx + x.cosx) Suy α = β = Ta nhận thấy α + iβ = i không nghiệm phương trình đặc trưng nên nghiệm (1) có dạng Y = e0x [(Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x] = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x ⇒Y = (A − Cx + D) sin x + (Ax + B + C) cos x ⇒Y = (−Ax − B − 2C) sin x + (−Cx + 2A + D) cos x + Thay vào phương trình (1) ta [(A + 2C) x − 2A + B − 2C − 2D] sin x + [(−C − 2A) x + 2A − 2B − 2C + 3D] cos x = x cos x    A = −         A + 2C =          −2A + B − 2C − 2D = B= ⇒ ⇒     −C − 2A =   C=        2A − 2B − 2C + 3D =      D=2 + Suy Y = 2 sin x + − x+ 3 x+ cos x 3 Bước 3: Nghiệm tổng quát cần tìm 2 y = (C1 cos x + C2 sin x) ex + − x + sin x + 3 166 x+ cos x 3 10 Tìm nghiệm phương trình vi phân sau thỏa điều kiện tương ứng a) y = cosx biết y(0) = y (0) = b) y + 3y − 4y = ex biết y(0) = y (0) = Hướng dẫn giải a) Ta có y = cos x ⇒y = cos xdx = sin x + C1 ⇒y= (sin x + C1 ) dx = − cos x + C1 x + C2 Theo giả thiết ta có   y (0) =    C =0  −1 + C = ⇔ ⇔  C =1  0+C =0  y (0) = Vậy nghiệm riêng cần tìm y0 = − cos x + b) Ta tiến hành giải toán theo bước Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình y + 3y − 4y = + Phương trình đặc trưng: k + 3k − = ⇔ k1 = ∨ k2 = −4 + Hai nghiệm độc lập tuyến tính : y1 = ex y2 = e−4x + Ta tìm y = C1 ex + C2 e−4x Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình y + 3y − 4y = ex + Ta có Y = ex xA Y = Aex + Axex = ex (Ax + A) Y = ex (Ax + A) + ex A = ex (Ax + 2A) + Thay vào phương trình y + 3y − 4y = ex ta ex (Ax + 2A) + 3ex (Ax + A) − 4ex Ax = ex ⇔ 5Aex = ex ⇔ 5A = ⇔ A = 167 + Suy Y = xex Bước 3: Nghiệm tổng quát cần tìm y = y + Y = C1 ex + C2 e−4x + xex 1 Suy y = C1 ex − 4C2 e−4x + ex + xex 5 Theo giả thiết ta có    24      C1 + C2 =  y (0) =  C1 = 25 ⇔ ⇔   y (0) =     C1 − 4C2 + =  C2 = 25 Vậy nghiệm riêng cần tìm y0 = 9.2 1 24 x e + e−4x + xex 25 25 Bài tập đề nghị Giải phương trình vi phân sau a) y = 6xy b) y + ex y = ex y c) x + y dx − y + x2 dy = d) (x + 1) ydx + (1 − y) xdy = e) + x2 dy = xydx với điều kiện y(1) = f) y.y + x.ey = với điều kiện y(1) = Giải phương trình vi phân sau a) y = x+y x−y b) y − xy dx + 2x2 ydy = c) x2 + 2xy dx + xydy = d) 2x3 − xy dx + 2y − x2 y dy = e) (x + y + 1) dx + (2x + 2y + 1) dy = f) (x + y − 1) dx = (x − y + 1) dy 168 g) y = x+y+1 x−y+3 Giải phương trình vi phân sau a) y + 2y = x b) xy + 2y = sin x y c) y + = x2 y x d) y − y = xy sin x y =− y e) y − 2x 2x f) y + y =x−1 x+1 g) y − y sin x = sin x cos x h) (1 + x2 )y − 2xy = (1 + x2 )2 i) y + y =x−1 x+1 j) x(y − y) = ex k) y = x(y − x cos x) g) y + y = với điều kiện y (1) = x x y = x ln x với điều kiện y (e) = e2 h) y − x ln x sinx i) y − y tan x = −2e với điều kiện y(0) = g) y + 2xy = x.e−x với điều kiện y(0) = h) y − y tan x = −2esin x với điều kiện y(0) = Giải phương trình vi phân sau a) y = x2 + xex + b) y = xe−x c) xy − y = x2 ln x d) y − (y ) + = e) y = y + (y ) f) y.y = (y ) ; g) y = cos x với điều kiện y (0) = y(0) = y h) y − = x (x − 1) với điều kiện y(2) = y (2) = −1 x−1 169 Giải phương trình vi phân sau a) y + y − 2y = b) y − 5y + 6y = c) y + 6y + 13 = d) y + 2y + y = e) 4y − 20y + 25y = f) y + 4y = Giải phương trình vi phân sau a) y − 2y + y = x + b) y − 6y + 9y = 2x2 − x + c) y − 3y + 2y = ex (3 − 4x) d) y − 2y + y = ex (1 + x) e) y − 8y + 16y = e4x f) y + 6y + 9y = −xe4x g) y − 3y + 2y = ex (2x + 3) h) y − 6y + 5y = 3ex + 5x2 i) y − 9y + 20y = x2 e4x j) y − 7y + 6y = sinx k) y + y = 3sinx l) y − y = 2sinx − 4cosx m) y + 4y = 2sin2x 170 PHỤ LỤC: CƠ SỞ LOGIC Tập hợp 1.1 Khái niệm quan hệ tập hợp 1.1.1 Khái niệm Tập hợp toán học không định nghĩa, ta hiểu tập hợp bao gồm hay nhiều cá thể phân biệt, cá thể tập hợp gọi phần tử tập hợp Tập hợp thường ký hiệu chữ in hoa A, B, Phần tử a thuộc tập hợp A ký hiệu a ∈ A Một tập hợp phân tử gọi tập hợp rỗng ký hiệu Ø Để biểu thị tập hợp ta liệt kê phần tử nó, biểu đồ, nêu tính chất 1.1.2 Quan hệ tập hợp Tập hợp (subset) B ⊂ A ∀x ∈ B suy x ∈ A Hai tập hợp (equal) A = B A ∈ B B ∈ A Hai tập hợp rời (disjoint) A∩B =Ø 1.2 Các phép toán tập hợp Phép toán hợp (union) A ∪ B = {x : x ∈ A x ∈ B} Phép toán giao (intersection) A ∩ B = {x : x ∈ A x ∈ B} Phép toán hiệu (set difference) A\B = {x : x ∈ A x ∈ / B} Phép lấy phần bù (complement) A = {x : x ∈ Ω x ∈ / A} 171 Tính chất phép toán a) Tính chất giao hoán A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A b) Tính chất kết hợp (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) c) Tính chất phân phối A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ; A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) d) Luật De - Morgan ¯ A ∩ B = A¯ ∪ B ¯ A ∪ B = A¯ ∩ B; Ánh xạ 2.1 Khái niệm Cho X Y hai tập hợp không rỗng Một ánh xạ f từ X vào Y liên kết phần tử X Y cho phần tử x ∈ X liên kết với phần tử y ∈ Y , ký hiệu y = f (x) gọi ảnh x qua f Ta viết f :X→Y x → y = f (x) Lứu ý: mặt ký hiệu toán học ta định nghĩa ánh xạ qua biểu thức sau ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y : f (x) = y ∀x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) 2.2 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Đơn ánh: Ánh xạ f : X → Y gọi đơn ánh hai phần tử khác tập X có ảnh khác ∀x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x1 172 Toàn ánh: Ánh xạ f : X → Y gọi toàn ánh nghịch ảnh phần tử y ∈ Y không rỗng ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f (x) = y Song ánh (quy tắc 1-1): Ánh xạ f : X → Y gọi song ánh vừa đơn ánh, vừa toàn ánh ∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X : f (x) = y Mệnh đề 3.1 Khái niệm mệnh đề Mệnh đề khẳng định có giá trị chân lý xác định Nói cách khác mệnh đề nhận giá trị sai, vừa vừa sai Ta thường kí hiệu mệnh đề chữ P, Q, R, Nếu P mệnh đề ta nói P có chân trị viết P = hay P = T (true ) Nếu Q mệnh đề sai ta nói Q có chân trị sai viết Q = hay Q = F (false) 3.2 Các phép toán mệnh đề Phép phủ định Phủ định mệnh đề P , ký hiệu P (đọc không P), mệnh đề có chân trị xác định bảng sau: P P 1 Phép hội Hội hai mệnh đề P Q, ký hiệu P ∧ Q (đọc P Q), mệnh đề có chân trị cho bảng sau: P Q P ∧Q 0 0 1 0 1 173 Phép tuyển Tuyển hai mệnh đề P Q, ký hiệu P ∨ Q (đọc P Q), mệnh đề có chân trị cho bảng sau: P Q P ∨Q 0 0 1 1 1 Phép suy diễn Mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q, ký hiệu P ⇒ Q, mệnh đề có bảng chân trị cho bảng sau: P Q P ⇒Q 0 1 1 0 1 Phép tương đương Mệnh đề P tương đương với mệnh đề Q, ký hiệu P ⇔ Q, mệnh đề xác định (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ) Mệnh đề P ⇔ Q có bảng chân trị P Q P ⇔Q 0 1 0 1 Các quy luật logic 174 Cho P, Q, R mệnh đề Ta có quy luật sau P =P P ∧ Q = P ∨ Q; P ∨ Q = P ∧ Q P ∧ Q = Q ∧ P; P ∨ Q = Q ∨ P P ∧ (Q ∧ R) = (P ∧ Q) ∧ R; P ∨ (Q ∨ R) = (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) ; P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) P ∧ P = P; P ∨ P = P P ∧ P = 0; P ∨ P = P ∧ = P; P ∨ = P P ∧ = 0; P ∨ = P ∧ (P ∨ Q) = P ; P ∨ (P ∧ Q) = P P ⇒ Q = Q ⇒ P; P ⇒ Q = P ∧ Q Suy luận toán học 5.1 Suy luận quy tắc suy diễn Suy luận: rút mệnh đề từ hay nhiều mệnh đề có Mệnh đề có gọi giả thiết hay tiền đề, mệnh đề gọi kết luận Các quy tắc suy diễn a) Quy tắc khẳng định (Modus Ponens) [(P ⇒ Q) ∧ P ] ⇒ Q b) Quy tắc phủ định (Modus Tollens) (P ⇒ Q) ∧ Q ⇒ P c) Tam đoạn luận (Syllogism) [(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)] ⇒ (P ⇒ R) d) Quy tắc mâu thuẫn (chứng minh phản chứng) (P ⇒ Q) = 175 P ∧Q ⇒0 5.2 Một số phương pháp chứng minh toán học Phương pháp chứng minh trực tiếp Phương pháp chứng minh gián tiếp (luật phản chứng thứ nhất) Phương pháp chứng minh phản chứng (luật phản chứng thứ hai) Phương pháp quy nạp Để chứng minh mệnh đề P (n) với n ∈ N tùy ý ta thực hiệu theo ba bước sau + Kiểm chứng khẳng định P (0) + Giả sử với n ∈ N tùy ý, P (n) Ta chứng minh P (n + 1) + Kết luận P (n) với n ∈ N 176 BÀI TẬP Sử dụng qui luật logic chứng minh a) (P ∨ Q) ∧ P ∧ Q = P b) ((P ∧ Q) ⇒ R) = (P ⇒ (Q ⇒ R)) Chứng minh mệnh đề sau mệnh đề ((P ⇒ Q) ∧ P ) ⇒ Q Sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp, chứng minh a) Nếu nchia hết cho n2 chia hết cho b) Nếu n số nguyên tố lớn n2 − chia hết cho 24 Sử dụng phương pháp chứng gián tiếp, chứng minh a) Nếu 3n + (n ∈ Z) số chẵn n số lẻ b) Với số nguyên n, n2 lẻ n lẻ c) Nếu n số nguyên tố lớn n2 − chia hết cho 24 Sử dụng phương pháp quy nạp, chứng minh n(n + 1) b) + + + (2n − 1) = n2 n(n + 1)(2n + 1) c) 12 + 22 + 32 + + n2 = a) + + + n = 177 Tài liệu tham khảo [1] Lê Sĩ Đồng, Toán cao cấp (Đại số tuyến tính), NXB Giáo dục Việt Nam, 2015 [2] Trần Lộc Hùng, Bài giảng Toán cao cấp, Tp HCM, 2014 [3] Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho nhà kinh tế, Phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại học Kinh tế quốc dân, 2010 [4] Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho nhà kinh tế, Phần II: Giải tích toán học, NXB Đại học Kinh tế quốc dân, 2010 [5] Bài tập Toán cao cấp, Bộ môn Toán - Thống kê, Trường Đại học Tài Chính -Marketing, 2015 178 [...]... ?  0 a  1  Tính A1 0? x 9 Tính các định thức cấp 2 sau a) cos α sin α ; sin β cos β b) aα + bγ aβ + bδ cα + aγ cβ + aδ 10 Tính các định thức cấp 3 sau cos 2α cos2 α sin2 α a) cos 2β cos2 β sin2 β ; b) cos 2γ cos2 γ sin2 γ 1 1 a b c ; a3 b3 c3 a + b ab a2 + b2 c) 1 1 a bc b + c bc b2 + c2 ; d) c + a ca c2 + a2 1 b ca 1 c ab 11 Tính các định thức cấp 4 sau a) 2 1 0 2 3 2 1 0 ; 1 x 0 0 b) −1 0 1... rank (A − E) (B − E) = n + rank (AB − AE − EB + E) = n + rank (2 (A + B) − E (A + B) + E) = n + rank (−2E + 2E) = n (2) Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh 22 Chứng minh rằng mọi ma trận vuông cấp hai A, B, C ta luôn có (AB − BA) 2016 C = C(AB − BA) 2016 Hướng dẫn giải Ta có tr (AB − BA) = tr (AB) − tr (BA) = 0; Khi đó ta đặt   a b  D = (AB − BA) =  c −a  ⇒ D2 =  a b c −a ⇒ D2016 = D2... 2 Với các ma trận A, B, C cho như trong bài 1, hãy tìm ma trận X sao cho a) B + 2X = C;, 25 b) AX = B; c) A (X + C) = B; d) XB = C 3 Với mọi đa thức P (x) = a0 xk + a1 xk−1 + + ak và ma trận vuông A cấp n, đặt P (A) = a0 Ak + a1 Ak−1 + + ak In Ma trận A được gọi là nghiệm của P (x) nếu P (A) = On   5 2 −3     a) Tìm P (A) nếu P (x) = x3 − 7x2 + 13x − 5 và A =  1 3 −1 ;   2 2 −1   2... − a1 0 0 0 0 0 x2 − a2 0 0 0 0 0 x3 − a3 0 0 0 0 1 n 1+ i=1 = n = −a2 1+ i=1 ai xi −ai ai xi −ai xn − an 0 xn − an n (xi − ai ) i=1 11 Cho dãy số thực {a0 , a1 , , an } lập thành một cấp số cộng có công sai là d 12 Tính định thức sau D= a0 a1 a2 an−1 a1 a0 a1 an−2 an−1 a2 a1 a0 an−3 an−2 an−1 an−2 an−3 an an−1 an−2 a0 a1 a1 a0 Hướng dẫn giải D = a0 d d d d a1... b b −a c 2 (a + 2) 2 (b + 2) 2 (c + 2) 2 (d + 2) c d a2 (a + 1) d −c b2 (b + 1) c −d −a d ; ; d) c2 (c + 1) b d2 (d + 1) −b −a 27 2 (a + 3) 2 (b + 3) 2 (c + 3) 2 (d + 3) 2 2 2 2 12 Tính các định thức cấp 5 sau 3 −1 b) −1 1 −2 1 2 9 −1 1 3 4 3 0 6 −1 3 5 2 3 −2 1 1 −1 2 −2 3 0 3 −1 2 1 3 1 5 a) 2 1 1 4 −2 0 5 −1 1 −4 5 3 5 1 2 13 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau   1 2 −3     a)  3 2...          31 20 Tìm X sao cho    1   0    0      0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1  1 2 3      0 1 2    X =  0 0 1          0 0 0 21 Tính các định thức cấp n sau a) b) c) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 n 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 2 ; ; 1 2 3 4 n −1 0 3 4 n −1 −2 0 4 n −1 −2 −3 0 n −1 −2 −3 −4 0 32 ; n 